《一元二次方程的根的判别式》教学设计2-九年级上册数学北师大版

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北师大版九年级上《2．3一元二次方程的根的判别式》教学设计教学分析【教材分析】本节课是九年制义务教育初级中学北师大版九年级上册第二章继第三节《用公式法求解一元二次方程》学习的内容，在学完直接开方法、配方法、公式法解一元二次方程的基础上，在不解方程的条件下，掌握用判别式来判断一元二次方程根的情况，培养学生由特殊到一般的解题思想。一元二次方程的根的判别方法及其逆定理是一元二次方程的重要性质，为二次函数等后继知识的学习奠定了基础。【教学目标】知识目标：理解一元二次方程的根的判别式，运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。能力目标：经历一元二次方程的根的判别式的意义及作用的探究过程，增强学生数学推理的严密性，体会由特殊到一般、分类讨论的数学思想。情感目标：通过一元二次方程的根的判别式的引入，养成对科学的探索精神和严谨的治学态度，形成合作交流、独立思考的学习习惯，产生热爱数学的情感。【教学重难点】重点：运用一元二次方程的根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。难点：对一元二次方程的根的判别方法及其逆定理的理解和运用。【教学准备】ppt课件、教学工具单、一元二次方程计算小程序、希沃软件。【我的思考】本节课在充分预习的基础上，充分放手给学生，以“小组合作、展示交流”的生态教学模式开展的探索课堂。首先，通过公式法解一元二次方程的练习复习了公式法的步骤，接着用自制一元二次方程小软件验证一元二次方程的解是否正确，同时引起学生兴趣，引导学生感受到一元二次方程的根的情况，引发学生学习本节课内容的热情。接下来，通过问学生为什么在代入求根公式之前要先计算一下b2-4ac的值，由此引入b2-4ac的名称的作用。师生合作的方式把根的判别式性质用三个原命题与三个相应的逆命题形式出现，把条件与结论分得明确，使学生易于接受及记忆，进而突破教学重难点。教师通过例题板演，规范解题格式，体验用根的判别式解决两类问题，一类是已知方程的系数，要判别方程根的情况；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的值或求字母间的关系式。另外，学生能独立自主解决运用根的判别式解决一元二次方程的简单问题，不仅体会到自主学习的价值，也增强了探索数学奥秘的信心。这将深刻影响学生的一生。最后，将自我评价引入到教学的最高层次，仅用3分钟来测评学生对这部分知识掌握情况，并做到及时反馈，使之达到教学最优化。教学过程一、情境引入（时间为5分钟）教师活动： 上节课我们学习了用公式法解一元二次方程，回忆一下一元二次方程的求根公式是什么？大家用公式法解下列方程。（教师利用ppt为学生呈现图片。）用公式法解下列方程 x²-7x-18=0 4x²+1=4x 2x2+x+1=0【设计意图：复习用公式法解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的,熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤。三道小题三种不同的解的情况，让学生注意到一元二次方程有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根的情况，为这节课的学习做好铺垫。】教师活动：借助希沃助手上传图片，对学生的计算过程进行展示，用公式法解一元二次方程的一般步骤。给予积极肯定的回答，同时问其他学生二三小题解的情况。然后在电脑上用一元二次方程计算小软件验证一下是否正确。用它让学生感受到一元二次方程根的情况有所不同。同时对于没有实数根的情况，简单讲解和高中衔接部分，对学生以后的学习发展奠定基础。学生活动：学生认真倾听第一小题中公式法的步骤，接着回答二三小题解的情况，注意到一元二次方程根的情况是由a,b,c决定的。用一元二次方程计算小软件，输入其他的a,b,c,可尝试直接看出一元二次方程根的不同情况。【设计意图：引起学生兴趣，和信息技术有效结合，引导学生思考，前面学习的求根公式中要求，那么是什么引起一元二次方程的根的情况有所不同呢？】这就是我们今天要学习的一元二次方程的根的判别式。（写出标题）二、探索新知教师活动：教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），何时有两个不相等的实数根？何时有两个相等的实数根？它何时没有实数根？方程根的情况是由什么决定的？请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究。时间为3分钟（学生自主学习教师巡视）。 学生活动：学生在演算纸上自主推导、并针对自己思考过程中预见的问题在小范围内自由研讨。教师活动：引导学生独立利用公式法解上述3个方程，然后观察方程的解的情况，观察解题过程，总结一元二次方程的根的规律和b2-4ac的关系，请同学们经过讨论得出结论。学生活动：学生讨论后得出（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根；（3）当时，一元二次方程无实数根。教师活动：由上面的讨论可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定。因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。通常用符号“Δ”（希腊字母）来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac。教师强调有实数根是前两种情况的结合。（教师板书）【设计意图：由学生亲身经历探索过程，体验从特殊到一般的过程，体会分类讨论的数学思想，同时培养了学生的逻辑思维和发散思维，提高了思维的缜密性。