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2022-2023学年广东省佛山四中教育集团八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省佛山四中教育集团八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省佛山四中教育集团八年级（下）月考数学试卷（5月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 若a−14b
3. 下面式子从左边到右边的变形中，是因式分解的为( )
A. x2−x−2=x(x−1)−2 B. (x+y)(x−y)=x2−y2
C. x(x+1)=x2+x D. x2−2x+1=(x−1)2
4. 不等式组x−1>04x≤8的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
5. 如果把分式3xx−2y中的x、y的值都扩大2倍，那么分式的值( )
A. 扩大2倍 B. 扩大6倍 C. 扩大3倍 D. 不变
6. 如图，直线l1//l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC.若∠ABC=67°，则∠1=( )
A. 23° B. 46° C. 67° D. 78°
7. 下列变形不正确的是( )
A. xy=x⋅ay⋅a(a≠0) B. −x+yx=−x−yx
C. 9−x2x2−3x=3+xx D. ax−y+ay−x=0
8. 平面直角坐标系中，点P(2,0)平移后对应的点为Q(5,4)，则平移的距离为( )
A. 3个单位长度 B. 4个单位长度 C. 5个单位长度 D. 7个单位长度
9. 如图，函数y1=−2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2)，则关于x的不等式ax+3>−2x>0的解集是( )
A. x>−1
B. −1
D. x>2
10. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=22.5°，将△ABC绕着点C顺时针旋转，使得点A的对应点D落在边BC上，点B的对应点是点E，连接BE.下列说法中，正确的有( )
①DE⊥AB； ②∠BCE是旋转角； ③∠BED=30°；④△BDE与△CDE面积之比是 2：1．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. “a的3倍与12的差是一个非负数”用不等式表示为______ ．
12. “对顶角相等”这个命题的逆命题是______．
13. 已知多项式x2+mx+25是完全平方式，且m>0，则m的值为______．
14. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为______．
15. 如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ.若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：x+3>1x+2(x−1)≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．
17. (本小题8.0分)
先化简，然后再用一个你喜欢的数代入求值：x+2x2−6x+9÷x3−x⋅x−3x+2．
18. (本小题8.0分)
如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于点Q．
(1)求证：AM=BN；
(2)求∠BQM的度数．
19. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,4)，请解答下列问题：
(1)把△ABC向左平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，点A1的坐标是______ ；
(2)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，点B2的坐标是______ ；
(3)在x轴上求作点P，使PB+PC的值最小.(只需画图作出点P，不需要写作法，也不需要求点P的坐标)
20. (本小题9.0分)
阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4−4+8=(y+2)2+4≥4，
∵(y+2)2≥0即(y+2)2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4−x2+2x的最大值．
21. (本小题9.0分)
某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
22. (本小题12.0分)
(1)【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图1)，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2)，根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的因式分解等式① ______ ．
(2)【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b的小正方体后，余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4).根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为②a3−b3= ______ .(结果写成整式的积的形式)
(3)【知识运用】已知a−b=4，ab=3，求a3−b3的值．
(4)若a、b、c分别是一个三角形的三边长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，请判断该三角形的形状，并说明理由．
23. (本小题12.0分)
如图①已知△ACB和△DCE为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合．
(1)求证：AD=BE；
(2)将△DCE绕点C旋转得到图②，点A、D、E在同一直线上时，若CD= 2，BE=3，求AB的长；
(3)将△DCE绕点C顺时针旋转得到图③，若∠CBD=45°，AC=6，BD=3，求BE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.不等式两边都减去3，不等号的方向不变，故A正确，不符合题意；
B.不等式两边都乘以5，不等号的方向不变，故B正确，不符合题意；
C.不等式两边都乘以−2后再加上5，不等号的方向应改变，故C不正确，符合题意；
