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河北省张家口市宣化区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（含答案）
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这是一份河北省张家口市宣化区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（含答案），共28页。
河北省张家口市宣化区2022-2023学年八年级下学期阶段性检测数学（人教版）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列根式是最简二次根式的（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）若有意义，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6（ ）
A．14 B．34 C．58 D．72
4．（2分）如图，以表示2的点为圆心，以边长为1的正方形的对角线长为半径画弧与数轴交于点A（ ）
A． B．﹣1 C．﹣2 D．2﹣
5．（2分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．（c+b）（c﹣b）＝a2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a＝32，b＝42，c＝52 D．a：b：c＝5：12：13
6．（2分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
7．（2分）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16
8．（2分）如图，在▱ABCD中，∠ABC平分线交AD与点E，若AB＝5，AD＝7（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2分）如图，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，AD＝16，AB＝8（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．（2分）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点（ ）
A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm
11．（2分）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（ ）2
A．24 B．17 C．18 D．10
12．（2分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，连接BE并延长交AC于点F．已知AD＝BD＝12，ED＝DC＝5．下列结论中：
①BE＝13
②
③BE平分∠ABC
④BF⊥AC
⑤F是AC中点
其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案写在题中横线上）
13．（3分）已知，则xy＝ ．
14．（3分）河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路” 米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！
15．（3分）实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则化简|a|﹣结果为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10cm，则线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路线长为 cm．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，AB＝10cm，AD＝8cm，则OB＝ cm．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点P是边BC上一动点，且，则PA+PD的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共58分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（8分）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，且∠BHE＝90°，大树被刮倾斜后折断（A﹣C﹣D）倒在山坡上（AB＝AC+CD）．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，AD＝4米．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求这棵大树折断前AB的高度．（结果保留根号）
21．（8分）阅读下列解题过程：，．
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出＝ ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律 ；
（3）利用上面的解法，请化简：
22．（8分）如图1，在△ABC中，AC＝BC＝4
（1）求△ABC的面积．
（2）若P是边AB上的一点（不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，移动点P的位置，PD+PE的值会变化吗？若不变；若变化，请说明理由．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，E为CD中点，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6
24．（8分）如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，M、N分别为OB、OC的中点．
（1）求证：MD和NE互相平分；
（2）若BD⊥AC，OC2＝32，OD+CD＝7，求△OCB的面积．
25．（8分）在△AED中，EA＝ED，∠AED＝α，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转α，连接DG．
（1）如图1，探究线段AF、DG之间的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，其它条件不变，并证明．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列根式是最简二次根式的（ ）
A． B． C． D．
【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解．
【解答】解：A选项：，是最简二次根式；
B选项：，不是最简二次根式；
C选项：＝＝，不是最简二次根式；
D选项：，不是最简二次根式．
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键．
2．（2分）若有意义，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得，
解得：x≥﹣且x≠1，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
3．（2分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6（ ）
A．14 B．34 C．58 D．72
