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2023年黑龙江省龙东地区中考数学模拟试卷（三）（含解析）
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这是一份2023年黑龙江省龙东地区中考数学模拟试卷（三）（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省龙东地区中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算正确的是( )
A. 2a2−a2=2 B. a6÷a2=a3 C. a2⋅a=a3 D. (−2a2)3=−8a5
2. 下列历届世博会会徽的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 某校九年级有11名同学参加“庆祝二十大”党知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛.小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的( )
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
4. 如图是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数最多为( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
5. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价( )
A. 12元 B. 10元 C. 11元 D. 9元
6. 已知关于x的分式方程xx−3=2−m3−x的解是负数，那么m的取值范围是( )
A. m<6 B. m>6且m≠9 C. m>3 D. m>6
7. 双曲线y=3x与直线y=kx交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接BC，AD，则四边形ABCD的面积为( )
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
8. 刘老师为鼓励学习成绩优秀的同学，计划用60元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为奖品.已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本5元，则刘老师购买笔记本的方案共有( )
A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种
9. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，E是AD上一点，DE=1，连接BE，过点E作EF⊥BE，交BC的延长线于点F，则CF的长为( )
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2
10. 如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别为BC，CD上两点，且BE=CF，作∠FBG=45.交AD于点G，AE交BF于点H，连接GF，CH.下列结论：①AE⊥BF；②CF+AG=GF；③当CF=2时，△DFG的面积为6；④CH的最小值是3 5−2.其中结论正确的序号是( )
A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 千年天问，梦圆火星，近期我国研制祝融号火星车传回的数据中，发现了火星乌托邦平原40亿年以来发生的水和风沙活动的新证据，数据40亿用科学记数法表示为______ ．
12. 在函数y=x x+4中，自变量x的取值范围是______ ．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC=BD，请你添加一个条件______ ，使四边形ABCD是正方形(填一个即可)．
14. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、2个红球，从中随机摸出1个球，记下颜色，不放回，再随机摸出1个球，则两次摸到的球颜色相同的概率是______ ．
15. 若关于x的一元一次不等式组2x−a<03x−9>0只有2个整数解，则a的取值范围是______ ．
16. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP= 3，则AC的长为______ ．
17. 一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆，则圆锥的高为______ ．
18. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BC=4，D是BC边的中点，P是边AC上一动点，连接PB，PD，则PB+PD的最小值为______ ．
19. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，将它的一条直角边沿一锐角角平分线所在直线翻折，使直角顶点落在斜边上，则折叠后不重合部分三角形的面积为______ ．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,1)，点B的坐标为(1,2)，以点O为位似中心，在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2；再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2⋯⋯以此类推，则点B2023的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−1x−2)÷x2−6x+9x2−4，其中x=2tan45°−1．
22. (本小题8.0分)
如图，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)将△ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出两次平移后得到的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1：绕点C：逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1；
(3)求(2)中线段B1C1在旋转过程中扫过的面积．
23. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=x2−bx+c交x轴于点A(1,0)，C，交y轴于点B，对称轴是直线x=2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，若直线OP平分△OBC的面积，请直接写出点P的坐标．
24. (本小题8.0分)
在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中，为了解中学生跳绳活动的开展情况，随机抽查了全市九年级部分同学1分钟跳绳的次数x(单位：次)，将抽查结果进行统计，并绘制出如下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共抽查了多少名学生？
(2)请补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中跳绳次数为135≤x<155所在扇形的圆心角度数；
(3)若本次抽查中，跳绳次数在125次以上(含125次)为优秀，请你估计全市5000名九年级学生中有多少名学生的成绩为优秀．
25. (本小题8.0分)
一条公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶，甲车驶向C地，乙车从B地驶向C地，停1h后按原速原路返回到B地.两车与C地的距离y(单位：km)与甲车出发的时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示．
(1)求甲、乙两车的速度；
(2)求乙车从出发到返回B地的过程中y与x之间的函数解析式；
(3)直接写出甲车出发多长时间时，甲、乙两车相距300km．
26. (本小题8.0分)
已知△ABC为等边三角形，D为平面内一点，连接AD，CD，过点B作BE//AD交直线CD于点E，∠BED=60°．
(1)如图①，求证：CD=AD+BE；
(2)如图②、图③，请分别写出线段CD，AD，BE之间的数量关系，不需要证明．
27. (本小题8.0分)
国家鼓励大学生创业，王同学毕业后开办一家服装加工厂，计划生产甲、乙两种服装共100套投放到市场销售.已知甲种服装每套成本34元，售价39元；乙种服装每套成本42元，售价50元.服装厂预计两种服装的成本不低于3752元，不高于3768元．
