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新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第04讲 幂函数与二次函数（高频精讲）（原卷版+解析版）
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这是一份新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第04讲 幂函数与二次函数（高频精讲）（原卷版+解析版），共67页。试卷主要包含了幂函数，二次函数等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7221" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc7221 \h 2
\l "_Tc22738" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc22738 \h 2
\l "_Tc7433" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc7433 \h 3
\l "_Tc18734" 高频考点一：幂函数的定义 PAGEREF _Tc18734 \h 3
\l "_Tc26004" 角度1：求幂函数的值 PAGEREF _Tc26004 \h 3
\l "_Tc19540" 角度2：求幂函数的解析式 PAGEREF _Tc19540 \h 3
\l "_Tc18670" 角度3：由幂函数求参数 PAGEREF _Tc18670 \h 4
\l "_Tc21118" 高频考点二：幂函数的值域 PAGEREF _Tc21118 \h 4
\l "_Tc16872" 高频考点三：幂函数图象 PAGEREF _Tc16872 \h 5
\l "_Tc28875" 角度1：判断幂函数图象 PAGEREF _Tc28875 \h 5
\l "_Tc18537" 角度2：幂函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc18537 \h 7
\l "_Tc16813" 高频考点四：幂函数单调性 PAGEREF _Tc16813 \h 8
\l "_Tc3770" 角度1：判断幂函数的单调性 PAGEREF _Tc3770 \h 8
\l "_Tc4467" 角度2：由幂函数单调性求参数 PAGEREF _Tc4467 \h 9
\l "_Tc20054" 角度3：由幂函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc20054 \h 9
\l "_Tc119" 高频考点五：幂函数的奇偶性 PAGEREF _Tc119 \h 10
\l "_Tc18409" 高频考点六：二次函数 PAGEREF _Tc18409 \h 11
\l "_Tc20352" 角度1：二次函数值域问题 PAGEREF _Tc20352 \h 11
\l "_Tc30891" 角度2：求二次函数解析式 PAGEREF _Tc30891 \h 12
\l "_Tc28745" 角度3：由二次函数单调性（区间）求参数 PAGEREF _Tc28745 \h 14
\l "_Tc22335" 角度4：根据二次函数最值（值域）求参数 PAGEREF _Tc22335 \h 15
\l "_Tc862" 角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题 PAGEREF _Tc862 \h 16
\l "_Tc15534" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc15534 \h 18
\l "_Tc30115" ①开放性试题 PAGEREF _Tc30115 \h 18
\l "_Tc583" ②劣够性试题 PAGEREF _Tc583 \h 18
\l "_Tc17213" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc17213 \h 19
\l "_Tc25445" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc25445 \h 19
\l "_Tc21185" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc21185 \h 20
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第一部分：知识点必背
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
（2）五种常见幂函数
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
2、二次函数
形如的函数叫做二次函数.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（ ）．
A．B．4C．D．8
例题2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）若函数是幂函数，且在上单调递增，则___________.
练透核心考点
1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
2．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．0
例题2．（2023秋·北京·高一校考期末）若点在幂函数的图像上，则的值为__________.
练透核心考点
1．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则_________.
2．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则___________．
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2023·湖南湘西·高一统考）已知幂函数的图像不过原点，则实数的值为（ ）
A．1B．2
C．－2D．1或2
例题2．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考）已知函数是幂函数，则实数__________.
练透核心考点
1．（2022秋·四川宜宾·高一统考期末）若是定义域为的幂函数，则_________.
2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）已知幂函数在上为增函数，则___________.
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考）已知函数，为何值时,
(1)是幂函数；
(2)是二次函数.
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·江苏·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
练透核心考点
1．（2022秋·广东广州·高一广州市第一一三中学校考期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高一课时练习）函数，其中，则其值域为___________.
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么________.
练透核心考点
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知某幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一课时练习）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）当时，函数的图象恒过定点，则点的坐标为________．
例题2．（2023·高一课时练习）幂函数的图像恒过定点______．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数恒过定点______．
2．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（2023春·云南文山·高二校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．
A．B．C．D．
例题2．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ）
A．-2B．C．2D．3
例题3．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）若幂函数为减函数，则实数的值为______.
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知幂函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．1或B．C．1D．
2．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数的单调增区间是______.
3．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数在其定义域上的单调性是______.
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·河北承德·高一统考期末）若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．3B．1或3C．4D．4或6
例题2．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考开学考试）“”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充要
例题3．（2023秋·四川内江·高一统考期末）已知在区间上是单调增函数，则的取值范围为______.
练透核心考点
1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为___________.
2．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知实数，若幂函数为偶函数，且在上严格递减，则实数__________．
3．（2023秋·安徽宣城·高一统考期末）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数__________.
角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数经过点，则不等式的解集为___________．
例题3．（2023春·高一校考开学考试）已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．
(1)求的值；
(2)解不等式．
练透核心考点
1．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是______.
2．（2023·高一课时练习）关于的不等式的解集为__________.
3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2023秋·江苏常州·高一统考期末）下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（ ）．
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为__________.
例题3．（2023秋·江西新余·高一统考期末）已知幂函数的图像关于轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·高一课时练习）已知幂函数的表达式为，函数的图像关于轴对称，且满足，求的值．
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）函数在区间上（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
例题2．（2022秋·吉林白城·高一统考期末）函数，的值域是______.
练透核心考点
1．（2022秋·江苏南京·高一校考期中）已知函数，，函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）若函数，，则的值域为___________.
3．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）已知二次函数，则的值域是___________．
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：__________．
①的最小值为；②的一次项系数为；③；④．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知是二次函数且，，则_____.
例题3．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）在①不等式的解集为，②当时，取得最大值4，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知函数，且__________.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求的值.
练透核心考点
1．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知二次函数的图象过点.
(1)求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）；
(2)求不等式的解集．
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________.
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（2023秋·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考期末）函数在上不单调，则实数的取值可能是（ ）
A．－1B．0
C．1D．2
例题3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数，在上是减函数，则实数的取值范围是________．
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数在区间不单调的充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是_____________．
3．（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知二次函数满足，请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面问题.
①；②不等式的解集为.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．1B．3C．D．1或3
（2023·全国·高三专题练习）函数在[1，m]内的值域为[4，0]，则实数m需满足___________.
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）求函数，的最小值.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数
(1)当时，求函数的值域；
(2)当时，求函数的最小值．
例题3．（2023·高一课时练习）已知二次函数满足，且
(1)求的解析式.
(2)求在，的最小值，并写出的函数的表达式.
练透核心考点
1．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知在上单调递增，求的取值范围；
(3)求在上的最小值.
2．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数．
(1)若有两个零点，求实数m的取值范围；
(2)当时，求的最小值．
3．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）设函数.
(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值：
(2)设函数在区间的最小值为，求.
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·浙江宁波·高一统考期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，值域为，且在上有两个零点，请写出一个满足上述条件的______.
2．（2023秋·上海闵行·高一统考期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于y轴对称，则满足条件的幂函数的表达式可以是___________（只需写出一个正确的答案）
3．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.
②劣够性试题
1．（2023秋·江西吉安·高一统考期末）给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为2．在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定．
已知二次函数满足，且 ．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
2．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）从“①，；②方程有两个实数根，；③，”这三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
已知函数为二次函数，，，____________.
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围.
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列是函数的单调减区间的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知=min{，}，下列说法正确的是（ ）
A．在区间单调递增
B．在区间单调递减
C．有最小值1
D．有最大值1
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象；
(2)方程有四个不相等的实数根，求实数的取值范围.
