2023年江苏省徐州市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年江苏省徐州市中考数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了 下列事件中的必然事件是， 下列运算正确的是， 2023的值介于等内容，欢迎下载使用。

A. 地球绕着太阳转B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 天空出现三个太阳D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2. 下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，数轴上点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，下列各式的值最小的是( )
A. |a|B. |b|C. |c|D. |d|
4. 下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a4÷a2=a2C. (a3)2=a5D. 2a2+3a2=5a4
5. 徐州云龙山共九节，蜿蜒起伏，形似游龙，每节山的海拔如图所示.
其中，海拔为中位数的是( )
A. 第五节山B. 第六节山C. 第八节山D. 第九节山
6. 2023的值介于( )
A. 25与30之间B. 30与35之间C. 35与40之间D. 40与45之间
7. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( )
A. y=(x+3)2+2B. y=(x−1)2+2C. y=(x−1)2+4D. y=(x+3)2+4
8. 如图，在△ABC中，∠B=90∘，∠A=30∘，BC=2，D为AB的中点.若点E在边AC上，且ADAB=DEBC，则AE的长为( )
A. 1
B. 2
C. 1或 32
D. 1或2
9. 若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为______ (写出一个即可).
10. “五一”假期我市共接待游客约4370000人次，将4370000用科学记数法表示为______ .
11. 若 x−3有意义，则x的取值范围是______ .
12. 正五边形的一个外角等于______∘.
13. 若关于x的方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为______ .
14. 如图，在△ABC中，若DE//BC，FG//AC，∠BDE=120∘，∠DFG=115∘，则∠C=______ ∘.
15. 如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E.AC=2BD，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB=68∘，则∠DEB=______ ∘.
16. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120∘，则圆锥的底面圆的半径r为______ cm.
17. 如图，点P在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA=PB.一次函数y=x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为______ .
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CA=CB=3，点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为______ .
19. 计算：
(1)|−2023|+π0−(16)−1+ 16；
(2)(1+1m)÷m2−1m.
20. (1)解方程组x=4y+12x−5y=8；
(2)解不等式组4x−5≤3x−13<2x+15.
21. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解决下列问题：
(1)此次调查的样本容量为______ ；
(2)扇形统计图中A对应圆心角的度数为______ ∘；
(3)请补全条形统计图；
(4)若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数.
22. 甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？
23. 随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图基人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往.已知甲、乙两条路线的长度均为12km，甲路线的平均速度为乙路线的32倍，甲路线的行驶时间比乙路线少10min，求甲路线的行驶时间.
24. 如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？
(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
25. 徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C处，用测角仪测得塔顶A的仰角∠AFE=36∘，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点D处，测得塔顶A的仰角∠AGE=30∘.若测角仪距地面的高度FC=GD=1.6m，CD=70m，求电视塔的高度AB(精确到0.1m).(参考数据：sin36∘≈0.59，cs36∘≈0.81，tan36∘≈0.73，sin30∘≈0.50，cs30∘≈0.87，tan30∘≈0.58)
26. 两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的病圆型器物，据《尔雅⋅释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环.”如图1，“肉”指边(阴影部分)，“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系.
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为______ ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题(保留作图痕迹，不写作法)：
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔.
27. 【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a，BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2(a2+b2).
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a，BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由.
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a，BC=b，AC=c.
求证：BO2=a2+b22−c24.
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8，BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为______ .
28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=− 3x2+2 3x的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B.连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60∘得到线段AC，连接BC.点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，∠DEA=60∘.
(1)求点A、B的坐标；
(2)随着点E在线段BC上运动.
①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为______ .
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：地球绕着太阳转是必然事件，所以A符合题意；
射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，所以B不符合题意；
天空出现三个太阳是不可能事件，所以C不符合题意；
经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以D不符合题意．
故选：A.
根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义对4个选项进行分析．
本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，难度不大，认真分析即可．
2.【答案】A
【解析】解：A、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：由数轴可得点A离原点距离最远，其次是D点，再次是B点，C点离原点距离最近，
则|a|>|d|>|b|>|c|，
其中值最小的是|c|，
故选：C.
