2023年浙江省金华市金东区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年浙江省金华市金东区中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省金华市金东区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数2，0，− 3，−0.4中，最小的数是(    )
A. 2 B. 0 C. − 3 D. −0.4
2. 若长度分别为a，2，3的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是(    )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 8
3. 金华市2022年全市地区生产总值(GDP)约为55562.47亿元，其中数55562.47用科学记数法表示为(    )
A. 5.556247×104 B. 5.556247×103 C. 55.56247×103 D. 0.5556247×105
4. 某公园供游客休息的石板凳如图所示，它的左视图是(    )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，点B，E，C，F共线，AB//DE，∠A=∠D，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是(    )


A. AB=DE B. ∠ACB=∠F C. BE=CF D. AC=DF
6. 在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是(    )
A. 12 B. 25 C. 35 D. 23
7. 我国在清朝时期的课本中用“”来表示代数式d25−c23+a2b227，那么“”的化简结果是(    )
A. 815a3b2 B. 215a3b2 C. 8a3b2 D. 2a3b2
8. 如图，将5个大小相同的长方形置于平面直角坐标系中，若顶点A(2,9)，B(6,3)，则顶点C的坐标是(    )
A. (4,5)
B. (3,5)
C. (4,7)
D. (5,6)


9. 如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC=50米，则AB的长等于米．(    )


A. 50sin35∘−50cos35∘ B. 50sin35∘+50cos35∘
C. 50(cos35°−sin35°) D. 50(cos35°+sin35°)
10. 如图，在正六边形ABCDEF中，BC=2，点O在对角线AD上，BO⊥OF，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AF于点M，N.则MN的长为(    )
A. π2
B. π3
C. 64π
D. 66π
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：2x2−2x= ______ ．
12. 若分式3x−6有意义，则x的取值范围为______ ．
13. 在“预防溺水”专题教育活动中，902班开展了预防溺水知识有奖竞答活动，以下公布的是某5位同学的竞答成绩(分)：90，78，82，85，90，这组数据的中位数是______ ．
14. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，EF=8，BE=3，CB与DF交于点G，CG=3，则图中阴影部分的面积为______ ．

15. 如图，点G是正方形ABCD边AB上的一点，连结CG，过点C作CE⊥CG，交AD的延长线于点E，过点E作EF⊥CE，过点G作GF⊥CG，EF和GF交于点F，延长CD交EF于点H，连结GH，以HD和DA为边作矩形ADHI.记△CEH的面积为S1，△GHF的面积为S2，矩形ADHI的面积为S3，若AB=4，S1+S2−S3=3，则CE= ______ ．
16. 如图，一个立方体有盖盒子，棱长为8cm，当正方形PDCS合上时，点A与点P重合，点B与点S重合，此时，两个全等的长方形ADFE与长方形BCHG向内合上，且顶点E，G都落在AB边上，点E在点G的右侧，EG=2cm．
(1)AE的长度是______ cm．
(2)长方形ADFE和长方形BCHG，从底面ABCD翻开的过程中，当EG=1cm且∠EAB最大时，∠EAB的余弦值为______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−2023)0− 9+tan60°+|−5|．
18. (本小题6.0分)
解不等式组：2x+1<93−x<0．
19. (本小题6.0分)
如图，AD//BC，点E是BA延长线上一点，∠E=∠DCE．

(1)求证：∠B=∠D．
(2)若CE平分∠BCD，∠E=47°，求∠B的度数．
20. (本小题8.0分)
为了丰富初中学生的大课间活动，某区教育局要求各学校开展形式多样的阳光体育活动，某中学随机抽取了本校部分学生对“最喜欢的体育运动项目”进行问卷调查，要求每位同学必须选一项且只能选一项，得到如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息回答下列问题：
(1)在这次调查中，①求调查的总人数.②求在扇形统计图中的“其它”部分的圆心角度数．
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)已知该校共有900名学生，请估计该校最喜欢乒乓球项目的学生人数．

