2022-2023学年广东省广州市越秀区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市越秀区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省广州市越秀区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式 a+1在实数范围内有意义，a的取值范围是(    )
A. a>1 B. a≥1 C. a>−1 D. a≥−1
2. 下列四个二次根式中，最简二次根式是(    )
A. 40 B. 32 C. 2 D. 27
3. 直线y=2x+n经过点(1,5)，则n=(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 在▱ABCD中，∠A=3∠B，则∠C的度数是(    )
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
5. 下列计算正确的是(    )
A. 2+ 3= 5 B. 3 2− 2=3 C. 3× 2= 5 D. 2 3= 63
6. 某射击队准备挑选运动员参加射击比赛.下表是其中一名运动员10次射击的成绩(单位：环)：
成绩
7.5
8.5
9
10
频数
2
2
3
3
则该名运动员射击成绩的平均数是(    )
A. 8.9 B. 8.7 C. 8.3 D. 8.2
7. 一次函数y=mx+n(m≠0,m,n是常数)的图象经过两点A(0,3)，B(2,0)，则关于x的不等式mx+n>0的解集是(    )
A. x>2 B. x<2 C. x>0 D. x<0
8. 甲、乙两人先后从A地出发开车到相距300千米的B地，在整个匀速行程中，两人行驶的路程y与时刻t的对应关系如图所示，则甲、乙两车相遇的时刻是(    )

A. 9：15 B. 9：30 C. 9：45 D. 10：00
9. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是线段AC上一点，连接EB，ED.若△BED的面积等于△BEC的面积，则△ABE和△CDE的E面积比等于(    )


A. 2：1 B. 3：1 C. 3：2 D. 9：4
10. 已知一次函数y=kx+3k−2(k≠0,k是常数)，则下列结论正确的是(    )
A. 若点A(2,8)在一次函数y=kx+3k−2的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2
B. 若3k−2>0，则一次函数y=kx+3k−2图象上任意两点E(a1,b1)和F(a2,b2)满足：(a1−a2)(b1−b2)<0
C. 一次函数y=kx+3k−2的图象不一定经过第三象限
D. 若对于一次函数y=tx+7(t≠0)和y=kx+3k−2，无论x取任何实数，总有tx+7>kx+3k−2，则k的取值范围是0 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若y=(m−2)x+1是一次函数，则m的取值范围是______ ．
12. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD使其不变形.若AF=1米，AE=2米，则木条EF= ______ 米.(结果保留根号)


13. 一组数据2，1，x，1，6的平均数是3，则这组数据的中位数是______ ．
14. 如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB于点E，点O是对角线AC的中点，连接OE.若AB=5，AC=8，则OE等于______ ．


15. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx−2(k≠0)与x轴，y轴分别相交于A，B两点，若∠OBA=30°，则点A的坐标是______ ．
16. 如图，Rt△ABC的两条直角边AB>AC，分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACGF.点H是线段DE上一点，连接HB，作矩形BCKH.线段HK与EA交于点P，线段KC与BF交于点Q，连接线段BQ和CP的中点M，N.△ABC，△HEP和四边形CGFQ的面积分别记为S1S2和S3给出下列四个结论：
①HB2=AB2+AC2
②EP=QF；
③S1>S2+S3；
④∠NMA+∠ABC=45°；
其中正确的结论是______ .(填写所有正确结
论的序号)

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
计算：( 6+4 2)÷ 2+2 3．
18. (本小题4.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边BC延长线上一点，CE=BC，连接AC，DE.求证：DE=AC．

19. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=2，BD=1，DC=4，求∠BAC的度数．

20. (本小题6.0分)
为了解甲、乙两个班在数学测试中对某一个解答题的解答情况，分别在两个班随机抽取了20名学生的成绩(满分10分)，对其进行整理、描述和分析.下面给出①、②两组信息：
①乙班20名学生成绩的条形统计图如图所示：