结合数轴得出a，b，c，d四个数的绝对值大小进行判断即可．
本题考查实数与数轴的关系及绝对值的几何意义，离原点越近的点所表示的数的绝对值越小是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故此选项不符合题意；
B、a4÷a2=a2，故此选项符合题意；
C、(a3)2=a6，故此选项不符合题意；
D、2a2+3a2=5a2，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、合并同类项法则分别进行判断即可．
本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则，熟练掌握这些法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：观察折线图发现：排序后位于中间位置的数为131.8m.
故选：C.
排序后找到位于中间位置的数即可．
本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的概念，难度较小．
6.【答案】D
【解析】解：∵1600<2023<2025，
∴ 1600< 2023< 2025，
即40< 2023<45，
故选：D.
一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行估算即可．
本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7.【答案】B
【解析】解：将二次函数y=(x+1)2+3的图集向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y=(x+1−2)2+3−1，即y=(x−1)2+2.
故选：B.
直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
本题主要考查二次函数的几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，∠B=90∘，∠A=30∘，BC=2，
∴AC=2BC=4，AB=2 3，∠C=60∘，
∵点D是AB的中点，
∴AD= 3，
∵ADAB=DEBC，
∴DE=1，
如图，当∠ADE=90∘时，
∵∠ADE=∠ABC，ADAB=DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADBC=12，
∴AE=2，
如图，当∠ADE≠90∘时，取AC的中点H，连接DH，
∵点D是AB中点，点H是AC的中点，
∴DH//BC，DH=12BC=1，
∴∠AHD=∠C=60∘，DH=DE=1，
∴∠DEH=60∘，
∴∠ADE=∠A=30∘，
∴AE=DE=1，
故选：D.
由直角三角形的性质可求AC=2BC=4，AB=2 3，∠C=60∘，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
9.【答案】3或4或5或6或7(答案不唯一)
【解析】解：设三角形的第三边长为x，
则5−3∵第三边的长为整数，
∴x=3或4或5或6或7.
故答案为：3或4或5或6或7(答案不唯一).
根据三角形两边之和大于第三边确定第三边的范围，根据题意计算即可．
本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
10.【答案】4.37×106
【解析】解：4370000=4.37×106，
故答案为：4.37×106.
科学记数法的表示形式为a×10n，据此解答即可．
本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a和n的值．
11.【答案】x≥3
【解析】解：若 x−3有意义，
则x−3≥0，
∴x≥3，
即x的取值范围是x≥3，
故答案为：x≥3.
根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于0解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知：若 a有意义，则a≥0.
12.【答案】72
【解析】解：正五边形的一个外角=360∘5=72∘，
故答案为：72.
根据多边形的外角和是360∘，即可求解．
本题考查多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360∘是关键．
13.【答案】4
【解析】解：根据题意得Δ=(−4)2−4m=0，
解得m=4.
故答案为：4.
根据根的判别式的意义得到Δ=(−4)2−4m=0，然后解一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
14.【答案】55
【解析】解：如图，过点F作FH//BC交AC于点H，
∵DE//BC，
∴DE//FH，
∴∠FDE+∠DFH=180∘，
∵∠FDE=120∘，
∴∠DFH=180∘−120∘=60∘，
∵∠DFG=115∘，
∴∠GFH=115∘−60∘=55∘，
∵FG//HC，FH//CG，
∴四边形CGFH是平行四边形，
∴∠C=∠GFH=55∘，
故答案为：55.
根据平行线的性质以及平行四边形的判定和性质进行计算即可．
本题考查平行线的性质，三角形内角和定理以及平行四边形的判定和性质，掌握平行线的性质，平行四边形的性质和判定是正确解答的前提．
15.【答案】66
【解析】解：如图，连接OC，OD，
∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴OB⊥BF，
∴∠ABF=90∘，
∵∠AFB=68∘，
∴∠BAF=90∘−∠AFB=22∘，
∴∠BOD=2∠BAF=44∘，
∵AC=2BD，
∴∠COA=2∠BOD=88∘，
∴∠CDA=12∠COA=44∘，
∵∠DEB是△AED的一个外角，
∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66∘，
故答案为：66.