4．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数是奇函数.
(1)求实数；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
②分类讨论的思想
1．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数
(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
(2)解不等式．
2．（2022秋·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知二次函数的图象过点，且最小值为．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，该函数的最小值为，求此时t的值．
3．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）已知函数.
(1)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)若，求函数的最小值.函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
第04讲 幂函数与二次函数 (精讲）
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7221" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc7221 \h 2
\l "_Tc22738" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc22738 \h 3
\l "_Tc7433" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc7433 \h 4
\l "_Tc18734" 高频考点一：幂函数的定义 PAGEREF _Tc18734 \h 4
\l "_Tc26004" 角度1：求幂函数的值 PAGEREF _Tc26004 \h 4
\l "_Tc19540" 角度2：求幂函数的解析式 PAGEREF _Tc19540 \h 5
\l "_Tc18670" 角度3：由幂函数求参数 PAGEREF _Tc18670 \h 6
\l "_Tc21118" 高频考点二：幂函数的值域 PAGEREF _Tc21118 \h 8
\l "_Tc16872" 高频考点三：幂函数图象 PAGEREF _Tc16872 \h 9
\l "_Tc28875" 角度1：判断幂函数图象 PAGEREF _Tc28875 \h 9
\l "_Tc18537" 角度2：幂函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc18537 \h 13
\l "_Tc16813" 高频考点四：幂函数单调性 PAGEREF _Tc16813 \h 14
\l "_Tc3770" 角度1：判断幂函数的单调性 PAGEREF _Tc3770 \h 14
\l "_Tc4467" 角度2：由幂函数单调性求参数 PAGEREF _Tc4467 \h 16
\l "_Tc20054" 角度3：由幂函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc20054 \h 17
\l "_Tc119" 高频考点五：幂函数的奇偶性 PAGEREF _Tc119 \h 20
\l "_Tc18409" 高频考点六：二次函数 PAGEREF _Tc18409 \h 23
\l "_Tc20352" 角度1：二次函数值域问题 PAGEREF _Tc20352 \h 23
\l "_Tc30891" 角度2：求二次函数解析式 PAGEREF _Tc30891 \h 24
\l "_Tc28745" 角度3：由二次函数单调性（区间）求参数 PAGEREF _Tc28745 \h 27
\l "_Tc22335" 角度4：根据二次函数最值（值域）求参数 PAGEREF _Tc22335 \h 29
\l "_Tc862" 角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题 PAGEREF _Tc862 \h 32
\l "_Tc15534" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc15534 \h 36
\l "_Tc30115" ①开放性试题 PAGEREF _Tc30115 \h 36
\l "_Tc583" ②劣够性试题 PAGEREF _Tc583 \h 37
\l "_Tc17213" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc17213 \h 39
\l "_Tc25445" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc25445 \h 39
\l "_Tc21185" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc21185 \h 42
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
第一部分：知识点必背
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
（2）五种常见幂函数
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
2、二次函数
形如的函数叫做二次函数.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，故.
故答案为：C.
2．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（ ）．
A．B．4C．D．8
【答案】C
【详解】因为函数为幂函数，所以可设f（x）＝xa，
因为图象过，
所以 ，
所以，即，
所以
故选：C
例题2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）若函数是幂函数，且在上单调递增，则___________.
【答案】
【详解】因为函数是幂函数，且在上单调递增，
所以，解得，
所以，
所以，
故答案为：2
练透核心考点
1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】B
【详解】设幂函数为，图象过点，故，故，
，.
故选：B
2．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【详解】，，，代入分别是，
在定义域内，即是偶函数，因此取值或0，
时，在上不是减函数，
只有满足，此时，，
．
故选：B．
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】C
【详解】由为幂函数，知.又函数图像过点，则，故.
故选：C
例题2．（2023秋·北京·高一校考期末）若点在幂函数的图像上，则的值为__________.
【答案】3
【详解】因为为幂函数，则，，
即，
又点在函数的图像上，
则，解得，
所以
故答案为：3.
练透核心考点
1．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则_________.
【答案】
【详解】设函数，又因为幂函数的图象过点，
所以，解得：，所以函数，
故答案为：.
2．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则___________．
【答案】
【详解】设幂函数为为常数)，因为幂函数过点，
所以，则，
所以，
故答案为：.
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2023·湖南湘西·高一统考）已知幂函数的图像不过原点，则实数的值为（ ）
A．1B．2
C．－2D．1或2
【答案】A
【详解】函数是幂函数，
，解得或．
当时，，图像不过原点，符合题意；
当时，，图像过原点，不符合题意．
故选：A．
例题2．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考）已知函数是幂函数，则实数__________.
【答案】2
【详解】因为函数是幂函数，则，解得，
所以.
故答案为：2
练透核心考点
1．（2022秋·四川宜宾·高一统考期末）若是定义域为的幂函数，则_________.
【答案】
【详解】因为是幂函数，则有，解得，
此时函数的定义域为，符合题意，所以.
故答案为：1
2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）已知幂函数在上为增函数，则___________.
【答案】
【详解】因为幂函数在上为增函数，则，解得.
故答案为：.
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考）已知函数，为何值时,
(1)是幂函数；
(2)是二次函数.
【答案】(1)或；
(2).
【详解】（1）解：因为函数为幂函数，则，
解得或.
（2）解：因为函数为二次函数，则，
解得，此时符合题意.
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，定义域、值域相同；
由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，，定义域、值域不相同.
故选：D
例题2．（2022·江苏·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
【答案】(1)或或
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）解：依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或
（2）解：若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；
若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
（3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
练透核心考点
1．（2022秋·广东广州·高一广州市第一一三中学校考期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，
代入点得
，
则，令，
函数的值域是.
故选：C.
2．（2023·高一课时练习）函数，其中，则其值域为___________.
【答案】##
【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为.
故答案为：
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，因为的图象经过点，
所以，即，解得，则，
因为，所以为偶函数，排除B、D，
因为的定义域为，排除A．
因为在内单调递增，结合偶函数可得在内单调递减，故C满足，
故选：C.
例题2．（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【答案】A
【详解】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；
，其图像应与④对应．
故选：A．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么________.
【答案】
【详解】，点，，
所以，，
将两点坐标分别代入，，
得，，
，
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】设幂函数，将点代入，得，解得，
所以，定义域为，且在定义域内单调递增，大致图像为B，
故选：B．
2．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知某幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：设幂函数为，由函数过点，
所以，即，所以，解得，
所以，则函数的定义域为，且，
故为偶函数，且函数在上单调递减，则函数在上单调递增，
故符合题意的为D；
故选：D
3．（2023·高一课时练习）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．
故选：C
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）当时，函数的图象恒过定点，则点的坐标为________．
【答案】
【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,
故答案为：
例题2．（2023·高一课时练习）幂函数的图像恒过定点______．
【答案】
【详解】幂函数的图像恒过定点.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数恒过定点______．
【答案】
【详解】当，即时，，函数恒过定点.
故答案为：.
2．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．
【答案】
【详解】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
故答案为：.
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（2023春·云南文山·高二校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】A：一次函数的性质知在上是减函数，不合题意．
B：定义域为R且，为非奇非偶且是减函数，不合题意；
C：定义域为R且，为偶函数且在R上不单调，不合题意．
D：定义域为R且，为奇函数且在上是增函数，符合题意.
