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2022-2023学年山东省聊城市八年级（下）第二次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省聊城市八年级（下）第二次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省聊城市八年级（下）第二次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若点(5,3)在一次函数y=kx−2(k≠0)的图象上，则k的值是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 1
2. 下列各数中： 4、2π、0.3010、−2.31、227、39、0.1010010001…(每个1后依次多1个0)，其中是无理数的个数有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3. 下列计算中，正确的是( )
A. 2+ 3= 5
B. 2+ 3=3 3
C. 15÷ 5× 3= 155×3= 9=3
D. (1+ 3)(2− 3)=1−3=−2
4. 下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. m3 B. 18m C. 3m2 D. 2m2+1
5. 式子 3x+2x−3= 3x+2 x−3成立的条件是( )
A. x≥−23 B. x≥3 C. x>3 D. x≥−23且x≠3
6. 如图所示，在数轴上点B所表示的数为−1，点C所表示的数为1，DC垂直于该数轴，且DC=1，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为( )
A. −1− 5 B. 1− 5 C. − 5 D. −1+ 5
7. 若不等式组x+a≥01−2x>x−5有解，则a的取值范围是( )
A. a≤−2 B. <−2 C. a≥−2 D. a>−2
8. 对于任意的正数m，n，定义运算※：m※n= m− n(m≥n) m+ n(m
9. 如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是( )
A. 23 5
B. 2 5
C. 3 5
D. 2
10. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果∠CAE=15°，那么∠BOE的度数为( )
A. 55°
B. 65°
C. 75°
D. 67.5°
11. 已知线段a=10cm，b=14cm，c=8cm，以其中两条为对角线，另一条为边画平行四边形，可以画出不同形状的平行四边形的个数为( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
12. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②乙开车速度是80千米/小时；
③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
④出发3小时时，甲乙同时到达终点；
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 9的算术平方根是______ ．
14. 若一个直角三角形的两边的长分别为m、n，且满足 m−3+|n−4|=0，则第三边的长为______ ．
15. 已知2+ 3的整数部分是a，小数部分是b，则a2+b2的值为______．
16. 关于x的不等式x−m>03−2x>−1的整数解共有3个，则m的取值范围是______ ．
17. 如图，螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成的，其序号依次为①②③④⑤…，若第1个等腰直角三角形的直角边长为a，则第2019个等腰直角三角形的面积为______．
三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题12.0分)
计算题：
(1)2 75+ 12−3 27；
(2) 123÷ 213× 125；
(3) 48÷ 3− 12× 12+ 24；
(4)(2 3−1)2+( 3+2)( 3−2)．
19. (本小题6.0分)
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|− (b−1)2− (a+b)2．
20. (本小题7.0分)
先化简，再求值：(3x+1−x+1)÷x2+4x+4x+1，其中x= 2−2．
21. (本小题7.0分)
已知函数y=(m+1)x2−|m|+n+4．
(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？
(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
22. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC=8，BD=6，求平行四边形ACDE的面积．
23. (本小题9.0分)
为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：
A型
B型
价格(万元/台)
a
b
处理污水量(吨/月)
240
180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元．
(1)求a、b的值；
(2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过47万元，并且该月要求处理西太湖的污水量不低于1860吨，则有哪几种购买方案？请指出最省钱的一种购买方案，并指出相应的费用．
24. (本小题8.0分)
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=9.将矩形纸片折叠，使点B和点D重合．
(1)求ED的长；
(2)求折痕EF的长．
25. (本小题12.0分)
如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(2,4)，B(0,2)两点，与x轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)若点P(m,n)是一次函数图象上任意一点，设△POC的面积为S，试求出S与m的函数关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵点(5,3)在一次函数图象上，
