2022-2023学年河南省青桐鸣高一（下）联考数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年河南省青桐鸣高一（下）联考数学试卷（6月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  已知集合，，，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知为虚数单位，复数，其中，，则(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  已知向量与的夹角为，其中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某中学有高一学生人，高二学生人，高三学生人，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取若干人参加荒山绿化活动，若抽取的高三学生人数比抽取的高二学生人数少，则抽取的高一学生人数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知甲同学在学校组织的荒山绿化活动中，种植了，，不同种类的树各一棵，若，，三种树成活的概率分别为，，，三种树成活与否互不影响，则该同学种植的棵树都成活的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，，，则实数，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某车间生产一种六角螺母，每一个六角螺母是由棱长和高均为的正六棱柱形的工件加工而成，需要在工件底面的中心处打一个圆柱形通孔如图，若通孔内凹槽忽略不计，则六角螺母表面积的最大值为(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  某校开展丰富多彩的体育运动项目，并统计了甲、乙两位同学次立定跳远比赛的成绩单位：米，得到如下折线图：

则下列说法正确的是(    )

A. 甲同学成绩的极差大于乙同学成绩的极差
B. 甲同学成绩的分位数大于乙同学成绩的分位数
C. 甲同学成绩的均值小于乙同学成绩的均值
D. 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差

10.  已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则(    )

A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 在上单调递增 D. 在上单调递减

11.  函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(    )

A.
B.
C.
D. 曲线关于点对称

12.  已知菱形的边长为，，将沿翻折，使点与点重合，如图所示记点为翻折过程中点的位置不包含在点处的位置，则下列结论正确的是(    )

A. 无论点在何位置，总有
B. 存在点，使得
C. 当时，为上一点，则的最小值为
D. 当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若复数，，为虚数单位，则 ______ ．

14.  设平面向量，，，若，则 ______ ．

15.  已知袋中有形状、大小均相同的若干小球，其颜色有三种，分别为红色、黑色、蓝色从袋中随机抽取一个小球，其中抽到红色小球或黑色小球的概率为，抽到黑色小球或蓝色小球的概率为，则抽到黑色小球的概率为______ ．

16.  我国古代数学名著九章算术对许多几何体的体积计算问题有深入的研究，如方亭、圆亭、鳖臑、阳马等，其中圆亭是指圆台如图，在圆亭的轴截面中，，点为弧上一点，且，若，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数为虚数单位．
当时，求；
设为复数的共轭复数，若不是纯虚数，求的取值范围．

18.  本小题分
已知平面向量，，且．
求的值；
若，求实数的值．

19.  本小题分
如图，直四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点．
证明：平面；
设底面是边长为的正方形，若三棱锥的体积为，求棱的长．

20.  本小题分
今年“双碳”再次成为全国两会的热点词汇“双碳”即我国提出力争年前实现碳达峰，年前实现碳中和低碳生活引领生活时尚，新能源汽车成为当前购车的首选某新能源汽车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的需求，随机抽取了名用户进行问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．
请将频率分布直方图补充完整；
估计样本中所有用户的平均年龄同一组中的数据用该组区间的中间值作代表；
销售部从年龄在，两组的样本中用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行电话回访，求这人取自不同年龄区间的概率．

21.  本小题分
如图，在平面四边形中，，，与交于点，且，．
设，，请用向量，分别表示向量，；
若，求．

22.  本小题分
如图，在四边形中，，，，与交于点，且．
求的长；
若，求四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，为虚数单位，
，
复数在复平面内对应的点为，在第四象限．
故选：．
先由复数的四则运算法则求出，再由复数的几何意义直接可得．
本题考查复数的四则运算和复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由且可知：，
由知：，故A，
故选：．
由，可知，由知，，从而可确定中元素．
本题考查集合的包含关系，交集的意义，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，．
故选：．
由复数的四则运算法则计算即得．
本题考查复数的运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由已知得
．
故选：．
根据数量积的定义直接计算即可．
本题考查数量积的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设共抽取人，则，解得，
抽取的高一学生人数为人．
故选：．
根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意，该同学种植的棵树都成活的概率为．
故选：．
根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算作答．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：不妨设，函数定义域为，
易知函数在定义域上单调递增，
又，，，
所以，
不妨设，函数定义域为，
易知函数在定义域上单调递增，
又，，，
所以，
则．
故选：．
由题意，根据所给条件，通过构造函数并判断单调性，再结合零点存在性定理对选项进行逐一分析，进而可解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 

8.【答案】 

【解析】解：设通孔的半径为，
则六角螺母表面积，
当时，，
所以六角螺母表面积的最大值为．
故选：．
设通孔的半径为，利用棱柱、圆柱的表面积公式把六角螺母表面积表示为的函数，再求出函数最大值作答．
本题考查了柱体的表面积的有关计算问题，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：甲同学成绩的极差为，乙同学成绩的极差为，
所以甲同学成绩的极差大于乙同学成绩的极差，A正确；
甲同学成绩按从小到大排序为：，，，，，，，，
由于．
则甲同学成绩的分位数为，
乙同学成绩按从小到大排序为：，，，，，，，，
由于，
则乙同学成绩的分位数为，
所以甲同学成绩的分位数等于乙同学成绩的分位数，B错误；
甲同学成绩的均值为，
乙同学成绩的均值为，
所以，C正确；
由折线图可知，甲的成绩波动大，乙的成绩波动小，
所以甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差，D错误．
故选：．
观察折线图，求出极差、分位数，均值判断；由数据的波动大小判断即可．
本题考查折线图的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，
则在上单调递增，
当时，，，即在上单调递增，A正确，B错误；
当时，，，即在上单调递减，C正确，D错误．
故选：．
由已知结合偶函数对称区间上单调性相反及复合函数单调性法则检验各选项即可判断．
本题主要考查了偶函数对称区间上单调性相反性质的应用，还考查了复合函数单调性的判断，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图可知，，所以，
，故，故选项A正确，选项B错误；
将代入可得，
则，，即，，
由可知，，故选项C正确；
对于，由图象可知，显然不是函数的对称中心，故D错误．
故选：．
此图象向上平移了个单位，可根据右侧两零点的中点到的距离为半个周期确定和，再取特殊点确定，最后根据图象判定不是对称中心．
本题考查根据部分图象确实函数解析式的方法，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意，，都是正三角形，取的中点，如图，