先根据切线的性质得出∠ABF=90∘，结合∠AFB=68∘可求出∠BAF的度数，再根据弧之间的关系得出它们所对的圆周角之间的关系，最后根据三角形外角的性质即可求出∠DEB的度数．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，熟知：圆的切线垂直于过切点的半径；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
16.【答案】2
【解析】解：由题意得：母线l=6，θ=120∘，
2πr=120π×6180，
∴r=2(cm).
故答案为：2.
首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r.
本题考查了圆锥的计算及其应用问题，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
17.【答案】4
【解析】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M(−1,0)，N(0,1)，
∴OM=ON=1，
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA=PB，
∴四边形AOBP是正方形，
∴PB//x轴，PB=OB，
∴△DBN∽△MON，
∴BDBN=OMON=1，
∴BD=BN，
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB=2ON=2，
∴PB=OB=2，
∴P(2,2)，
∴点P在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，
∴k=2×2=4，
故答案为：4.
设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M(−1,0)，N(0,1)，易证得四边形AOBP是正方形，则PB//x轴，PB=OB，即可证得△DBN∽△MON，求得BD=BN，由D为PB的中点，可知N为OB的中点，得出OB=2ON=2，从而得出P(2,2)，利用待定系数法即可求得k.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，求得P点的坐标是解题的关键．
18.【答案】3 2−3
【解析】解：∵∠C=90∘，CA=CB=3，
∴AB= AC2+BC2=3 2，
由折叠的性质可知AC=AC′=3，
∵BC′≥AB−AC′，
∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC′取最小值，最小值即为BC′=AB−AC′=3 2−3，
故答案为3 2−3.
由折叠性质可知AC=AC′=3，然后根据三角不等关系可进行求解．
本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键．
19.【答案】解：(1)|−2023|+π0−(16)−1+ 16
=2023+1−6+4
=2022；
(2)(1+1m)÷m2−1m
=m+1m÷(m+1)(m−1)m
=m+1m⋅m(m+1)(m−1)
=1m−1.
【解析】(1)根据绝对值、零指数幂法则、负整数指数幂法则、算术平方根的意义进行计算即可；
(2)根据分式的混合运算法则计算即可．
本题考查了分式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1){x=4y+1①2x−5y=8②，
把①代入②中得：
2(4y+1)−5y=8，
解得：y=2，
把y=2代入①得：
x=4×2+1=9，
∴原方程组的解为：x=9y=2.
(2){4x−5⩽3①x−13<2x+15②，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>−8，
∴不等式组的解集为：−8【解析】(1)利用代入消元法，进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】450 36
【解析】解：(1)此次调查的样本容量为：117÷26%=450，
故答案为：450；
(2)扇形统计图中A对应圆心角的度数为：360∘×45450=36∘，
故答案为：36；
(3)样本中B的人数为：450−45−117−233=55(人)，
补全条形统计图如下：
(4)25000×45450=2500(人)，
答：其中视力正常的人数大约为2500人．
(1)用C的人数除以C所占百分比可得样本容量；
(2)用360∘乘A所占比例可得答案；
(3)用样本容量分别减去其它三部分的人数，可得B的人数，进而补全条形统计图；
(4)用该地区九年级学生总人数乘样本中A所占比例即可．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22.【答案】解：把纪念塔、纪念馆这两个景点分别记为A、B，
画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中甲，乙、丙三人选择相同景点的结果有2种，
∴甲，乙、丙三人选择相同景点的概率为28=14.
【解析】画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲，乙、丙三人选择相同景点的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：设甲路线的行驶时间为xmin，则乙路线的行驶时间为(x+10)min，
由题意得：12x=32×12x+10，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
答：甲路线的行驶时间为20min.
【解析】设甲路线的行驶时间为xmin，则乙路线的行驶时间为(x+10)min，根据甲路线的平均速度为乙路线的32倍，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，
∴AB=AD=BC=CD=4，AE=DH=x，BE=AH=4−x，∠A=∠D=90∘，EH=HG=FG=EF，∠AEH=∠GHD，∵∠AEH+∠AHE=90∘，
∴∠AHE+∠DHG=90∘，
∴∠EHG=90∘，
∴四边形EFGH是正方形，
∴y=AE2+AH2=x2+(4−x)2=2x2−8x+16；
(2)当y=10时，即2x2−8x+16=10，
解得x=1或x=3，
答：当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10；
(3)∵y=2x2−8x+16=2(x−2)2+8，
∵2>0，
∴y有最小值，最小值为8.