∴把点的坐标代入一次函数解析式可得3=5k−2，解得k=1，
故选：D．
把点的坐标代入函数解析式可得到关于k的方程，可求得k的值．
本题主要考查点与函数图象的关系，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：无理数有2π、39、0.1010010001…(每个1后依次多1个0)共3个．
故选：B．
根据无理数的定义，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 2，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
3.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不能合并，所以A选项错误；
B、2与 3不能合并，所以B选项错误；
C、 15÷ 5× 3= 155×3= 9=3，所以C选项正确；
D、(1+ 3)(2− 3)=2− 3+2 3−3= 3−1，所以D选项错误．
故选C．
根据合并同类项对A、B进行判断；根据二次根式的乘除法法则对C进行判断；先把(1+ 3)(2− 3)利用乘法公式展开，然后合并同类二次根式，从而可对D进行判断．
本题考查了实数的运算：先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．
4.【答案】D
【解析】解：A、 m3= 3m3，不是最简二次根式，
B、 18m=3 2m，不是最简二次根式，
C、 3m2= 3|m|，不是最简二次根式，
D、 2m2+1没有能开方的因式，是最简二次根式，
故选：D．
最简二次根式是被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式．
本题主要考查最简二次根式的知识点，掌握二次根式的性质是解决此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：式子 3x+2x−3= 3x+2 x−3成立，
则3x+2≥0x−3>0，
解得：x>3．
故选：C．
直接利用二次根式有意义的条件以及不等式组的解法分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：由勾股定理知BD= BC2+CD2= 22+12= 5，
∵AB=BD，
∴AB= 5，
∴A到原点的距离为 5+1，
又∵A在原点左侧，
∴A的值为− 5−1，
故选：A．
根据题意求出点A到原点的距离，即可确定A的值．
本题主要考查勾股定理和数轴的定义，关键是要利用勾股定理求出BD的长度．
7.【答案】D
【解析】解：x+a≥0①1−2x>x−5②，
解不等式①得：x≥−a，
解不等式②得：x<2，
∵不等式组有解，
∴−a<2，
∴a>−1，
故选：D．
先解不等式①和②，然后根据题意可得−a<2，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵m※n= m− n(m≥n) m+ n(m
∴(3※2)×(8※12)=( 3− 2)×(2 2+2 3)=2，
故选：B．
先利用定义的新运算将(3※2)×(8※12)化简，再进行计算即可．
本题考查实数中的新定义运算，解题的关键是利用题干的新定义运算将所求式子转化为实数计算．
9.【答案】C
【解析】解：四边形DEFA是正方形，面积是4；
△ABF，△ACD的面积相等，且都是12×1×2=1．
△BCE的面积是：12×1×1=12．
则△ABC的面积是：4−1−1−12=32．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC= 5．
设AC边上的高线长是x.则12AC⋅x= 52x=32，
解得：x=3 5．
故选：C．
求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高．
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用割补法求面积是解决本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD，AB=CD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
∴AB=BE，
∵∠CAE=15°，
∴∠CAD=∠DAE−∠CAE=30°，
∴AC=2CD，
∴BD=2AB，
∴BO=BE，
∴∠BOE=∠BEO，
∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴△AOB≌△COB(SAS)，
∴∠OAD=∠OBC=30°，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=∠BEO=180°−30°2=75°，
故选：C．
根据矩形的性质和全等三角形的判定、性质，可以计算出BO=BE，∠OBE的度数，然后即可计算出∠BOE的度数．
本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=12AC，BO=OD=12BD，
分为三种情况：
①AC=10cm，BD=14cm，AB=8cm时，AO=5cm，BO=7cm，
则5+7>8，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
②AC=10cm，BD=8cm，AB=14cm时，AO=5cm，BO=4cm，
则5+4<14，不符合三角形三边关系定理；不能组成平行四边形；
③AC=8cm，BD=14cm，AB=10cm时，AO=4cm，BO=7cm，
则4+7>10，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
可以画出不同形状的平行四边形的个数是2，
故选：C．
根据平行四边形性质得出OA=OC=12AC，BO=OD=12BD，分为三种情况：①AC=10cm，BD=14cm，AB=8cm时，②AC=10cm，BD=8cm，AB=14cm时，③AC=8cm，BD=14cm，AB=10cm时，求出AO和BO的值，根据三角形的三边关系定理看看△AOB是否存在即可．
本题考查了平行四边形性质和三角形的三边关系定理的应用，能运用定理判断平行四边形是否存在时解此题的关键．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答．