故选：D．
例题2．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ）
A．-2B．C．2D．3
【答案】C
【详解】对选项A：，，函数在上单调递减，错误；
对选项B：，，函数定义域为，不是偶函数，错误；
对选项C：，，函数定义域为，，函数为偶函数，且在上单调递增，正确；
对选项D：，，函数定义域为，，函数为奇函数，错误；
故选：C
例题3．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）若幂函数为减函数，则实数的值为______.
【答案】
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，满足在区间上是减函数，
当时，，不满足在区间上是减函数，
故答案为：
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知幂函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．1或B．C．1D．
【答案】C
【详解】由幂函数定义得，解得：或．
当时，，利用幂函数性质知：在上单调递减；
当时，，利用幂函数性质知：在上单调递增，不符题意舍去.
故选：C.
2．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数的单调增区间是______.
【答案】
【详解】在上递增，在上递增，
所以函数的单调增区间是.
故答案为：
3．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数在其定义域上的单调性是______.
【答案】单调递增
【详解】幂函数，定义域，指数为，满足，
故函数在其定义域上的单调性是单调递增，
故答案为：单调递增.
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·河北承德·高一统考期末）若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．3B．1或3C．4D．4或6
【答案】A
【详解】解：因为幂函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：A
例题2．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考开学考试）“”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充要
【答案】D
【详解】解：因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
所以“”是“幂函数在上单调递减”的充要条件.
故选：D
例题3．（2023秋·四川内江·高一统考期末）已知在区间上是单调增函数，则的取值范围为______.
【答案】
【详解】由在区间上是单调增函数，有，解得，则a的取值范围为.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为___________.
【答案】1
【详解】根据幂函数的定义可得，解得或，
当时，在上单调递减，不合题意；
当时，在上单调递增，符合题意.
故答案为：.
2．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知实数，若幂函数为偶函数，且在上严格递减，则实数__________．
【答案】
【详解】因在上单调递减，则；又为偶函数，则
.
故答案为：.
3．（2023秋·安徽宣城·高一统考期末）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数__________.
【答案】或3
【详解】函数是幂函数，且在上单调递增，
则有，解得或.
故答案为：或3
角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设幂函数，其图象过点，所以，解得，
所以.
因为，所以为奇函数，且在上单调递增，
所以可化为，
可得，解得，所以的取值范围为.
故选:C.
例题2．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数经过点，则不等式的解集为___________．
【答案】
【详解】设幂函数，
由题意得，解得，故，，
则，即为，
根据在上为单调增函数，则有，
解得，故解集为，
故答案为：．
例题3．（2023春·高一校考开学考试）已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．
(1)求的值；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为幂函数(Z)的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，
为偶数，为奇数，
因为函数在上是单调递减函数，所以，解得，
因为Z，则，，，
当时，为偶数，舍去；
当时，为奇数，
当时，为偶数，舍去；
故；
（2）由（1）可得，定义域为，且在上是单调递减函数，为偶函数，
又，即，且，解得且，
所以不等式的解集为．
练透核心考点
1．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】设幂函数，，
因为幂函数的图象过点，所以，解得，
所以，的定义域为，且在上单调递减，
因为，所以，解得，
故答案为：
2．（2023·高一课时练习）关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【详解】因为函数的定义域为，
由，可得为奇函数，
因为，所以在和上单调递减，
当即时，
由可得，解得，
所以，
当，即或时，
由可得，解得，
所以，
综上所述：原不等式的解集为，
故答案为：.
3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知幂函数，则，解得或，
所以或，又函数为偶函数，所以；
（2）由于幂函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在单调递减，
若，则，平方后解得，
所以x的取值范围是.
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2023秋·江苏常州·高一统考期末）下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对选项A，在为增函数，故A错误.
对选项B，在为增函数，故B错误.
对选项C，在为减函数，
设，定义域为，
，所以为偶函数，故C错误.
对选项D，在为减函数，
设，定义域为，
，所以为奇函数，故D正确.
故选：D
例题2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为__________.
【答案】
【详解】为幂函数，，解得：或；
当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不合题意；
综上所述：.
故答案为：.
例题3．（2023秋·江西新余·高一统考期末）已知幂函数的图像关于轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或．
又的图像关于y轴对称，所以，
故．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故在上的值域为．
练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：为奇函数，，为偶函数，
但在单调递增，所以在单调递减，
而为偶函数且在单调递增.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，解得或，
又在上单调递增，所以，，
所以，，易知是偶函数，
所以由得，解得或.
故选：D.
3．（2023·高一课时练习）已知幂函数的表达式为，函数的图像关于轴对称，且满足，求的值．
【答案】
【详解】∵为幂函数，∴，解得；
又，∴，解得．
∵，∴或．
当时，，此时的图像关于原点对称，不合题意；
当时，，满足题意，∴．
∴．
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）函数在区间上（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
【答案】A
【详解】解：因为，
所以函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，如图所示：
由此可得函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，无最小值.
故选：A.
例题2．（2022秋·吉林白城·高一统考期末）函数，的值域是______.
【答案】
【详解】因为，
∴函数的最小值是2，又，，
∴函数的值域是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2022秋·江苏南京·高一校考期中）已知函数，，函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当时，，则.
故选：D.
2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）若函数，，则的值域为___________.
【答案】
【详解】函数，对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
，
故的值域为.
故答案为：.
3．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）已知二次函数，则的值域是___________．
【答案】
【详解】解：二次函数，
，
因为 ，
所以，
所以的值域是，
故答案为：
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：__________．
①的最小值为；②的一次项系数为；③；④．
【答案】######
【详解】第一种情况：具有①②③三个性质，由②③可设，则根据①可得：，解得，所以．
第二种情况：具有①②④三个性质，由①④可设，则根据②可得：，解得，所以．
第三种情况：具有①③④三个性质，由①④可设，则根据③可得：，解得：，所以．
第四种情况：具有②③④三个性质，由②③可设，则根据④可得：，解得，所以．
故答案为：或或或.（不唯一）
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知是二次函数且，，则_____.
【答案】
【详解】因为是二次函数且，所以设．
又因为，
所以，
整理得，所以，
解得，，所以 .
故答案为：.
例题3．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）在①不等式的解集为，②当时，取得最大值4，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知函数，且__________.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求的值.
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）若选①：由函数，且不等式的解集为，
即是方程两个实数根，且，
可得，解得，
所以；
若选②：由题意可得，解得，
故；
若选③：因为，所以图象的对称轴方程为，
则，即，
因为，所以，
故.
（2）因为在上的值域为，所以，即，
因为图象的对称轴方程为，所以在上单调递减，
则，
解得，即.
练透核心考点
1．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知二次函数的图象过点.
(1)求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）因为函数的图象过点，
所以,解得.
所以的解析式为.
，故的单调递增区间为.
（2）即为,
即，解得或.
故不等式的解集为.
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：依题意，解得，所以；
（2）解：由（1）可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
即、，所以.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________.
【答案】
【详解】解：（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即，
所以，解得，，又，得，所以.
故答案为：，
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】函数的对称轴为.
若函数在区间上单调递减，则应有，所以；
若函数在区间上单调递增，则应有，所以.
综上所述，实数k的取值范围是或.
故选：C.
例题2．（多选）（2023秋·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考期末）函数在上不单调，则实数的取值可能是（ ）
A．－1B．0
C．1D．2
【答案】BC
【详解】因为函数在上不单调，
所以，
所以，
所以，
故选：BC.
例题3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数，在上是减函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为函数在R上是减函数，
根据题意：，解得.
故答案为：.