【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+32＝45，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝26+32＝13，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝58，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
4．（2分）如图，以表示2的点为圆心，以边长为1的正方形的对角线长为半径画弧与数轴交于点A（ ）
A． B．﹣1 C．﹣2 D．2﹣
【分析】由于数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数，所以根据数轴上两点间距离的公式便可解答．
【解答】解：由勾股定理得：
正方形的对角线为，
设点A表示的数为x，
则2﹣x＝，
解得x＝2﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题时求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数即可．
5．（2分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．（c+b）（c﹣b）＝a2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a＝32，b＝42，c＝52 D．a：b：c＝5：12：13
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项A、C、D是否符合题意，根据三角形内角和，可以判断选项B是否符合题意，本题得以解决．
【解答】解：由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b3＝c2，故选项A不符合题意；
由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°；
a＝37，b＝42，c＝72，则a2+b7≠c2，故选项C符合题意；
当a：b：c＝5：12：13时，则a2+b2＝c2，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．
6．（2分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质得出OB的长，再根据勾股定理求出OC的长即可．
【解答】解：在Rt△ABO中，∠AOB＝30°，
∴OB＝2AB＝4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，
OC＝＝＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
7．（2分）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16
【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，
∴h＝24﹣8＝16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15，∴AB＝，
∴此时h＝24﹣17＝7，
所以h的取值范围是7≤h≤16．
故选：D．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
8．（2分）如图，在▱ABCD中，∠ABC平分线交AD与点E，若AB＝5，AD＝7（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行四边形的性质可知∠DFC＝∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF＝∠FCB，则∠DFC＝∠DCF，则DF＝DC，同理可证AE＝AB，那么EF就可表示为AE+FD﹣BC＝2AB﹣BC，继而可得出答案．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠DFC＝∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC，
同理可证：AE＝AB，
∵AB＝5，AD＝BC＝7，
∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．
9．（2分）如图，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，AD＝16，AB＝8（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】由四边形ABCD为长方形可知AD∥BC，CD＝AB＝8，从而得出∠ADB＝∠CBD，结合折叠的性质得出∠ADB＝∠C'BD，进而得出BE＝DE．设BE＝DE＝x，则AE＝16﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝8，
∴∠ADB＝∠CBD．
由折叠的性质可知∠C'BD＝∠CBD，C'D＝CD＝AB＝8，
∴∠ADB＝∠C'BD，
∴BE＝DE．
设BE＝DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝16﹣x，
在Rt△ABE中，AE6+AB2＝BE2，
∴（16﹣x）2+82＝x5，
解得：x＝10，
∴DE＝10．
故选：B．
【点评】本题主要考查折叠的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
10．（2分）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点（ ）
A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展开，利用勾股定理计算斜边长度．
【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是AD→DE→EB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形；
∵圆柱体地面半径为cm，
∴AC＝2π×＝8（cm），
∵圆柱体的高h＝18cm，
∴CD＝h＝5cm，
∴在Rt△ACD中，AD＝＝，
∵AD＝DE＝EB，
∴AD+DE+EB＝3AD＝30cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力，利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键．
11．（2分）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（ ）2
A．24 B．17 C．18 D．10
【分析】连接EF，证明四边形EBCF是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接EF，
∵F是▱ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE，
∵BQ＝FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ＝CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴，
∵S△AED＝S△AEF，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算是解题的关键．
12．（2分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，连接BE并延长交AC于点F．已知AD＝BD＝12，ED＝DC＝5．下列结论中：