②甲、乙两个班所抽取的20名学生成绩的平均数、众数、中位数和方差如下表所示：(单位：分)
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
7
7
7
S甲2=2.15
乙
7
m
P
S乙2
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：上表中m= ______ ，P= ______ ；
(2)求上表中S乙2的值，并用样本估计总体的方法分析哪个班学生的成绩表现更稳定？
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，CF//BE，CF交DE的延长线于点F，连接BF交CE于点O．
(1)求证：CF=BE；
(2)若BE=2DE，∠ACB=70°，求∠BFC的度数．

22. (本小题10.0分)
立夏后，天气越来越热，便携式静音小风扇得到了大众的青睐.已知某工厂生产1个甲种风扇和1个乙种风扇的成本和是52元，生产4个甲种风扇和3个乙种风扇的成本和是186元，两种风扇的单个售价和单个成本如下表：
风扇类型
甲
乙
售价(元/个)
35
24
成本(元/个)
x
y
(1)求生产1个甲种风扇，1个乙种风扇的成本分别是多少元？
(2)为了满足市场需求，该工厂决定生产甲、乙两种风扇共3000个，其中甲种风扇生产了a个，且甲种风扇的数量不少于乙种风扇的数量，同时受外部市场的影响，乙种风扇的单个成本比原来降低了1元.若这次生产的两种风扇全部售出，则这间工厂至少盈利多少元？
23. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O．
(1)尺规作图：作∠BAD的角平分线，交BD于点F，交BC于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若OC=BE．
①求∠EAO的度数；
②求AB：BF的值．

24. (本小题12.0分)
在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，DE与AC相交于点G，点F是边AB上一点，连接EF．
(1)如图1，若BE=BF，求证：EF//AC；
(2)如图2，若BC=2EC，且FA=FE，求证：∠DEF=3∠CDE；
(3)如图3，若BC=3EC，且∠DEF=∠DEC，求证：AF=FB．

25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点是O(0,0)，A(2,2)，B(4,2)，C(4,0)，点P是x轴上一动点，连接OB，AP．
(1)求直线OB的解析式；
(2)若∠PAO=∠AOB，求点P的坐标；
(3)当点P在线段OC(点P不与点C重合)上运动时，设PA与线段OB相交于点D，以DA，DC为边作平行四边形ADCE，连接BE，求BE的最小值．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：由题意得，a+1≥0，
解得，a≥−1，
故选：D．
根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：A． 40=2 10，因此选项A不符合题意；
B. 32=4 2，因此选项B不符合题意；
C. 2是最简二次根式，因此选项C符合题意；
D. 27=3 3，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据“被开方数是整数或整式，且不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式”逐项进行判断即可．
本题考查最简二次根式，理解“被开方数是整数或整式，且不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式”是正确解答的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：∵直线y=2x+n经过点(1,5)，
∴2×1+n=5，
解得n=3，
故选：C．
把点的坐标代入函数解析式求出n值即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，把点的坐标代入函数解析式求出k是解题的关键，熟记一次函数的性质也很重要．

4.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=3∠B，
∴3∠B+∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠A=135°，
∴∠C=135°．
故选：D．
根据平行四边形的性质可知∠A+∠B=180°，根据∠A=3∠B求出∠A即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的对边平行，对角相等解题．

5.【答案】D 
【解析】解：A． 2与 3不能合并，所以A选项不符合题意；
B.3 2− 2=2 2，所以B选项不符合题意；
C. 3× 2= 6，所以C选项不符合题意；
D. 2 3= 2× 3 3× 3= 63，所以D选项符合题意；
故选：D．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；利用分母有理化对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：该名运动员射击成绩的平均数是：110×(7.5×2+8.5×2+9×3+10×3)=8.9(环)，
故选：A．
根据加权平均数公式计算即可．
本题考查了加权平均数以及频数分布表，掌握加权平均数的计算公式是解答本题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：∵一次函数y=mx+n(m≠0,m,n是常数)的图象经过两点A(0,3)，B(2,0)，
∴一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，
∴关于x的不等式mx+n>0的解集是x<2．
故选：B．
一次函数y=mx+n的图象落在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围即为不等式mx+n>0的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握用数形结合的方法解题．

