河北阜城中学2022-2023学年高一下学期第三次月考数学试卷（含答案）

这是一份河北阜城中学2022-2023学年高一下学期第三次月考数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河北阜城中学2022-2023学年高一下学期第三次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2、已知向量，，且，则( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3、若单位向量，满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4、如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为( )

A. B. C. D.
5、在正方体中，M是正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6、在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若，则为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
7、如图，是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为( )

A. B. C. D.
8、锐角中，已知，则取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知a，，，，则下列说法正确的是( )
A.z的虚部是 B.
C. D.z对应的点在第二象限
10、向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则( )
A. B.与的夹角为
C. D.在上的投影向量为
11、设m，n为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，，则
12、如图所示，在三棱锥中，，且，P为线段VC的中点.则( )

A.PB与AC垂直
B. PB与VA平行
C.点P到点A，B，C，V的距离相等
D.VB与平面ABC，PB与平面ABC所成的角可能相等
三、填空题
13、已知，若向量与共线，则____________.
14、如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是___________.
四、双空题
15、在中，，,D是AC中点，，试用,表示为___________，若，则的最大值为____________
16、已知a,,i是虚数单位.若为实数，则___________，的最小值为___________.
五、解答题
17、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求角A.
（2）若，求的面积.
18、如图，在三棱锥中，D,E分别为AB,PB的中点，，且，.求证：平面PAC.

19、如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点.

（1）求证：；
（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明.
20、某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时.

（1）求B点到D点的距离BD；
（2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间.
21、如图，在正三棱柱中，,E,F分别为BC，的中点.

(1)证明：平面.
(2)求直线EF与平面所成角的正切值.
22、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求；
(2)再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求.
条件①：，；
条件②：；
参考答案
1、答案：C
解析：由题设，.
故选：C.
2、答案：A
解析：因为向量，，且，
所以，解得，
所以，
所以，
所以，
故选：A
3、答案：B
解析：由，得，
所以，所以，
又，所以.
故选：B.
4、答案：A
解析：方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，，故面积为.

方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为，
故原图的面积为.
故选：A
5、答案：A
解析：设正方体的棱长为，连接，MC，MB，
因为，故或其补角为直线与直线所成角.
而，，，
故，所以，
所以，因为为锐角，故，
故选：A.

6、答案：D
解析：，利用正弦定理，可得，
，
，
，
，
，
①时，有等式成立，此时；
②时，有，因为，所以，.
故为等腰或直角三角形.
故选：D
7、答案：C
解析：过C作平面ABD于E，
连DE并延长交AB于O，连CO，如图，

依题意，，而，，
则平面COD，又平面COD，有，
因此，是遮阳棚ABC与地面所成二面的平面角，令，而，
由于AB长一定，要使遮阴影面ABD面积最大，当且仅当DO最长，
在中，CO长是定值，由正弦定理得：，当且仅当，即取“=”，
所以遮阳棚ABC与地面所成的角应为.
故选：C
8、答案：D
解析：，,由余弦定理得：，即，
由正弦定理得：，，
，
又由得：，，
，
.
故选：D
9、答案：BC
解析：由复数相等可得解得所以，
对于A，的虚部是2，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，对应的点在虚轴上，故D错误.
故选：BC
10、答案：BC
解析：，,
,解得,故A错误
,，
由于，与的夹角为，故B正确,
,故C正确
在上的投影向量为，故D错误,
故选：BC
11、答案：BD
解析：解：对A：若，，则或m与n相交或m与n异面，故选项A错误；
对B：若，，则，故选项B正确；
对C：若，，则或与相交，故选项C正确；
对D：若，，，则，故选项D正确.
故选：BD.
12、答案：AC
解析：过点P作，垂足为H，连接BH，可得H为AC的中点.
因为，所以，所以平面PBH，所以，从而A正确；
由条件可知，而PH与PB有交点，因而PB与VA不平行，B错误；
点P是的外心，所以P到V，A，C的距离相等，
根据条件可知平面ABC，从而平面ABC，又因为H是的外心，所以P点到A，B，C的距离相等，所以点P到A，B，C，V四点的距离都相等，C正确；
VB与平面ABC所成的角即，PB与平面ABC所成的角即，，，所以两个角不可能相等，D错误.

故选：AC
13、答案：
解析：因为,且，所以，解得，
所以，所以;
故答案为：
14、答案：
解析：因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱均为2，
所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，
求出正方体的对角线的长为，
所以球的直径是，半径为，所以球的体积为.
故答案为：.
15、答案：;
解析：方法一：

，，
，
当且仅当时取等号，而，所以.
故答案为：；.
方法二：如图所示，建立坐标系：

，,,,，
，
所以点A的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当CA与相切时，最大，此时,.
故答案为：；.
16、答案：2;4
解析：a,，则，而，所以，即2；
，，当且仅当，即，时取“=”，
所以的最小值为4.
故答案为：2；4
17、答案：（1）；
（2）
解析：（1）由正弦定理，，又，
，即，由，得.
（2）由余弦定理知：，
，解得，
.
18、答案：证明见解析.
解析：在中，D是AB的中点，，
,
E是PB的中点，D是AB的中点，
，
，
又，，平面ABC，平面ABC，
平面ABC，
平面ABC，
，
又，，平面PAC，平面PAC，
平面PAC.
19、答案：（1）证明见解析；
（2）存在，当点N是AD的中点时满足题意.证明见解析解.
解析：（1）因为平面，平面ABCD，平面平面，所以；
（2）存在，且当点N是AD的中点时，平面平面PAB.下面给出证明：
因为E、N分别是PD、AD的中点，所以，
又平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.
由（1）知，，又N是AD的中点，，所以，所以四边形ABCN是平行四边形，从而，
又平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.
又因为，所以，平面平面PAB

20、答案：（1）50海里；
（2）2小时
解析：（1）由题意知：，，，
所以，
在中，由正弦定理可得：即，
所以海里，
（2）在中，，，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，
所以需要的时间为小时，
所以B点到D点的距离海里，救援船到达D点需要的时间为2小时.
21、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）如图，取的中点M，连接FM,BM.
F为的中点，，且.
，且，，且，
四边形BEFM是平行四边形，.
平面，平面,平面.

（2）取AC的中点N,CN的中点D，连接BN,DE,DF,NF.
平面平面，平面平面，
平面.
,平面，
直线EF与平面所成的角为.
，

22、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为，所以，
所以，则，
又，；
（2）若选条件①：因为，所以，
所以，则，
故c无解；
若选条件②：因为，又，所以，
由正弦定理得：，所以，
所以，又，所以，，
因为，
所以.