根据函数图象和图象中的数据可以计算出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】
解：由图象可得，当t=1时，s=0，
即出发1小时时，甲乙在途中相遇，故①正确，
甲的速度是：120÷3=40千米/时，则乙的速度是：120÷1−40=80千米/h，故②正确；
出发1.5小时时，乙比甲多行驶路程是：1.5×(80−40)=60千米，故③正确；
在1.5小时时，乙到达终点，甲在3小时时到达终点，故④错误，
故选：C．
13.【答案】 3
【解析】解：∵ 9=3，
∴ 9的算术平方根是 3．
故答案为： 3．
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a，由此即可得到答案．
本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
14.【答案】 7或5
【解析】解：∵ m−3+|n−4|=0，
∴m−3=0，n−4=0，
∴m=3，n=4，
即这个直角三角形的两边长分别为3和4．
①当4是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x= 42−32= 7；
②当4是此直角三角形的直角边时，设斜边为x，则由勾股定理得到：x= 42+32=5．
故答案为 7或5．
先由非负数的性质求出m=3，n=4，由于题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
本题考查的是勾股定理，解答此题时要注意要分类讨论，不要漏解．同时考查了非负数的性质．
15.【答案】13−2 3
【解析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
解：∵1<3<4，
∴1< 3<2，
∴1+2<2+ 3<2+2，即3<2+ 3<4，
∴a=3，b=2+ 3−3= 3−1，
∴a2+b2=32+( 3−1)2=9+3+1−2 3=13−2 3．
故答案为：13−2 3．
先估算出2+ 3的取值范围，进而可得出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
16.【答案】−2≤m<−1
【解析】解：关于x的不等式x−m>03−2x>−1的解集是：m
故m的范围是：−2≤m<−1．
故答案为：−2≤m<−1
首先确定不等式组的整数解，即可确定m的范围．
本题考查解不等式组及不等组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定m的范围，是解决本题的关键．
17.【答案】22017a2
【解析】解：第1个等腰直角三角形的面积=12×a×a=12a2，
由勾股定理得，第2个等腰直角三角形的边长= a2+a2= 2a，
则第2个等腰直角三角形的面积=12× 2a× 2a=a2，
由勾股定理得，第3个等腰直角三角形的边长= ( 2a)2+( 2a)2=2a，
则第2个等腰直角三角形的面积=12×2a×2a=2a2，
…
∴第2019个等腰直角三角形的面积=22017a2，
故答案为：22017a2．
根据三角形的面积公式求出第1个等腰直角三角形的面积，根据勾股定理求出第2个等腰直角三角形的边长、第3个等腰直角三角形的边长，求出面积，总结规律，根据规律解答．
本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
18.【答案】解：(1)2 75+ 12−3 27
=10 3+2 3−9 3
=3 3；
(2) 123÷ 213× 125
= 53÷ 73× 75
= 53×37×75
= 1
=1；
(3) 48÷ 3− 12× 12+ 24
= 16− 6+2 6
=4− 6+2 6
=4+ 6；
(4)(2 3−1)2+( 3+2)( 3−2)
=12+1−4 3+3−4
=12−4 3．
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)将带分数化为假分数，再计算二次根式乘除法；
(3)先算乘除法，并化简二次根式，再合并即可；
(4)利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
19.【答案】解：由数轴可得：a+1>0，b−1>0，a+b>0，
故原式=a+1−(b−1)−(a+b)
=a+1−b+1−a−b
=−2b+2．
【解析】直接利用数轴结合二次根式的性质以及绝对值的性质化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．
20.【答案】解；原式=[3x+1−(x+1)(x−1)x+1]⋅x+1(x+2)2
=−(x+2)(x−2)x+1·x+1(x+2)2
=2−xx+2，
当x= 2−2时，
原式=2− 2+2 2−2+2
=4− 2 2
=2 2−1
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入进行计算即可．
本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21.【答案】解：(1)根据一次函数的定义，得：
2−|m|=1，
解得：m=±1．
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义，得：
2−|m|=1，n+4=0，
解得：m=±1，n=−4，
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数．
【解析】(1)直接利用一次函数的定义分析得出答案；
(2)直接利用正比例函数的定义分析得出答案
此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握次数与系数的关系是解题关键．
22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴AE//CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE//AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴DO=12BD=3，AC⊥BD，
∴S▱ACDE=AC·DO=24．
【解析】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．
