重庆市渝中区四地联考2022-2023学年高一下学期期末学业质量调研抽测数学试卷（含答案）

这是一份重庆市渝中区四地联考2022-2023学年高一下学期期末学业质量调研抽测数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市渝中区四地联考2022-2023学年高一下学期期末学业质量调研抽测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、考虑掷硬币试验，设事件“正面朝上”，则下列论述正确的是( )
A.掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B.掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4
C.重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D.当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5
2、设，则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3、演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
4、已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5、某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )

A.400，32 B.400，36 C.480，32 D.480，36
6、攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为( )

A. B. C. D.
7、将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调区间，且，则的最大值为( )
A.1 B.2 C. D.
8、排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束.甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为( )
A. B.
C.z的共轭复数为 D.z的虚部为
10、如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是( )
  
A. B.
C. D.
11、盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”， “第1次取出的是红球”， “第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”，则( )
A.事件B与C互斥 B.事件A与D互为对立
C.事件A与B相互独立 D.事件C与D相互独立
12、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，若，且，延长BA至D，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若，则周长的最大值为
D.若，则面积的最大值为
三、填空题
13、已知x,，i为虚数单位，且，则__________.
14、设非零向量，不平行，向量与平行，则实数______.
15、一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为___________.
16、已知甲烷的化学式为，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为1，则碳原子和氢原子之间的距离为__________.
四、解答题
17、小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法，他拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小颖，将数字为4，6，7，10的四张牌给自己，并按如下游戏规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去.
(1)求小颖去看电影的概率；
(2)这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由，若不公平，在小颖和哥哥所拿4张牌不变的情况下，如何修改游戏规则使其对双方公平.
18、如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：

（1）轮船D与观测点B的距离；
（2）救援船到达D点所需要的时间.
19、如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，Q为AD的中点.
  
(1)求证：；
(2)在线段AB上是否存在一点N，使得平面平面PQB，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由；
(3)求二面角的正切值.
20、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：,，…，，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
21、如图，在直三棱柱中，，.
  
(1)设平面与平面的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明；
(2)若与平面所成的角为，求三棱锥内切球的表面积S.
22、如图，圆心为C的定圆的半径为3，A，B为圆C上的两点.

(1)若，当k为何值时，与垂直？
(2)若的最小值为2，求的值；
(3)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，.证明：为定值.
参考答案
1、答案：D
解析：掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率，A错误；
掷8次硬币，事件A发生的次数是随机的，B错误；
重复掷硬币，事件A发生的频率无限接近于事件A发生的概率，C错误；
当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5，D正确.
故选：D
2、答案：C
解析：由，得，则，对应点位于第三象限.故选C.
3、答案：A
解析：设9位评委评分按从小到大排列为.
则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，
中位数仍为，A正确.
②原始平均数，后来平均数
平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确
③
由②易知，C不正确.
④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确.
4、答案：B
解析：因为是与向量方向相同的单位向量，设，
则，所以，得，所以，
因为向量在向量上的投影为，且向量在向量上的投影向量为，
所以，所以，所以，所以，
设与的夹角为，则，
又，所以.
故选：B.
5、答案：A
解析：由图（1）得该小区户主总人数为人，
所以样本容量为人，其中四居室户主有人，
由图（2）得抽取的户主中对四居室满意的有人，
故选：A.
6、答案：D
解析：底面积为，即，
所以底面圆的半径,
所以底面圆周长为，
即圆锥侧面展开图的弧长，
又因为侧面展开图是圆心角为的扇形，
所以扇形半径，

如图所示：则圆锥的高，
则圆锥的体积.
故选：D
7、答案：C
解析：将函数的图象向右平移个单位长度后得到，因为是的一个单调区间，
所以，
所以，所以，
又，所以，
故，，
所以
，因为，所以的最大值为，
故选：C
8、答案：C
解析：记事件“甲队得25分且取得该局比赛胜利”，
事件“甲以25:22取得该局胜利”，“甲以25:23取得该局胜利”，
因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，
所以，
，
所以，
所以甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为.
故选：C
9、答案：BCD
解析：由复数，则，所以A错误；
因为，所以B正确；
根据共轭复数的概念，可得复数z的共轭复数为，所以C正确；
根据复数的基本概念可得，复数z的虚部为-1，所以D正确.
故选：BCD.
10、答案：AC
解析：因为点O为正六边形ABCDEF的中心，，，
所以，所以A正确；
因为四边形OCBA是平行四边形，所以，所以，B错误；
设正六边形边长为1，，，所以，C正确；
，，
所以，D错误.
故选：AC.
11、答案：BCD
解析：设2个红球为，,2个白球为，则样本空间为：
，共12个基本事件.
事件A，共4个基本事件.
事件B，共6个基本事件.
事件C，共6个基本事件.
事件D，共8个基本事件.
对于A选项，因为，所以事件B与C不互斥，错误；
对于B选项，因为，,所以事件A与D互为对立，正确；
对于C选项，因为，，，
则，故事件A与B相互独立，正确；
对于D选项，因为，，，
则，故事件C与D相互独立，正确.
故选：BCD
12、答案：ABC
解析：，
，
解得，由，得，
，
，解得（舍）或，
，，故A正确；
，，，即，
为等边三角形，，故B正确；
  