D.不等式两边都乘以−14，不等号的方向改变，故D正确，不符合题意；
故选：C．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，正确找出选项中不等式与原不等式的变化点是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】C
【解析】解：解不等式x−1>0，得：x>1，
解不等式4x≤8，得：x≤2，
则不等式组的解集为1
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：用2x和2y代替式子中的x和y得：6x2x−4y=6x2(x−2y)=3xx−2y，
因此分式的值不变．
故选：D．
x，y都扩大成原来的2倍，就是分别变成原来的2倍，变成2x和2y.用2x和2y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
此题考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小N倍，只要将原数乘以或除以N，再代入原式求解，是此类题目的常见解法．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意得：AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=67°，
∵直线l1//l2，
∴∠2=∠ABC=67°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=180°−∠2−∠ACB=180°−67°−67°=46°．
故选：B．
首先由题意可得：AB=AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线l1//l2，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数，然后根据平角的定义，即可求得∠1的度数．
此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用．
7.【答案】C
【解析】解：A、把分式xy分子和分母同时乘以a(a≠0)，得：x⋅ay⋅a，变形正确，
B、−x+yx=−(x−y)x=−x−yx，变形正确，
C、9−x2x2−3x=(3+x)(3−x)−x(3−x)=−3+x−x，变形不正确，
D、ax−y+ay−x=ax−y−ax−y=0，变形正确，
故选：C．
分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．而如果分式的分子、分母同时加上或减去同一个非0的数或式子，分式的值改变．
本题主要考查了分式的运算和分式的基本性质．正确掌握分式的运算法则和分式的基本性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵平面直角坐标系中，点P(2,0)平移后对应的点为Q(5,4)，
∴平移的距离为PQ= (5−2)2+(4−0)2=5．
故选：C．
平移的距离为一对对应点所连线段的长度，由于点P(2,0)平移后对应的点为Q(5,4)，根据两点间的距离公式求出PQ即可．
本题考查了坐标与图形变化−平移，两点间的距离公式，知道平移的距离为一对对应点所连线段的长度是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵函数y1=−2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2)，
∴2=−2m，
解得：m=−1，
∴关于x的不等式ax+3>−2x>0的解集是：−1
直接利用一次函数的性质得出m的值，再利用函数图象得出不等式ax+3>−2x>0的解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出m的值．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接AD，延长ED交AB于点F，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转，使得点A的对应点D落在边BC上，
∴AC=DC，BC=CE，∠ABC=∠CED=22.5°，∠BCE是旋转角，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠CED=90°
∴∠AFE=90°
∴DE⊥AB，
故①②正确
∵∠BCE=90°，BC=CE
∴∠BEC=45°
∴∠BED=∠BEC−∠CED=22.5°
故③错误
∵AD=CD，
∴AD= 2CD，∠DAC=∠ADC=45°，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，
∴∠ABC=∠BAD=22.5°，
∴AD=BD= 2CD，
∴△BDE与△CDE面积之比是 2：1．
故④正确．
故选：C．
由旋转的性质可得AC=DC，BC=CE，∠ABC=∠CED=22.5°，∠BCE是旋转角，可判断①②，由等腰三角形的性质可判断③④．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
11.【答案】3a−12≥0
【解析】解：根据题意，得3a−12≥0．
故答案为：3a−12≥0．
理解：差是一个非负数，即是最后算的差应大于或等于0．
读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
12.【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角
【解析】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，
所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题据此解答即可．
13.【答案】10
【解析】解：∵多项式x2+mx+25是完全平方式，且m>0，
∴m=2×1×5=10．
故答案为：10．
根据多项式x2+mx+25是完全平方式，且m>0，可得：m=2×1×5，据此求出m的值是多少即可．
此题主要考查了完全平方公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(a±b)2=a2±2ab+b2．
14.【答案】12
【解析】
【分析】
本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键.根据平移性质，判定△A′B′C为等边三角形，然后求解即可．
【解答】
解：由题意，得BB′=2，
∴B′C=BC−BB′=4．
由平移性质，可知A′B′=AB=4，∠A′B′C=∠ABC=60°，
∴A′B′=B′C，且∠A′B′C=60°，
∴△A′B′C为等边三角形，
∴△A′B′C的周长=3A′B′=12．