21. (本小题8.0分)
某气球内充满一定质量的气体.通过测量，当温度不变时，该气球内气体的压强p(kPa)和气体体积V(m3)的几组对应值如表．
p(kPa)
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
V(m3)
150.4
112.5
90.0
75.1
64.3
(1)根据表中的数据画出函数图象，并求出压强p(kPa)关于体积V(m3)的函数表达式.(函数表达式中的数值精确到单位1)
(2)当气体体积为2m3时，气球内气体的压强是多少？
(3)当气球内气体的压强大于180kpa时，气球就会爆炸.请问气体的体积应不小于多少时，气球才不会爆炸．

22. (本小题10.0分)
如图，已知AB，CD是⊙O的直径，点E是CA延长线的一点，射线ED交⊙O点于F，连结AD，CF，∠CDA=∠EDA，∠CAB=30°，AB=8．
(1)求证：AB//FE．
(2)求∠FCA的度数．
(3)求CE的长．

23. (本小题10.0分)
定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点(1,2)是函数y=2x图象关于3的“恒值点”．
(1)判断点(1,3)，(2,8)，(3,7)是否为函数y=5x−2图象关于10的“恒值点”．
(2)如图1，抛物线y=2x2+bx+2与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．
①求翻折后A，B之间的抛物线解析式.(不必写出x的取值范围)
②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．

24. (本小题12.0分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，动点P从点C出发，以1个单位每秒速度，沿线段CD运动，同时，动点Q从点B出发，以2个单位每秒速度，沿射线BC运动，当点P到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
(1)请用含t的代数式表示线段CQ的长．
(2)如图2，AC与PQ交于点M，当BQ=5CQ时，求△PMC与△QMC的面积之比．
(3)在点P，Q的整个运动过程中，直线AC上是否存在点E，使以PE为直角边的Rt△PQE，与以点P，Q，C三点为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求t的值．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：∵− 3≈−1.732，
∴− 3<−0.4<0<2．
故选：C．
先得到− 3的近似值，再利用有理数比较大小的方法得结论．
本题主要考查了实数大小的比较，掌握实数比较大小的方法是解决本题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：由三角形的三边关系可知：3−2 ∴1 故选：B．
根据三角形的三边关系求出a的范围，判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：55562.47=5.556247×104．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】B 
【解析】解：这个石板凳的左视图如下：

故选：B．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单组合体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

5.【答案】B 
【解析】解：∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF．
A、由∠B=∠DEF，∠A=∠D，AB=DE可以判定△ABC≌△DEF(ASA)，不符合题意；
B、由∠B=∠DEF，∠A=∠D，∠ACB=∠F不可以判定△ABC≌△DEF(AAA)，符合题意；
C、由∠B=∠DEF，∠A=∠D，BE=CF可以判定△ABC≌△DEF(AAS)，不符合题意；
D、由∠B=∠DEF，∠A=∠D，AC=DF可以判定△ABC≌△DEF(AAS)，不符合题意；
故选：B．
根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．

6.【答案】C 
【解析】解：由题意可得，
从袋中任意摸出一个球为红球的概率是：33+2=35，
故选：C．
根据在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，可以计算出从袋中任意摸出一个球为红球的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．

7.【答案】A 
【解析】解：由题意列得整式为a3b25+a3b23，
则a3b25+a3b23
=3a3b2+5a3b215
=815a3b2，
故选：A．
由题意列得整式后计算即可．
本题考查整式的加减运算，由题意列得a3b25+a3b23是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：如图，∵A(2,9)，B(6,3)，
∴D(6,9)，
∴AD=6−2=4，BD=9−3=6，
∴每个长方形的长为6÷3=2，宽为4÷4=1，
∴点C的坐标为：(2+1×2,9−2×2)，即(4,5)，
故选：A．

根据点A和点B的坐标，分别求出每个长方形的长和宽，即可求解．
本题主要考查了坐标与图形，正确求出长方形的长和宽是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，