(1)问服装厂有哪几种生产方案？
(2)若生产的100套服装全部售出，最多可获得利润多少元？
(3)按获利最大的方案生产这100套服装，服装厂拿出6套服装捐赠给某社区低保户，其余94套全部售出，这样服装厂可获得利润349元.请直接写出捐出几件甲种服装，几件乙种服装．
28. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA，OB的长是方程x2−6x+8=0的两个根(OA
(2)设△PCQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)M是直线BC上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、2a2−a2=a2，故本选项错误，不符合题意；
B、a6÷a2=a4，故本选项错误，不符合题意；
C、a2⋅a=a2+1=a3，故本选项正确，符合题意；
D、(−2a2)3=−8a6，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘，积的乘方法则，逐项判断即可求解．
本题主要考查了合并同类项，同底数相除，同底数相乘，积的乘方法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
根据中心对称图形的概念：中心对称图形是绕对称中心旋转180度后与原图重合．
此题主要考查了中心对称图形的定义，解决问题的关键是熟练掌握中心对称图形的特点，难度一般．
3.【答案】A
【解析】解：由于总共有11个人，且他们的成绩互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道自己的成绩和中位数．
故选：A．
11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
本题考查了中位数的意义，理解中位数反映了数据的中间水平是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：依题意得：
框内数字是指该位置上的正方体的最大个数，
这个几何体的小立方体的个数最多为：1+2+2=5(个)，
故选：C．
根据题意，在俯视图上标记最大数字，并求和即可．
本题考查由三视图判断正方体的个数，利用俯视图填空的方法和空间想象能力是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设每件降价x元，则每件的销售利润为(65−x−45)元，每天可售出(30+5x)件，
根据题意得：(65−x−45)(30+5x)=800，
整理得：x2−14x+40=0，
解得：x1=4，x2=10，
又∵要尽快减少库存，
∴x=10，
∴每件应降价10元．
故选：B．
设每件降价x元，则每件的销售利润为(65−x−45)元，每天可售出(30+5x)件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，可得出每件应降价10元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：xx−3=2−m3−x，
即xx−3−mx−3=2，
∴x−m=2(x−3)，
解得：x=6−m，
∵x≠3，
∴m≠3，
∵x+mx−3+2m3−x=2的解为负数，
∴6−m<0，
解得：m>6，
∴m>6．
故选：D．
先解分式方程得出x=6−m，根据方程的解为负数，分式有意义的条件得出m>6且m≠3，即可求解．
本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数图象上任意一点(x,y)关于原点的对称点(−x,−y)也在函数图象上，
∴反比例函数关于原点对称，
设A点(a,3a)，则C点(−a,−3a)，
又∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∴AB=3a，CD=3a，BD=2a，
∴AB=CD，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S▱ABCD=2S△ABD=2×12×AB×BD=2×12×3a×2a=6，
故选：B．
利用反比例函数关于原点中心对称，设A点(a,3a)，则C点(−a,−3a)，由坐标的特征便可计算四边形ABCD面积．
本题考查了反比例函数的图象性质，掌握反比例函数关于原点中心对称是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：设刘老师购买甲种笔记本x本，购买乙种笔记本y本，
根据题意可得3x+5y=60，
∴y=12−35x，
∵x，y均为正整数，
∴x=5y=9或x=10y=6或x=15y=3，
∴共有3种购买方案．
故选：D．
设刘老师购买甲种笔记本x本，购买乙种笔记本y本，根据题意列出二元一次方程，并结合x，y均为非负整数，即可获得答案．
本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：延长BA，FE交于点G，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=∠BEG=90°，
∵AB=3，BC=4，DE=1，
∴AE=3=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE=BE，
∴△GBE≌△FBE(ASA)．
∴BG=BF，
设CF=x，则BF=BG=4+x，
∴AG=1+x，
∵AE//BF，
∴△AGE∽△BGF，
∴AEBF=AGBG，
∴34+x=x+14+x，
∴x=2，
即CF=2，
故选：D．
延长BA，FE交于点G，根据垂直的定义得到∠BEF=∠BEG=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠AEB，根据平行四边形的性质得到AD//BC，根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBE，根据全等三角形的性质得到BG=BF，设CF=x，则BF=BG=4+x，求得AG=1+x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
又∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠FBC，∠AEB=∠BFC，
∵∠FBC+∠BFC=90°，
∴∠FBC+∠AEB=90°，即∠BHE=90°，
∴AE⊥BF，即①正确；
如图：延长DA到M，使AM=BE，
∵AB=AB，∠MAB=∠ABE=90°，AM=BE，
∴△ABE≌△BAM，
∵△ABE≌△BCF，
∴△BCF≌△BAM，
∴CF=AM，BM=BF，∠FBC=MBA，
∵∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠MBF=∠ABF+∠MBA=90°，
∵∠FBG=45°，
∴∠FBG=∠MBG=45°，
∴MN=NF，MN⊥NF，
∴FG=MG，
∵MG=MA+AG=CF+AG，
∴FG=CF+AG，即②正确；
∵CF=2，
∴DF=CD−CF=6−2=4，
∵FG=CF+AG，
∴FG=2+AG，DG=6−AG，
∵FG2=GD2+DF2，
∴(2+AG)2=(6−AG)2+42，解得：AG=3，
∴DG=6−AG=3，
∴△DFG的面积为12DG⋅DF=12×3×4=6，即③正确；
如图：取AB的中点Q，连接HQ，CQ，
∵∠AHB=90°，
∴QH=12AB=3，
在Rt△BCQ中，CQ= BC2+BQ2=3 5，
在△CQH中，CH>CQ−QH，当Q、H、C三点共线时，HC有最小值，CH=CQ−QH=3 5−3，即④错误．
则正确的有①②③．
故选：D．
先证△ABE≌△BCF可得∠BAE=∠FBC，∠AEB=∠BFC，再根据∠FBC+∠BFC=90°说明∠BHE=90°即可判定①；如图：延长DA到M，使AM=BE，然后再证△BCF≌△BAM可得CF=AM，BM=BF，∠FBC=MBA，进而说明BG是MF的垂直平分线可得FG=MG，然后根据线段的和差和等量代换即可判定②；由CF=2结合CF+AG=GF可得FG=2+AG，DG=6−AG，然后运用勾股定理求得AG，进而得到DG=3，再根据三角形的面积公式计算即可判定③；如图：取AB的中点Q，连接HQ，CQ，由直角三角形的性质和勾股定理可得QH=12AB=3、CQ=3 5，再说明当Q、H、C三点共线时，HC有最小值，然后求解即可判定④．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
11.【答案】4×109
【解析】解：40亿=4000000000，用科学记数法表示为：4×109，
故答案为：4×109．
用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