为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；学生在合作交流中互相帮助，共同提升。】 【预设效果：学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：（1）不能主动意识到一元二次方程有实数根是前两种情况的结合。（2）对于方程有两个相等的实数根容易写成一个根。教师应关注：学困生的参与度及对学生逻辑思维的培养。】三、巩固新知教师活动：学习了一元二次方程的根的判别式，我们就可以来解决任何一道一元二次方程，在求解的情况下，判别根的情况了。教师板书例题：不解方程，判别下列方程根的情况： 2x2+3=7x（师生共同完成，师板书，时间为3分钟）解:2x2-7x+3=0 a=2, b=-7, c=3 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3 =25>0 ∴方程有两个不相等的实数根。【设计意图：规范解题格式；体验用公式法解一元二次方程的步骤，进一步理解求根公式。并引导学生总结公式法解一元二次方程的步骤。】教师活动：用一元二次方程根的判别式来判断根的情况的一般步骤是什么？学生活动：（1）先将方程化为 ax2+bx+c=0(a ≠ 0) 的一般形式；（2）确定a、b、c的值，（注意a、b、c的符号）；（3）求解b2－4ac的值；（4）判断根的情况。教师强调：用一元二次方程根的判别式来判断根的情况的三个注意点：（1）注意化方程为一般形式；（2）注意a、b、c的确定应包括各自的符号；（3）注意一元二次方程如果有根，应有两个。教师活动：不解方程，判别下列方程根的情况： x²-7x-18=0 4x²+1=4x 2x2+x+1=0（解答后与公式法过程对照,体会判别式的作用）（时间为5分钟）学生活动：学生在工具单上完成上面的3道不解方程，判别方程根的情况的题，体会判别式的作用。【设计意图：与前面学生使用公式法解方程的过程形成对比，感受到一元二次方程根的情况，进一步提高学生的思维能力。】【预设效果： a,b,c的符号问题出错,在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号。 对于无解的情况不会规范过程，需要教师及时引导。】四、逆向运用教师活动：上面的结论1中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？学生思考、交流并回答。教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：结论 对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0。例2 已知关于x的方程x²－3x + k = 0，问k取何值时，这个方程有实数根?学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，其间，教师可以参与学生的讨论，然后请同学说出自己的想法，教师视情况进行点拨：这道题中已知的是什么条件？要得出怎样的结论？师生共同得到正确的思路，解题过程由学生自行完成后，教师展示参考答案。解：∵方程有实数根， ∴Δ≥0，即 (－3) ²－ 4k≥ 0, 解得k≤， ∴ k≤时，方程有实数根。变式1：已知关于x的一元二次方程k x²－3x + 1= 0，问k取何值时，这个方程有实数根?学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路。解：∵方程有实数根， ∴Δ≥0，即 (－3) ²－ 4k ≥ 0, 解得k ≤，同时k ≠0∴ k≤且k ≠0时，方程有实数根。变式2：已知关于x的方程k x²－3x + 1= 0，问k取何值时，这个方程有实数根?【设计意图：已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的值或求字母间的关系式。理解充分必要条件，强调一元二次方程中的a≠0，很多同学容易忽略的问题。】五、拓展应用教师活动：展示应用题——某养鸡厂的矩形鸡舍靠墙．现在有材料可以制作竹篱笆13米，若欲围成20平方米的鸡舍，鸡舍的长和宽应是多少？能围成22平方米的鸡舍吗，若可以求出长和宽，若不能说明理由．【设计意图：培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，促使学生养成主动提炼现实生活中的数学问题的习惯。】六、归纳小结我们共同学习了一元二次方程的根的判别式，谈谈你在本节课的收获？及你的困惑？在学生自由发言的基础上，师生共同总结：本节课学习的重点知识是一元二次方程的根的判别式。（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根；（3）当时，一元二次方程无实数根。这是充分必要条件。以及上述命题与逆命题的功能分为两类，一类是已知方程的系数，要判别方程根的情况；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的值或求字母间的关系式。【设计意图:鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动。同时也培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识。】七、课堂检测 1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的情况是_______________.2.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等，则a的值是（ ）A. a =0 B. a =2或a =-2 C. a =2 D. a =2或a =03.不解方程，判别下列方程根的情况： x(x +1)=3 .【设计意图:在课堂教学中课堂检测是不可缺少的重要环节，它及时检测学生对本节课知识的掌握。】 【板书设计】 【教学反思】