在Rt△BCD中，∠BCD=35°，BC=50米，
∴BD=BC⋅sin35°≈50sin35°(米)，
CD=BC⋅cos45°=50cos35°(米)，
在Rt△ADC中，∠ACD=45°，
∴AD=CD⋅tan45°=CD=50cos35°(米)，
∴AB=AD+BD=50cos35°+50sin35°=50(cos35°+sin35°)米，
故选：D．
过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，CD的长，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：如图，连接BF，OM，ON，由正六边形的对称性可知OB=OF，即△BOF是等腰直角三角形，
∴∠OBF=∠OFB=45°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=120°，∠ABF=∠AFB=30°，
∴BF= 32AB×2=2 3，
∴OB=OF= 22BF= 6，
∵OB=OM，∠OBM=45°+30°=75°，
∴∠BOM=180°−75°−75°=30°，
∴∠AOM=45°−30°=15°，
同理∠AON=15°，
∴∠MON=30°，
∴MN的长为30π× 6180= 6π6，
故选：D．
根据正六边形的性质以及等腰直角三角形的性质可求出OB，∠OBF=∠OFB=45°，再根据等腰三角形的性质求出∠AOM的度数，得到∠MON的度数，由弧长公式进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，掌握正六边形的性质以及弧长的计算公式是正确解答的前提．

11.【答案】2x(x−1) 
【解析】解：原式=2x(x−1)，
故答案为：2x(x−1)．
根据提公因式法可进行求解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

12.【答案】x≠6 
【解析】解：要使3x−6有意义，
必须x−6≠0，
解得：x≠6，
故答案为：x≠6．
根据分式有意义的条件得出x−6>0，求出即可．
本题考查了分式有意义的条件，能根据已知得出x−6>0是解此题的关键．

13.【答案】85 
【解析】解：数据90，78，82，85，90按照从小到大排列是：78，82，85，90，90，
则这组数据的中位数是85，
故答案为：85．
先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数．
本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，会找一组数据的中位数．

14.【答案】392 
【解析】解：∵三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF，
∴△ABC≌△DEF，BC=EF=8，
∴BG=BC−CG=8−3=5，
∵S阴影部分+S△DBG=S△DBG+S梯形BEFG，
∴S阴影部分=S梯形BEFG=12×(5+8)×3=392．
故答案为：392．
先根据平移的性质得到△ABC≌△DEF，BC=EF=8，则BG=5，再证明S阴影部分=S梯形BEFG.然后根据梯形的面积公式计算即可．
本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．

15.【答案】 26 
【解析】解：∵CE⊥CG，EF⊥CE，GF⊥CG，
∴四边形GCEF为矩形，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=∠ADC=∠B=90°，CD=BC=4，
∴∠BCG+∠DCG=90°，
∵CE⊥CG，
∴∠ECD+∠DCG=90°，
∴∠ECD=∠BCG，
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠B=90°，
在△ECD和△GBC中，
∠CDE=∠B=90°CD=BC=4∠ECD=∠BCG，
∴△ECD≌△GBC(ASA)，
∴CE=CG，
∴矩形GCEF为正方形，
设CE=x，HD=a，
∴CH=CD+HD=a+4，
∴S正方形GCEF=S△GHC=12CH⋅BC=2(a+4)，
∵S1+S2=S正方形GCEF−S△GHC，
∴S1+S2=x2−2(a+4)，
又∵S3=HD⋅BC=4a，
∴S1+S2−S3=x2−2(a+4)−4a=3，
整理得：x2−6a−11=0，
∵∠CDE=∠CEH=90°，∠DCE=∠ECH，
∴△CDE∽△CEH，
∴CECH=CDCE，
即：CE2=CD⋅CH，
∴x2=4(a+4)，
将x2=4(a+4)代入x2−6a−11=0之中得：a=2.5，
∴x2=4a+16=4×2.5+16=26，
∴CE=x= 26．
故答案为： 26．
先证四边形GCEF为矩形，再证△ECD和△GBC全等，从而得CE=CG，进而可判定矩形GCEF为正方形，然后设CE=x，HD=a，则CH=a+4，据此可求出S1+S2=S正方形GCEF−S△GHC=x2−2(a+4)，S3=4a，根据已知条件S1+S2−S3=3得x2−2(a+4)−4a=3，整理得x2−6a−11=0，再证△CDE和△CEH相似得x2=4a+16，据此可求出a的值，进而可求得CE的长．
此题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的全等及性质，相似三角形的判定和性质，三角形、矩形、正方形的面积，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，难点是设置适当的辅助未知数，利用面积公式和相似三角形的性质找出相关线段之间的关系．

