2024届河南省青桐鸣大联考高三10月模拟预测数学试题含解析

这是一份2024届河南省青桐鸣大联考高三10月模拟预测数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】D
【分析】解出两不等式，得到集合，再根据交集含义即可得到答案.
【详解】由，解得，由，解得或，
所以．
故选：D．
2．已知，则（ ）
A．1B．C．2D．0
【答案】C
【分析】根据初等函数导数公式求导，然后即可得答案.
【详解】因为，所以．
故选：C．
3．命题，都有，则（ ）
A．是假命题，B．是真命题，
C．是假命题，D．是真命题，
【答案】B
【分析】根据函数的单调性可判断命题的真假，再根据全称量词命题的否定是特称量词命题可写出命题的否定.
【详解】当时，函数单调递减，故是真命题．
根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得：
，使得．
故选：．
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由诱导公式化简，再将代入即可得出答案.
【详解】，
故．
故选：A．
5．在中，内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据得出，结合条件可求答案.
【详解】由得，即，由正弦定理可得．
由，得，
化简解得．因为，所以，
故．
故选：B．
6．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则正实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】由图象变换和三角函数诱导公式可得答案.
【详解】由题意．
所以，得．又，所以正实数的最小值为．
故选：B．
7．某化工厂生产过程中产生的废气含有大量的有毒、有害物质，需经过滤后排放．过滤过程中废气中的有毒、有害物质的含量（单位：与时间（单位：）间的关系为（为常数），若在过滤后消除了的有毒、有害物质，则后剩余的有毒、有害物质大约为原来有毒、有害物质的（ ）（附：）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数关系求先求出当时的有毒、有害物质的含量，然后由指数运算即可求解.
【详解】由题意当时，；当时，；当时，，
又，所以，
所以，
故后的在毒、有害物质大约为原来有毒、有害物质的．
故选：B．
8．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．7
【答案】C
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，
所以，，，
故，
当且仅当，时等号成立，故的最小值为6．
故选：C．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的既不充分也不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】BC
【分析】根据反例和幂函数、指数函数单调性一一分析即可.
【详解】对A，“”不能推出“”，“”能推出“”，故“”是“”的必要不充分条件，所以A错误；
对B，函数是上的单调递增函数，所以，故B正确；
对C，，而，所以不能推出；
举例，但，则也不能推出，故C正确；
对D，函数是上的单调递增函数．所以，故D错误．
故选：BC．
10．已知，，下列选项正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】A选项，由同角三角函数的平方关系及角的范围得到；B选项，根据同角三角函数平方关系得到，去掉不合要求的解；C选项，利用凑角法求解；D选项，在C选项的基础上，得到，利用正弦差角公式计算出答案.
【详解】A选项，由，得，故A正确；
B选项，由，得，
因为，所以，
又，其中，
若，则，则，与矛盾，
所以，故B错误；
C选项，
，故C正确；
D选项，由及，得，
故，故D正确．
故选：ACD．
11．关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递增
C．函数的值域为D．方程有无穷多个解
【答案】ABD
【分析】对于选项A和B，利用导数即可判断正误；对于选项C，代特殊值检验即可判断正误；对于选项D，由 ，结合周期性即可判断正误.
【详解】当时，，，
所以在区间上单调递增．所以A正确；
当时，，，
所以，
故在区间上单调递增，所以B正确；
，所以C错误，
，
故是周期为的周期函数，
而，所以当时，，故有无穷多个解，所以D正确．
故选：ABD．
12．已知函数是定义在上的偶函数，是上的导函数，若，，则下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意，由，可判定A正确；根据题意得到，和，两式相减得到，得到是周期为4的周期函数，再由为偶函数，得到，得出为奇函数，从而得到，所以是周期为4的周期函数，进而可判定B错误；结合函数的周期性和对称性，分别求得和的值，可判定C、D正确.
【详解】对于A中，由函数是定义在上的偶函数，且，
可得，所以A正确；
对于B中，由，令，得，所以，
又由，所以，，，
由，可得，故得，
两式相减得，所以函数是周期为4的周期函数，
所以，，
所以，
因为为偶函数，得，所以，
所以为奇函数，则，
因为，所以，且，
所以，又由，所以函数是周期为4的周期函数，
所以，
故，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，所以D错误．
故选：AC．
三、填空题
13．已知集合，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分式不等式的解法和对数函数的单调性分别解出，然后根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由解得，故；
由，解得，故．
又，所以，故．
故答案为：
14．在中，内角的对边分别为，若，则当有唯一解时，的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】由余弦定理得，由、可得答案．
【详解】由余弦定理，得，所以，
当时，，关于的二次方程只有一个正根，所以C有唯一解，
当时，解得，此时有唯一解．
综上所述，当或时，有唯一解．
15．已知，则 .