则，，又，，平面，
于是平面，
又平面，因此，A正确；
的轨迹是以为轴的两个同底的圆锥底面半圆弧，
显然圆锥轴截面的顶角为，大于，
则存在两条母线互相垂直，即存在点，使得，
而翻折前，因此存在点，使得，B正确；
当时，三棱锥为正四面体，将，展开在同一平面内，如图，

显然四边形为菱形，，当，，三点共线时，
取得最小值，C错误；
由选项A知，平面，，是二面角的平面角，
三棱锥的体积，
当且仅当时取等号，此时平面，，
等腰的面积为，
设点到平面的距离为，由，得，解得，
设直线与平面所成的角为，则，D正确．
故选：．
取的中点，证明平面即可判断；确定的轨迹，借助圆锥的特性即可判断；把，展开在同一平面内，借助两点间线段长最短即可判断；确定体积最大时，点的位置，再借助等体积法求解即可判断．
本题考查立体几何的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，由复数相等可得．
故答案为：．
根据复数相等得结论即可．
本题考查了复数相等的概念，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
则，
，
，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设取到红色小球为事件，取到黑色小球为事件，取到蓝色小球为事件，
则，，为两两互斥事件，
，，
，．
故答案为：．
根据互斥事件加法公式求解．
本题考查互斥事件的性质，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在等腰梯形中，，则，
又，因此四边形为平行四边形，于是，
连接，，，

由，得，而，
则，由，平面，得，，，
在中，由余弦定理得，
即，解得，所以．
故答案为：．
由圆台轴截面特征可得，再结合圆台的结构特征得，再利用余弦定理求解作答．
本题考查了余弦定理和圆台的结构特征，属于中档题．
 

17.【答案】解：时，，
；
，
，
不是纯虚数，解得，
的取值范围为． 

【解析】时，得出，然后分子分母同乘以进行复数的乘法运算，把复数变成的形式，再求出的值即可；
化简得出，然后可得出，从而根据条件得出的范围．
本题考查了复数的乘法运算，复数模的求法，共轭复数的定义及求法，纯虚数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：平面向量，，且，
，
．
由知，
，
，，
解得实数． 

【解析】利用向量线性运算的坐标表示及向量夹角公式求解作答；
利用向量线性运算的坐标表示，共线向量的坐标表示能求出实数的值．
本题考查向量坐标运算、向量数量积公式、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】证明：连接，与交于点，
四边形为平行四边形，为的中点，
又四边形为矩形，，则为的中点，
连接，则为的中位线，
则，
平面，平面，
平面．
解：在直四棱柱的底面是正方形，连接，，
则为的中点，
则，
得，
即棱的长． 

【解析】利用线面平行的判定定理进行证明即可．
根据锥体的体积公式建立方程进行求解即可．
本题主要考查线面平行的判定以及空间锥体体积的计算，利用线面平行的判定定理以及锥体的体积相等建立方程进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

20.【答案】解：年龄在的频率为，补充完整的频率分布直方图如下图：

所有用户的平均年龄的估计值为，故估计样本中所有用户的平均年龄为岁；
由分层随机抽样的方法可知，抽取的人中，年龄在内的有人，记为；
年龄在内的有人，分别记为，，，
则从这人中随机抽取人的所有基本事件有，，，，，共种；
记这人取自不同年龄区间为事件，其基本事件有，，，共种，
故这人取自不同年龄区间的概率为． 

【解析】根据频率分布直方图计算缺少的部分的频率，再补充频率分布直方图即可；
利用频率分布直方图中平均数估计的计算公式计算即可；
根据分层抽样，计算年龄在内的有人，记为；年龄在内的有人，分别记为，，，由列举法及古典概型的计算公式计算可得答案．
本题考查频率分布直方图的性质和古典概率模型，属于基础题．
 

21.【答案】解：依题意：，，则，

，
，
；
，，
以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系如下图：

则，
设直线的方程为，
并将，点的坐标代入上式得：，
解得，
，
． 

【解析】根据条件求出，再根据图形运用向量的线性运算规则求解；
建立直角坐标系，运用坐标计算．
本题考查了平面向量基本定理以及数量积的坐标运算，属于中档题．
 

22.【答案】解：由，，得，
又，，则，
在中，由正弦定理，得，
在中，由余弦定理得，，
所以．
由，，得，
在中，由知，又，则，
于是，即有，，
所以四边形的面积

． 

【解析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理求解作答；
由的信息，求出，，再利用三角形面积公式，借助割补法求解作答．
本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查三角形面积公式，是中档题．