16.【答案】5 710 
【解析】解：(1)∵两个全等的长方形ADFE与长方形BCHG向内合上，且顶点E，G都落在AB边上，
点E在点G的右侧，EG=2cm．
∴AE=BG，
∴AG=BE，
∴2AG+2=8，解得：AG=3，
∴AE=3+2=5(cm)，
故答案为：5；
(2)从底面ABCD翻开的过理中，当EG=1cm且∠EAB最大时，如图示：
过E作EM⊥AB于M，过G作GN⊥AB于N，
由题意可得：EG//AB，AE=BG=5，
∴EM=GN，EG=MN=1，
∴Rt△AEM≌Rt△BGN(HL)，
∴AM=BN=72，
∴∠EAB的余弦值为AMAE=725=710．
故答案为：710．
(1)由两个全等的长方ADFE与长方BCHG向内合上，且顶点E，G都落AB边上，点E在点G的右侧．EG=2cm可得AE=BG，AG=BE，2AG+2=8，解得：AG=3，可得AE=3+2=5(cm)；
(2)从底ABCD翻开的过程中，EG=1cm且∠EAB最大时，如图示：过E作EM⊥AB于M，过G作GN⊥AB于N，由题意可得：EG//，AE=BG=5，可得EM=GN，EG=MN=1，证明Rt△AEM≌Rt△BGN，AM=BN=72，可得∠EAB的余弦值为AMAE=725=710．
本题考查的是线段的和差运算，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求解锐角的余弦，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．

17.【答案】解：(−2023)0− 9+tan60°+|−5|
=1−3+ 3+5
=3+ 3． 
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：解不等式2x+1<9，得：x<4，
解不等式3−x<0，得：x>3，
∴不等式组的解集是3 【解析】分别求解不等式，即可得到不等式组的解集．
本题考查了求一元一次不等式组的解集，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找”是关键．

19.【答案】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠B=∠EAD，
∵∠E=∠DCE，
∴EB//CD，
∴∠D=∠EAD，
∴∠B=∠D；
(2)解：∵∠E=47°，∠E=∠DCE，
∴∠E=∠DCE=47°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE=47°，
∴∠B=180°−∠E−∠BCE=86°． 
【解析】(1)先利用平行线的性质可得∠B=∠EAD，再利用已知和平行线的判定可得EB//CD，然后再利用平行线的性质可得∠D=∠EAD，即可解答；
(2)根据已知可得∠DCE=47°，再利用角平分线的定义可得∠BCE=∠DCE=47°，然后利用三角形内角和定理，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．

20.【答案】解：(1)①调查的总人数为：20÷40%=50；
②在扇形统计图中的“其它”部分的圆心角度数为：360°×1550=108°；
(2)最喜欢的篮球运动项目”人数为：50−20−10−15=5，
补全条形统计图如下：

(3)900×1050=180(名)，
答：估计该校最喜欢乒乓球项目的学生人数大约为180名． 
【解析】(1)①用跳绳的人数除以40%可得样本容量；
②用360°乘样本中“其它”部分所占比例可得在扇形统计图中的“其它”部分的圆心角度数；
(2)用样本容量分别减去其他三个项目的人数可得最喜欢的篮球运动项目”人数，进而补全条形统计图；
(3)用900乘样本中最喜欢乒乓球项目的学生人数所占比例可得答案．
本题考查了用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．

21.【答案】解：(1)图象如图所示：

设p=kV，将点(1,90)代入，
得90=k，
∴k=90，
故这个函数的解析式为p=90V；
(2)当V=2m3时，P=902=45(kPa)．
(3)当p=180kPa时，V=90180=0.5(m3).
∴为了安全起见，气体的体积应不少于0.5m3． 
【解析】(1)根据描点，连线即可画出函数图象；设函数解析式为p=kV，把点(1.0,90.0)代入函数解析式求出k值即可；
(2)将V=2代入(1)中的反比例函数解析式即可求出；
(3)将P=180代入(1)中的反比例函数解析式即可求出V．
本题考查了反比例函数的实际应用，利用反比例函数解析式的数值的意义求解是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠CDA=∠EDA，
∴∠OAD=∠EDA，
∴AB//FE；
(2)解：∵AB//FE，
∴∠E=∠CAB=30°，
∵CD是圆的直径，
∴∠EFC=90°，
∴∠FCA=90°−∠E=60°；
(3)解：∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∵∠E=30°，
∴∠OCA=∠E=30°，
∴DC=DE，
∵DC是圆的直径，
∴AD⊥CE，
∴CA=EA，
∴CE=2CA，
∵cos∠DCA=ACCD= 32，CD=AB=8，
∴AC=4 3，
∴CE=2×4 3=8 3． 
【解析】(1)由OA=OD，得到∠ODA=∠OAD，而∠CDA=∠EDA，因此∠OAD=∠EDA，即可证明AB//FE；
(2)由AB//FE，得到∠E=∠CAB=30°，由圆周角定理得到∠EFC=90°，由直角三角形的性质，即可得到∠FCA的度数；
(3)可以证明DC=DE，由圆周角定理得到AD⊥CE，因此CE=2CA，由cos∠DCA=ACCD= 32，CD=AB=8，求出AC的长，即可得到CE的长．
本题考查圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握以上知识点是解题的关键．