12.【答案】x>−4
【解析】解：∵y=x x+4，
∴x+4>0，
解得x>−4．
∴函数y=x x+4的自变量x的取值范围为x>−4．
故答案为：x>−4．
自变量的取值范围即使得式子有意义的x的取值范围．
本题考查了函数的自变量，熟知函数自变量取值范围的求法是解题的关键．
13.【答案】AC⊥BD(答案不唯一)
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AC⊥BD(答案不唯一)．
直接利用正方形的判定方法直接得出答案．
本题考查了正方形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
14.【答案】25
【解析】解：根据题意画图如下：
共有20种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色相同的有8种情况，
∴两次摸到的球颜色相同的概率是820=25．
故答案为：25．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到的球颜色相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】10
得3
∴该不等式组的两个整数解为4或5，
∴5
本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAP=180−∠AOC2=30°，
∵OP⊥AC，
∴AP=PC=12AC，
在Rt△AOP中，∠OAP=30°，OP= 3，
∴OA=2OP=2 3，
∴AP= OA2−OP2= (2 3)2−( 3)2=3，
∴AC=2AP=6．
故答案为：6．
根据圆周角定理得出∠AOC=120°，根据垂径定理以及勾股定理即可求解．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．
17.【答案】 6
【解析】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
∵一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆，
∴180×πl2360=4π，
∴l=2 2，
∴2πR=180×π×2 2180，
∴R= 2，
∴圆锥的高为 l2−R2= 6，
故答案为： 6．
先根据侧面积计算公式求出母线长，再根据圆锥的侧面展开图，即对应扇形的弧长是底面圆的周长，结合题意列出方程，求出底面的半径，进而利用勾股定理求出高即可．
本题主要考查了，圆锥的侧面积计算，圆锥侧面展开图中弧长的等量关系，勾股定理等等，正确求出母线长和底面圆的半径是解题的关键．
18.【答案】2 5
【解析】解：如图，找D点关于AC的对称点D′，连接BD′，DD′分别交AC于点E，
∵D点关于AC的对称点为点D′，
∴PB+PD=PB+PD′，∠DCE=∠D′CE，DC=D′C，
因此当点B，P′，D′在同一直线时，PB+PD的值最小，即BD′的长度，
∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=∠D′CE=45°，
∴∠DCD′=∠ACB+∠D′CE=90°，
∵BC=4，D是BC边的中点，
∴D′C=DC=12BC=2，
在Rt△BCD′中，BD′= BC2+CD′2= 42+22=2 5，
∴PB+PD的最小值为2 5，
故答案为：2 5．
找D点关于AC的对称点D′，连接BD′，连接DD′交AC于点E，PB+PD的最小值即为BD′的长度，即可解答．
本题考查了轴对称−最短路径问题，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练画出辅助线是解题的关键．
19.【答案】6或272
【解析】解：Rt△ABC中，∠C=90°，
∵AC=9，BC=12，
∴AB= AC2+BC2=15，
分两种情况：
①如图，将直角边AC沿∠CAB的平分线所在直线翻折，直角顶点落在斜边上点D处，折痕交另一直角边于点E，
此时不重合部分三角形是△BED，
由折叠可知：AD=AC=9，DE=CE，∠ADE=90°，
∴BD=AB−AD=15−9=6，
∵BE2=BD2++DE2，
∴(12−DE)2=62+DE2，
∴DE=92，
∴S△BDE=12BD⋅DE=12×6×92=272；
②如图，将直角边BC沿∠CBA的平分线所在直线翻折，直角顶点落在斜边上点D处，折痕交另一直角边于点E，此时不重合部分三角形是△AED，
由折叠可知：BD=BC=12，DE=CE，∠ADE=90°，
∵AE2=AD2++DE2，
∴(9−DE)2=32+DE2，
∴DE=4，
∴S△ADE=12AD⋅DE=12×3×4=6；
则折叠后不重合部分三角形的面积为6或272，
故答案为：6或272．
利用勾股定理先求出AB的长，然后根据题意分两种情况画图，利用角平分线的性质即可解决问题
本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．
20.【答案】(−22023,−22024)
【解析】解：根据题意，点B的坐标为(1,2)，在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2，
则B1(−2,−4)，
再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2，
则B2(4,8)，
……
所以，点Bn[(−1)n×2n,(−1)n×2n+1]，
故点B2023的坐标为(−22023,−22024).
故答案为：(−22023,−22024).
结合位似图形的性质，确定点Bn的变化规律，即可获得答案．
本题主要考查了坐标与图形、位似图形、点的坐标规律等知识，结合位似图形的性质确定点Bn的变化规律是解题关键．
21.【答案】解：原式=(x−2x−2−1x−2)⋅(x−2)(x+2)(x−3)2
=x−3x−2⋅(x−2)(x+2)(x−3)2
=x+2x−3．
当x=2tan45°−1=1时，
原式=−32．
【解析】先根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，再将x的值化简，最后将x的值代入即可求解．
本题主要考查了分式的化简求值，特殊角度的三角函数计算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序，以及熟记各个特殊角度的三角函数值．
22.【答案】解：(1)如图：
△A1B1C1即为所求；
(2)作图如下：
△A2B2C1即为所求；
(3)∵B1C1= 12+42= 17，
∴线段B1C1在旋转过程中扫过的面积为90×π×( 17)2360=17π4．
【解析】(1)根据图形平移的性质画出两次平移后的△A1B1C1即可；
(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2B2C1，
(3)根据勾股定理求出B1C1的长，由扇形的面积公式即可计算出线段B1C1旋转过程中扫过的面积．
本题考查的是图形的旋转、平移及扇形面积的计算，熟知图形旋转、平移后的图形与原图形全等是解答此题的关键．
23.【答案】解：(1)把点A(1,0)及对称轴x=2代入y=x2−bx+c，得
1−b+c=0−−b2=2，解得b=4c=3，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3．
(2)如图，连接BC，取BC的中点D，作直线OD与抛物线交于点P1，P2，
令x=0，则y=3，
∴点B的坐标是(0,3)，
∵点A(1,0)，对称轴是直线x=2，
∴点C的坐标是(3,0)，
∴点D的坐标是(32,32)，
设直线OD的解析式为y=kx，
则32k=32，
解得k=1，
∴直线OD的解析式为y=x，
∴y=xy=x2−4x+3，
解得，x1=5+ 132y1=5+ 132，x2=5− 132y2=5− 132，
∴P1(5+ 132,5+ 132)，P2(5− 132,5− 132)．
【解析】(1)根据抛物线经过点A和对称轴可列出关于b，c的方程组，求出b，c的值，即可求出抛物线的解析式；
(2)根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，故取BC的中点D，作直线OD，求出点D的坐标，进而求出直线OD的解析式，联立抛物线的解析式，即可求出点P的坐标．
本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与正比例函数的交点问题，三角形的中线的性质，中点坐标的求法，熟练掌握这些知识是解题的关键．
24.【答案】解：(1)抽查的总人数：(8+16)÷12%=200(人)；
(2)范围是115≤x<145的人数是：200−8−16−71−60−16=29(人)，
则跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数是：360°×29+16200=81°；