【答案】/
【分析】利用正弦函数图象的对称性得，再根据诱导公式和二倍角余弦公式求解即可.
【详解】由，且，得，故，所以，
所以.
故答案为：.
16．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】变形得到，，令，构造，求导得到其单调性，从而求出，从而得到.
【详解】由，，得，故．
设，则．
令，则，又，
故在区间上，，函数单调递减；
在区间上，，函数单调递增，
所以，故，故．
故答案为：
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
四、解答题
17．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，求的最小值及取得最小值时相应的值．
【答案】(1)
(2)，此时
【分析】（1）根据图知，从而求出，再利用“五点法”作图中的第三个点，可求出，从而求出结果；
（2）由（1）得到，再利用的性质即可求出结果.
【详解】（1）由图知，又，故，
又，
由“五点法”作图知，，解得，
所以．
（2）由（1）得，
，
当时，取得最小值，最小值为，
此时，即．
18．已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，且．
(1)求函数和的解析式；
(2)关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用，可得答案；
（2）转化为在上恒成立，令，则，再利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）由题意．，，
所以．①
又，②
②－①得，
②＋①得；
（2）由题知在上恒成立，
即在上佰成立，
当时，，所以，
所以．
令．则，，
又，
当且仅当，即时等号成立．
故的取值范围为．
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明；当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数导数，分类讨论导数的正负，即可得答案.
（2）结合（1）的结论，讨论和时的函数值正负，即可证明结论.
【详解】（1）由题意，
当时，，函数在定义域上单调递减．
当时，令，得，
当时．；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：因为，
由（1）知当时，单调递增．
故，又．所以，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
又，
故当时，，
又，所以，
综上，当时，．
20．已知的内角的对边分别为．
(1)求；
(2)已知为边上的中线，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解，
（2）根据同角关系以及和差角公式可得，即可由正弦定理边角化得，利用余弦定理即可求解边长，由面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理及，得，
化简得，所以，
由余弦定理可得，由于.所以．
（2）在中，由，得，
由，得．
则，
由正弦定理得，，
设，由余弦定理得，故，
在中，由余弦定理得，，
即，解得，则，
所以的面积．

21．如图，某社区有一个直角三角形空地，其中，现对其进行规划，要求中间为三角形绿地公园（如图阴影部分），周边是宽度均为的公园健步道．
(1)当时，求的周长；
(2)若在设计健步道时，要保证绿地公园的面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到与相似，连接，过点向引垂线，求得，得到，及，进而求得的周长；
（2）由（1）知的面积，设为内切圆的半径，结合与相似，求得绿地公园的面积，即可求得的范围，得到答案.
【详解】（1）解：因为，所以，
因为与的三边分别平行，所以与相似，
连接，过点向引垂线，垂足分别为，
则，可得，
所以，则，
在中，，故，
所以的周长：
.
（2）解：由（1）知的面积，
设为内切圆的半径，则，则，，
所以，
又与相似，所以，
绿地公园的面积：
，
化简得，解得，
故健步道宽度的最大值为．
22．已知．
(1)证明：；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求函数导数，判断导数的正负，从而判断原函数单调性，即可证明不等式；
（2）根据原不等式结构特征构造函数，求出其导数，再次求导后分类讨论a的取值范围，结合导数判断函数单调性，判断原不等式是否恒成立，即可得答案.
【详解】（1）证明：由，得，
设，则，
因为恒成立．故在上为增函数，
则，故为增函数,
故．
（2）由题意得，
故设，，
则，
令，，
则，
当时，，
故，使得在上，，
则在上单调递减．
故在上，．
故在上单调递减，
故在上，，不合题意，舍去；
当即时，由（1）得，
故，
设，
则，
设，
则，
故为增函数，故，故为增函数，
故，则恒成立，符合题意．
综上，实数的取值范围为．
【点睛】难点点睛：本意考查了导数的综合应用，涉及到函数的单调性以及不等式恒成立问题，解答的难点在于根据不等式恒成立求解参数范围，解答时要能根据函数表达式的结构特征，构造函数，利用函数单调性并结合分类讨论求解参数范围.