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数在区间不单调的充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】解在区间上不单调，
又的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，
原命题的充要条件为，即，
原命题的一个充分不必要条件只有B、C选项满足，
故选：BC．
2．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】函数在上是严格减函数，依题意，，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
3．（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：因为二次函数在区间上为严格减函数，
所以，即，解得,
所以，实数的取值范围是
故答案为：
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】的对称轴为，当时，，时，
故当时，设另一根为，解得，要使定义域为时，值域为，故.
故选：B
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
时时，
函数的部分图象及在上的的图象如图所示.
所以为使函数在上的值域为，实数m的取值范围是，
故选：B.
例题3．（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知二次函数满足，请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面问题.
①；②不等式的解集为.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，由得，，即，
若选择①：则，
即，
则，，解得，，即；
若选择②：则不等式的解集为，即，且方程的两根为和4，
则，，解得，，即；
（2）由（1）知，函数开口向上，
对称轴为直线，且，，
若在上的值域为，则，
令，解得或，根据二次函数的图象知，，
综上所述：实数的取值范围为.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
【答案】C
【详解】由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得；
③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．
综上可知，a的值为或－3．
故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．1B．3C．D．1或3
【答案】B
【详解】因为函数在上为增函数，且定义域和值域都是，
所以，，解得或（舍），
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）函数在[1，m]内的值域为[4，0]，则实数m需满足___________.
【答案】[1，3]
【详解】由可得，或，
因为，
所以，
因为函数在[1，m]内的值域为[4，0]，
所以，即实数m的范围为[1，3]，
故答案为：[1，3]
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）求函数，的最小值.
【答案】
【详解】由题意知：函数开口方向向下，对称轴为，
因为，令，
当时，；
当时，.
所以函数，的最小值.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数
(1)当时，求函数的值域；
(2)当时，求函数的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
（1）
解：由题意，函数，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
综上函数在上的值域为.
（2）
解：①当时，函数在区间上单调递减，最小值为；
②当时，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，最小值为；
③当时，函数在区间上单调递增，最小值为，
综上可得：当时，函数的最小值为；当，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.
例题3．（2023·高一课时练习）已知二次函数满足，且
(1)求的解析式.
(2)求在，的最小值，并写出的函数的表达式.
【答案】(1)
(2)当时，，当时，，当时，，
【详解】（1）设，，又，，由知，
（2），对称轴为：，故当时，在上单调递增，故在处取得最小值，，当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，，当时，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值，，
所以
练透核心考点
1．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知在上单调递增，求的取值范围；
(3)求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：当时，函数，
不等式，即，解得或，
即不等式的解集为.
（2）解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
要使得在上单调递增，则满足，
所以的取值范围为.
（3）解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
当时，函数在上单调递增，所以最小值为；
当时，函数在递减，在上递增，
所以最小值为；
当时，函数在上单调递减，所以最小值为，
综上可得，在上的最小值为.
2．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数．
(1)若有两个零点，求实数m的取值范围；
(2)当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）依题意，，
则，解得或，
故实数m的取值范围为．
（2）依题意，的对称轴方程为．
当，即时，在上单调递增，此时的最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时的最小值为；
当，即时，在上单调递减，此时的最小值为．
综上，当时，的最小值为6m，当时，的最小值为，当时，的最小值为．
3．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）设函数.
(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值：
(2)设函数在区间的最小值为，求.
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)
【详解】（1）当时，，其对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
故函数在区间的最大值为，最小值为；
（2）对称轴为，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述：.
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·浙江宁波·高一统考期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，值域为，且在上有两个零点，请写出一个满足上述条件的______.
【答案】 （答案不唯一，如亦可）
【详解】根据函数自变量时，函数值域为，可考虑二次函数，
根据二次函数性质可知时，，，
令，解得，即在上有两个零点.
故答案为：（答案不唯一，如亦可）
2．（2023秋·上海闵行·高一统考期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于y轴对称，则满足条件的幂函数的表达式可以是___________（只需写出一个正确的答案）
【答案】
【详解】根据幂函数的性质，要使幂函数在上是严格减函数，则，
又因为图象关于y轴对称，所以为偶函数，
综上可知：为负偶数，
所以满足条件的幂函数的表达式可以是，
故答案为：.
3．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.
【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)
【详解】y=x和y=的图象如图所示：
∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，
故当或时，函数在上不是增函数．
故答案为：-2．
②劣够性试题
1．（2023秋·江西吉安·高一统考期末）给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为2．在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定．
已知二次函数满足，且 ．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵二次函数满足，
又，
∴，
∴，解得．
∴二次函数，
若选①：∵函数的图象与直线只有一个交点，
∴交点为函数的顶点，即，解得，
∴的解析式为；
若选②：设是函数的两个零点，则，由根与系数的关系可知，，
∴，解得．
∴的解析式为；
（2）由，得，
当时，，
令，则，
∴对任意，恒成立，等价于在上恒成立，
∴．
又在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，当时，，
∴，
即实数m的取值范围为．
2．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）从“①，；②方程有两个实数根，；③，”这三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
已知函数为二次函数，，，____________.
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围.
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.
【答案】(1)
(2)
（1）设，因为，所以.
因为，所以.
若选择①：
∵，，所以的图象的对称轴方程为，即，所以，
所以，，
故.
若选择②：
因为方程的两根为且，所以，即，
所以，，
所以.
若选择③：
∵，，即，
所以的图象的对称轴方程为且，所以，即，
所以，
所以.
（2）
由（1）知，所以，
即对一切实数x恒成立，
等价于对恒成立，
所以，解得，
故k的取值范围为.
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列是函数的单调减区间的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】由解得，
所以，
函数图象如图所示，
由图可知函数的单调减区间为和，
故选：AC
2．（多选）（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知=min{，}，下列说法正确的是（ ）
A．在区间单调递增
B．在区间单调递减
C．有最小值1
D．有最大值1
【答案】BD
【详解】画出的大致图象，如图所示：
由图象可知，在区间上不单调，在区间单调递减，故错误，正确，
当或时，取得最大值1，无最小值，故错误，正确，
故选：.
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象；
(2)方程有四个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)图象见详解
(2)
【详解】（1）,
函数的图像：
（2）当或时，函数取最小值，最小值为，且.
由图像可知，方程有四个不相等的实数根，即与有四个交点时，所以.
故的取值范围为.
4．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数是奇函数.
(1)求实数；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，当 时， ， ，
；
（2）由（1）知 ，函数的大致图像如下：
当 时，二次函数 的对称轴是 ，当 时函数 的对称轴为 ，
， ；
综上， .
②分类讨论的思想
1．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数
(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
【详解】（1）函数的对称轴，
函数在区间上单调
依题意得或，
解得或，
所以实数的取值范围为.
（2）由，
即，
即，
令
得方程的两根分别为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
2．（2022秋·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知二次函数的图象过点，且最小值为．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，该函数的最小值为，求此时t的值．
【答案】(1)
(2)1或3
【详解】（1）由题意设函数的解析式为，
由已知可得二次函数的顶点坐标为，
代入得，解得，
所以二次函数解析式为，即．
（2）由（1）知，
则其图象的开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递减，
所以当时，取得最小值，
所以，解得或（舍去），所以；
当，即时，在对称轴处取得最小值，不满足题意；
当时，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以，解得或（舍去）．
综上所述：t的值为1或3．
3．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）已知函数.
(1)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)若，求函数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）二次函数图像的对称轴为直线，
又∵在区间上具有单调性，
∴或.