故答案为12．
15.【答案】24+9 3
【解析】解：连接PQ，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，
∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴PQ=AP=6，
∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，
∴∠CAP=∠BAQ，
在△APC和△AQB中，
AC=AB∠CAP=∠BAQAP=AQ，
∴△APC≌△AQB，
∴PC=QB=10，
在△BPQ中，∵PB2=82=64，PQ2=62=36，BQ2=102=100，
而64+36=100，
∴PB2+PQ2=BQ2，
∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，
∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=12×6×8+ 34×62=24+9 3．
故答案为24+9 3．
连接PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6，接着证明△APC≌△AQB得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ进行计算．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质．
16.【答案】解：x+3>1①x+2(x−1)≤1②，
解不等式①，得x>−2；
解不等式②，得x≤1；
所以原不等式组的解集为−2
．
【解析】首先解每个不等式，然后利用数轴确定两个不等式的解集的公共部分，即是不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式(组)，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：x+2x2−6x+9÷x3−x⋅x−3x+2
=x+2(x−3)2⋅3−xx⋅x−3x+2
=−1x，
∵当x=−2，0，3时，原分式无意义，
∴x可以为1，
当x=1时，原式=−11=−1．
【解析】先把除法转化为乘法，然后约分，再选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)猜测：AM=BN，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
AB=BC∠ABM=∠BCNBM=CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴AM=BN；
(2)∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠NBC，
∵∠BQM=∠ABQ+∠BAQ，
∴∠BQM=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°．
【解析】(1)猜测：AM=BN，根据等边三角形的性质求得∠ABC=∠ACB=60°，再由SAS证明全等即可；
(2)根据全等三角形的性质：对应角相等，求得∠BAM=∠NBC，利用三角形的外角和定理可得∠BQM=∠ABQ+∠BAQ，所以∠BQM=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键．在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便．
19.【答案】(−3,4) (2,−1)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标是(−3,4)；
故答案为：(−3,4)；
(2)如图，△A2B2C2，点B2的坐标是(2,−1)；
故答案为：(2,−1)；
(3)如图，点P即为所求．
(1)根据平移的性质即可把△ABC向左平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，进而可得点A1的坐标；
(2)根据旋转的性质即可画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，进而可得点B2的坐标；
(3)根据两点之间线段最短即可在x轴上求作点P，使PB+PC的值最小．
本题考查的是作图−旋转变换，平移变换，轴对称变换，熟知旋转和平移的性质是解答此题的关键．
20.【答案】解：m2+m+4=(m+12)2+154，
∵(m+12)2≥0，
∴(m+12)2+154≥154．
则m2+m+4的最小值是154；
4−x2+2x=−(x−1)2+5，
∵−(x−1)2≤0，
∴−(x−1)2+5≤5，
则4−x2+2x的最大值为5．
【解析】(1)多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
(2)多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．
此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x+30)元．
由题意：1500x+30=600x×2，
解得x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．
(2)因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．
m≤100−m，m≤50，
由题意：w=m(200−150)+(100−m)(180−120)=−10m+6000，
∵−10<0，
∴w随m的增大而减小，
∴m=50时，w有最小值=5500(元)．
【解析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．
(1)设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x+10)元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；
(2)因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．根据一次函数即可解决问题；
22.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b) (a−b)(a2+ab+b2)
【解析】解：(1)由图1可得阴影面积为a2−b2，
由图2可得阴影面积为(a+b)(a−b)，
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)．
(2)由图4可得几何体的体积为(a+b)(a−b)a+(a−b)bb=(a−b)(a2+ab+b2)，
故答案为：(a−b)(a2+ab+b2).
