2023年江苏省徐州市中考数学试卷(含解析)

这是一份2023年江苏省徐州市中考数学试卷(含解析)，共32页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省徐州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）.
1．（3分）下列事件中的必然事件是　　
A．地球绕着太阳转
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2．（3分）下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）如图，数轴上点、、、分别对应实数、、、，下列各式的值最小的是　　

A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
5．（3分）徐州云龙山共九节，蜿蜒起伏，形似游龙，每节山的海拔如图所示．

其中，海拔为中位数的是　　
A．第五节山 B．第六节山 C．第八节山 D．第九节山
6．（3分）的值介于　　
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
7．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为　　
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，且，则的长为　　

A．1 B．2 C．1或 D．1或2
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 　　（写出一个即可）．
10．（3分）“五一”假期我市共接待游客约4370000人次，将4370000用科学记数法表示为 　　．
11．（3分）若有意义，则的取值范围是 　　．
12．（3分）正五边形的一个外角等于　　．
13．（3分）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为 　　．
14．（3分）如图，在中，若，，，，则　　．

15．（3分）如图，在中，直径与弦交于点．，连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则　　．

16．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径为 　　．

17．（3分）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，．一次函数的图象与交于点，若为的中点，则的值为 　　．

18．（3分）如图，在中，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 　　．

三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）（1）解方程组；
（2）解不等式组．
21．（7分）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 　　；
（2）扇形统计图中对应圆心角的度数为 　　；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
22．（7分）甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？
23．（8分）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，求甲路线的行驶时间．

24．（8分）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．
（1）求关于的函数表达式；
（2）当取何值时，四边形的面积为10？
（3）四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

25．（8分）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：，，，，，

26．（8分）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．

（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 　　；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
27．（10分）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，，由勾股定理，得同理，故．
【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，，，．
求证：．
【尝试应用】如图4，在矩形中，若，，点在边上，则的最小值为 　　．

28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点、，顶点为．连接、，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点、分别在线段、上，连接、、，与交于点，．
（1）求点、的坐标；
（2）随着点在线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，的面积为 　　．



参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）.
1．（3分）下列事件中的必然事件是　　
A．地球绕着太阳转
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义对4个选项进行分析．
解：地球绕着太阳转是必然事件，所以符合题意；
射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，所以不符合题意；
天空出现三个太阳是不可能事件，所以不符合题意；
经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，难度不大，认真分析即可．
2．（3分）下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）如图，数轴上点、、、分别对应实数、、、，下列各式的值最小的是　　

A． B． C． D．
【分析】结合数轴得出，，，四个数的绝对值大小进行判断即可．
解：由数轴可得点离原点距离最远，其次是点，再次是点，点离原点距离最近，
则，
其中值最小的是，
故选：．
【点评】本题考查实数与数轴的关系及绝对值的几何意义，离原点越近的点所表示的数的绝对值越小是解题的关键．
4．（3分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、合并同类项法则分别进行判断即可．
解：、，故此选项不符合题意；
、，故此选项符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则，熟练掌握这些法则是解题的关键．
5．（3分）徐州云龙山共九节，蜿蜒起伏，形似游龙，每节山的海拔如图所示．

其中，海拔为中位数的是　　
A．第五节山 B．第六节山 C．第八节山 D．第九节山
【分析】排序后找到位于中间位置的数即可．
解：观察折线图发现：排序后位于中间位置的数为．
故选：．
【点评】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的概念，难度较小．
6．（3分）的值介于　　
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行估算即可．
解：，
，
即，
故选：．
【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
解：将二次函数的图集向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为，即．
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数的几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．
8．（3分）如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，且，则的长为　　

A．1 B．2 C．1或 D．1或2
【分析】由直角三角形的性质可求，，，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解．
解：在中，，，，
，，，
点是的中点，
，
，
，
如图，当时，

，，
，
，
，
如图，当时，取的中点，连接，

点是中点，点是的中点，
，，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 　3或4或5或6或7（答案不唯一）　（写出一个即可）．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边确定第三边的范围，根据题意计算即可．
解：设三角形的第三边长为，
则，即，
第三边的长为整数，
或4或5或6或7．
故答案为：3或4或5或6或7（答案不唯一）．
10．（3分）“五一”假期我市共接待游客约4370000人次，将4370000用科学记数法表示为 　　．
【分析】科学记数法的表示形式为，据此解答即可．
解：，
故答案为：．
为整数，表示时关键要正确确定和的值．
11．（3分）若有意义，则的取值范围是 　　．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于0解答即可．
解：若有意义，
则，
，
即的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知：若有意义，则．
12．（3分）正五边形的一个外角等于　72　．
【分析】根据多边形的外角和是，即可求解．
解：正五边形的一个外角，
故答案为：72．
13．（3分）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为 　4　．
解：根据题意得△，
解得．
故答案为：4．
14．（3分）如图，在中，若，，，，则　55　．

解：，，
，
，，
，
，
故答案为：55．
15．（3分）如图，在中，直径与弦交于点．，连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则　66　．

解：如图，连接，，

是的切线，是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
故答案为：66．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，熟知：圆的切线垂直于过切点的半径；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
16．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径为 　2　．

【分析】首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径．
解：由题意得：母线，，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆锥的计算及其应用问题，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
17．（3分）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，．一次函数的图象与交于点，若为的中点，则的值为 　4　．

【分析】设一次函数图象与轴的交点为，与轴的交点为，则，，易证得四边形是正方形，则轴，，即可证得，求得，由为的中点，可知为的中点，得出，从而得出，利用待定系数法即可求得．
解：设一次函数图象与轴的交点为，与轴的交点为，则，，
，
轴于点，轴于点，，
四边形是正方形，
轴，，
，
，
，
为的中点，
为的中点，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：4．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键．
18．（3分）如图，在中，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 　　．