∴实数a的取值范围为.
（2）由（1）易知函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，；
当时，；
当时，.
∴.
函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7221" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc7221 \h 2
\l "_Tc22738" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc22738 \h 2
\l "_Tc7433" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc7433 \h 3
\l "_Tc18734" 高频考点一：幂函数的定义 PAGEREF _Tc18734 \h 3
\l "_Tc26004" 角度1：求幂函数的值 PAGEREF _Tc26004 \h 3
\l "_Tc19540" 角度2：求幂函数的解析式 PAGEREF _Tc19540 \h 3
\l "_Tc18670" 角度3：由幂函数求参数 PAGEREF _Tc18670 \h 4
\l "_Tc21118" 高频考点二：幂函数的值域 PAGEREF _Tc21118 \h 4
\l "_Tc16872" 高频考点三：幂函数图象 PAGEREF _Tc16872 \h 5
\l "_Tc28875" 角度1：判断幂函数图象 PAGEREF _Tc28875 \h 5
\l "_Tc18537" 角度2：幂函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc18537 \h 7
\l "_Tc16813" 高频考点四：幂函数单调性 PAGEREF _Tc16813 \h 8
\l "_Tc3770" 角度1：判断幂函数的单调性 PAGEREF _Tc3770 \h 8
\l "_Tc4467" 角度2：由幂函数单调性求参数 PAGEREF _Tc4467 \h 9
\l "_Tc20054" 角度3：由幂函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc20054 \h 9
\l "_Tc119" 高频考点五：幂函数的奇偶性 PAGEREF _Tc119 \h 10
\l "_Tc18409" 高频考点六：二次函数 PAGEREF _Tc18409 \h 11
\l "_Tc20352" 角度1：二次函数值域问题 PAGEREF _Tc20352 \h 11
\l "_Tc30891" 角度2：求二次函数解析式 PAGEREF _Tc30891 \h 12
\l "_Tc28745" 角度3：由二次函数单调性（区间）求参数 PAGEREF _Tc28745 \h 14
\l "_Tc22335" 角度4：根据二次函数最值（值域）求参数 PAGEREF _Tc22335 \h 15
\l "_Tc862" 角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题 PAGEREF _Tc862 \h 16
\l "_Tc15534" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc15534 \h 18
\l "_Tc30115" ①开放性试题 PAGEREF _Tc30115 \h 18
\l "_Tc583" ②劣够性试题 PAGEREF _Tc583 \h 18
\l "_Tc17213" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc17213 \h 19
\l "_Tc25445" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc25445 \h 19
\l "_Tc21185" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc21185 \h 20
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第一部分：知识点必背
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
（2）五种常见幂函数
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
2、二次函数
形如的函数叫做二次函数.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（ ）．
A．B．4C．D．8
例题2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）若函数是幂函数，且在上单调递增，则___________.
练透核心考点
1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
2．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．0
例题2．（2023秋·北京·高一校考期末）若点在幂函数的图像上，则的值为__________.
练透核心考点
1．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则_________.
2．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则___________．
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2023·湖南湘西·高一统考）已知幂函数的图像不过原点，则实数的值为（ ）
A．1B．2
C．－2D．1或2
例题2．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考）已知函数是幂函数，则实数__________.
练透核心考点
1．（2022秋·四川宜宾·高一统考期末）若是定义域为的幂函数，则_________.
2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）已知幂函数在上为增函数，则___________.
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考）已知函数，为何值时,
(1)是幂函数；
(2)是二次函数.
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·江苏·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
练透核心考点
1．（2022秋·广东广州·高一广州市第一一三中学校考期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高一课时练习）函数，其中，则其值域为___________.
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么________.
练透核心考点
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知某幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一课时练习）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）当时，函数的图象恒过定点，则点的坐标为________．
例题2．（2023·高一课时练习）幂函数的图像恒过定点______．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数恒过定点______．
2．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（2023春·云南文山·高二校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．
A．B．C．D．
例题2．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ）
A．-2B．C．2D．3
例题3．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）若幂函数为减函数，则实数的值为______.
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知幂函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．1或B．C．1D．
2．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数的单调增区间是______.
3．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数在其定义域上的单调性是______.
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·河北承德·高一统考期末）若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．3B．1或3C．4D．4或6
例题2．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考开学考试）“”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充要
例题3．（2023秋·四川内江·高一统考期末）已知在区间上是单调增函数，则的取值范围为______.
练透核心考点
1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为___________.
2．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知实数，若幂函数为偶函数，且在上严格递减，则实数__________．
3．（2023秋·安徽宣城·高一统考期末）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数__________.
角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数经过点，则不等式的解集为___________．
例题3．（2023春·高一校考开学考试）已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．
(1)求的值；
(2)解不等式．
练透核心考点
1．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是______.
2．（2023·高一课时练习）关于的不等式的解集为__________.
3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2023秋·江苏常州·高一统考期末）下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（ ）．
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为__________.
例题3．（2023秋·江西新余·高一统考期末）已知幂函数的图像关于轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·高一课时练习）已知幂函数的表达式为，函数的图像关于轴对称，且满足，求的值．
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）函数在区间上（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
例题2．（2022秋·吉林白城·高一统考期末）函数，的值域是______.
练透核心考点
1．（2022秋·江苏南京·高一校考期中）已知函数，，函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）若函数，，则的值域为___________.
3．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）已知二次函数，则的值域是___________．
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：__________．
①的最小值为；②的一次项系数为；③；④．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知是二次函数且，，则_____.
例题3．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）在①不等式的解集为，②当时，取得最大值4，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知函数，且__________.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求的值.
练透核心考点
1．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知二次函数的图象过点.
(1)求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）；
(2)求不等式的解集．
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________.
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（2023秋·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考期末）函数在上不单调，则实数的取值可能是（ ）
A．－1B．0
C．1D．2
例题3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数，在上是减函数，则实数的取值范围是________．
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数在区间不单调的充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是_____________．
3．（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知二次函数满足，请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面问题.
①；②不等式的解集为.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．1B．3C．D．1或3
（2023·全国·高三专题练习）函数在[1，m]内的值域为[4，0]，则实数m需满足___________.
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）求函数，的最小值.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数
(1)当时，求函数的值域；
(2)当时，求函数的最小值．
例题3．（2023·高一课时练习）已知二次函数满足，且
(1)求的解析式.
(2)求在，的最小值，并写出的函数的表达式.
练透核心考点
1．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知在上单调递增，求的取值范围；
(3)求在上的最小值.
2．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数．
(1)若有两个零点，求实数m的取值范围；
(2)当时，求的最小值．
3．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）设函数.
(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值：
(2)设函数在区间的最小值为，求.
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·浙江宁波·高一统考期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，值域为，且在上有两个零点，请写出一个满足上述条件的______.
2．（2023秋·上海闵行·高一统考期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于y轴对称，则满足条件的幂函数的表达式可以是___________（只需写出一个正确的答案）
3．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.
②劣够性试题
1．（2023秋·江西吉安·高一统考期末）给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为2．在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定．
已知二次函数满足，且 ．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
2．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）从“①，；②方程有两个实数根，；③，”这三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
已知函数为二次函数，，，____________.
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围.
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列是函数的单调减区间的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知=min{，}，下列说法正确的是（ ）
A．在区间单调递增
B．在区间单调递减
C．有最小值1
D．有最大值1
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象；
(2)方程有四个不相等的实数根，求实数的取值范围.
4．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数是奇函数.