(3)优秀的比例是：60+29+16200×100%=52.5%，则估计全市5000名九年级学生中学生的成绩为优秀人数是：5000×52.5%=2625(人)．
【解析】(1)根据前两组共占12%解答；
(2)求出跳绳次数范围在135≤x≤155的人数所占总人数的百分比，即可解答；
(3)用样本估计总体．
本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，两图结合是解题的关键．
25.【答案】解：(1)甲车的速度为60010=60(km/h)，
乙车的速度为450×210−1=100(km/h)；
(2)(10−1)÷2=4.5(h)，4.5+1=5.5(h)．
当0≤x≤4.5时，设所求函数解析式为y=kx+b，
把(0,450)，(4.5,0)代入，得b=4504.5k+b=0，
解得k=−100b=450，
∴所求函数解析式为y=−100x+450(0≤x≤4.5)；
当4.5
解得m=100n=−550，
∴所求函数解析式为y=100x−550(5.5
将(0,600)，(10,0)代入，得q=60010p+q=0，
解得：p=−60q=600，
∴甲车从出发到C地的过程中y与x之间的函数解析式为y=−60x+600，
①当0≤x≤4.5时，−60x+600−(−100x+450)=300，
解得：x=3.75；
②当4.5
③当5.5
∴甲车出发3.75h或5h或8.75h时，甲、乙两车相距300km．
【解析】
【分析】(1)根据速度=路程÷时间，将图象中的数据代入计算，即可求解；
(2)由乙车图象，利用待定系数法求解即可；
(3)先求得甲车y与x之间的函数解析式，根据图象，分情况讨论即可．
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解每段图象的意义，进行分类讨论．
26.【答案】(1)证明：在CD上截取DF=AD，连接AF．
∵BE//AD，∠BED=60°，
∴∠D=∠BED=60°，∠BEC=120°，
∵DF=AD，
∴△ADF为等边三角形．
∴∠AFD=60°．
∴∠AFC=120°=∠BEC．
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，∠ACB=60°．
∴∠ACF+∠BCE=60°．
∵∠ACF+∠CAF=∠AFD=60°，
∴∠CAF=∠BCE．
∴△ACF≌△CBE(AAS)．
∴CF=BE．
∵CD=DF+CF，
∴CD=AD+BE．
(2)解：图②：CD=AD−BE．
证明：延长DC至N，使AD=DN，
∵BE//AD，∠BED=60°，
∴∠ADN=60°，
∴△ADN为等边三角形，
∴∠N=60°，
∴∠N=∠E，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCE+∠ACN=120°，
∵∠BCE+∠EBC=120°，
∴∠ACN=∠EBC，
∵AC=BC，
∴△BCE≌△CAN(AAS)，
∴BE=CN，
∴CD=DN−CN=AD−BE；
图③：CD=BE−AD．
证明：延长CD至M，使DM=AD，连接BD，
∵BE//AD，∠BED=60°，
∴∠ADM=60°，
∴△ADM为等边三角形，
∴∠M=∠DAM=60°，AD=AM，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAM，
又∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAM(SAS)，
∴BD=CM=CD+DM=CD+AD，∠BDA=∠M=60°，
∴∠BDE=60°，
∵∠BED=60°，
∴∠BDE=∠BED=∠EBD，
∴△BED为等边三角形，
∴BE=BD，
∴CD=BE−AD．
【解析】(1)在CD上截取DF=AD，连接AF.证明△ACF≌△CBE(AAS).由全等三角形的性质得出CF=BE.则可得出结论；
(2)图②：CD=AD−BE.延长DC至N，使AD=DN，证明△BCE≌△CAN(AAS)，由全等三角形的性质得出BE=CN，则可得出结论；
图③：CD=BE−AD.延长CD至M，使DM=AD，连接BD，证明△BAD≌△CAM(SAS)，由全等三角形的性质得出BD=CM，证出△BED为等边三角形，由等边三角形的性质得出BE=BD，则可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
27.【答案】解：(1)设生产甲种服装x套，则生产乙种服装(100−x)套．
根据题意，得34x+42(100−x)≥3752,34x+42(100−x)≤3768.
解得54≤x≤56．
∵x为正整数，
∴x可以取54，55，56元．
方案一：甲种服装54套，乙种服装46套；
方案二：甲种服装55套，乙种服装45套；
方案三：甲种服装56套，乙种服装44套．
(2)设利润为y元．
y=(39−34)x+(50−42)(100−x)=−3x+800．
∵−3<0，∴y随x的增大而减小．
∴当x=54时，y有最大值为638．
答：最多可获得利润638元．
(3)捐出甲种服装1套，乙种服装5套．
补充理由如下：
由(2)知最大利润的方案是：甲种服装54套，乙种服装46套，
则利润的差就是卖掉捐出的6套服装服装的总价，
设捐出甲种服装m套，则乙种服装(6−m)套
则有：39m+50(6−m)=638−349，
解得：m=1
∴6−m=5
答：捐出甲种服装1套，乙种服装5套．
【解析】(1)先设生产甲种服装x套，则生产乙种服装(100−x)套，根据两种服装的成本不低于3752元，不高于3768元列出不等式组，解出x的范围从而得到所有方案；
(2)设利润为y元，求出y与x的关系式，再根据函数的增减性求出最大值即可；
(3)设捐出甲种服装m套，则乙种服装(6−m)套，根据利润的差就是卖掉捐出的6套服装服装的总价列出方程，解出m即可得解．
本题考查不等式组的应用，一次函数的应用，一元一次方程的应用，根据题意列不等式组、函数关系式、方程是解题的关键．
28.【答案】解：(1)如图：过点C作CD⊥x轴，垂足为D.则∠ADC=90°，
解x2−6x+8=0，得x1=2，x2=4．
∵OA
∴点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是(0,4)，
∵BC//x轴，∠BOD=90°，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBC=∠ADC=∠BOD=90°，
∴四边形BODC是矩形，
∴CD=OB=4，
∵∠CAD=45°，
∴AD=CD=4，
∴OD=OA+AD=6．
∴点C的坐标为(6,4)．
(2)作QM⊥BC于点M．
由题意可得BP=t，AQ= 2t，
∵BC=OD=6，
∴CP=6−t，
∵AC= AD2+CD2=4 2，
∴CQ=4 2− 2t，
∵∠CAD=∠ACB=45°，sin∠ACB=QMCQ= 22，
∴QM= 22CQ= 22(4 2− 2t)=4−t，
∴S=12CP⋅MQ=12(6−t)(4−t)=12t²−5t+12(0≤t≤4)，
(3)∵M是直线BC上一点，
∴可设点M的坐标是(m,4)，
设点N的坐标是(n,p)，
①当AC是对角线时，由中点坐标公式得到4+p2=0+42，
∴p=0，
由NA=NC得到n−2= (6−n)2+(4−0)2，解得n=6，
∴点N的坐标是(6,0)；
②当AC为边时，则AC//MN，AC=MN，
∴AC2=MN2，CM2=AC2，AN2=AC2，
∴(6−2)2+(4−0)2=(m−n)2+(4−p)2，(m−6)2=(6−2)2+(4−0)2，(n−2)2=(6−2)2+(4−0)2，
解得n=2+4 2或n=2−4 2，
∴此时点N的坐标是(2+4 2,0)或(2−4 2,0)；
③当MC是对角线时，由中点坐标公式得到m+62=2+n2,4+42=0+p2，
∴p=8，m=n−4，
由MA=AC得到 (m−2)2+(4−0)2= (6−2)2+(4−0)2，解得m=−2(不合题意，舍去)或m=6，
∴6=n−4，解得n=10，
∴此时点N的坐标是(10,8)．
综上可知，存在点N，坐标分别为(2+4 2,0)或(2−4 2,0)或(6,0)或(10,8)．
【解析】(1)过点C作CD⊥x轴，垂足为D.则∠ADC=90°，解x2−6x+8=0，得x1=2，x2=4，求得点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是(0,4)，证明四边形BODC是矩形，则CD=OB=4，由∠CAD=45°得到AD=CD=4，则OD=6.即可得到答案；
(2)作QM⊥BC于点M，由题意可得BP=t、AQ= 2t，CP=6−t，然后解直角三角形可得CQ=4 2− 2t、QM=4−t.最后根据实际和三角形的面积公式即可解答；
(3)设点M的坐标是(m,4)、N的坐标是(n,p)，然后分AC是对角线、当AC为边、MC是对角线三种情况，分别根据中点坐标公式、两点间距离公式求解即可解答．