①BE＝13
②
③BE平分∠ABC
④BF⊥AC
⑤F是AC中点
其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用勾股定理，三角形全等的判定和性质，余角的性质，根据三角形的面积计算判断即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，AD＝BD＝12，
∴，
故①正确；
∵，
∴△ADC≌△∠BDE（SAS），
∴∠DAC＝∠DBE，AC＝BE，
∵∠BED+∠DBE＝∠DBE+∠AEF＝90°，
∴∠DAC+∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴BF⊥AC，
故④正确；
∵，
∴17×12＝BF×13，
解得，
故②正确；
若F是AC中点，且BF⊥AC，
故直线BF是线段AC的垂直平分线，
故BC＝BA，
而，
故BC≠BA，矛盾，
故F是AC中点不成立，
故⑤错误；
若BE平分∠ABC，且BF⊥AC，
，
故△ABF≌△∠CBF（ASA），
故BC＝BA，
而，
故BC≠BA，矛盾，
故③错误；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，余角的性质，根据三角形的面积，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案写在题中横线上）
13．（3分）已知，则xy＝ 8 ．
【分析】根据二次根式（a≥0）可得2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，从而可得x＝，进而可得y＝﹣3，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2x﹣1≥6且1﹣2x≥8，
解得：x≥且x≤，
∴x＝，
∴y＝﹣3，
∴xy＝（）﹣3＝8，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．
14．（3分）河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路” 6 米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！
【分析】在Rt△ABC中，直接利用勾股定理得出AB的长，再利用AC+BC﹣AB进而得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝7m，
∴AB＝＝＝25（m），
则AC+BC﹣AB＝3+24﹣25＝6（m），
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
15．（3分）实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则化简|a|﹣结果为 ﹣2a﹣2b ．
【分析】根据数轴，得出a＜0，b＞0，|a|＞|b|，进而得出a+b＜0，然后根据绝对值的意义和二次根式的性质化简即可．
【解答】解：由数轴可得：a＜0，b＞0，
∴a+b＜8，
∴＝﹣a﹣b﹣（a+b）＝﹣a﹣b﹣a﹣b＝﹣7a﹣2b．
故答案为：﹣2a﹣7b．
【点评】本题考查了数轴、绝对值的意义、二次根式的性质和化简，正确得出a，b的取值范围是解本题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10cm，则线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路线长为 5 cm．
【分析】取AC中点M，BC中点N，连接MN．再根据点Q从开始到停止所经过的路线长为AC的中点到BC的中点，即为MN的长，结合三角形中位线定理即可求解．
【解答】解：如图，取AC中点M，连接MN．
当动点P和A点重合时，则点Q与点M重合，
当动点P和B点重合时，则点Q与点N重合，
由三角形中位线定理可知．
由题意可知线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路径即为线段MN，
∴线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路线长为5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查三角形中位线定理．读懂题意，理解点Q从开始到停止所经过的路线长为AC的中点到BC的中点是解题关键．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，AB＝10cm，AD＝8cm，则OB＝ cm．
【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝8cm，OA＝OC＝AC，由勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8cm，OA＝OC＝，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝6，
∴OC＝7，
∴OB＝＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点P是边BC上一动点，且，则PA+PD的最小值为 2 ．
【分析】延长AC到A'使CA'＝AC，连接A'D，则A'D为PA+PD的最小值，作DE⊥AC于E，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得A'D的长度即可．
【解答】解：如图，延长AC到A'使CA'＝AC，则，当点A'、P，即A'D为PA+PD的最小值；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，，
∴，，
过D作DE⊥AC于E，则DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
∴，，
在Rt△A'ED中，A'E＝2AC﹣AE＝8，
∴，
故PA+PD的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出辅助线找到最小值为A'D是解答的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共58分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简，进行乘法与除法运算，再进行加减运算即可；
（2）利用平方差公式及完全平方公式进行运算，再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）
＝4+
＝7；
（2）
＝18﹣12﹣（5﹣2+6）
＝18﹣12﹣8+2
＝﹣5+2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（8分）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，且∠BHE＝90°，大树被刮倾斜后折断（A﹣C﹣D）倒在山坡上（AB＝AC+CD）．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，AD＝4米．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求这棵大树折断前AB的高度．（结果保留根号）
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠EAH，根据平角的定义计算，求出∠CAD；