，，
在中，由余弦定理，得，
（当且仅当时取等号），
解得，周长的最大值为，故C正确；
设，则，
，
则当时，取得最大值，故D错误.
故选：ABC.
13、答案：2
解析：由可得，解得，
故.
故答案为：2
14、答案：
解析：由向量,不平行，即，因为向量与平行，
所以存在唯一的实数，使，即，
则，解得.
故答案为：
15、答案：3
解析：由题意，可得该组数据的众数为2，所以，解得，
故该组数据的平均数为.
所以该组数据的方差为，即标准差为3.
故答案为：3
16、答案：
解析：甲烷分子中4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点记为
碳原子位于正四面体的中心O，则O为正四面体外接球的球心，
相邻的碳、氢原子间的距离为正四面体外接球的半径，设为
过A做平面BCD，垂足为P，则P为正三角形BCD的中心，
O在PA上，连PB,OB，由题意边长为1，所以，
，所以，解得，
即碳原子和氢原子之间的距离为.
故答案为：

17、答案：(1)
(2)不公平，游戏规则修改见解析
解析：（1）由题意画树状图:

两张牌的数字之和所对应16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，
其中和为偶数的结果有6,8,12,10,12,16共6种，所以小颖去看电影的概率为；
（2）哥哥设计的游戏规则不公平，因为小颖去看电影的概率为，
哥哥去看电影的概率为，，此规则对哥哥更有利；
因为在所拿的牌不变的情况下，两张牌的数字之和所对应16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和为3的倍数的结果有8个，
故可修改规则为：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，
如果和为3的倍数，则小颖去；如果和不是3的倍数，则哥哥去.
18、答案：（1）海里；
（2）1小时.
解析：（1）由题意可知：在中，，，
则，
由正弦定理得：，
由，
代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里.
（2）在中，，，，
由余弦定理得：
，
，，
即该救援船到达D点所需的时间1小时.
19、答案：(1)证明见解析
(2)存在点N为AB中点，证明见解析
(3)
解析：（1）正三角形PAD中，Q为AD的中点，故，
因为侧面底面ABCD，侧面底面，所以底面ABCD，
又底面ABCD，所以；
（2）存在点N，当N为AB中点时，平面平面PQB，
证明如下：由（1）知：底面ABCD，又底面ABCD，所以，
因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，N为AB中点，所以，,
，所以，所以，
因为，所以，所以，
而,PQ,平面PQB，所以平面PQB，
又平面PCN，所以平面平面PQB；
（3）过Q点作，
连接PM，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，
又，QM、平面PQM，
所以平面PQM，又平面PQM，所以，
所以为二面角的平面角，在正三角形PAD中，，
在三角形QMD中，，所以在中，，
所以二面角的正切值为.
  
20、答案：(1)
(2)84
(3)，
解析：（1）每组小矩形的面积之和为1，
，
.
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，得，故第75百分位数为84；
（3）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故.
设成绩在中10人的分数分别为，，，…，；成绩在中20人的分数分别为，，，…，，
则由题意可得，，
所以，，
所以，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37.
21、答案：(1)，证明见解析
(2)
解析：（1）判断.证明如下：
因为为直三棱柱，所以平面平面ABC，
因为平面，所以平面ABC，
又平面平面，平面，
所以，又，所以；
（2）过作，垂足为D，连接CD，如图所示，
  
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，所以为直线与平面所成的角，
即，因为，所以，
所以，所以，
所以在中，，
所以，又，所以.
设三棱锥内切球的半径为r，球心为O，连接OA，OB，OC，，
则由得，即，
所以三棱锥内切球的表面积.
22、答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：（1）因为，，
所以由余弦定理得，即，所以，
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
（2）设，与的夹角为，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值2时，；
（3）因为G为的重心，所以，
又因为，，所以，
由于P,G,Q三点共线，所以存在实数t使得，所以
化简为，所以，所以为定值.