(3)a2+b2=(a−b)2+2ab=42+2×3=22，
则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=4×(22+3)=100．
(4)这是一个等边三角形，证明如下，
∵a2+b2+c2=ab+bc+ca，
∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca．
∴a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+a2+c2−2ca=0，
即(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2=0．
∵(a−b)2≥0，(b−c)2≥0，((a−c)2≥0,
∴(a−b)2=0，(b−c)2=0，(a−c)2=0，
∴a=b=c，
∴这是一个等边三角形．
(1)图一由大正方形面积减去小正方形面积为阴影面积，图二长方形长为a+b，宽为a−b，即可求出阴影面积；
(2)该几何体由一个长为a+b，宽为a−b，高为a的大长方体和一个长、宽、高为a−b，b，b的小长方体组成，将它们体积相加即为组合体的体积；
(3)由a2+b2=(a−b)2+2ab先求出a2+b2的值，结合(2)中结果，即可求出a3−b3的值；
(4)由已知可得a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+a2+c2−2ca=0，结合完全平方式可得a=b=c，即可判断三角形的形状．
本题主要考查了因式分解．本题的关键是结合整体的思想，对已知式子进行整理变形．
23.【答案】(1)证明：如图①中，
∵△ACB和△DCE为等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠ECB，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE．
(2)解：如图②中，设AE交BC于O．
由(1)可知△ACD≌△BCE，
∴∠CAO=∠EBO，
∵∠AOC=∠BOE，
∴∠BEO=∠ACO=90°，
在Rt△CDE中，∵∠DCE=90°，DC=CE= 2，
∴DE= 2CD=2，
∵AD=BE=3，
∴AE=5，
在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，AE=5，BE=3，
∴AB= AE2+BE2= 34．
(3)解：如图③中，连接AD，
∵CA=CB=6，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，AB=6 2，
∵∠CBD=45°，
∴∠ABD=90°，∵BD=3，AB=6 2，
∴AD= AB2+BD2= (6 2)2+32=9，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴在△ACD和△BCE中，
AC=CE∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
∴BE=9．
【解析】(1)如图①欲证明AD=BE，只要证明△ACD≌△BCE即可．
(2)如图②中，设AE交BC于O.在Rt△CDE中，由∠DCE=90°，DC=CE= 2，推出DE= 2CD=2，由AD=BE=3，推出AE=5，在Rt△ABE中，由∠AEB=90°，AE=5，BE=3，根据AB= AE2+BE2即可解决问题．
(3)如图③中，连接AD，首先证明∠ABD=90°，利用勾股定理求出线段AD，再证明△ACD≌△BCE推出BE=AD即可解决问题．
本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
2022-2023学年广东省佛山四中教育集团八年级（下）月考数学试卷（5月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 若a
3. 下面式子从左边到右边的变形中，是因式分解的为( )
A. x2−x−2=x(x−1)−2 B. (x+y)(x−y)=x2−y2
C. x(x+1)=x2+x D. x2−2x+1=(x−1)2
4. 不等式组x−1>04x≤8的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
5. 如果把分式3xx−2y中的x、y的值都扩大2倍，那么分式的值( )
A. 扩大2倍 B. 扩大6倍 C. 扩大3倍 D. 不变
6. 如图，直线l1//l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC.若∠ABC=67°，则∠1=( )
A. 23° B. 46° C. 67° D. 78°
7. 下列变形不正确的是( )
A. xy=x⋅ay⋅a(a≠0) B. −x+yx=−x−yx
C. 9−x2x2−3x=3+xx D. ax−y+ay−x=0
8. 平面直角坐标系中，点P(2,0)平移后对应的点为Q(5,4)，则平移的距离为( )
A. 3个单位长度 B. 4个单位长度 C. 5个单位长度 D. 7个单位长度
9. 如图，函数y1=−2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2)，则关于x的不等式ax+3>−2x>0的解集是( )
A. x>−1
B. −1
D. x>2
10. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=22.5°，将△ABC绕着点C顺时针旋转，使得点A的对应点D落在边BC上，点B的对应点是点E，连接BE.下列说法中，正确的有( )
①DE⊥AB； ②∠BCE是旋转角； ③∠BED=30°；④△BDE与△CDE面积之比是 2：1．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. “a的3倍与12的差是一个非负数”用不等式表示为______ ．
12. “对顶角相等”这个命题的逆命题是______．
13. 已知多项式x2+mx+25是完全平方式，且m>0，则m的值为______．
14. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为______．
15. 如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ.若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：x+3>1x+2(x−1)≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．
17. (本小题8.0分)
先化简，然后再用一个你喜欢的数代入求值：x+2x2−6x+9÷x3−x⋅x−3x+2．
18. (本小题8.0分)
如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于点Q．