即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8.
【解析】(1)根据正方形和全等三角形的性质得到AB=AD=BC=CD=4，AE=DH=x，BE=AH=4−x，∠A=∠D=90∘，EH=HG=FG=EF，∠AEH=∠GHD，根据勾股定理即可得到结论；
(2)当解方程即可得到结论；
(3)把二次函数化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，正方形 的判定和性质，全等三角形的性质，二次函数的性质，熟练掌握正方形和全等三角形的性质是解题的关键．
25.【答案】解：由题意得：GE⊥AB，EB=FC=GD=1.6m，FG=CD=70m，EF=BC，
设EF=BC=xm，
∴GE=EF+FG=(x+70)m，
在Rt△AEG中，∠AGE=30∘，
∴AE=EG⋅tan30∘≈0.58(x+70)m，
在Rt△AEF中，∠AFE=36∘，
∴AE=EF⋅tan36∘≈0.73x(m)，
∴0.73x=0.58(x+70)，
解得：x≈270.67，
∴AE=0.73x≈197.59(m)，
∴AB=AE+BE=197.59+1.6≈199.2(m)，
∴电视塔的高度AB约为199.2m.
【解析】根据题意可得：GE⊥AB，EB=FC=GD=1.6m，FG=CD=70m，EF=BC，然后设EF=BC=xm，则GE=(x+70)m，在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
26.【答案】32：27
【解析】解：(1)由图1可知：璧的“肉”的面积为π×(32−12)=8π；环的“肉”的面积为π×(32−1.52)=6.75π，
∴它们的面积之比为8π：6.75π=32：27；
故答案为32：27；
(2)①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB，AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可，由作图可知满足比例关系为1：2：1的关系，符合“肉好若一”；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为 C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作BE的平行线，交AB于点 F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示：
(1)根据圆环面积可进行求解；
(2)①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；
②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．
本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的有关知识，属于中考常考题型．
27.【答案】200
【解析】【阅读理解】解：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘，AC=BD，
∴AC2=AB2+BC2，
∵AB=a，BC=b，
∴AC2+BD2=2(AB2+BC2)=2a2+2b2；
【探究发现】解：上述结论依然成立，
理由：如图②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
∠ABE=∠DCF∠AEB=∠DFC=90∘AB=DC，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AE=DF，BE=CF，
在Rt△ACE中，由勾股定理，可得
AC2=AE2+CE2=AE2+(BC−BE)2…①，
在Rt△BDF中，由勾股定理，可得
BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=DF2+(BC+BE)2…②，
由①②，可得
AC2+BD2=AE2+DF2+2BC2+2BE2=2AE2+2BC2+2BE2，
在Rt△ABE中，由勾股定理，可得
AB2=AE2+BE2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2=2AB2+2BC2=2a2+2b2；
【拓展提升】证明：如图3，延长BO至点E，使BO=OE，
∵BO是BC边上的中线，
∴AO=CD，
又∵AD=CO，
∴四边形ABCE是平行四边形，
由【探究发现】，可得BE2+AC2=2AB2+2BC2，
∵BE=2BO，
∴BE2=4BO2，
∵AB=a，BC=b，AC=c，
∴4BO2+c2=2a2+2b2，
∴BO2=a2+b22−c24.
【尝试应用】解：过P作PH⊥BC于H，
则四边形APHB和四边形PHCD是矩形，
∴AB=PH=CD=8，AP=BH，PD=CH，
设BH=x，CH=12−x，
∴PB2+PC2=PH2+BH2+PH2+CH2=82+x2+82+(12−x)2=2x2−24x+272=2(x−6)2+200，
故PB2+PC2的最小值为200，
故答案为：200.