(1)求实数；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
②分类讨论的思想
1．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数
(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
(2)解不等式．
2．（2022秋·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知二次函数的图象过点，且最小值为．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，该函数的最小值为，求此时t的值．
3．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）已知函数.
(1)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)若，求函数的最小值.函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
第04讲 幂函数与二次函数 (精讲）
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7221" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc7221 \h 2
\l "_Tc22738" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc22738 \h 3
\l "_Tc7433" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc7433 \h 4
\l "_Tc18734" 高频考点一：幂函数的定义 PAGEREF _Tc18734 \h 4
\l "_Tc26004" 角度1：求幂函数的值 PAGEREF _Tc26004 \h 4
\l "_Tc19540" 角度2：求幂函数的解析式 PAGEREF _Tc19540 \h 5
\l "_Tc18670" 角度3：由幂函数求参数 PAGEREF _Tc18670 \h 6
\l "_Tc21118" 高频考点二：幂函数的值域 PAGEREF _Tc21118 \h 8
\l "_Tc16872" 高频考点三：幂函数图象 PAGEREF _Tc16872 \h 9
\l "_Tc28875" 角度1：判断幂函数图象 PAGEREF _Tc28875 \h 9
\l "_Tc18537" 角度2：幂函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc18537 \h 13
\l "_Tc16813" 高频考点四：幂函数单调性 PAGEREF _Tc16813 \h 14
\l "_Tc3770" 角度1：判断幂函数的单调性 PAGEREF _Tc3770 \h 14
\l "_Tc4467" 角度2：由幂函数单调性求参数 PAGEREF _Tc4467 \h 16
\l "_Tc20054" 角度3：由幂函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc20054 \h 17
\l "_Tc119" 高频考点五：幂函数的奇偶性 PAGEREF _Tc119 \h 20
\l "_Tc18409" 高频考点六：二次函数 PAGEREF _Tc18409 \h 23
\l "_Tc20352" 角度1：二次函数值域问题 PAGEREF _Tc20352 \h 23
\l "_Tc30891" 角度2：求二次函数解析式 PAGEREF _Tc30891 \h 24
\l "_Tc28745" 角度3：由二次函数单调性（区间）求参数 PAGEREF _Tc28745 \h 27
\l "_Tc22335" 角度4：根据二次函数最值（值域）求参数 PAGEREF _Tc22335 \h 29
\l "_Tc862" 角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题 PAGEREF _Tc862 \h 32
\l "_Tc15534" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc15534 \h 36
\l "_Tc30115" ①开放性试题 PAGEREF _Tc30115 \h 36
\l "_Tc583" ②劣够性试题 PAGEREF _Tc583 \h 37
\l "_Tc17213" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc17213 \h 39
\l "_Tc25445" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc25445 \h 39
\l "_Tc21185" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc21185 \h 42
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第一部分：知识点必背
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
（2）五种常见幂函数
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
2、二次函数
形如的函数叫做二次函数.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，故.
故答案为：C.
2．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（ ）．
A．B．4C．D．8
【答案】C
【详解】因为函数为幂函数，所以可设f（x）＝xa，
因为图象过，
所以 ，
所以，即，
所以
故选：C
例题2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）若函数是幂函数，且在上单调递增，则___________.
【答案】
【详解】因为函数是幂函数，且在上单调递增，
所以，解得，
所以，
所以，
故答案为：2
练透核心考点
1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】B
【详解】设幂函数为，图象过点，故，故，
，.
故选：B
2．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【详解】，，，代入分别是，
在定义域内，即是偶函数，因此取值或0，
时，在上不是减函数，
只有满足，此时，，
．
故选：B．
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】C
【详解】由为幂函数，知.又函数图像过点，则，故.
故选：C
例题2．（2023秋·北京·高一校考期末）若点在幂函数的图像上，则的值为__________.
【答案】3
【详解】因为为幂函数，则，，
即，
又点在函数的图像上，
则，解得，
所以
故答案为：3.
练透核心考点
1．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则_________.
【答案】
【详解】设函数，又因为幂函数的图象过点，
所以，解得：，所以函数，
故答案为：.
2．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则___________．
【答案】
【详解】设幂函数为为常数)，因为幂函数过点，
所以，则，
所以，
故答案为：.
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2023·湖南湘西·高一统考）已知幂函数的图像不过原点，则实数的值为（ ）
A．1B．2
C．－2D．1或2
【答案】A
【详解】函数是幂函数，
，解得或．
当时，，图像不过原点，符合题意；
当时，，图像过原点，不符合题意．
故选：A．
例题2．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考）已知函数是幂函数，则实数__________.
【答案】2
【详解】因为函数是幂函数，则，解得，
所以.
故答案为：2
练透核心考点
1．（2022秋·四川宜宾·高一统考期末）若是定义域为的幂函数，则_________.
【答案】
【详解】因为是幂函数，则有，解得，
此时函数的定义域为，符合题意，所以.
故答案为：1
2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）已知幂函数在上为增函数，则___________.
【答案】
【详解】因为幂函数在上为增函数，则，解得.
故答案为：.
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考）已知函数，为何值时,
(1)是幂函数；
(2)是二次函数.
【答案】(1)或；
(2).
【详解】（1）解：因为函数为幂函数，则，
解得或.
（2）解：因为函数为二次函数，则，
解得，此时符合题意.
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，定义域、值域相同；
由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，，定义域、值域不相同.
故选：D
例题2．（2022·江苏·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
【答案】(1)或或
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）解：依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或
（2）解：若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；
若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
（3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
练透核心考点
1．（2022秋·广东广州·高一广州市第一一三中学校考期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，
代入点得
，
则，令，
函数的值域是.
故选：C.
2．（2023·高一课时练习）函数，其中，则其值域为___________.
【答案】##
【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为.
故答案为：
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，因为的图象经过点，
所以，即，解得，则，
因为，所以为偶函数，排除B、D，
因为的定义域为，排除A．
因为在内单调递增，结合偶函数可得在内单调递减，故C满足，
故选：C.
例题2．（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【答案】A
【详解】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；
，其图像应与④对应．
故选：A．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么________.
【答案】
【详解】，点，，
所以，，
将两点坐标分别代入，，
得，，
，
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】设幂函数，将点代入，得，解得，
所以，定义域为，且在定义域内单调递增，大致图像为B，
故选：B．
2．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知某幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：设幂函数为，由函数过点，
所以，即，所以，解得，
所以，则函数的定义域为，且，
故为偶函数，且函数在上单调递减，则函数在上单调递增，
故符合题意的为D；
故选：D
3．（2023·高一课时练习）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．
故选：C
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）当时，函数的图象恒过定点，则点的坐标为________．
【答案】
【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,
故答案为：
例题2．（2023·高一课时练习）幂函数的图像恒过定点______．
【答案】
【详解】幂函数的图像恒过定点.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数恒过定点______．
【答案】
【详解】当，即时，，函数恒过定点.
故答案为：.
2．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．
【答案】
【详解】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
故答案为：.
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（2023春·云南文山·高二校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】A：一次函数的性质知在上是减函数，不合题意．
B：定义域为R且，为非奇非偶且是减函数，不合题意；
C：定义域为R且，为偶函数且在R上不单调，不合题意．
D：定义域为R且，为奇函数且在上是增函数，符合题意.