(1)求证：AM=BN；
(2)求∠BQM的度数．
19. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,4)，请解答下列问题：
(1)把△ABC向左平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，点A1的坐标是______ ；
(2)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，点B2的坐标是______ ；
(3)在x轴上求作点P，使PB+PC的值最小.(只需画图作出点P，不需要写作法，也不需要求点P的坐标)
20. (本小题9.0分)
阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4−4+8=(y+2)2+4≥4，
∵(y+2)2≥0即(y+2)2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4−x2+2x的最大值．
21. (本小题9.0分)
某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
22. (本小题12.0分)
(1)【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图1)，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2)，根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的因式分解等式① ______ ．
(2)【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b的小正方体后，余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4).根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为②a3−b3= ______ .(结果写成整式的积的形式)
(3)【知识运用】已知a−b=4，ab=3，求a3−b3的值．
(4)若a、b、c分别是一个三角形的三边长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，请判断该三角形的形状，并说明理由．
23. (本小题12.0分)
如图①已知△ACB和△DCE为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合．
(1)求证：AD=BE；
(2)将△DCE绕点C旋转得到图②，点A、D、E在同一直线上时，若CD= 2，BE=3，求AB的长；
(3)将△DCE绕点C顺时针旋转得到图③，若∠CBD=45°，AC=6，BD=3，求BE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.不等式两边都减去3，不等号的方向不变，故A正确，不符合题意；
B.不等式两边都乘以5，不等号的方向不变，故B正确，不符合题意；
C.不等式两边都乘以−2后再加上5，不等号的方向应改变，故C不正确，符合题意；
D.不等式两边都乘以−14，不等号的方向改变，故D正确，不符合题意；
故选：C．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，正确找出选项中不等式与原不等式的变化点是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】C
【解析】解：解不等式x−1>0，得：x>1，
解不等式4x≤8，得：x≤2，
则不等式组的解集为1
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：用2x和2y代替式子中的x和y得：6x2x−4y=6x2(x−2y)=3xx−2y，
因此分式的值不变．
故选：D．
x，y都扩大成原来的2倍，就是分别变成原来的2倍，变成2x和2y.用2x和2y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
此题考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小N倍，只要将原数乘以或除以N，再代入原式求解，是此类题目的常见解法．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意得：AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=67°，
∵直线l1//l2，
∴∠2=∠ABC=67°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=180°−∠2−∠ACB=180°−67°−67°=46°．
故选：B．
首先由题意可得：AB=AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线l1//l2，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数，然后根据平角的定义，即可求得∠1的度数．
此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用．
7.【答案】C
【解析】解：A、把分式xy分子和分母同时乘以a(a≠0)，得：x⋅ay⋅a，变形正确，
B、−x+yx=−(x−y)x=−x−yx，变形正确，
C、9−x2x2−3x=(3+x)(3−x)−x(3−x)=−3+x−x，变形不正确，
D、ax−y+ay−x=ax−y−ax−y=0，变形正确，
故选：C．
分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．而如果分式的分子、分母同时加上或减去同一个非0的数或式子，分式的值改变．
本题主要考查了分式的运算和分式的基本性质．正确掌握分式的运算法则和分式的基本性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵平面直角坐标系中，点P(2,0)平移后对应的点为Q(5,4)，
∴平移的距离为PQ= (5−2)2+(4−0)2=5．
故选：C．
平移的距离为一对对应点所连线段的长度，由于点P(2,0)平移后对应的点为Q(5,4)，根据两点间的距离公式求出PQ即可．
本题考查了坐标与图形变化−平移，两点间的距离公式，知道平移的距离为一对对应点所连线段的长度是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵函数y1=−2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2)，
∴2=−2m，
解得：m=−1，
∴关于x的不等式ax+3>−2x>0的解集是：−1