(1)根据平行四边形的判定证明即可；
(2)利用菱形的性质得出DO=3，AC⊥BD，即可求平行四边形ACDE的面积．
23.【答案】解：(1)根据题意得：a−b=24b−2a=4，
解得：a=6b=4；
(2)设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备(10−x)台，根据题意得，
6x+4(10−x)≤47240x+180(10−x)≥1860
解得：1≤x≤3.5
∴x为1，2，3．
购买方案：①A型设备1台，B型设备9台，费用为：1×6+9×4=42(万元)
②A型设备2台，B型设备8台，费用为：2×6+8×4=44(万元)
③A型设备3台，B型设备7台，费用为：3×6+7×4=46(万元)
∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台，其费用为42万元．
【解析】(1)购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元可列方程组求解．
(2)设购买A型号设备x台，则B型为(10−x)台，根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过47万元，利用每月要求处理污水量不低于1860吨，可列不等式组求解．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3．
∵AD//BC，
∴∠BFE=∠DEF．
∵∠BFE=∠EFD，
∴∠EFD=∠DEF，
∴DE=DF．
设DE=x，则DF=x，FC=9−x．
在Rt△DFC中，FC2+DC2=DF2，
∴(9−x)2+32=x2.解得x=5．
∴DE=5．
(2)过点E做EM垂直于BC，垂足为M.则AE=CF=4，BF=DF=5
∵AE=CF=4，BF=DF=5，
∴MF=BF−BM=5−4=1．
∴Rt△MEF中，EF2=EM2+MF2=32+12=10
∴EF= 10．
【解析】(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明三角形DEF为等腰三角形，从而得到ED=DF，设DE=x，则DF=x，FC=9−x，然后在△DFC中依据勾股定理列方程求解即可；
(2)过点E做EM垂直于BC，垂足为M.先求得MF的长度，然后依据勾股定理可求得EF的长．
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把A(2,4)，B(0,2)代入y=kx+b得：
2k+b=4b=2，解得k=1b=2，
∴一次函数的解析式为：y=x+2；
(2)把y=0代入y=x+2中得：x+2=0，
x=−2，
∴C(−2,0)；
(3)∵点P是一次函数图象上任意一点，
∴n=m+2，
又S=12OC×|n|=12×2×|n|=|n|，
分两种情况：
①当n>0时，S=n=m+2；
②当n<0时，
S=|n|=−n=−(m+2)=−m−2，
综上所述，S=m+2(m≥−2)−m−2(m<−2)．
【解析】(1)利用待定系数法求一次函数的解析式；
(2)令y=0代入解析式可得C的坐标；
(3)分n>0和n<0两种情况计算△POC的面积为S．
本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，三角形的面积的应用，解此题的关键是能求出直线的解析式．
2022-2023学年山东省聊城市八年级（下）第二次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若点(5,3)在一次函数y=kx−2(k≠0)的图象上，则k的值是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 1
2. 下列各数中： 4、2π、0.3010、−2.31、227、39、0.1010010001…(每个1后依次多1个0)，其中是无理数的个数有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3. 下列计算中，正确的是( )
A. 2+ 3= 5
B. 2+ 3=3 3
C. 15÷ 5× 3= 155×3= 9=3
D. (1+ 3)(2− 3)=1−3=−2
4. 下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. m3 B. 18m C. 3m2 D. 2m2+1
5. 式子 3x+2x−3= 3x+2 x−3成立的条件是( )
A. x≥−23 B. x≥3 C. x>3 D. x≥−23且x≠3
6. 如图所示，在数轴上点B所表示的数为−1，点C所表示的数为1，DC垂直于该数轴，且DC=1，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为( )
A. −1− 5 B. 1− 5 C. − 5 D. −1+ 5
7. 若不等式组x+a≥01−2x>x−5有解，则a的取值范围是( )
A. a≤−2 B. <−2 C. a≥−2 D. a>−2
8. 对于任意的正数m，n，定义运算※：m※n= m− n(m≥n) m+ n(m
9. 如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是( )
A. 23 5
B. 2 5
C. 3 5
D. 2
10. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果∠CAE=15°，那么∠BOE的度数为( )
A. 55°
B. 65°
C. 75°
D. 67.5°
11. 已知线段a=10cm，b=14cm，c=8cm，以其中两条为对角线，另一条为边画平行四边形，可以画出不同形状的平行四边形的个数为( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
12. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②乙开车速度是80千米/小时；
③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
④出发3小时时，甲乙同时到达终点；
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 9的算术平方根是______ ．
14. 若一个直角三角形的两边的长分别为m、n，且满足 m−3+|n−4|=0，则第三边的长为______ ．