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，根据正弦的定义求出AH、根据余弦的定义求出DH，根据直角三角形的性质求出CH，根据正弦的定义求出AC，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：（1）在Rt△AHE中，∠AEH＝30°，
∴∠EAH＝60°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠CAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°；
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，
在Rt△ADH中，∠ADC＝60°，
∴DH＝AD•cos∠ADC＝4cos60°＝2（米），AH＝AD•sin∠ADC＝2sin60°＝2，
在Rt△ACH中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∴CH＝AH＝8（米）＝2，
∴AB＝AC+CD＝（2+2，
答：这棵大树折断前高为（2+2．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
21．（8分）阅读下列解题过程：，．
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出＝ ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律 ＝﹣， ；
（3）利用上面的解法，请化简：
【分析】（1）根据题目中给出的方法进行计算即可；
（2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可；
（3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝；
故答案为：．
（2）观察前面例子的过程和结果得：＝﹣，
故答案为：＝﹣．
（3）
＝
＝
＝
＝﹣1+10
＝2．
【点评】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算．
22．（8分）如图1，在△ABC中，AC＝BC＝4
（1）求△ABC的面积．
（2）若P是边AB上的一点（不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，移动点P的位置，PD+PE的值会变化吗？若不变；若变化，请说明理由．
【分析】（1）过点C作CF⊥AB，垂足为F，先利用等腰三角形的三线合一性质可得AB＝2AF，然后在Rt△BCF中，利用含30度角的直角三角形的性质可得CF＝2，BF＝2，从而可得AB＝4，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答；
（2）连接CP，利用面积法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∵AC＝BC＝4，AF⊥BC，
∴AB＝2AF，
在Rt△BCF中，∠B＝30°，
∴CF＝BC＝2CF＝2，
∴AB＝2BF＝4，
∴△ABC的面积＝AB•CF
＝×4
＝4，
∴△ABC的面积为4；
（2）移动点P的位置，PD+PE的值不会变化，
连接CP，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，
∴△ACP的面积+△BCP的面积＝△ABC的面积，
∴AC•PD+，
∴×4•PD+，
∴PD+PE＝7，
∴移动点P的位置，PD+PE的值不会变化．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及面积法是解题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，E为CD中点，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6
【分析】（1）根据“AAS”证明△CEF≌△DEB，得出CF＝BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，根据直角三角形中30°角作对的直角边等于斜边的一半，求出AB＝8，根据勾股定理求出，再求出，最后根据平行四边形面积公式求出结果即可．
【解答】（1）证明：∵E为CD中点，
∴CE＝DE，
∵CF∥BD，
∴∠CFE＝∠DBE，∠FCE＝∠BDE，
∴△CEF≌△DEB（ASA），
∴CF＝BD，
∵CF∥BD，
∴四边形DBCF为平行四边形；
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝8，
∴，
∵∠AHC＝90°，∠A＝30°，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
24．（8分）如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，M、N分别为OB、OC的中点．
（1）求证：MD和NE互相平分；
（2）若BD⊥AC，OC2＝32，OD+CD＝7，求△OCB的面积．
【分析】（1）连接ED、MN，根据三角形中位线定理可得ED∥MN，ED＝MN，进而得到四边形DEMN是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得MD和NE互相平分；
（2）根据勾股定理得出OD2+CD2＝OC2＝32，根据OD+CD＝7，利用完全平方公式，求出，从而得出，证明OB＝2OD，根据求出结果即可．
【解答】（1）证明：连接ED、MN
∵BD、CE是△ABC的中线，
∴E、D是AB，
∴ED∥BC，，
∵M、N分别为OB，
∴MN∥BC，，
∴ED∥MN，ED＝MN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∴MD和NE互相平分；
（2）解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴△ODC为直角三角形，
∴OD2+CD5＝OC2＝32，
∵OD+CD＝7，
∴（OD+CD）7＝OD2+2OD⋅CD+CD7＝49，
∴2OD•CD＝49﹣32＝17，
∴OD•CD＝，
∴S＝，
根据解析（1）可知，OD＝OM，
∵M为OB的中点，
∴BO＝3OM，
∴OB＝2OD，
∴．
【点评】本题主要考查了三角形中位线性质，三角形面积的计算，勾股定理，平行四边形的判定和性质，完全平方公式的变形计算，解题的关键是作出辅助线，证明四边形DEMN是平行四边形．
25．（8分）在△AED中，EA＝ED，∠AED＝α，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转α，连接DG．
（1）如图1，探究线段AF、DG之间的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，其它条件不变，并证明．
【分析】（1）证明△AEF≌△DEG，即可得AF＝DG；
（2）证明△AEF≌△DEG，可得AF＝DG，∠EAF＝∠EDG，从而∠EAD＝∠EDA＝∠EDG＝45°，即有∠GDF＝90°，DF2+DG2＝GF2，故DF2+AF2＝GF2．
【解答】解：（1）AF＝DG，证明如下：
由题意得：∠AED＝∠FEG，EF＝EG，
∴∠AED+∠DEF＝∠FEG+∠DEF，
即∠AEF＝∠DEG，
在△AEF和△DEG中，
，
∴△AEF≌△DEG（SAS），
∴AF＝DG；
（2）DF2+AF2＝GF6，
∵∠AED＝∠FEG＝90°，
∴∠AEF＝∠DEG．
在△AEF和△DEG中，
，
∴△AEF≌△DEG（SAS），
∴AF＝DG，∠EAF＝∠EDG，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝∠EDG＝45°，
∴∠GDF＝90°，
在Rt△DGF中，DF2+DG2＝GF2，