故选：D．
例题2．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ）
A．-2B．C．2D．3
【答案】C
【详解】对选项A：，，函数在上单调递减，错误；
对选项B：，，函数定义域为，不是偶函数，错误；
对选项C：，，函数定义域为，，函数为偶函数，且在上单调递增，正确；
对选项D：，，函数定义域为，，函数为奇函数，错误；
故选：C
例题3．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）若幂函数为减函数，则实数的值为______.
【答案】
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，满足在区间上是减函数，
当时，，不满足在区间上是减函数，
故答案为：
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知幂函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．1或B．C．1D．
【答案】C
【详解】由幂函数定义得，解得：或．
当时，，利用幂函数性质知：在上单调递减；
当时，，利用幂函数性质知：在上单调递增，不符题意舍去.
故选：C.
2．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数的单调增区间是______.
【答案】
【详解】在上递增，在上递增，
所以函数的单调增区间是.
故答案为：
3．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数在其定义域上的单调性是______.
【答案】单调递增
【详解】幂函数，定义域，指数为，满足，
故函数在其定义域上的单调性是单调递增，
故答案为：单调递增.
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·河北承德·高一统考期末）若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．3B．1或3C．4D．4或6
【答案】A
【详解】解：因为幂函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：A
例题2．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考开学考试）“”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充要
【答案】D
【详解】解：因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
所以“”是“幂函数在上单调递减”的充要条件.
故选：D
例题3．（2023秋·四川内江·高一统考期末）已知在区间上是单调增函数，则的取值范围为______.
【答案】
【详解】由在区间上是单调增函数，有，解得，则a的取值范围为.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为___________.
【答案】1
【详解】根据幂函数的定义可得，解得或，
当时，在上单调递减，不合题意；
当时，在上单调递增，符合题意.
故答案为：.
2．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知实数，若幂函数为偶函数，且在上严格递减，则实数__________．
【答案】
【详解】因在上单调递减，则；又为偶函数，则
.
故答案为：.
3．（2023秋·安徽宣城·高一统考期末）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数__________.
【答案】或3
【详解】函数是幂函数，且在上单调递增，
则有，解得或.
故答案为：或3
角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设幂函数，其图象过点，所以，解得，
所以.
因为，所以为奇函数，且在上单调递增，
所以可化为，
可得，解得，所以的取值范围为.
故选:C.
例题2．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数经过点，则不等式的解集为___________．
【答案】
【详解】设幂函数，
由题意得，解得，故，，
则，即为，
根据在上为单调增函数，则有，
解得，故解集为，
故答案为：．
例题3．（2023春·高一校考开学考试）已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．
(1)求的值；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为幂函数(Z)的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，
为偶数，为奇数，
因为函数在上是单调递减函数，所以，解得，
因为Z，则，，，
当时，为偶数，舍去；
当时，为奇数，
当时，为偶数，舍去；
故；
（2）由（1）可得，定义域为，且在上是单调递减函数，为偶函数，
又，即，且，解得且，
所以不等式的解集为．
练透核心考点
1．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】设幂函数，，
因为幂函数的图象过点，所以，解得，
所以，的定义域为，且在上单调递减，
因为，所以，解得，
故答案为：
2．（2023·高一课时练习）关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【详解】因为函数的定义域为，
由，可得为奇函数，
因为，所以在和上单调递减，
当即时，
由可得，解得，
所以，
当，即或时，
由可得，解得，
所以，
综上所述：原不等式的解集为，
故答案为：.
3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知幂函数，则，解得或，
所以或，又函数为偶函数，所以；
（2）由于幂函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在单调递减，
若，则，平方后解得，
所以x的取值范围是.
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2023秋·江苏常州·高一统考期末）下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对选项A，在为增函数，故A错误.
对选项B，在为增函数，故B错误.
对选项C，在为减函数，
设，定义域为，
，所以为偶函数，故C错误.
对选项D，在为减函数，
设，定义域为，
，所以为奇函数，故D正确.
故选：D
例题2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为__________.
【答案】
【详解】为幂函数，，解得：或；
当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不合题意；
综上所述：.
故答案为：.
例题3．（2023秋·江西新余·高一统考期末）已知幂函数的图像关于轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或．
又的图像关于y轴对称，所以，
故．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故在上的值域为．
练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：为奇函数，，为偶函数，
但在单调递增，所以在单调递减，
而为偶函数且在单调递增.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，解得或，
又在上单调递增，所以，，
所以，，易知是偶函数，
所以由得，解得或.
故选：D.
3．（2023·高一课时练习）已知幂函数的表达式为，函数的图像关于轴对称，且满足，求的值．
【答案】
【详解】∵为幂函数，∴，解得；
又，∴，解得．
∵，∴或．
当时，，此时的图像关于原点对称，不合题意；
当时，，满足题意，∴．
∴．
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）函数在区间上（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
【答案】A
【详解】解：因为，
所以函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，如图所示：
由此可得函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，无最小值.
故选：A.
例题2．（2022秋·吉林白城·高一统考期末）函数，的值域是______.
【答案】
【详解】因为，
∴函数的最小值是2，又，，
∴函数的值域是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2022秋·江苏南京·高一校考期中）已知函数，，函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当时，，则.
故选：D.
2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）若函数，，则的值域为___________.
【答案】
【详解】函数，对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
，
故的值域为.
故答案为：.
3．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）已知二次函数，则的值域是___________．
【答案】
【详解】解：二次函数，
，
因为 ，
所以，
所以的值域是，
故答案为：
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：__________．
①的最小值为；②的一次项系数为；③；④．
【答案】######
【详解】第一种情况：具有①②③三个性质，由②③可设，则根据①可得：，解得，所以．
第二种情况：具有①②④三个性质，由①④可设，则根据②可得：，解得，所以．
第三种情况：具有①③④三个性质，由①④可设，则根据③可得：，解得：，所以．
第四种情况：具有②③④三个性质，由②③可设，则根据④可得：，解得，所以．
故答案为：或或或.（不唯一）
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知是二次函数且，，则_____.
【答案】
【详解】因为是二次函数且，所以设．
又因为，
所以，
整理得，所以，
解得，，所以 .
故答案为：.
例题3．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）在①不等式的解集为，②当时，取得最大值4，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知函数，且__________.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求的值.
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）若选①：由函数，且不等式的解集为，
即是方程两个实数根，且，
可得，解得，
所以；
若选②：由题意可得，解得，
故；
若选③：因为，所以图象的对称轴方程为，
则，即，
因为，所以，
故.
（2）因为在上的值域为，所以，即，
因为图象的对称轴方程为，所以在上单调递减，
则，
解得，即.
练透核心考点
1．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知二次函数的图象过点.
(1)求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）因为函数的图象过点，
所以,解得.
所以的解析式为.
，故的单调递增区间为.
（2）即为,
即，解得或.
故不等式的解集为.
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：依题意，解得，所以；
（2）解：由（1）可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
即、，所以.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________.
【答案】
【详解】解：（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即，
所以，解得，，又，得，所以.
故答案为：，
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】函数的对称轴为.
若函数在区间上单调递减，则应有，所以；
若函数在区间上单调递增，则应有，所以.
综上所述，实数k的取值范围是或.
故选：C.
例题2．（多选）（2023秋·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考期末）函数在上不单调，则实数的取值可能是（ ）
A．－1B．0
C．1D．2
【答案】BC
【详解】因为函数在上不单调，
所以，
所以，
所以，
故选：BC.
例题3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数，在上是减函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为函数在R上是减函数，
根据题意：，解得.
故答案为：.