23.【答案】解：(1)∵(1,3)在函数y=5x−2图象，1+3=4≠10，
∴(1,3)不是函数y=5x−2图象关于10的“恒值点”，
∵(2,8)在函数y=5x−2图象，2+9=10，
∴(2,8)是函数y=5x−2图象关于10的“恒值点，
∵(3,7)不在函数y=5x−2图象上，
∴(3,7)不是函数y=5x−2图象关于10的“恒值点”；
(2)①∵翻折后的抛物线与抛物线y=2x2+bx+2关于x轴对称，
∴−y=2x2+bx+2，
∴翻折后A，B之间的抛物线解析式为y=−2x2−bx−2；
②新图象分两部分，如图，
  
∵新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”，
∴x+2x2+bx+2=c，x−2x2−bx−2=c，
整理得：2x2+bx+2=−x+c或−2x2−bx−2=−x+c，
而y=−x+c与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，
令y=2x2+bx+2=0，
解得：x=−b± b2−164，
∴B(−b+ b2−164,0)，
当y=−x+c过B点时，满足条件；
∴c=−b+ b2−164；
当y=−x+c与y=−2x2−bx−2只有1个交点时，满足条件；
∴−2x2−bx−2=−x+c，即2x2+(b−1)x+c+2=0有两个相等的实数的实数解，
∴(b−1)2−4×2(c+2)=0.，
解得：c=b2−2b−158，
综上所述，c=−b+ b2−164或c=b2−2b−158． 
【解析】(1)由(1,3)，(2,8)在函数y=5x−2图象上，(3,7)不在函数图象上，而1+3=4，2+8=10，可得(2,8)是函数y=5x−2图象关于10的“恒值点”．
(2)①由抛物线y=2x2+bx+2，再根据关于x轴对称的特点可得答案；
②新图象分两部分，当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，x+2x2+bx+2=c，x−2x2−bx−2=c，整理得：2x2+bx+2=−x+c或−2x2−bx−2=−x+c，而y=−x+c与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，求解B(−b+ b2−164,0)，当y=−x+c过B点时，满足条件；c=−b+ b2−184，当y=−x+c与y=−2x2−bx−2只有1个交点时，满足条件；−2x2−bx−2=−x+c，即2x2+(b−1)x+c+2=0有两个相等的实数根，从而可得答案．
本题考查的是轴对称的性质，二次函数的应用，利用待定系数法求解抛物线的解析式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．

24.【答案】解：(1)当Q在BC上时，CQ=5−2t，
当Q在BC的延长线上时，CQ=2t−5；
(2)如图，过M作MK⊥BC于K，过M作MT⊥CD于T，

在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，
∴∠B=90°，AC= 42+52= 41，sin∠ACB=4 41，
∴MKCM=4 41，
∴MK=4 41CM，
同理可得：MT=5 41CM，
∵BQ=5CQ，
∴2t=5(5−2t)，
解得：t=2512，
∴CQ=5−2×2512=56，CP=2512，
∴△PMC与△QMC的面积之比为：12CP⋅MT12CQ⋅MK=2512×5 41CM56×4 41CM=258；
(3)①当E为直角顶点时，
△PEQ∽△QCP时，如图：