∴DF2+AF2＝GF8．
【点评】本题考查全等三角形判定及性质，涉及旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理及旋转的性质．
河北省张家口市宣化区2022-2023学年八年级下学期阶段性检测数学（人教版）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列根式是最简二次根式的（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）若有意义，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6（ ）
A．14 B．34 C．58 D．72
4．（2分）如图，以表示2的点为圆心，以边长为1的正方形的对角线长为半径画弧与数轴交于点A（ ）
A． B．﹣1 C．﹣2 D．2﹣
5．（2分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．（c+b）（c﹣b）＝a2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a＝32，b＝42，c＝52 D．a：b：c＝5：12：13
6．（2分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
7．（2分）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16
8．（2分）如图，在▱ABCD中，∠ABC平分线交AD与点E，若AB＝5，AD＝7（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2分）如图，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，AD＝16，AB＝8（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．（2分）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点（ ）
A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm
11．（2分）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（ ）2
A．24 B．17 C．18 D．10
12．（2分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，连接BE并延长交AC于点F．已知AD＝BD＝12，ED＝DC＝5．下列结论中：
①BE＝13
②
③BE平分∠ABC
④BF⊥AC
⑤F是AC中点
其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案写在题中横线上）
13．（3分）已知，则xy＝ ．
14．（3分）河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路” 米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！
15．（3分）实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则化简|a|﹣结果为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10cm，则线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路线长为 cm．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，AB＝10cm，AD＝8cm，则OB＝ cm．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点P是边BC上一动点，且，则PA+PD的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共58分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（8分）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，且∠BHE＝90°，大树被刮倾斜后折断（A﹣C﹣D）倒在山坡上（AB＝AC+CD）．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，AD＝4米．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求这棵大树折断前AB的高度．（结果保留根号）
21．（8分）阅读下列解题过程：，．
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出＝ ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律 ；
（3）利用上面的解法，请化简：
22．（8分）如图1，在△ABC中，AC＝BC＝4
（1）求△ABC的面积．
（2）若P是边AB上的一点（不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，移动点P的位置，PD+PE的值会变化吗？若不变；若变化，请说明理由．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，E为CD中点，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6
24．（8分）如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，M、N分别为OB、OC的中点．
（1）求证：MD和NE互相平分；
（2）若BD⊥AC，OC2＝32，OD+CD＝7，求△OCB的面积．
25．（8分）在△AED中，EA＝ED，∠AED＝α，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转α，连接DG．
（1）如图1，探究线段AF、DG之间的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，其它条件不变，并证明．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列根式是最简二次根式的（ ）
A． B． C． D．
【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解．
【解答】解：A选项：，是最简二次根式；
B选项：，不是最简二次根式；
C选项：＝＝，不是最简二次根式；
D选项：，不是最简二次根式．
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键．
2．（2分）若有意义，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得，
解得：x≥﹣且x≠1，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
3．（2分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6（ ）
A．14 B．34 C．58 D．72
【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+32＝45，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝26+32＝13，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝58，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