8.【答案】B 
【解析】解：设甲、乙两函数的解析式分别是y1=k1t+b1、y2=k2t+b2．
将(7,0)和(12,300)代入y1=k1t+b1，得
7k1+b1=012k1+b1=300，解得k1=60b1=−420．
∴y1=60t−420(t≥7)．
将(8,0)和(11,300)代入y2=k2t+b2，得
8k2+b2=011k2+b2=300，解得k2=100b2=−800．
∴y2=100t−800(t≥8)．
当y1=y2时，即60t−420=100t−800，解得t=9.5．
∴甲、乙两车相遇的时刻是9：30．
故选：B．
设甲、乙两函数的解析式分别是y1=k1t+b1、y2=k2t+b2.分别将(7,0)和(12,300)代入y1=k1t+b1，将(8,0)和(11,300)代入y2=k2t+b2，利用待定系数法求得两函数的解析式．相遇时在图象交点处两函数值相等，从而求出交点的横坐标即可．
本题考查一次函数的应用，利用函数的解析式求解相遇问题．当然，也可以利用解方程的方法求解．

9.【答案】A 
【解析】解：作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，AO=OC，
∴∠BAN=∠DCE，
∵∠ANB=∠DMC=90°，
∴△ANB≌△CMD(AAS)，
∴BN=DM，
∵△BOE的面积=12OE⋅BN，△DOE的面积=12OE⋅DM，
∴△BOE的面积=△DOE的面积，
∵△BED的面积等于△BEC的面积，
∴△BEC的面积=△BOE的面积×2，
∴△BOC的面积=△BOE的面积×3，
∵AO=OC，
∴△AOB的面积=△COB的面积，
∴△ABE的面积=△BOE的面积×4，
∵△BEC的面积=12CE⋅BN，△DCE的面积=12CE⋅DM，
∴△DCE的面积=△BCE的面积，
∴△ABE和△CDE的面积比=(△BOE的面积×4)：(△BOE的面积×2)=2：1．
故选：A．
作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，由矩形的性质推出△ANB≌△CMD(AAS)，得到BN=DM，由三角形面积公式得到△BOE的面积=△DOE的面积，
由△BED的面积等于△BEC的面积，推出△BOC的面积=△BOE的面积×3，由△AOB的面积=△COB的面积，得到△ABE的面积=△BOE的面积×4，又△DCE的面积=△BCE的面积，即可求出△ABE和△CDE的面积比．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到△BOE的面积=△DOE的面积，△DCE的面积=△BCE的面积．

10.【答案】D 
【解析】解：A、∵A(2,8)在一次函数y=kx+3k−2的图象上，
∴8=2k+3k−2，
∴k=2，
∴一次函数为y=2x+4，
∴它的图象与两个坐标轴的交点为(−2,0)，(0,4)，
∴图象与两个坐标轴围成的三角形面积是12×2×4=4，故A错误，不合题意；
B、∵3k−2>0，
∴k>23，
∴y随x的增大而增大，
∵(a1−a2)(b1−b2)>0，故B错误，不合题意；
C、∵y=kx+3k−2=k(x+3)−2，
∴一次函数y=kx+3k−2的图象过定点(−3,−2)，
∴一次函数y=kx+3k−2的图象一定经过第三象限，故C错误，不合题意；
D、∵对于一次函数y=tx+7(t≠0)和y=kx+3k−2，无论x取任何实数，总有tx+7>kx+3k−2，
∴直线y=tx+7与直线y=kx+3k−2平行，
∵一次函数y=kx+3k−2的图象过定点(−3,−2)，
∴当k>0时，3k−2<7，
解得0 当k<0时，3k−2<7一定成立，
∴k的取值范围是0 故选：D．
A、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积，即可判断；
B、根据一次函数的性质即可判断；
C、求得一次函数y=kx+3k−2的图象过定点(−3,−2)即可判断；
D、由题意可知两直线平行，当k>0时，则3k−2<7，当k<0时，3k−2<7一定成立，解不等式即可求得k的取值，即可判断．
本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系．