15. 已知2+ 3的整数部分是a，小数部分是b，则a2+b2的值为______．
16. 关于x的不等式x−m>03−2x>−1的整数解共有3个，则m的取值范围是______ ．
17. 如图，螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成的，其序号依次为①②③④⑤…，若第1个等腰直角三角形的直角边长为a，则第2019个等腰直角三角形的面积为______．
三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题12.0分)
计算题：
(1)2 75+ 12−3 27；
(2) 123÷ 213× 125；
(3) 48÷ 3− 12× 12+ 24；
(4)(2 3−1)2+( 3+2)( 3−2)．
19. (本小题6.0分)
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|− (b−1)2− (a+b)2．
20. (本小题7.0分)
先化简，再求值：(3x+1−x+1)÷x2+4x+4x+1，其中x= 2−2．
21. (本小题7.0分)
已知函数y=(m+1)x2−|m|+n+4．
(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？
(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
22. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC=8，BD=6，求平行四边形ACDE的面积．
23. (本小题9.0分)
为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：
A型
B型
价格(万元/台)
a
b
处理污水量(吨/月)
240
180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元．
(1)求a、b的值；
(2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过47万元，并且该月要求处理西太湖的污水量不低于1860吨，则有哪几种购买方案？请指出最省钱的一种购买方案，并指出相应的费用．
24. (本小题8.0分)
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=9.将矩形纸片折叠，使点B和点D重合．
(1)求ED的长；
(2)求折痕EF的长．
25. (本小题12.0分)
如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(2,4)，B(0,2)两点，与x轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3)若点P(m,n)是一次函数图象上任意一点，设△POC的面积为S，试求出S与m的函数关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵点(5,3)在一次函数图象上，
∴把点的坐标代入一次函数解析式可得3=5k−2，解得k=1，
故选：D．
把点的坐标代入函数解析式可得到关于k的方程，可求得k的值．
本题主要考查点与函数图象的关系，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：无理数有2π、39、0.1010010001…(每个1后依次多1个0)共3个．
故选：B．
根据无理数的定义，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 2，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
3.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不能合并，所以A选项错误；
B、2与 3不能合并，所以B选项错误；
C、 15÷ 5× 3= 155×3= 9=3，所以C选项正确；
D、(1+ 3)(2− 3)=2− 3+2 3−3= 3−1，所以D选项错误．
故选C．
根据合并同类项对A、B进行判断；根据二次根式的乘除法法则对C进行判断；先把(1+ 3)(2− 3)利用乘法公式展开，然后合并同类二次根式，从而可对D进行判断．
本题考查了实数的运算：先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．
4.【答案】D
【解析】解：A、 m3= 3m3，不是最简二次根式，
B、 18m=3 2m，不是最简二次根式，
C、 3m2= 3|m|，不是最简二次根式，
D、 2m2+1没有能开方的因式，是最简二次根式，
故选：D．
最简二次根式是被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式．
本题主要考查最简二次根式的知识点，掌握二次根式的性质是解决此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：式子 3x+2x−3= 3x+2 x−3成立，
则3x+2≥0x−3>0，
解得：x>3．
故选：C．
直接利用二次根式有意义的条件以及不等式组的解法分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：由勾股定理知BD= BC2+CD2= 22+12= 5，
∵AB=BD，
∴AB= 5，
∴A到原点的距离为 5+1，
又∵A在原点左侧，
∴A的值为− 5−1，
故选：A．
根据题意求出点A到原点的距离，即可确定A的值．
本题主要考查勾股定理和数轴的定义，关键是要利用勾股定理求出BD的长度．
7.【答案】D
【解析】解：x+a≥0①1−2x>x−5②，
解不等式①得：x≥−a，
解不等式②得：x<2，
∵不等式组有解，
∴−a<2，
∴a>−1，
故选：D．
先解不等式①和②，然后根据题意可得−a<2，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵m※n= m− n(m≥n) m+ n(m
∴(3※2)×(8※12)=( 3− 2)×(2 2+2 3)=2，
故选：B．
先利用定义的新运算将(3※2)×(8※12)化简，再进行计算即可．
本题考查实数中的新定义运算，解题的关键是利用题干的新定义运算将所求式子转化为实数计算．
9.【答案】C
【解析】解：四边形DEFA是正方形，面积是4；