4．（2分）如图，以表示2的点为圆心，以边长为1的正方形的对角线长为半径画弧与数轴交于点A（ ）
A． B．﹣1 C．﹣2 D．2﹣
【分析】由于数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数，所以根据数轴上两点间距离的公式便可解答．
【解答】解：由勾股定理得：
正方形的对角线为，
设点A表示的数为x，
则2﹣x＝，
解得x＝2﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题时求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数即可．
5．（2分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．（c+b）（c﹣b）＝a2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a＝32，b＝42，c＝52 D．a：b：c＝5：12：13
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项A、C、D是否符合题意，根据三角形内角和，可以判断选项B是否符合题意，本题得以解决．
【解答】解：由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b3＝c2，故选项A不符合题意；
由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°；
a＝37，b＝42，c＝72，则a2+b7≠c2，故选项C符合题意；
当a：b：c＝5：12：13时，则a2+b2＝c2，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．
6．（2分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质得出OB的长，再根据勾股定理求出OC的长即可．
【解答】解：在Rt△ABO中，∠AOB＝30°，
∴OB＝2AB＝4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，
OC＝＝＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
7．（2分）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16
【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，
∴h＝24﹣8＝16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15，∴AB＝，
∴此时h＝24﹣17＝7，
所以h的取值范围是7≤h≤16．
故选：D．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
8．（2分）如图，在▱ABCD中，∠ABC平分线交AD与点E，若AB＝5，AD＝7（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行四边形的性质可知∠DFC＝∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF＝∠FCB，则∠DFC＝∠DCF，则DF＝DC，同理可证AE＝AB，那么EF就可表示为AE+FD﹣BC＝2AB﹣BC，继而可得出答案．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠DFC＝∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC，
同理可证：AE＝AB，
∵AB＝5，AD＝BC＝7，
∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．
9．（2分）如图，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，AD＝16，AB＝8（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】由四边形ABCD为长方形可知AD∥BC，CD＝AB＝8，从而得出∠ADB＝∠CBD，结合折叠的性质得出∠ADB＝∠C'BD，进而得出BE＝DE．设BE＝DE＝x，则AE＝16﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝8，
∴∠ADB＝∠CBD．
由折叠的性质可知∠C'BD＝∠CBD，C'D＝CD＝AB＝8，
∴∠ADB＝∠C'BD，
∴BE＝DE．
设BE＝DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝16﹣x，
在Rt△ABE中，AE6+AB2＝BE2，
∴（16﹣x）2+82＝x5，
解得：x＝10，
∴DE＝10．
故选：B．
【点评】本题主要考查折叠的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
10．（2分）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点（ ）
A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展开，利用勾股定理计算斜边长度．
【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是AD→DE→EB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形；
∵圆柱体地面半径为cm，
∴AC＝2π×＝8（cm），
∵圆柱体的高h＝18cm，
∴CD＝h＝5cm，
∴在Rt△ACD中，AD＝＝，
∵AD＝DE＝EB，
∴AD+DE+EB＝3AD＝30cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力，利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键．
11．（2分）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（ ）2
A．24 B．17 C．18 D．10
【分析】连接EF，证明四边形EBCF是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接EF，
∵F是▱ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE，
∵BQ＝FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ＝CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴，
∵S△AED＝S△AEF，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算是解题的关键．
12．（2分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，连接BE并延长交AC于点F．已知AD＝BD＝12，ED＝DC＝5．下列结论中：
①BE＝13
②
③BE平分∠ABC
④BF⊥AC
⑤F是AC中点
其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用勾股定理，三角形全等的判定和性质，余角的性质，根据三角形的面积计算判断即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，AD＝BD＝12，