本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程、函数解析式等知识点，掌握分类讨论和数形结合是解题的关键．
2023年黑龙江省龙东地区中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算正确的是( )
A. 2a2−a2=2 B. a6÷a2=a3 C. a2⋅a=a3 D. (−2a2)3=−8a5
2. 下列历届世博会会徽的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 某校九年级有11名同学参加“庆祝二十大”党知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛.小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的( )
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
4. 如图是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数最多为( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
5. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价( )
A. 12元 B. 10元 C. 11元 D. 9元
6. 已知关于x的分式方程xx−3=2−m3−x的解是负数，那么m的取值范围是( )
A. m<6 B. m>6且m≠9 C. m>3 D. m>6
7. 双曲线y=3x与直线y=kx交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接BC，AD，则四边形ABCD的面积为( )
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
8. 刘老师为鼓励学习成绩优秀的同学，计划用60元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为奖品.已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本5元，则刘老师购买笔记本的方案共有( )
A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种
9. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，E是AD上一点，DE=1，连接BE，过点E作EF⊥BE，交BC的延长线于点F，则CF的长为( )
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2
10. 如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别为BC，CD上两点，且BE=CF，作∠FBG=45.交AD于点G，AE交BF于点H，连接GF，CH.下列结论：①AE⊥BF；②CF+AG=GF；③当CF=2时，△DFG的面积为6；④CH的最小值是3 5−2.其中结论正确的序号是( )
A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 千年天问，梦圆火星，近期我国研制祝融号火星车传回的数据中，发现了火星乌托邦平原40亿年以来发生的水和风沙活动的新证据，数据40亿用科学记数法表示为______ ．
12. 在函数y=x x+4中，自变量x的取值范围是______ ．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC=BD，请你添加一个条件______ ，使四边形ABCD是正方形(填一个即可)．
14. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、2个红球，从中随机摸出1个球，记下颜色，不放回，再随机摸出1个球，则两次摸到的球颜色相同的概率是______ ．
15. 若关于x的一元一次不等式组2x−a<03x−9>0只有2个整数解，则a的取值范围是______ ．
16. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP= 3，则AC的长为______ ．
17. 一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆，则圆锥的高为______ ．
18. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BC=4，D是BC边的中点，P是边AC上一动点，连接PB，PD，则PB+PD的最小值为______ ．
19. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，将它的一条直角边沿一锐角角平分线所在直线翻折，使直角顶点落在斜边上，则折叠后不重合部分三角形的面积为______ ．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,1)，点B的坐标为(1,2)，以点O为位似中心，在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2；再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2⋯⋯以此类推，则点B2023的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−1x−2)÷x2−6x+9x2−4，其中x=2tan45°−1．
22. (本小题8.0分)
如图，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)将△ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出两次平移后得到的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1：绕点C：逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1；
(3)求(2)中线段B1C1在旋转过程中扫过的面积．
23. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=x2−bx+c交x轴于点A(1,0)，C，交y轴于点B，对称轴是直线x=2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，若直线OP平分△OBC的面积，请直接写出点P的坐标．
24. (本小题8.0分)
在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中，为了解中学生跳绳活动的开展情况，随机抽查了全市九年级部分同学1分钟跳绳的次数x(单位：次)，将抽查结果进行统计，并绘制出如下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共抽查了多少名学生？
(2)请补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中跳绳次数为135≤x<155所在扇形的圆心角度数；
(3)若本次抽查中，跳绳次数在125次以上(含125次)为优秀，请你估计全市5000名九年级学生中有多少名学生的成绩为优秀．
25. (本小题8.0分)
一条公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶，甲车驶向C地，乙车从B地驶向C地，停1h后按原速原路返回到B地.两车与C地的距离y(单位：km)与甲车出发的时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示．
(1)求甲、乙两车的速度；
(2)求乙车从出发到返回B地的过程中y与x之间的函数解析式；
(3)直接写出甲车出发多长时间时，甲、乙两车相距300km．
26. (本小题8.0分)
已知△ABC为等边三角形，D为平面内一点，连接AD，CD，过点B作BE//AD交直线CD于点E，∠BED=60°．
(1)如图①，求证：CD=AD+BE；
(2)如图②、图③，请分别写出线段CD，AD，BE之间的数量关系，不需要证明．
27. (本小题8.0分)
国家鼓励大学生创业，王同学毕业后开办一家服装加工厂，计划生产甲、乙两种服装共100套投放到市场销售.已知甲种服装每套成本34元，售价39元；乙种服装每套成本42元，售价50元.服装厂预计两种服装的成本不低于3752元，不高于3768元．
(1)问服装厂有哪几种生产方案？
(2)若生产的100套服装全部售出，最多可获得利润多少元？