【阅读理解】根据矩形对角线相等可得AC=BD，最后由勾股定理可得结论；
【探究发现】首先作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据全等三角形判定的方法，判断出△ABE≌△DCF，即可判断出AE=DF，BE=CF；然后根据勾股定理，可得AC2=AE2+(BC−BE)2，BD2=DF2+(BC+BE)2，AB2=AE2+BE2，再根据AB=DC，AD=BC，即可推得结论；
【拓展提升】根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCE是平行四边形，由【探究发现】，可得BE2+AC2=2AB2+2BC2，于是得到结论；
【尝试应用】过P作PH⊥BC于H，根据矩形的性质得到AB=PH=CD=8，AP=BH，PD=CH，设BH=x，CH=12−x，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质的应用，平行四边形判定和性质的应用，以及勾股定理的应用，构建直角三角形利用勾股定理列式是解本题的关键．
28.【答案】2 39
【解析】解：令y=0，得：
− 3x2+2 3x=0，
解得：x1=0，x2=2，
∴A(2,0)，
∵y=− 3x2+2 3x=− 3(x−1)2+ 3，
∴顶点的坐标为(1, 3)；
(2)①在线段AB上截取BG=BE，连接EG，
由已知可得：∠BAC=60∘，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠C=60∘，
由(1)可抛物线对称轴是直线x=1，
∴OH=1，
∴OB= OH2+BH2= 12+( 3)2=2，
AB= AH2+BH2= (2−1)2+( 3)2=2，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AC=BC=AB=2，
∠AOB=∠OBA=∠OAB=60∘，
∵∠GBE=60∘，BG=BE，
∴△BGE是等边三角形，
∴∠BGE=∠BEG=∠GBE=60∘，BE=GE，
∴∠AGE=180∘−∠BGE=120∘，
又∵∠DBE=∠OBA+∠ABC=120∘，
∴∠DBE=∠AGE，
∵∠BED+∠DEG=∠GEA+∠DEG=60∘，
∴∠BED=∠GEA，
∴△DBE≌△AGE(AAS)，
∴DE=AE，
又∠AED=60∘，
∴△AED是等边三角形，
∴∠EDA=60∘，
即∠EDA的大小保持不变；
②∵BF=AB−AF=2−AF，
∴当AF最小时，BF的值最大，
∴当AF⊥DE时，BF取最大值；
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAF=12∠DAE=30∘，
∴∠DAO=∠BAO−∠DAF=30∘，
∴∠ODA=∠DOA+∠DAO=90∘，
在Rt△AOD中，∠AOD=60∘，OA=2，
∴AD=OA⋅sin60∘=2× 32= 3，
同理可求，AF=32，
∴BF=AB−AF=12，
∴线段BF的长度最大值为12；
(3)设DE的中点为M，连接AM，过点D作DN⊥对称轴于点N，
∵OA=OB=AC=BC=AB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OA//BC，
∵DN⊥BH，
∴OA//BC//DN，
∴∠EBM=∠DNM，∠BEM=∠NDM，
又∵DM=EM，
∴△BEM≌△NDM(AAS)，
∴DN=EB，
∵AD=AE，DM=ME，
∴AM⊥DE，
∴∠AME=90∘，
∴∠BME+∠HMA=90∘，
∵∠BME+∠BEM=90∘，
∴∠HMA=∠BEM，
∴Rt△BME∽Rt△HAM，
∴AHBM=MHBE=AMME=tan60∘= 3，
∴1BM= 3，
∴BM= 33，
∴MH=BH−BM= 3− 33=2 33，
∴DN=BE=MH 3=23，
∴S△BDE=S△BDM+S△EBM=12BM⋅BE+12BM⋅DN=2 39；
故答案为：2 39.
(1)令y=0，由− 3x2+2 3x=0，可求得A点的坐标，把解析式化为顶点坐标式或代入顶点坐标公式都可求得B点的坐标；
(2)①在线段AB上截取BG=BE，连接EG，先证△DBE≌△AGE，再证△AED是等边三角形，从而得证；
②因为BF=AB−AF，所以转化为求AF长度的最小值，由垂线段最短可解决问题；
(3)设DE的中点为M，连接AM，过点D作DN⊥对称轴于点N，先证△BEM≌△NDM，再证Rt△BME∽Rt△HAM，而相似比恰好是定值，从而解决问题．
本题主要考查了二次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．