∴，
故①正确；
∵，
∴△ADC≌△∠BDE（SAS），
∴∠DAC＝∠DBE，AC＝BE，
∵∠BED+∠DBE＝∠DBE+∠AEF＝90°，
∴∠DAC+∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴BF⊥AC，
故④正确；
∵，
∴17×12＝BF×13，
解得，
故②正确；
若F是AC中点，且BF⊥AC，
故直线BF是线段AC的垂直平分线，
故BC＝BA，
而，
故BC≠BA，矛盾，
故F是AC中点不成立，
故⑤错误；
若BE平分∠ABC，且BF⊥AC，
，
故△ABF≌△∠CBF（ASA），
故BC＝BA，
而，
故BC≠BA，矛盾，
故③错误；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，余角的性质，根据三角形的面积，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案写在题中横线上）
13．（3分）已知，则xy＝ 8 ．
【分析】根据二次根式（a≥0）可得2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，从而可得x＝，进而可得y＝﹣3，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2x﹣1≥6且1﹣2x≥8，
解得：x≥且x≤，
∴x＝，
∴y＝﹣3，
∴xy＝（）﹣3＝8，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．
14．（3分）河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路” 6 米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！
【分析】在Rt△ABC中，直接利用勾股定理得出AB的长，再利用AC+BC﹣AB进而得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝7m，
∴AB＝＝＝25（m），
则AC+BC﹣AB＝3+24﹣25＝6（m），
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
15．（3分）实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则化简|a|﹣结果为 ﹣2a﹣2b ．
【分析】根据数轴，得出a＜0，b＞0，|a|＞|b|，进而得出a+b＜0，然后根据绝对值的意义和二次根式的性质化简即可．
【解答】解：由数轴可得：a＜0，b＞0，
∴a+b＜8，
∴＝﹣a﹣b﹣（a+b）＝﹣a﹣b﹣a﹣b＝﹣7a﹣2b．
故答案为：﹣2a﹣7b．
【点评】本题考查了数轴、绝对值的意义、二次根式的性质和化简，正确得出a，b的取值范围是解本题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10cm，则线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路线长为 5 cm．
【分析】取AC中点M，BC中点N，连接MN．再根据点Q从开始到停止所经过的路线长为AC的中点到BC的中点，即为MN的长，结合三角形中位线定理即可求解．
【解答】解：如图，取AC中点M，连接MN．
当动点P和A点重合时，则点Q与点M重合，
当动点P和B点重合时，则点Q与点N重合，
由三角形中位线定理可知．
由题意可知线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路径即为线段MN，
∴线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路线长为5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查三角形中位线定理．读懂题意，理解点Q从开始到停止所经过的路线长为AC的中点到BC的中点是解题关键．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，AB＝10cm，AD＝8cm，则OB＝ cm．
【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝8cm，OA＝OC＝AC，由勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8cm，OA＝OC＝，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝6，
∴OC＝7，
∴OB＝＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点P是边BC上一动点，且，则PA+PD的最小值为 2 ．
【分析】延长AC到A'使CA'＝AC，连接A'D，则A'D为PA+PD的最小值，作DE⊥AC于E，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得A'D的长度即可．
【解答】解：如图，延长AC到A'使CA'＝AC，则，当点A'、P，即A'D为PA+PD的最小值；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，，
∴，，
过D作DE⊥AC于E，则DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
∴，，
在Rt△A'ED中，A'E＝2AC﹣AE＝8，
∴，
故PA+PD的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出辅助线找到最小值为A'D是解答的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共58分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简，进行乘法与除法运算，再进行加减运算即可；
（2）利用平方差公式及完全平方公式进行运算，再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）
＝4+
＝7；
（2）
＝18﹣12﹣（5﹣2+6）
＝18﹣12﹣8+2
＝﹣5+2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（8分）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，且∠BHE＝90°，大树被刮倾斜后折断（A﹣C﹣D）倒在山坡上（AB＝AC+CD）．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，AD＝4米．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求这棵大树折断前AB的高度．（结果保留根号）
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠EAH，根据平角的定义计算，求出∠CAD；
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，根据正弦的定义求出AH、根据余弦的定义求出DH，根据直角三角形的性质求出CH，根据正弦的定义求出AC，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：（1）在Rt△AHE中，∠AEH＝30°，