11.【答案】m≠2 
【解析】解：由函数y=(m−2)x+m−1是关于x的一次函数，得
m−2≠0，
∴m≠2，
故答案为：m≠2．
根据一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案．
本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．

12.【答案】 5 
【解析】解：在Rt△EAF中，∠A=90°，AF=1米，AE=2米，
由勾股定理得：EF= AE2+AF2= 22+12= 5(米)，
故答案为： 5．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

13.【答案】2 
【解析】解：∵一组数据2，1，x，1，6的平均数是3，
∴x=15−2−1−1−6=5，
这组数据从小到大排列为1，1，2，5，6，处在中间位置的一个数是2，因此中位数是2，
故答案为：2．
根据平均数的计算方法求出x，再根据中位数的定义求出中位数即可．
本题考查平均数、中位数，理解平均数、中位数的定义，掌握中位数、平均数的计算方法是正确解答的前提．

14.【答案】3 
【解析】解：如图，连接OD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=BC，
∵点O是对角线AC的中点，
∴AO=CO=4，DO⊥AC，BO⊥AC，
∴点O，点D，点B三点共线，
∴OD=BO，
∵OB= AB2−AO2=3，
∴OB=OD=3，
又∵DE⊥AB，
∴OE=OB=OD=3，
故答案为：3．
先证点O，点D，点B三点共线，由菱形的性质可得OD=BO，由勾股定理可求OB的长，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

15.【答案】(2 33,0)或(−2 33,0) 
【解析】解：依照题意，画出函数图象，如图所示．
当x=0时，y=k×0−2=−2，
∴点B的坐标为(0,−2)，
∴OB=2．
在Rt△OBA中，OB=2，∠OBA=30°，∠AOB=90°，
∴AB=2OA，
又∵AB2=OA2+OB2，
即(2OA)2=OA2+22，
解得：OA=2 33或OA=−2 32(不符合题意，舍去)，
∴点A的坐标为(2 33,0)或(−2 33,0)．
故答案为：(2 33,0)或(−2 33,0)．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，进而可得出OB的长，由“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得出AB=2OA，再利用勾股定理，可求出OA的长，进而可得出点A的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、含30度角的直角三角形以及勾股定理，在Rt△OBA中，利用勾股定理求出OA的长是解题的关键．