直接利用一次函数的性质得出m的值，再利用函数图象得出不等式ax+3>−2x>0的解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出m的值．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接AD，延长ED交AB于点F，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转，使得点A的对应点D落在边BC上，
∴AC=DC，BC=CE，∠ABC=∠CED=22.5°，∠BCE是旋转角，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠CED=90°
∴∠AFE=90°
∴DE⊥AB，
故①②正确
∵∠BCE=90°，BC=CE
∴∠BEC=45°
∴∠BED=∠BEC−∠CED=22.5°
故③错误
∵AD=CD，
∴AD= 2CD，∠DAC=∠ADC=45°，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，
∴∠ABC=∠BAD=22.5°，
∴AD=BD= 2CD，
∴△BDE与△CDE面积之比是 2：1．
故④正确．
故选：C．
由旋转的性质可得AC=DC，BC=CE，∠ABC=∠CED=22.5°，∠BCE是旋转角，可判断①②，由等腰三角形的性质可判断③④．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
11.【答案】3a−12≥0
【解析】解：根据题意，得3a−12≥0．
故答案为：3a−12≥0．
理解：差是一个非负数，即是最后算的差应大于或等于0．
读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
12.【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角
【解析】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，
所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题据此解答即可．
13.【答案】10
【解析】解：∵多项式x2+mx+25是完全平方式，且m>0，
∴m=2×1×5=10．
故答案为：10．
根据多项式x2+mx+25是完全平方式，且m>0，可得：m=2×1×5，据此求出m的值是多少即可．
此题主要考查了完全平方公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(a±b)2=a2±2ab+b2．
14.【答案】12
【解析】
【分析】
本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键.根据平移性质，判定△A′B′C为等边三角形，然后求解即可．
【解答】
解：由题意，得BB′=2，
∴B′C=BC−BB′=4．
由平移性质，可知A′B′=AB=4，∠A′B′C=∠ABC=60°，
∴A′B′=B′C，且∠A′B′C=60°，
∴△A′B′C为等边三角形，
∴△A′B′C的周长=3A′B′=12．
故答案为12．
15.【答案】24+9 3
【解析】解：连接PQ，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，
∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴PQ=AP=6，
∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，
∴∠CAP=∠BAQ，
在△APC和△AQB中，
AC=AB∠CAP=∠BAQAP=AQ，
∴△APC≌△AQB，
∴PC=QB=10，
在△BPQ中，∵PB2=82=64，PQ2=62=36，BQ2=102=100，
而64+36=100，
∴PB2+PQ2=BQ2，
∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，
∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=12×6×8+ 34×62=24+9 3．
故答案为24+9 3．
连接PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6，接着证明△APC≌△AQB得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ进行计算．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质．
16.【答案】解：x+3>1①x+2(x−1)≤1②，
解不等式①，得x>−2；
解不等式②，得x≤1；
所以原不等式组的解集为−2
．
【解析】首先解每个不等式，然后利用数轴确定两个不等式的解集的公共部分，即是不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式(组)，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：x+2x2−6x+9÷x3−x⋅x−3x+2
=x+2(x−3)2⋅3−xx⋅x−3x+2
=−1x，
∵当x=−2，0，3时，原分式无意义，
∴x可以为1，
当x=1时，原式=−11=−1．
【解析】先把除法转化为乘法，然后约分，再选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)猜测：AM=BN，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
AB=BC∠ABM=∠BCNBM=CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴AM=BN；
(2)∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠NBC，
∵∠BQM=∠ABQ+∠BAQ，
∴∠BQM=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°．
【解析】(1)猜测：AM=BN，根据等边三角形的性质求得∠ABC=∠ACB=60°，再由SAS证明全等即可；
(2)根据全等三角形的性质：对应角相等，求得∠BAM=∠NBC，利用三角形的外角和定理可得∠BQM=∠ABQ+∠BAQ，所以∠BQM=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键．在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便．
19.【答案】(−3,4) (2,−1)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标是(−3,4)；