△ABF，△ACD的面积相等，且都是12×1×2=1．
△BCE的面积是：12×1×1=12．
则△ABC的面积是：4−1−1−12=32．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC= 5．
设AC边上的高线长是x.则12AC⋅x= 52x=32，
解得：x=3 5．
故选：C．
求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高．
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用割补法求面积是解决本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD，AB=CD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
∴AB=BE，
∵∠CAE=15°，
∴∠CAD=∠DAE−∠CAE=30°，
∴AC=2CD，
∴BD=2AB，
∴BO=BE，
∴∠BOE=∠BEO，
∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴△AOB≌△COB(SAS)，
∴∠OAD=∠OBC=30°，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=∠BEO=180°−30°2=75°，
故选：C．
根据矩形的性质和全等三角形的判定、性质，可以计算出BO=BE，∠OBE的度数，然后即可计算出∠BOE的度数．
本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=12AC，BO=OD=12BD，
分为三种情况：
①AC=10cm，BD=14cm，AB=8cm时，AO=5cm，BO=7cm，
则5+7>8，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
②AC=10cm，BD=8cm，AB=14cm时，AO=5cm，BO=4cm，
则5+4<14，不符合三角形三边关系定理；不能组成平行四边形；
③AC=8cm，BD=14cm，AB=10cm时，AO=4cm，BO=7cm，
则4+7>10，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
可以画出不同形状的平行四边形的个数是2，
故选：C．
根据平行四边形性质得出OA=OC=12AC，BO=OD=12BD，分为三种情况：①AC=10cm，BD=14cm，AB=8cm时，②AC=10cm，BD=8cm，AB=14cm时，③AC=8cm，BD=14cm，AB=10cm时，求出AO和BO的值，根据三角形的三边关系定理看看△AOB是否存在即可．
本题考查了平行四边形性质和三角形的三边关系定理的应用，能运用定理判断平行四边形是否存在时解此题的关键．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答．
根据函数图象和图象中的数据可以计算出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】
解：由图象可得，当t=1时，s=0，
即出发1小时时，甲乙在途中相遇，故①正确，
甲的速度是：120÷3=40千米/时，则乙的速度是：120÷1−40=80千米/h，故②正确；
出发1.5小时时，乙比甲多行驶路程是：1.5×(80−40)=60千米，故③正确；
在1.5小时时，乙到达终点，甲在3小时时到达终点，故④错误，
故选：C．
13.【答案】 3
【解析】解：∵ 9=3，
∴ 9的算术平方根是 3．
故答案为： 3．
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a，由此即可得到答案．
本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
14.【答案】 7或5
【解析】解：∵ m−3+|n−4|=0，
∴m−3=0，n−4=0，
∴m=3，n=4，
即这个直角三角形的两边长分别为3和4．
①当4是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x= 42−32= 7；
②当4是此直角三角形的直角边时，设斜边为x，则由勾股定理得到：x= 42+32=5．
故答案为 7或5．
先由非负数的性质求出m=3，n=4，由于题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
本题考查的是勾股定理，解答此题时要注意要分类讨论，不要漏解．同时考查了非负数的性质．
15.【答案】13−2 3
【解析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
解：∵1<3<4，
∴1< 3<2，
∴1+2<2+ 3<2+2，即3<2+ 3<4，
∴a=3，b=2+ 3−3= 3−1，
∴a2+b2=32+( 3−1)2=9+3+1−2 3=13−2 3．
故答案为：13−2 3．
先估算出2+ 3的取值范围，进而可得出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
16.【答案】−2≤m<−1
【解析】解：关于x的不等式x−m>03−2x>−1的解集是：m
故m的范围是：−2≤m<−1．
故答案为：−2≤m<−1
首先确定不等式组的整数解，即可确定m的范围．
本题考查解不等式组及不等组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定m的范围，是解决本题的关键．
17.【答案】22017a2
【解析】解：第1个等腰直角三角形的面积=12×a×a=12a2，
由勾股定理得，第2个等腰直角三角形的边长= a2+a2= 2a，
则第2个等腰直角三角形的面积=12× 2a× 2a=a2，
由勾股定理得，第3个等腰直角三角形的边长= ( 2a)2+( 2a)2=2a，
则第2个等腰直角三角形的面积=12×2a×2a=2a2，
…
∴第2019个等腰直角三角形的面积=22017a2，
故答案为：22017a2．
根据三角形的面积公式求出第1个等腰直角三角形的面积，根据勾股定理求出第2个等腰直角三角形的边长、第3个等腰直角三角形的边长，求出面积，总结规律，根据规律解答．
本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