∴∠EAH＝60°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠CAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°；
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，
在Rt△ADH中，∠ADC＝60°，
∴DH＝AD•cos∠ADC＝4cos60°＝2（米），AH＝AD•sin∠ADC＝2sin60°＝2，
在Rt△ACH中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∴CH＝AH＝8（米）＝2，
∴AB＝AC+CD＝（2+2，
答：这棵大树折断前高为（2+2．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
21．（8分）阅读下列解题过程：，．
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出＝ ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律 ＝﹣， ；
（3）利用上面的解法，请化简：
【分析】（1）根据题目中给出的方法进行计算即可；
（2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可；
（3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝；
故答案为：．
（2）观察前面例子的过程和结果得：＝﹣，
故答案为：＝﹣．
（3）
＝
＝
＝
＝﹣1+10
＝2．
【点评】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算．
22．（8分）如图1，在△ABC中，AC＝BC＝4
（1）求△ABC的面积．
（2）若P是边AB上的一点（不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，移动点P的位置，PD+PE的值会变化吗？若不变；若变化，请说明理由．
【分析】（1）过点C作CF⊥AB，垂足为F，先利用等腰三角形的三线合一性质可得AB＝2AF，然后在Rt△BCF中，利用含30度角的直角三角形的性质可得CF＝2，BF＝2，从而可得AB＝4，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答；
（2）连接CP，利用面积法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∵AC＝BC＝4，AF⊥BC，
∴AB＝2AF，
在Rt△BCF中，∠B＝30°，
∴CF＝BC＝2CF＝2，
∴AB＝2BF＝4，
∴△ABC的面积＝AB•CF
＝×4
＝4，
∴△ABC的面积为4；
（2）移动点P的位置，PD+PE的值不会变化，
连接CP，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，
∴△ACP的面积+△BCP的面积＝△ABC的面积，
∴AC•PD+，
∴×4•PD+，
∴PD+PE＝7，
∴移动点P的位置，PD+PE的值不会变化．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及面积法是解题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，E为CD中点，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6
【分析】（1）根据“AAS”证明△CEF≌△DEB，得出CF＝BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，根据直角三角形中30°角作对的直角边等于斜边的一半，求出AB＝8，根据勾股定理求出，再求出，最后根据平行四边形面积公式求出结果即可．
【解答】（1）证明：∵E为CD中点，
∴CE＝DE，
∵CF∥BD，
∴∠CFE＝∠DBE，∠FCE＝∠BDE，
∴△CEF≌△DEB（ASA），
∴CF＝BD，
∵CF∥BD，
∴四边形DBCF为平行四边形；
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝8，
∴，
∵∠AHC＝90°，∠A＝30°，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
24．（8分）如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，M、N分别为OB、OC的中点．
（1）求证：MD和NE互相平分；
（2）若BD⊥AC，OC2＝32，OD+CD＝7，求△OCB的面积．
【分析】（1）连接ED、MN，根据三角形中位线定理可得ED∥MN，ED＝MN，进而得到四边形DEMN是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得MD和NE互相平分；
（2）根据勾股定理得出OD2+CD2＝OC2＝32，根据OD+CD＝7，利用完全平方公式，求出，从而得出，证明OB＝2OD，根据求出结果即可．
【解答】（1）证明：连接ED、MN
∵BD、CE是△ABC的中线，
∴E、D是AB，
∴ED∥BC，，
∵M、N分别为OB，
∴MN∥BC，，
∴ED∥MN，ED＝MN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∴MD和NE互相平分；
（2）解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴△ODC为直角三角形，
∴OD2+CD5＝OC2＝32，
∵OD+CD＝7，
∴（OD+CD）7＝OD2+2OD⋅CD+CD7＝49，
∴2OD•CD＝49﹣32＝17，
∴OD•CD＝，
∴S＝，
根据解析（1）可知，OD＝OM，
∵M为OB的中点，
∴BO＝3OM，
∴OB＝2OD，
∴．
【点评】本题主要考查了三角形中位线性质，三角形面积的计算，勾股定理，平行四边形的判定和性质，完全平方公式的变形计算，解题的关键是作出辅助线，证明四边形DEMN是平行四边形．
25．（8分）在△AED中，EA＝ED，∠AED＝α，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转α，连接DG．
（1）如图1，探究线段AF、DG之间的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，其它条件不变，并证明．
【分析】（1）证明△AEF≌△DEG，即可得AF＝DG；
（2）证明△AEF≌△DEG，可得AF＝DG，∠EAF＝∠EDG，从而∠EAD＝∠EDA＝∠EDG＝45°，即有∠GDF＝90°，DF2+DG2＝GF2，故DF2+AF2＝GF2．
【解答】解：（1）AF＝DG，证明如下：
由题意得：∠AED＝∠FEG，EF＝EG，
∴∠AED+∠DEF＝∠FEG+∠DEF，
即∠AEF＝∠DEG，
在△AEF和△DEG中，
，
∴△AEF≌△DEG（SAS），
∴AF＝DG；
（2）DF2+AF2＝GF6，
∵∠AED＝∠FEG＝90°，
∴∠AEF＝∠DEG．
在△AEF和△DEG中，
，
∴△AEF≌△DEG（SAS），
∴AF＝DG，∠EAF＝∠EDG，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝∠EDG＝45°，
∴∠GDF＝90°，
在Rt△DGF中，DF2+DG2＝GF2，
∴DF2+AF2＝GF8．
【点评】本题考查全等三角形判定及性质，涉及旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理及旋转的性质．
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