16.【答案】①②④ 
【解析】解：∵四边形ABDE是正方形，
∴∠D=∠ABD=∠E=90°，BD=BA，
∴∠DBH+∠ABH=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠D=∠BAC，
∵四边形BCKH是矩形，
∴∠CBH=∠CBH=∠BCK=90°，
∴∠ABC+∠ABH=90°，
∴∠DBH=∠ABC，
在△BDH和△BAC中，
∠D=∠BACBD=BA∠DBH=∠ABC，
∴△BDH≌△BAC(ASA)，
∴BH=BC，
∴HB2=BC2=AB2+AC2，①正确；
∵四边形ACGF是正方形，
∴∠CAQ=90°，
∴∠E=∠D=∠CAQ=90°，
∴∠EHP=∠DBH=∠ACQ，∠E=∠D=∠CAQ
∴△EHP∽△DBH∽△ACQ，
设AQ=x，AC=y，
∴xy=yDE=FPHE，
∴DE=y2x，DH=y，HB=y(y−x)x，EP=y−x，
∴QF=AF−AQ=AC−AQ=y−x=EP，②正确；
∴S1=y22y=y32x,S2=(y−x)(y2y)=(y−x)(y2x−y)=(y−x)(y2−xg)2x，S3=y2−xy2，
∴S2+S3=y32x+y2=S1，③错误；
∵∠K=∠ACQ=∠BAC=90°，
∴∠ACQ+∠AQC=∠AQC+∠CBQ=90°，
∴∠∠CBQ=∠PCK，
∵BC=CK，
∴△CPK≌△BDC(ASA)，
∴BQ=CP，
∵点M，N是线段BQ和CP的中点，
∴CN=CM=12CP=12BQ，
∴∠CNM=∠CMN，
设∠CNM=∠1，∠NMA=∠2，∠ABC=∠3，
∴∠1+∠2=90∘∠1−∠2=∠QMC=2∠3，
∴2∠2+2∠3=90°，
∴∠NMA+∠ABC=45°，④正确．
故答案为：①②④．
根据正方形的性质得到∠D=∠ABD=∠E=90°，BD=BA，求得∠DBH+∠ABH=90°，根据矩形的性质得到∠CBH=∠CBH=∠BCK=90°，求得∠DBH=∠ABC，根据全等三角形的性质得到BH=BC，求得HB2=BC2=AB2+AC2，①正确；根据正方形的性质得到∠E=∠D=∠CAQ=90°，求得∠EHP=∠DBH=∠ACQ，∠E=∠D=∠CAQ.根据相似三角形的判定得到△EHP∽△DBH∽△ACQ，设AQ=x，AC=y，求得DE=y2x，DH=y，HB=y(y−x)x，EP=y−x，于是得到QF=AF−AQ=AC−AQ=y−x=EP，②正确；根据三角形 打麻将公式得到S1=y22y=y32x,S2=(y−x)(y2y)=(y−x)(y2x−y)=(y−x)(y2−xg)2x，S3=y2−xy2，推出S2+S3=y32x+y2=S1，③错误；根据全等三角形的性质得到BQ=CP，求得CN=CM=12CP=12BQ，根据等腰三角形的性质得到∠CNM=∠CMN，设∠CNM=∠1，∠NMA=∠2，∠ABC=∠3，解方程组得到∠NMA+∠ABC=45°，④正确．
本题是三角形的综合题，主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．

17.【答案】解：原式=( 6+4 2)×1 2+2 3
= 62+4+2 3
= 3+4+2 3
=3 3+4． 
【解析】先把除法运算化为乘法运算，然后利用二次根式的除法法则运算，最后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=DC，
∵CE=BC，
∴AD=CE，AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB=DC，AE=AB，
∴AE=DC，
∴四边形ACED是矩形，
∴DE=AC． 
【解析】根据平行四边形的性质得出AD//BC，AD=BC，AB=DC，求出AD=CE，AD//CE，AE=DC，根据矩形的判定得出四边形ACED是矩形，进一步得到答案．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

19.【答案】解：∵AD=2，BD=1，DC=4，
∴BDAD=ADDC，
∵∠BDA=∠ADC=90°，
∴△BDA∽△ADC，
∴∠BAD=∠C，
∵∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAC=90°． 
【解析】此题类似于射影定理模型，想到三角形相似．
本题考查了相似三角形的判断：夹角相等，对应边成比例．从条件AD=2，BD=1，DC=4上联想成比例．

20.【答案】8  7 
【解析】解：(1)乙班20名学生的得分中，出现次数最多的是8分，共有5人，因此众数是8分，即m=8，
将乙班这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是7分，因此中位数是7分，即P=7，
故答案为：8，7；
(2)S乙2=120[(5−7)2×4+(6−7)2×4+(8−7)2×5+(9−7)2×2+(10−7)2]=1.9，S甲2=2.15，
∵S甲2>S乙2，
∴乙班学生成绩比较稳定．
(1)根据中位数、众数的定义进行解答即可；
(2)计算乙班的学生得分的方差，通过对两个班方差的大小比较得出结论．
本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法是正确解答的前提．