故答案为：(−3,4)；
(2)如图，△A2B2C2，点B2的坐标是(2,−1)；
故答案为：(2,−1)；
(3)如图，点P即为所求．
(1)根据平移的性质即可把△ABC向左平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，进而可得点A1的坐标；
(2)根据旋转的性质即可画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，进而可得点B2的坐标；
(3)根据两点之间线段最短即可在x轴上求作点P，使PB+PC的值最小．
本题考查的是作图−旋转变换，平移变换，轴对称变换，熟知旋转和平移的性质是解答此题的关键．
20.【答案】解：m2+m+4=(m+12)2+154，
∵(m+12)2≥0，
∴(m+12)2+154≥154．
则m2+m+4的最小值是154；
4−x2+2x=−(x−1)2+5，
∵−(x−1)2≤0，
∴−(x−1)2+5≤5，
则4−x2+2x的最大值为5．
【解析】(1)多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
(2)多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．
此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x+30)元．
由题意：1500x+30=600x×2，
解得x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．
(2)因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．
m≤100−m，m≤50，
由题意：w=m(200−150)+(100−m)(180−120)=−10m+6000，
∵−10<0，
∴w随m的增大而减小，
∴m=50时，w有最小值=5500(元)．
【解析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．
(1)设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x+10)元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；
(2)因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．根据一次函数即可解决问题；
22.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b) (a−b)(a2+ab+b2)
【解析】解：(1)由图1可得阴影面积为a2−b2，
由图2可得阴影面积为(a+b)(a−b)，
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)．
(2)由图4可得几何体的体积为(a+b)(a−b)a+(a−b)bb=(a−b)(a2+ab+b2)，
故答案为：(a−b)(a2+ab+b2).
(3)a2+b2=(a−b)2+2ab=42+2×3=22，
则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=4×(22+3)=100．
(4)这是一个等边三角形，证明如下，
∵a2+b2+c2=ab+bc+ca，
∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca．
∴a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+a2+c2−2ca=0，
即(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2=0．
∵(a−b)2≥0，(b−c)2≥0，((a−c)2≥0,
∴(a−b)2=0，(b−c)2=0，(a−c)2=0，
∴a=b=c，
∴这是一个等边三角形．
(1)图一由大正方形面积减去小正方形面积为阴影面积，图二长方形长为a+b，宽为a−b，即可求出阴影面积；
(2)该几何体由一个长为a+b，宽为a−b，高为a的大长方体和一个长、宽、高为a−b，b，b的小长方体组成，将它们体积相加即为组合体的体积；
(3)由a2+b2=(a−b)2+2ab先求出a2+b2的值，结合(2)中结果，即可求出a3−b3的值；
(4)由已知可得a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+a2+c2−2ca=0，结合完全平方式可得a=b=c，即可判断三角形的形状．
本题主要考查了因式分解．本题的关键是结合整体的思想，对已知式子进行整理变形．
23.【答案】(1)证明：如图①中，
∵△ACB和△DCE为等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠ECB，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE．
(2)解：如图②中，设AE交BC于O．
由(1)可知△ACD≌△BCE，
∴∠CAO=∠EBO，
∵∠AOC=∠BOE，
∴∠BEO=∠ACO=90°，
在Rt△CDE中，∵∠DCE=90°，DC=CE= 2，
∴DE= 2CD=2，
∵AD=BE=3，
∴AE=5，
在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，AE=5，BE=3，
∴AB= AE2+BE2= 34．
(3)解：如图③中，连接AD，
∵CA=CB=6，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，AB=6 2，
∵∠CBD=45°，
∴∠ABD=90°，∵BD=3，AB=6 2，
∴AD= AB2+BD2= (6 2)2+32=9，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴在△ACD和△BCE中，
AC=CE∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
∴BE=9．
【解析】(1)如图①欲证明AD=BE，只要证明△ACD≌△BCE即可．
(2)如图②中，设AE交BC于O.在Rt△CDE中，由∠DCE=90°，DC=CE= 2，推出DE= 2CD=2，由AD=BE=3，推出AE=5，在Rt△ABE中，由∠AEB=90°，AE=5，BE=3，根据AB= AE2+BE2即可解决问题．
(3)如图③中，连接AD，首先证明∠ABD=90°，利用勾股定理求出线段AD，再证明△ACD≌△BCE推出BE=AD即可解决问题．
本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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