第04讲 简单的三角恒等变换（讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc15686" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc15686 \h 2
\l "_Tc18925" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc18925 \h 3
\l "_Tc29982" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc29982 \h 3
\l "_Tc1482" 高频考点一：三角函数式的化简 PAGEREF _Tc1482 \h 3
\l "_Tc19450" 高频考点二：三角函数求值问题 PAGEREF _Tc19450 \h 5
\l "_Tc17407" 角度1：给角求值型 PAGEREF _Tc17407 \h 5
\l "_Tc8860" 角度2：给值求值型 PAGEREF _Tc8860 \h 6
\l "_Tc32628" 角度3：给值求角型 PAGEREF _Tc32628 \h 8
\l "_Tc22738" 高频考点三：半角公式 PAGEREF _Tc22738 \h 10
\l "_Tc12084" 高频考点四：万能公式 PAGEREF _Tc12084 \h 11
\l "_Tc11787" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc11787 \h 12
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第一部分：知识点必背
1、半角公式
（1）.
（2）.
（3）.
2、万能公式（拓展视野）
（1）
（2）
（3）其中
3、和差化积公式（拓展视野）
4、积化和差公式（拓展视野）
第二部分：高考真题回归
（2022·浙江·统考高考真题）若，则__________，_________．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数式的化简
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）若，则等于（ ）．
A．B．C．D．
例题2．（2023·江苏·高一专题练习）化简=（ ）
A．1B．C．D．2
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023·全国·高一专题练习）计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
练透核心考点
1．（2023春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）设，，，则有（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·山东淄博·高一校考阶段练习）（1）化简：；
（2）求值：．
（2023·全国·高三专题练习）化简：(0<θ<π)．
高频考点二：三角函数求值问题
角度1：给角求值型
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）化简：（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）若，则___________.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）的值是______.
例题4．（2023春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知且．
(1)求，，；
(2)若为锐角，且，求．
练透核心考点
1．（2023·贵州六盘水·高二校考阶段练习）的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习） 的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）___________.
角度2：给值求值型
典型例题
例题1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·广西南宁·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023春·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）已知为第二象限角，且，求的值．
例题5．（2023春·安徽滁州·高一校考开学考试）已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
练透核心考点
1．（2023·四川南充·统考二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）已知为第一象限角，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·广东·高一统考期末）已知，β是第二象限角，则________．
4．（2023春·广东湛江·高一校考阶段练习）已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值，并确定的大小．
5．（2023秋·浙江·高一期末）已知，满足．
(1)求的值；
(2)若是锐角，且，求．
角度3：给值求角型
典型例题
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）设，是方程的两根，且，则（ ）．
A．B．C．或D．
例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·高一单元测试）若，均为锐角，且，，则________．
例题4．（2023秋·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于点、两点，且点在直线上，.
（1）求的值；
（2）求的值.
例题5．（2023·全国·高一专题练习）在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知，且满足条件___________.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
练透核心考点
1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则______．
3．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若，且，，则______.
4．（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）已知.
(1)求的值；
(2)求角的值.
5．（2023秋·浙江·高一校联考期末）已知.
(1)求的值;
(2)若，且，求角.
高频考点三：半角公式
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知点是角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．或D．或
例题2．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知，则__________.
例题4．（2023·全国·高一专题练习）在中，．
(1)求的值；
(2)若，求．
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）若，，则（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则___________.
4．（2023·高一课时练习）已知，，求和的值.
高频考点四：万能公式
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知角的大小如图所示，则（ ）
A．B．5C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若，，则的值为（ ）
A．B．C．0D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，求.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏南京·南京市宁海中学校考模拟预测）已知，___________.
第四部分：数学文化题
1．（2022·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成，则（ ）
A．4B．C．2D．
2．（多选）（2022春·辽宁葫芦岛·高一统考期末）几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．底与腰之比为黄金分割比（）的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形的边长为，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意的，
3．（2023·全国·高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若，___________.