21.【答案】(1)证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE//BC，BC=2DE，
∵CF//BE，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴BE=CF；
(2)解：∵BE=2DE，BC=2DE，
∴BE=BC，
∴平行四边形BEFC是菱形，
∴BF⊥CE，∠ACB=∠ACF=70°，
∴∠BFC=20°． 
【解析】(1)由三角形中位线定理可证DE//BC，BC=2DE，可得四边形BEFC是平行四边形，即可求解；
(2)先证平行四边形BEFC是菱形，可得BF⊥CE，∠ACB=∠ACF=70°，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握菱形的判定是解题的关键．

22.【答案】解：(1)设生产1个甲种风扇的成本是x元，1个乙种风扇的成本是y元，
由题意得：x+y=524x+3y=186，
解得：x=30y=22，
答：生产1个甲种风扇的成本是30元，1个乙种风扇的成本是22元；
(2)甲种风扇生产了a个，则乙种风扇生产了(3000−a)个，
由题意得：a≥3000−a，
解得：a≥1500，
设这间工厂盈利为w元，
由题意得：w=(35−30)a+[24−(22−1)](3000−a)=2a+9000，
∵2>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=1500时，w有最小值=2×1500+9000=12000，
答：这间工厂至少盈利12000元． 
【解析】(1)设生产1个甲种风扇的成本是x元，1个乙种风扇的成本是y元，根据生产1个甲种风扇和1个乙种风扇的成本和是52元，生产4个甲种风扇和3个乙种风扇的成本和是186元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)甲种风扇生产了a个，则乙种风扇生产了(3000−a)个，根据甲种风扇的数量不少于乙种风扇的数量，列出一元一次不等式，解得a≥1500，再设这间工厂盈利为w元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．

23.【答案】解：(1)如图，BE为所作；

(2)①∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=OC，∠ABC=∠BAD=90°，
∵OC=BE，
∴OA=OB=BE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AB，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠EAO=∠BAC−∠BAE=60°−45°=15°；
②过F点作FH⊥AB于H点，如图，设BH=x，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∴BF=2x，HF= 3x，
∵∠HAF=45°，
∴AH=HF= 3x，
∴AB=AH+BH=( 3+1)x，
∴AB：BF=( 3+1)x：2x=( 3+1)：2． 
【解析】(1)利用基本作图作∠BAD的平分线即可；
(2)①先根据矩形的性质得到OA=OB=OC，∠ABC=∠BAD=90°，再证明△ABE为等腰直角三角形得到BE=AB，证明△OAB为等边三角形得到∠BAC=60°，然后计算∠BAC−∠BAE即可；
②过F点作FH⊥AB于H点，如图，设BH=x，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到BF=2x，HF= 3x，利用等腰直角三角形的性质得到AH=HF= 3x，然后计算AB：BF的值．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．

24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，∠B=90°，
∵BE=BF，
∴∠BEF=45°，
∴∠BEF=∠ACB，
∴EF//AC．
(2)如图，连接AE，过点E作EM//AB交AD于点M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，AB//CD，
∵BC=2EC，
∴BE=CE，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴∠BAE=∠CDE，
∵AB////CD，EM//AB，
∴AB//EM//CD，
∴∠DEM=∠CDE，∠FEM=∠BFE，
∴∠DEM+∠FEM=∠CDE+∠BFE，
即∠DEF=∠CDE+∠BFE；
∵FA=FE，
∴∠FEA=∠BFE=∠CDE，
又∵∠BFE=∠BAE+∠FEA，
∴∠BFE=2∠CDE，
∴∠DEF=3∠CDF．
(3)如图，过点D作DP⊥EF于点P，连接DF，

