河北省大名县第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷（含答案）

这是一份河北省大名县第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省大名县第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、复数的虚部为( )
A.1 B. C. D.-2
2、用斜二测法画边长是4的正方形直观图，则所得直观图的面积是( )
A. B.8 C. D.16
3、下列结论中，正确的是( )
A.零向量只有大小，没有方向 B.若，，则
C.对任一向量，总是成立的 D.
4、在平行四边形ABCD中，M是CD边上中点，则( )
A. B. C. D.
5、若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是( )
A. B. C. D.
6、已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面，，下列命题正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
7、在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8、已知直三棱柱存在内切球，若，，，则该三棱柱外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.某工厂从老年、中年、青年职工中按的比例选取职工代表
B.用抽签的方法产生随机数
C.福利彩票用摇奖机摇奖
D.规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖
10、下列命题中正确的是( )
A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B.棱柱的面中，至少有两个面互相平行
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
D.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
11、在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则( )
A. B. C. D.
12、用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是( )
A.锐角三角形 B.直角梯形
C.正五边形 D.六边形
三、填空题
13、某学校高一、高二、高三，三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按的比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________.
14、在三棱锥中，，.若三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______.
15、已知向量，，则在方向上的投影向量是_______________.
16、（原创）已知正方体的棱长为1，点P在该正方体的表面上运动，且则点P的轨迹长度是________.
四、解答题
17、已知，，分别求下列条件下与的数量积.
（1）；
（2）；
（3）与的夹角为；
（4）与的夹角为.
18、如图，在直角梯形ABCD中，，，，，以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.

（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.
19、求解下列问题：
（1）在中，若，，，求角B.
（2）在中，若，，，求边c.
20、如图，在直三棱柱中，，，.

（1）求证：；
（2）设与底面ABC所成角的大小为，求三梭锥的体积.
21、如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，过点作，交线段BC于点D，且，.

（1）求；
（2）求的面积.
22、在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，E和F分别为PD和BC的中点.

（1）证明：平面PAB；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
1、答案：D
解析：，z的虚部为-2，故选:D
2、答案：A
解析：根据斜二测画法的规则可知道正方形直观图为平行四边形，
OA倾斜，长度变为原来的一半，得到，如图，


该直观图面积为:

故选:A
3、答案：D
解析：对于A，既有大小又有方向的量叫向量，故A错误;
对于B，若，满足，，但是与不一定平行，故B错误;
对于C，零向量的模长为0，故C错误;
对于D，由于与方向相反，长度相等，故，故D正确.
故选:D.
4、答案：C
解析：因为M是平行四边形ABCD的CD边上中点，
所以，
所以，
所以.
故选:C.
5、答案：A
解析：
6、答案：D
解析：对于A，如果直线m在平面内，则无法得出，故不正确;对于B，直线m只和平面内的一条直线垂直，无法得出线面垂直，故不正确;对于C，，，直线m有可能在平面内，无法得出，故不正确;对于D，符合平面和平面垂直的判定定理，所以正确.故选:D
7、答案：C
解析：由题设，过C作于D，如下图示，
则，可得时，三角形有两解.
当，即时，三角形不存在;
当或2时，分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形;
当时，在射线BD方向上有一个，而在射线DB方向上不存在，故此时仅有一个三角形;

故选:C
8、答案：D
解析：因为，，，故，故的内切圆的半径为.因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.
而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，故直三棱柱的高为2.
将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，故外接球的半径为，故外接球的表面积为.故选:D.

9、答案：BC
解析：对于A，此为分层抽样；对于B，此为随机数表法；对于C，此为简单随机抽样；对于D，此为系统抽样.
故选:BC.
10、答案：BC
解析：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.
而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误;
由棱柱定义可知棱柱的面中，至少有两个面互相平行，故B正确;
一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确;
一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥，故D错误.
故选：BC.

11、答案：BD
解析：在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，
则，故B正确;
，解得，故A错误，
，故C错误;
，故D正确.
故选:BD.
12、答案：BC
解析：对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.

如图所示的截面三角形ABC.
设，，，所以，，.
所以由余弦定理得：所以为锐角.
同理可求：为锐角，为锐角.
所以为锐角三角形.故A不选.
对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.B选.

对于C：当截面为五边形时，不可能出现正五边形.C选.

故选：BC.
13、答案：8
解析：若设高一学生人数为x，则高二学生人数为，高三学生人数为2x，所以有，解得.故高一学生人数为800，因此应抽取高一学生人数为.
故答案为:8
14、答案：
解析：将三棱雉P-ABC放入下图的长方体中，

设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，
，三式相加可得:，即，
三棱推P-ABC的外接球即长方体的外接球，
，，
球O的表面积为.
故答案为:.
15、答案：
解析：因，为单位向量，

所以在方向上的投影向量为
，
故答案为:.
16、答案：
解析：当时，如图，点P的轨迹是在面，，三个面内以1为半径，圆心角为的三段弧，所以此时点P点P在该正方体的表面上运动的轨迹的长度为，故答案为:

17、答案：（1）
（2）0
（3）10
（4）
解析：
（1）当时，或，则
（2）当时，；
（3）；
（4）
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）

如图所示，满足题意的直角梯形ABCD，以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，
形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，
其表面积为.
（2）

将圆台的侧面沿母线AD展开，得到如图所示的一个扇环，
圆台上下底面半径的关系为，，，
又，，，
设，则的弧长，，
连接，取线段中点M，连接OM，则，
在中，，，，
蚂蚁从点绕着圆台的侧面爬行一周回到点的最短路径即为线段，.
蚂蚁爬行的最短距离为.
19、答案：（1）
（2）
解析：
（1）由正弦定理得，，，
由于，所以为锐角，所以.
（2），
由正弦定理得，，解得.
20、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：
（1），，，
，
，
又直三棱柱中，平面ABC，
平面ABC，，
又，，平面，
平面，
平面，.
（2）平面ABC，
在平面ABC上的射影为AC，即为与底面ABC所成角，
，，
.
21、答案：（1）
（2）
解析：
（1）由，
根据正弦定理可得，即，
根据余弦定理可得，
因为，所以；
（2）因为，且，所以，则，
所以，所以.
所以，即，
在三角形ABD中，，，所以，
故.
22、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：
（1）取PA的中点M，连接ME，MB，
M，E分别为PA，PD的中点，
ME是的中位线，
且，
又F为BC的中点，
且，
且，
四边形MBFE是平行四边形，
，平面PAB，平面PAB，
平面PAB，

（2）取AD，DE的中点N，G，连接NG，FG，
设，，
为等腰三角形，
，
，
即，
又平面FED，平面AED，平面FED平面，
即为二面角的平面角，
，
二面角的平面角的余弦值为.