(3)按获利最大的方案生产这100套服装，服装厂拿出6套服装捐赠给某社区低保户，其余94套全部售出，这样服装厂可获得利润349元.请直接写出捐出几件甲种服装，几件乙种服装．
28. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA，OB的长是方程x2−6x+8=0的两个根(OA
(2)设△PCQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)M是直线BC上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、2a2−a2=a2，故本选项错误，不符合题意；
B、a6÷a2=a4，故本选项错误，不符合题意；
C、a2⋅a=a2+1=a3，故本选项正确，符合题意；
D、(−2a2)3=−8a6，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘，积的乘方法则，逐项判断即可求解．
本题主要考查了合并同类项，同底数相除，同底数相乘，积的乘方法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
根据中心对称图形的概念：中心对称图形是绕对称中心旋转180度后与原图重合．
此题主要考查了中心对称图形的定义，解决问题的关键是熟练掌握中心对称图形的特点，难度一般．
3.【答案】A
【解析】解：由于总共有11个人，且他们的成绩互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道自己的成绩和中位数．
故选：A．
11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
本题考查了中位数的意义，理解中位数反映了数据的中间水平是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：依题意得：
框内数字是指该位置上的正方体的最大个数，
这个几何体的小立方体的个数最多为：1+2+2=5(个)，
故选：C．
根据题意，在俯视图上标记最大数字，并求和即可．
本题考查由三视图判断正方体的个数，利用俯视图填空的方法和空间想象能力是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设每件降价x元，则每件的销售利润为(65−x−45)元，每天可售出(30+5x)件，
根据题意得：(65−x−45)(30+5x)=800，
整理得：x2−14x+40=0，
解得：x1=4，x2=10，
又∵要尽快减少库存，
∴x=10，
∴每件应降价10元．
故选：B．
设每件降价x元，则每件的销售利润为(65−x−45)元，每天可售出(30+5x)件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，可得出每件应降价10元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：xx−3=2−m3−x，
即xx−3−mx−3=2，
∴x−m=2(x−3)，
解得：x=6−m，
∵x≠3，
∴m≠3，
∵x+mx−3+2m3−x=2的解为负数，
∴6−m<0，
解得：m>6，
∴m>6．
故选：D．
先解分式方程得出x=6−m，根据方程的解为负数，分式有意义的条件得出m>6且m≠3，即可求解．
本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数图象上任意一点(x,y)关于原点的对称点(−x,−y)也在函数图象上，
∴反比例函数关于原点对称，
设A点(a,3a)，则C点(−a,−3a)，
又∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∴AB=3a，CD=3a，BD=2a，
∴AB=CD，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S▱ABCD=2S△ABD=2×12×AB×BD=2×12×3a×2a=6，
故选：B．
利用反比例函数关于原点中心对称，设A点(a,3a)，则C点(−a,−3a)，由坐标的特征便可计算四边形ABCD面积．
本题考查了反比例函数的图象性质，掌握反比例函数关于原点中心对称是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：设刘老师购买甲种笔记本x本，购买乙种笔记本y本，
根据题意可得3x+5y=60，
∴y=12−35x，
∵x，y均为正整数，
∴x=5y=9或x=10y=6或x=15y=3，
∴共有3种购买方案．
故选：D．
设刘老师购买甲种笔记本x本，购买乙种笔记本y本，根据题意列出二元一次方程，并结合x，y均为非负整数，即可获得答案．
本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：延长BA，FE交于点G，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=∠BEG=90°，
∵AB=3，BC=4，DE=1，
∴AE=3=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE=BE，
∴△GBE≌△FBE(ASA)．
∴BG=BF，
设CF=x，则BF=BG=4+x，
∴AG=1+x，
∵AE//BF，
∴△AGE∽△BGF，
∴AEBF=AGBG，
∴34+x=x+14+x，
∴x=2，
即CF=2，
故选：D．
延长BA，FE交于点G，根据垂直的定义得到∠BEF=∠BEG=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠AEB，根据平行四边形的性质得到AD//BC，根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBE，根据全等三角形的性质得到BG=BF，设CF=x，则BF=BG=4+x，求得AG=1+x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
又∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠FBC，∠AEB=∠BFC，
∵∠FBC+∠BFC=90°，
∴∠FBC+∠AEB=90°，即∠BHE=90°，
∴AE⊥BF，即①正确；
如图：延长DA到M，使AM=BE，
∵AB=AB，∠MAB=∠ABE=90°，AM=BE，
∴△ABE≌△BAM，
∵△ABE≌△BCF，
∴△BCF≌△BAM，
∴CF=AM，BM=BF，∠FBC=MBA，
∵∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠MBF=∠ABF+∠MBA=90°，
∵∠FBG=45°，
∴∠FBG=∠MBG=45°，
∴MN=NF，MN⊥NF，
∴FG=MG，
∵MG=MA+AG=CF+AG，
∴FG=CF+AG，即②正确；
∵CF=2，
∴DF=CD−CF=6−2=4，
∵FG=CF+AG，
∴FG=2+AG，DG=6−AG，
∵FG2=GD2+DF2，
∴(2+AG)2=(6−AG)2+42，解得：AG=3，
∴DG=6−AG=3，
∴△DFG的面积为12DG⋅DF=12×3×4=6，即③正确；
如图：取AB的中点Q，连接HQ，CQ，
∵∠AHB=90°，
∴QH=12AB=3，
在Rt△BCQ中，CQ= BC2+BQ2=3 5，
在△CQH中，CH>CQ−QH，当Q、H、C三点共线时，HC有最小值，CH=CQ−QH=3 5−3，即④错误．
则正确的有①②③．
故选：D．
先证△ABE≌△BCF可得∠BAE=∠FBC，∠AEB=∠BFC，再根据∠FBC+∠BFC=90°说明∠BHE=90°即可判定①；如图：延长DA到M，使AM=BE，然后再证△BCF≌△BAM可得CF=AM，BM=BF，∠FBC=MBA，进而说明BG是MF的垂直平分线可得FG=MG，然后根据线段的和差和等量代换即可判定②；由CF=2结合CF+AG=GF可得FG=2+AG，DG=6−AG，然后运用勾股定理求得AG，进而得到DG=3，再根据三角形的面积公式计算即可判定③；如图：取AB的中点Q，连接HQ，CQ，由直角三角形的性质和勾股定理可得QH=12AB=3、CQ=3 5，再说明当Q、H、C三点共线时，HC有最小值，然后求解即可判定④．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
11.【答案】4×109
【解析】解：40亿=4000000000，用科学记数法表示为：4×109，
故答案为：4×109．
用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
12.【答案】x>−4
【解析】解：∵y=x x+4，
∴x+4>0，
解得x>−4．
∴函数y=x x+4的自变量x的取值范围为x>−4．
故答案为：x>−4．
自变量的取值范围即使得式子有意义的x的取值范围．