设正方形ABCD的边长为a，AF=x，则BF=a−x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=AD=a，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，
∵BC=3EC，
∴EC=13a，EB=23a，
∵DP⊥EF，
∴∠BAD=∠DPF=∠DPE=∠DCB=90°
∴△DPE≌△DCB(AAS)，
∴DP=DC，PE=EC=13a，
∴AD=DP，
∴Rt△ADF≌Rt△PDF(HL)，
∴PF=AF=x，
∴EF=PF+PE=x+13a，
∵BF2+BE2=EF2，
∴(a−x)2+(23a)2=(x+13a)2，
解得x=12a，
即AF=12AB，
∴AF=FB． 
【解析】(1)先根据四边形ABCD是正方形得到∠ACB=45°和∠B=90°，再根据BE=BF得到∠BEF=45°，最后得到∠BEF=∠ACB，即可得到结论；
(2)连接AE，过点E作EM////AB交AD于点M，先证明△ABE≌△DCE，得到∠BAE=∠CDE，再根据AB//CD和EM//AB，证明∠DEF=∠CDE+∠BFE，最后根据FA=FE，证明∠FEA=∠BFE=∠CDE，进一步证明∠BFE=2∠CDE，即可得到∠DEF=3∠CDE；
(3)过点D作DP⊥EF于点P，连接DF，设正方形ABCD的边长为a，设AF=x，则BF=a−x，先根据四边形ABCD是正方形，得到AB=CD=BC=AD=a和∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，进一步根据BC=3EC，得到EC=13a和EB=23a，再证明△DPE≌△DCB，得到DP=DC和PE=EC=13a，进一步证明Rt△ADF≌Rt△PDF，得到PF=AF=x，最后根据BF2+BE2=EF2构造关于x方程，解方程即可得到结论．
本题考查了四边形的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．

25.【答案】解：(1)设直线OB的解析式为y=kx，
∵B(4,2)，
∴2=4k，
解得k=12，
∴直线OB的解析式为y=12x．
答：直线OB的解析式为y=12x．
(2)分两种情况讨论：①当点P位于原点O的右侧时，如图，作AF⊥OC于点F，交OB于点G，

∵A(2,2)，
∴FA=FO=2，∠FAO=∠FOA=45°，
∵∠PAO=∠AOB，
∴∠PAF=∠GOF，
又∵∠PFA=∠GFO=90°，
∴△PAF≌△GOF(ASA)，
∴PF=GF，
∵点G的横坐标为2．
∴y=12×2=1，
∴点G(2,1)，
∴PF=GF=1，
∴OP=2−1=1，
∴点P的坐标为(1,0)；
②当点P位于原点O的左侧时，如图，过点A作OB的平行线，与x轴交于点P，

∵PA//OB，
∴∠PAO=∠AOB，AB=OP，
∵A(2,2)，B(4,2)，
∴AB=OP=2，
故点P的坐标为(0,−2)，
综上，点P的坐标为(1,0)或(0,−2)．
(3)作AF⊥OC于点F，连接DF，连接BF，

∵A(2,2)，B(4,2)，
∴AB=CF=AF=BC=2，且∠AFC=90°，
∴四边形ABCF是正方形，
∴∠FAC=∠BCA=45°，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AD//CE，AD=CE，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠FAD+45°=∠BCE+45°，即∠FAD=∠BCE，
∴△FAD≌△BCE(SAS)，
∴DF=BE，
当FG⊥OB时，DF有最小值，即BE有最小值，
∵OB= 42+22=2 5，OF=2，
∴S△OFB=12OF×BC=12OB×DF，
即2×2=2 5DF，
∴DF=2 55，
∴BE的最小值为2 55．
答：BE的最小值为2 55． 
【解析】(1)利用待定系数法即可求解．
(2)作AF⊥OC于点F，交OB于点G，先证明∠PAF=∠GOF，推出△PAF≌△GOF(ASA)，得到PF=GF，再求得G(2,1)，据此求解即可．
(3)作AF⊥OC于点F，连接DF，连接BF，证明四边形ADCE是平行四边形，推出△FAD≌△BCE(SAS)，得到DF=BE，当FG⊥OB时，DF有最小值，即BE有最小值，利用面积法即可求解．
本题考查了一次函数的综合应用，主要考查坐标与图形的性质，待定系数法求一次函数的解析，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．