∴∠EPQ=∠PQC，
∴PE//BC，
∴四边形EQCB为矩形，
∴tan∠ACB=45=EQCQ，
∴t5−2t=45，
解得：t=2013；
△PEQ∽△PCQ时，如图：

∴∠EPQ=∠CPQ，
∵∠PEQ=90°=∠PCQ，∠EPQ=∠CPQ，PQ=PQ，
∴△PEQ≌△PC(AAS)，
∴EQ=CQ=5−2t，CP=EP=t，
∴PQ是EC的垂直平分线，
∴PQ⊥CE，
∴∠QPC+∠QPD=180°，∠DAC+QPD=180°，
∴∠QPC=∠DAC，
∴tan∠DAC=45=CQCP，
∴5−2tt=45，
解得：t=2514；
当△PEQ∽△QCP时，如图：

∴∠EPQ=∠CQP，
∴PC=EQ，
∴PE=CQ，
∴∠CEQ=∠CPQ=∠PQE，
∴AC//PQ，
∴∠ACB=∠PQC，
∴tan∠ACB=45=tan∠PQC=CPCQ，
∴t2t−5=45，
解得：t=203，
而0≤t≤4，经检验t=203不符合题意，舍去；
②当P为直角顶点时，
当△PEQ∽△CPQ时，过E作EI⊥BK于I，如图，

∴∠PEQ=∠QPC，
∵∠EPQ=∠PCQ=90°=∠QPK，
∴∠QPC+∠CPK=90°=∠CPK+∠PKC，
∴∠QPC=∠PKC，
∴∠PKC=∠PEQ，
∴QE=QK，
∴PE=PK，
∵EI⊥BK
∴PC//EI，
∴CKCI=pEPE=1，
∴CK=CI，EI=2CP=2t，
∵∠CPQ=∠PKC，∠PCQ=∠PCK=90°，
∴△PCQ∽△KCP，
∴PCCK=CQCP，
∴CK=CP2CQ=t25−2t，
∴CI=t25−2t，
∵tan∠ACB=45=EICT，
∴2tt25−2t=45，
解得：t=2512；
当△PEQ∽△CQP时，过E作EI⊥BC于I，如图：

∴∠PQE=∠CPQ，
∴JP=JQ，
∵∠EPC+∠CPQ=90°=∠PQE+∠PEQ，
∴∠PEQ=∠EPC，
∴JP=JE，
同理可得：CQ=CI=2t−5，EI=2CJ，
设CJ=m，则JP=JQ=t−m，
∵CJ2+CQ2=JQ2，
∴m2+(2t−5)2=(t−m)2，
解得：m=−3t2+20t−252t，
∴EI=−3t2+20t−25t，
同理可得：−3t2+20t−252t−5=45，
解得：t=60±5 2923，
经检验t=60+5 2923符合题意；
当△PCQ∽△QPE时，则∠PQC=∠PEQ，延长PC交QE于M，过E作EL⊥BC于L，如图：

同理可得：∠KPC=∠PQC=∠PEQ，MP=ME=MQ，CQ=CL=5−2t，EL=2CM，
设CM=m，则QM=PM=t+m，
∴(5−2t)2+m2=(t+m)2，
∴m=3y2−20t+252m=3t2−20t+252t，
∴EL=3t2−20t+25t，
同理可得：3t2−20t+25t5−2t=45，
∴23t2−120t+125=0，
解得t=60±5 295，
 经检验，t=60−5 2923符合题意；
综上所述：t=2013或t=2514或t=2512或t=60+5 2923或=60−5 2923． 
【解析】(1)分两种情况：当Q在BC上时，CQ=5−2t，当Q在BC的延长线上时，CQ=2t−5；
(2)过M作MK⊥BC于K，过M作MT⊥CD于T，证明∠B=90°，AC= 42+52= 41，sin∠ACB=4 41，可得MKCM=4 41，则MK=4 41CM，同理可得：MT=5 41CM，由BQ=5CQ，可得2t=5(5−2t)，解得：t=2512，即得CQ=5−2×2512=56，CP=2512，再利用面积公式计算即可；
(3)由以PE为直角边的Rt△PQE，与以点P，Q，C三点为顶点的三角形相似，根据直角的位置分两种情况讨论：当∠PEQ=90°或∠EPQ=90°，再画出图形，分类讨论求解即可．
本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．