本题考查了函数的自变量，熟知函数自变量取值范围的求法是解题的关键．
13.【答案】AC⊥BD(答案不唯一)
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AC⊥BD(答案不唯一)．
直接利用正方形的判定方法直接得出答案．
本题考查了正方形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
14.【答案】25
【解析】解：根据题意画图如下：
共有20种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色相同的有8种情况，
∴两次摸到的球颜色相同的概率是820=25．
故答案为：25．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到的球颜色相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】10
得3
∴该不等式组的两个整数解为4或5，
∴5
本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAP=180−∠AOC2=30°，
∵OP⊥AC，
∴AP=PC=12AC，
在Rt△AOP中，∠OAP=30°，OP= 3，
∴OA=2OP=2 3，
∴AP= OA2−OP2= (2 3)2−( 3)2=3，
∴AC=2AP=6．
故答案为：6．
根据圆周角定理得出∠AOC=120°，根据垂径定理以及勾股定理即可求解．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．
17.【答案】 6
【解析】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
∵一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆，
∴180×πl2360=4π，
∴l=2 2，
∴2πR=180×π×2 2180，
∴R= 2，
∴圆锥的高为 l2−R2= 6，
故答案为： 6．
先根据侧面积计算公式求出母线长，再根据圆锥的侧面展开图，即对应扇形的弧长是底面圆的周长，结合题意列出方程，求出底面的半径，进而利用勾股定理求出高即可．
本题主要考查了，圆锥的侧面积计算，圆锥侧面展开图中弧长的等量关系，勾股定理等等，正确求出母线长和底面圆的半径是解题的关键．
18.【答案】2 5
【解析】解：如图，找D点关于AC的对称点D′，连接BD′，DD′分别交AC于点E，
∵D点关于AC的对称点为点D′，
∴PB+PD=PB+PD′，∠DCE=∠D′CE，DC=D′C，
因此当点B，P′，D′在同一直线时，PB+PD的值最小，即BD′的长度，
∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=∠D′CE=45°，
∴∠DCD′=∠ACB+∠D′CE=90°，
∵BC=4，D是BC边的中点，
∴D′C=DC=12BC=2，
在Rt△BCD′中，BD′= BC2+CD′2= 42+22=2 5，
∴PB+PD的最小值为2 5，
故答案为：2 5．
找D点关于AC的对称点D′，连接BD′，连接DD′交AC于点E，PB+PD的最小值即为BD′的长度，即可解答．
本题考查了轴对称−最短路径问题，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练画出辅助线是解题的关键．
19.【答案】6或272
【解析】解：Rt△ABC中，∠C=90°，
∵AC=9，BC=12，
∴AB= AC2+BC2=15，
分两种情况：
①如图，将直角边AC沿∠CAB的平分线所在直线翻折，直角顶点落在斜边上点D处，折痕交另一直角边于点E，
此时不重合部分三角形是△BED，
由折叠可知：AD=AC=9，DE=CE，∠ADE=90°，
∴BD=AB−AD=15−9=6，
∵BE2=BD2++DE2，
∴(12−DE)2=62+DE2，
∴DE=92，
∴S△BDE=12BD⋅DE=12×6×92=272；
②如图，将直角边BC沿∠CBA的平分线所在直线翻折，直角顶点落在斜边上点D处，折痕交另一直角边于点E，此时不重合部分三角形是△AED，
由折叠可知：BD=BC=12，DE=CE，∠ADE=90°，
∵AE2=AD2++DE2，
∴(9−DE)2=32+DE2，
∴DE=4，
∴S△ADE=12AD⋅DE=12×3×4=6；
则折叠后不重合部分三角形的面积为6或272，
故答案为：6或272．
利用勾股定理先求出AB的长，然后根据题意分两种情况画图，利用角平分线的性质即可解决问题
本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．
20.【答案】(−22023,−22024)
【解析】解：根据题意，点B的坐标为(1,2)，在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2，
则B1(−2,−4)，
再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2，
则B2(4,8)，
……
所以，点Bn[(−1)n×2n,(−1)n×2n+1]，
故点B2023的坐标为(−22023,−22024).
故答案为：(−22023,−22024).
结合位似图形的性质，确定点Bn的变化规律，即可获得答案．
本题主要考查了坐标与图形、位似图形、点的坐标规律等知识，结合位似图形的性质确定点Bn的变化规律是解题关键．
21.【答案】解：原式=(x−2x−2−1x−2)⋅(x−2)(x+2)(x−3)2
=x−3x−2⋅(x−2)(x+2)(x−3)2
=x+2x−3．
当x=2tan45°−1=1时，
原式=−32．
【解析】先根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，再将x的值化简，最后将x的值代入即可求解．
本题主要考查了分式的化简求值，特殊角度的三角函数计算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序，以及熟记各个特殊角度的三角函数值．
22.【答案】解：(1)如图：
△A1B1C1即为所求；
(2)作图如下：
△A2B2C1即为所求；
(3)∵B1C1= 12+42= 17，
∴线段B1C1在旋转过程中扫过的面积为90×π×( 17)2360=17π4．
【解析】(1)根据图形平移的性质画出两次平移后的△A1B1C1即可；
(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2B2C1，
(3)根据勾股定理求出B1C1的长，由扇形的面积公式即可计算出线段B1C1旋转过程中扫过的面积．
本题考查的是图形的旋转、平移及扇形面积的计算，熟知图形旋转、平移后的图形与原图形全等是解答此题的关键．
23.【答案】解：(1)把点A(1,0)及对称轴x=2代入y=x2−bx+c，得
1−b+c=0−−b2=2，解得b=4c=3，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3．
(2)如图，连接BC，取BC的中点D，作直线OD与抛物线交于点P1，P2，
令x=0，则y=3，
∴点B的坐标是(0,3)，
∵点A(1,0)，对称轴是直线x=2，
∴点C的坐标是(3,0)，
∴点D的坐标是(32,32)，
设直线OD的解析式为y=kx，
则32k=32，
解得k=1，
∴直线OD的解析式为y=x，
∴y=xy=x2−4x+3，
解得，x1=5+ 132y1=5+ 132，x2=5− 132y2=5− 132，
∴P1(5+ 132,5+ 132)，P2(5− 132,5− 132)．
【解析】(1)根据抛物线经过点A和对称轴可列出关于b，c的方程组，求出b，c的值，即可求出抛物线的解析式；
(2)根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，故取BC的中点D，作直线OD，求出点D的坐标，进而求出直线OD的解析式，联立抛物线的解析式，即可求出点P的坐标．
本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与正比例函数的交点问题，三角形的中线的性质，中点坐标的求法，熟练掌握这些知识是解题的关键．
24.【答案】解：(1)抽查的总人数：(8+16)÷12%=200(人)；
(2)范围是115≤x<145的人数是：200−8−16−71−60−16=29(人)，
则跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数是：360°×29+16200=81°；
(3)优秀的比例是：60+29+16200×100%=52.5%，则估计全市5000名九年级学生中学生的成绩为优秀人数是：5000×52.5%=2625(人)．
【解析】(1)根据前两组共占12%解答；