【分析】由折叠性质可知，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．
解：，，
，
由折叠的性质可知，
，
当、、三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为，
故答案为．
【点评】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据绝对值、零指数幂法则、负整数指数幂法则、算术平方根的意义进行计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
解：（1）

；
（2）


．
【点评】本题考查了分式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（10分）（1）解方程组；
（2）解不等式组．
【分析】（1）利用代入消元法，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：（1），
把①代入②中得：
，
解得：，
把代入①得：
，
原方程组的解为：．
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（7分）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 　450　；
（2）扇形统计图中对应圆心角的度数为 　　；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
【分析】（1）用的人数除以所占百分比可得样本容量；
（2）用乘所占比例可得答案；
（3）用样本容量分别减去其它三部分的人数，可得的人数，进而补全条形统计图；
（4）用该地区九年级学生总人数乘样本中所占比例即可．
解：（1）此次调查的样本容量为：，
故答案为：450；
（2）扇形统计图中对应圆心角的度数为：，
故答案为：36；
（3）样本中的人数为：（人，
补全条形统计图如下：

（4）（人，
答：其中视力正常的人数大约为2500人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（7分）甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？
【分析】画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲，乙、丙三人选择相同景点的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：把纪念塔、纪念馆这两个景点分别记为、，
画树状图如下：

共有8种等可能的结果，其中甲，乙、丙三人选择相同景点的结果有2种，
甲，乙、丙三人选择相同景点的概率为．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，求甲路线的行驶时间．

【分析】设甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶时间为，根据甲路线的平均速度为乙路线的倍，列出分式方程，解方程即可．
解：设甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶时间为，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：甲路线的行驶时间为．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（8分）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．
（1）求关于的函数表达式；
（2）当取何值时，四边形的面积为10？
（3）四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据正方形和全等三角形的性质得到，，，，，，根据勾股定理即可得到结论；
（2）当解方程即可得到结论；
（3）把二次函数化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）正方形纸片的边长为4，4个直角三角形全等，
，，，，，，，
，
，
四边形是正方形，
；
（2）当时，即，
解得或，
答：当取1或3时，四边形的面积为10；
（3），
，
有最小值，最小值为8．
即四边形的面积有最小值，最小值为8．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的性质，二次函数的性质，熟练掌握正方形和全等三角形的性质是解题的关键．
25．（8分）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：，，，，，

【分析】根据题意可得：，，，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
解：由题意得：，，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
电视塔的高度约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．（8分）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．

（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 　　；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；
（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；
②先确定好圆的圆心，然后根据平行线 所截线段成比例可进行作图．
解：（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，
它们的面积之比为 8 ；
故答案为；
（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为、、，则分别以、为圆心，大于 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段，的垂直平分线的交点即为圆心，过圆心画一条直径，以为圆心，内圆半径 为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可，由作图可知满足比例关系为的关系，符合“肉好若一”；

②按照①中作出圆的圆心，过圆心画一条直径，过点作一条射线，然后以为圆心，适当长为半 径画弧，把射线三等分，交点分别为、、，连接，然后分别过点、作的平行线，交于 点、，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：

【点评】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的有关知识，属于中考常考题型．
27．（10分）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，，由勾股定理，得同理，故．
【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，，，．
求证：．
【尝试应用】如图4，在矩形中，若，，点在边上，则的最小值为 　200　．

【分析】【阅读理解】根据矩形对角线相等可得，最后由勾股定理可得结论；
【探究发现】首先作于，于，根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出，；然后根据勾股定理，可得，，，再根据，，即可推得结论；
【拓展提升】根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，由【探究发现】，可得，于是得到结论；
【尝试应用】过作于，根据矩形的性质得到，，，设，，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．
【解答】【阅读理解】解：如图1，
四边形是矩形，
，，
，
，，
；
【探究发现】解：上述结论依然成立，
理由：如图②，作于，于，

四边形是平行四边形，
，且，
，
在和中，
，
，
，，
在中，由勾股定理，可得
①，
在中，由勾股定理，可得
②，
由①②，可得
，
在中，由勾股定理，可得
，
；
【拓展提升】证明：如图3，延长至点，使，

是边上的中线，
，
又，
四边形是平行四边形，
由【探究发现】，可得，
，
，
，，，
，
．
【尝试应用】解：过作于，

则四边形和四边形是矩形，
，，，
设，，
，
故的最小值为200，
故答案为：200．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质的应用，平行四边形判定和性质的应用，以及勾股定理的应用，构建直角三角形利用勾股定理列式是解本题的关键．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点、，顶点为．连接、，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点、分别在线段、上，连接、、，与交于点，．
（1）求点、的坐标；
（2）随着点在线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，的面积为 　　．

【分析】（1）令，由，可求得点的坐标，把解析式化为顶点坐标式或代入顶点坐标公式都可求得点的坐标；
（2）①在线段上截取，连接，先证，再证是等边三角形，从而得证；
②因为，所以转化为求长度的最小值，由垂线段最短可解决问题；
（3）设的中点为，连接，过点作对称轴于点，先证，再证，而相似比恰好是定值，从而解决问题．
解：令，得：
，
解得：，，
，
，
顶点的坐标为；

（2）①在线段上截取，连接，
由已知可得：，，
是等边三角形，
，，
由（1）可抛物线对称轴是直线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
即的大小保持不变；
②，
当最小时，的值最大，
可以发现，当时，有最小值，
在中，，，
，
即的最小值为，
和是等边三角形，
，
，
，
此时也取最小值；
当时，取最小值，
在中，，，
，
，
线段的长度最大值为；

另解：和是等边三角形，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
当时（此时点为的中点），取最大值；

（3）设的中点为，连接，过点作对称轴于点，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
又，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．