18.【答案】解：(1)2 75+ 12−3 27
=10 3+2 3−9 3
=3 3；
(2) 123÷ 213× 125
= 53÷ 73× 75
= 53×37×75
= 1
=1；
(3) 48÷ 3− 12× 12+ 24
= 16− 6+2 6
=4− 6+2 6
=4+ 6；
(4)(2 3−1)2+( 3+2)( 3−2)
=12+1−4 3+3−4
=12−4 3．
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)将带分数化为假分数，再计算二次根式乘除法；
(3)先算乘除法，并化简二次根式，再合并即可；
(4)利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
19.【答案】解：由数轴可得：a+1>0，b−1>0，a+b>0，
故原式=a+1−(b−1)−(a+b)
=a+1−b+1−a−b
=−2b+2．
【解析】直接利用数轴结合二次根式的性质以及绝对值的性质化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．
20.【答案】解；原式=[3x+1−(x+1)(x−1)x+1]⋅x+1(x+2)2
=−(x+2)(x−2)x+1·x+1(x+2)2
=2−xx+2，
当x= 2−2时，
原式=2− 2+2 2−2+2
=4− 2 2
=2 2−1
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入进行计算即可．
本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21.【答案】解：(1)根据一次函数的定义，得：
2−|m|=1，
解得：m=±1．
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义，得：
2−|m|=1，n+4=0，
解得：m=±1，n=−4，
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数．
【解析】(1)直接利用一次函数的定义分析得出答案；
(2)直接利用正比例函数的定义分析得出答案
此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握次数与系数的关系是解题关键．
22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴AE//CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE//AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴DO=12BD=3，AC⊥BD，
∴S▱ACDE=AC·DO=24．
【解析】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．
(1)根据平行四边形的判定证明即可；
(2)利用菱形的性质得出DO=3，AC⊥BD，即可求平行四边形ACDE的面积．
23.【答案】解：(1)根据题意得：a−b=24b−2a=4，
解得：a=6b=4；
(2)设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备(10−x)台，根据题意得，
6x+4(10−x)≤47240x+180(10−x)≥1860
解得：1≤x≤3.5
∴x为1，2，3．
购买方案：①A型设备1台，B型设备9台，费用为：1×6+9×4=42(万元)
②A型设备2台，B型设备8台，费用为：2×6+8×4=44(万元)
③A型设备3台，B型设备7台，费用为：3×6+7×4=46(万元)
∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台，其费用为42万元．
【解析】(1)购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元可列方程组求解．
(2)设购买A型号设备x台，则B型为(10−x)台，根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过47万元，利用每月要求处理污水量不低于1860吨，可列不等式组求解．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3．
∵AD//BC，
∴∠BFE=∠DEF．
∵∠BFE=∠EFD，
∴∠EFD=∠DEF，
∴DE=DF．
设DE=x，则DF=x，FC=9−x．
在Rt△DFC中，FC2+DC2=DF2，
∴(9−x)2+32=x2.解得x=5．
∴DE=5．
(2)过点E做EM垂直于BC，垂足为M.则AE=CF=4，BF=DF=5
∵AE=CF=4，BF=DF=5，
∴MF=BF−BM=5−4=1．
∴Rt△MEF中，EF2=EM2+MF2=32+12=10
∴EF= 10．
【解析】(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明三角形DEF为等腰三角形，从而得到ED=DF，设DE=x，则DF=x，FC=9−x，然后在△DFC中依据勾股定理列方程求解即可；
(2)过点E做EM垂直于BC，垂足为M.先求得MF的长度，然后依据勾股定理可求得EF的长．
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把A(2,4)，B(0,2)代入y=kx+b得：
2k+b=4b=2，解得k=1b=2，
∴一次函数的解析式为：y=x+2；
(2)把y=0代入y=x+2中得：x+2=0，
x=−2，
∴C(−2,0)；
(3)∵点P是一次函数图象上任意一点，
∴n=m+2，
又S=12OC×|n|=12×2×|n|=|n|，
分两种情况：
①当n>0时，S=n=m+2；
②当n<0时，
S=|n|=−n=−(m+2)=−m−2，
综上所述，S=m+2(m≥−2)−m−2(m<−2)．
【解析】(1)利用待定系数法求一次函数的解析式；
(2)令y=0代入解析式可得C的坐标；
(3)分n>0和n<0两种情况计算△POC的面积为S．
本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，三角形的面积的应用，解此题的关键是能求出直线的解析式．
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