(2)求出跳绳次数范围在135≤x≤155的人数所占总人数的百分比，即可解答；
(3)用样本估计总体．
本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，两图结合是解题的关键．
25.【答案】解：(1)甲车的速度为60010=60(km/h)，
乙车的速度为450×210−1=100(km/h)；
(2)(10−1)÷2=4.5(h)，4.5+1=5.5(h)．
当0≤x≤4.5时，设所求函数解析式为y=kx+b，
把(0,450)，(4.5,0)代入，得b=4504.5k+b=0，
解得k=−100b=450，
∴所求函数解析式为y=−100x+450(0≤x≤4.5)；
当4.5
解得m=100n=−550，
∴所求函数解析式为y=100x−550(5.5
将(0,600)，(10,0)代入，得q=60010p+q=0，
解得：p=−60q=600，
∴甲车从出发到C地的过程中y与x之间的函数解析式为y=−60x+600，
①当0≤x≤4.5时，−60x+600−(−100x+450)=300，
解得：x=3.75；
②当4.5
③当5.5
∴甲车出发3.75h或5h或8.75h时，甲、乙两车相距300km．
【解析】
【分析】(1)根据速度=路程÷时间，将图象中的数据代入计算，即可求解；
(2)由乙车图象，利用待定系数法求解即可；
(3)先求得甲车y与x之间的函数解析式，根据图象，分情况讨论即可．
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解每段图象的意义，进行分类讨论．
26.【答案】(1)证明：在CD上截取DF=AD，连接AF．
∵BE//AD，∠BED=60°，
∴∠D=∠BED=60°，∠BEC=120°，
∵DF=AD，
∴△ADF为等边三角形．
∴∠AFD=60°．
∴∠AFC=120°=∠BEC．
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，∠ACB=60°．
∴∠ACF+∠BCE=60°．
∵∠ACF+∠CAF=∠AFD=60°，
∴∠CAF=∠BCE．
∴△ACF≌△CBE(AAS)．
∴CF=BE．
∵CD=DF+CF，
∴CD=AD+BE．
(2)解：图②：CD=AD−BE．
证明：延长DC至N，使AD=DN，
∵BE//AD，∠BED=60°，
∴∠ADN=60°，
∴△ADN为等边三角形，
∴∠N=60°，
∴∠N=∠E，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCE+∠ACN=120°，
∵∠BCE+∠EBC=120°，
∴∠ACN=∠EBC，
∵AC=BC，
∴△BCE≌△CAN(AAS)，
∴BE=CN，
∴CD=DN−CN=AD−BE；
图③：CD=BE−AD．
证明：延长CD至M，使DM=AD，连接BD，
∵BE//AD，∠BED=60°，
∴∠ADM=60°，
∴△ADM为等边三角形，
∴∠M=∠DAM=60°，AD=AM，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAM，
又∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAM(SAS)，
∴BD=CM=CD+DM=CD+AD，∠BDA=∠M=60°，
∴∠BDE=60°，
∵∠BED=60°，
∴∠BDE=∠BED=∠EBD，
∴△BED为等边三角形，
∴BE=BD，
∴CD=BE−AD．
【解析】(1)在CD上截取DF=AD，连接AF.证明△ACF≌△CBE(AAS).由全等三角形的性质得出CF=BE.则可得出结论；
(2)图②：CD=AD−BE.延长DC至N，使AD=DN，证明△BCE≌△CAN(AAS)，由全等三角形的性质得出BE=CN，则可得出结论；
图③：CD=BE−AD.延长CD至M，使DM=AD，连接BD，证明△BAD≌△CAM(SAS)，由全等三角形的性质得出BD=CM，证出△BED为等边三角形，由等边三角形的性质得出BE=BD，则可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
27.【答案】解：(1)设生产甲种服装x套，则生产乙种服装(100−x)套．
根据题意，得34x+42(100−x)≥3752,34x+42(100−x)≤3768.
解得54≤x≤56．
∵x为正整数，
∴x可以取54，55，56元．
方案一：甲种服装54套，乙种服装46套；
方案二：甲种服装55套，乙种服装45套；
方案三：甲种服装56套，乙种服装44套．
(2)设利润为y元．
y=(39−34)x+(50−42)(100−x)=−3x+800．
∵−3<0，∴y随x的增大而减小．
∴当x=54时，y有最大值为638．
答：最多可获得利润638元．
(3)捐出甲种服装1套，乙种服装5套．
补充理由如下：
由(2)知最大利润的方案是：甲种服装54套，乙种服装46套，
则利润的差就是卖掉捐出的6套服装服装的总价，
设捐出甲种服装m套，则乙种服装(6−m)套
则有：39m+50(6−m)=638−349，
解得：m=1
∴6−m=5
答：捐出甲种服装1套，乙种服装5套．
【解析】(1)先设生产甲种服装x套，则生产乙种服装(100−x)套，根据两种服装的成本不低于3752元，不高于3768元列出不等式组，解出x的范围从而得到所有方案；
(2)设利润为y元，求出y与x的关系式，再根据函数的增减性求出最大值即可；
(3)设捐出甲种服装m套，则乙种服装(6−m)套，根据利润的差就是卖掉捐出的6套服装服装的总价列出方程，解出m即可得解．
本题考查不等式组的应用，一次函数的应用，一元一次方程的应用，根据题意列不等式组、函数关系式、方程是解题的关键．
28.【答案】解：(1)如图：过点C作CD⊥x轴，垂足为D.则∠ADC=90°，
解x2−6x+8=0，得x1=2，x2=4．
∵OA
∴点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是(0,4)，
∵BC//x轴，∠BOD=90°，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBC=∠ADC=∠BOD=90°，
∴四边形BODC是矩形，
∴CD=OB=4，
∵∠CAD=45°，
∴AD=CD=4，
∴OD=OA+AD=6．
∴点C的坐标为(6,4)．
(2)作QM⊥BC于点M．
由题意可得BP=t，AQ= 2t，
∵BC=OD=6，
∴CP=6−t，
∵AC= AD2+CD2=4 2，
∴CQ=4 2− 2t，
∵∠CAD=∠ACB=45°，sin∠ACB=QMCQ= 22，
∴QM= 22CQ= 22(4 2− 2t)=4−t，
∴S=12CP⋅MQ=12(6−t)(4−t)=12t²−5t+12(0≤t≤4)，
(3)∵M是直线BC上一点，
∴可设点M的坐标是(m,4)，
设点N的坐标是(n,p)，
①当AC是对角线时，由中点坐标公式得到4+p2=0+42，
∴p=0，
由NA=NC得到n−2= (6−n)2+(4−0)2，解得n=6，
∴点N的坐标是(6,0)；
②当AC为边时，则AC//MN，AC=MN，
∴AC2=MN2，CM2=AC2，AN2=AC2，
∴(6−2)2+(4−0)2=(m−n)2+(4−p)2，(m−6)2=(6−2)2+(4−0)2，(n−2)2=(6−2)2+(4−0)2，
解得n=2+4 2或n=2−4 2，
∴此时点N的坐标是(2+4 2,0)或(2−4 2,0)；
③当MC是对角线时，由中点坐标公式得到m+62=2+n2,4+42=0+p2，
∴p=8，m=n−4，
由MA=AC得到 (m−2)2+(4−0)2= (6−2)2+(4−0)2，解得m=−2(不合题意，舍去)或m=6，
∴6=n−4，解得n=10，
∴此时点N的坐标是(10,8)．
综上可知，存在点N，坐标分别为(2+4 2,0)或(2−4 2,0)或(6,0)或(10,8)．
【解析】(1)过点C作CD⊥x轴，垂足为D.则∠ADC=90°，解x2−6x+8=0，得x1=2，x2=4，求得点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是(0,4)，证明四边形BODC是矩形，则CD=OB=4，由∠CAD=45°得到AD=CD=4，则OD=6.即可得到答案；
(2)作QM⊥BC于点M，由题意可得BP=t、AQ= 2t，CP=6−t，然后解直角三角形可得CQ=4 2− 2t、QM=4−t.最后根据实际和三角形的面积公式即可解答；
(3)设点M的坐标是(m,4)、N的坐标是(n,p)，然后分AC是对角线、当AC为边、MC是对角线三种情况，分别根据中点坐标公式、两点间距离公式求解即可解答．
本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程、函数解析式等知识点，掌握分类讨论和数形结合是解题的关键．
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