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数在区间不单调的充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】解在区间上不单调，
又的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，
原命题的充要条件为，即，
原命题的一个充分不必要条件只有B、C选项满足，
故选：BC．
2．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】函数在上是严格减函数，依题意，，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
3．（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：因为二次函数在区间上为严格减函数，
所以，即，解得,
所以，实数的取值范围是
故答案为：
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】的对称轴为，当时，，时，
故当时，设另一根为，解得，要使定义域为时，值域为，故.
故选：B
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
时时，
函数的部分图象及在上的的图象如图所示.
所以为使函数在上的值域为，实数m的取值范围是，
故选：B.
例题3．（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知二次函数满足，请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面问题.
①；②不等式的解集为.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，由得，，即，
若选择①：则，
即，
则，，解得，，即；
若选择②：则不等式的解集为，即，且方程的两根为和4，
则，，解得，，即；
（2）由（1）知，函数开口向上，
对称轴为直线，且，，
若在上的值域为，则，
令，解得或，根据二次函数的图象知，，
综上所述：实数的取值范围为.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
【答案】C
【详解】由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得；
③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．
综上可知，a的值为或－3．
故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．1B．3C．D．1或3
【答案】B
【详解】因为函数在上为增函数，且定义域和值域都是，
所以，，解得或（舍），
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）函数在[1，m]内的值域为[4，0]，则实数m需满足___________.
【答案】[1，3]
【详解】由可得，或，
因为，
所以，
因为函数在[1，m]内的值域为[4，0]，
所以，即实数m的范围为[1，3]，
故答案为：[1，3]
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）求函数，的最小值.
【答案】
【详解】由题意知：函数开口方向向下，对称轴为，
因为，令，
当时，；
当时，.
所以函数，的最小值.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数
(1)当时，求函数的值域；
(2)当时，求函数的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
（1）
解：由题意，函数，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
综上函数在上的值域为.
（2）
解：①当时，函数在区间上单调递减，最小值为；
②当时，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，最小值为；
③当时，函数在区间上单调递增，最小值为，
综上可得：当时，函数的最小值为；当，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.
例题3．（2023·高一课时练习）已知二次函数满足，且
(1)求的解析式.
(2)求在，的最小值，并写出的函数的表达式.
【答案】(1)
(2)当时，，当时，，当时，，
【详解】（1）设，，又，，由知，
（2），对称轴为：，故当时，在上单调递增，故在处取得最小值，，当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，，当时，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值，，
所以
练透核心考点
1．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知在上单调递增，求的取值范围；
(3)求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：当时，函数，
不等式，即，解得或，
即不等式的解集为.
（2）解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
要使得在上单调递增，则满足，
所以的取值范围为.
（3）解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
当时，函数在上单调递增，所以最小值为；
当时，函数在递减，在上递增，
所以最小值为；
当时，函数在上单调递减，所以最小值为，
综上可得，在上的最小值为.
2．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数．
(1)若有两个零点，求实数m的取值范围；
(2)当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）依题意，，
则，解得或，
故实数m的取值范围为．
（2）依题意，的对称轴方程为．
当，即时，在上单调递增，此时的最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时的最小值为；
当，即时，在上单调递减，此时的最小值为．
综上，当时，的最小值为6m，当时，的最小值为，当时，的最小值为．
3．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）设函数.
(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值：
(2)设函数在区间的最小值为，求.
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)
【详解】（1）当时，，其对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
故函数在区间的最大值为，最小值为；
（2）对称轴为，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述：.
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·浙江宁波·高一统考期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，值域为，且在上有两个零点，请写出一个满足上述条件的______.
【答案】 （答案不唯一，如亦可）
【详解】根据函数自变量时，函数值域为，可考虑二次函数，
根据二次函数性质可知时，，，
令，解得，即在上有两个零点.
故答案为：（答案不唯一，如亦可）
2．（2023秋·上海闵行·高一统考期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于y轴对称，则满足条件的幂函数的表达式可以是___________（只需写出一个正确的答案）
【答案】
【详解】根据幂函数的性质，要使幂函数在上是严格减函数，则，
又因为图象关于y轴对称，所以为偶函数，
综上可知：为负偶数，
所以满足条件的幂函数的表达式可以是，
故答案为：.
3．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.
【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)
【详解】y=x和y=的图象如图所示：
∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，
故当或时，函数在上不是增函数．
故答案为：-2．
②劣够性试题
1．（2023秋·江西吉安·高一统考期末）给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为2．在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定．
已知二次函数满足，且 ．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵二次函数满足，
又，
∴，
∴，解得．
∴二次函数，
若选①：∵函数的图象与直线只有一个交点，
∴交点为函数的顶点，即，解得，
∴的解析式为；
若选②：设是函数的两个零点，则，由根与系数的关系可知，，
∴，解得．
∴的解析式为；
（2）由，得，
当时，，
令，则，
∴对任意，恒成立，等价于在上恒成立，
∴．
又在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，当时，，
∴，
即实数m的取值范围为．
2．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）从“①，；②方程有两个实数根，；③，”这三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
已知函数为二次函数，，，____________.
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围.
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.
【答案】(1)
(2)
（1）设，因为，所以.
因为，所以.
若选择①：
∵，，所以的图象的对称轴方程为，即，所以，
所以，，
故.
若选择②：
因为方程的两根为且，所以，即，
所以，，
所以.
若选择③：
∵，，即，
所以的图象的对称轴方程为且，所以，即，
所以，
所以.
（2）
由（1）知，所以，
即对一切实数x恒成立，
等价于对恒成立，
所以，解得，
故k的取值范围为.
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列是函数的单调减区间的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】由解得，
所以，
函数图象如图所示，
由图可知函数的单调减区间为和，
故选：AC
2．（多选）（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知=min{，}，下列说法正确的是（ ）
A．在区间单调递增
B．在区间单调递减
C．有最小值1
D．有最大值1
【答案】BD
【详解】画出的大致图象，如图所示：
由图象可知，在区间上不单调，在区间单调递减，故错误，正确，
当或时，取得最大值1，无最小值，故错误，正确，
故选：.
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象；
(2)方程有四个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)图象见详解
(2)
【详解】（1）,
函数的图像：
（2）当或时，函数取最小值，最小值为，且.
由图像可知，方程有四个不相等的实数根，即与有四个交点时，所以.
故的取值范围为.
4．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数是奇函数.
(1)求实数；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，当 时， ， ，
；
（2）由（1）知 ，函数的大致图像如下：
当 时，二次函数 的对称轴是 ，当 时函数 的对称轴为 ，
， ；
综上， .
②分类讨论的思想
1．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数
(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
【详解】（1）函数的对称轴，
函数在区间上单调
依题意得或，
解得或，
所以实数的取值范围为.
（2）由，
即，
即，
令
得方程的两根分别为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
2．（2022秋·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知二次函数的图象过点，且最小值为．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，该函数的最小值为，求此时t的值．
【答案】(1)
(2)1或3
【详解】（1）由题意设函数的解析式为，
由已知可得二次函数的顶点坐标为，
代入得，解得，
所以二次函数解析式为，即．
（2）由（1）知，
则其图象的开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递减，
所以当时，取得最小值，
所以，解得或（舍去），所以；
当，即时，在对称轴处取得最小值，不满足题意；
当时，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以，解得或（舍去）．
综上所述：t的值为1或3．
3．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）已知函数.
(1)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)若，求函数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）二次函数图像的对称轴为直线，
又∵在区间上具有单调性，
∴或.
∴实数a的取值范围为.
（2）由（1）易知函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，；
当时，；
当时，.
∴.
函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
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