2022-2023学年江苏省常州市七年级（下）期末数学预热试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省常州市七年级（下）期末数学预热试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省常州市七年级（下）期末数学预热试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算a⋅a2的结果是(    )
A. a B. a2 C. a3 D. a4
2. 若−3a>1，两边都除以−3，得(    )
A. a<−13 B. a>−13 C. a<−3 D. a>−3
3. 细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来只有一颗小米粒那么大.某种细菌的直径是0.000 002 5m，用科学记数法表示这种细菌的直径是(    )
A. 25×10−5 m B. 2.5×10−5 m C. 25×10−6 m D. 2.5×10−6 m
4. 下列运算正确的是(    )
A. a2+a2=2a4 B. a6÷a2=a3
C. (a+3)(a−3)=a2−6a+9 D. (−3a3)2=9a6
5. 一个多边形的每一个外角都是45°，则这个多边形的边数为(    )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为(    )
A. y=3x−2y=2x+9 B. y=3(x−2)y=2x+9 C. y=3x−2y=2x−9 D. y=3(x−2)y=2x−9
7. 若−3 A. 0≤x<3 B. −3 8. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB//DE，则∠AFD的度数是(    )


A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 计算：(x−2)⋅2x= ______ ．
10. 因式分解：x2−25=______．
11. “对顶角相等”是一个______命题(填“真”或“假”)．
12. 已知x=1y=3是方程ax+y=2的解，则a的值为______ ．
13. 若10a×100b=100，则a+2b+3= ______ ．
14. 一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是______．
15. 已知关于x，y的二元一次方程组2x+3y=5ax+4y=2a+3满足x−y>0，则a的取值范围是______ ．
16. 如图，四边形纸片ABCD，AD//BC，AB//CD.将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，EF为折痕，FH交CD于点K.若∠CKF=40°，则∠A+∠GED= ______ °.

三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)(−1)2+(π−3)0−(12)−1；
(2)(a−2)(a+2)−(a−2)2．
18. (本小题8.0分)
因式分解：
(1)9ax2−ay2；
(2)−a+2a2−a3．
19. (本小题8.0分)
解方程组或不等式组：
(1)3x−2y=82x+y=3；
(2)3x−4<4−x2x+13 20. (本小题6.0分)
已知(a+b)2=7，a2+b2=5.求下列代数式的值：
(1)ab；
(2)(a−b)2．
21. (本小题6.0分)
观察下列等式：
32−12=8；
52−32=16；
72−52=24；
92−72=32；
…
根据上述规律，解答下列问题：
(1)填空：132−112= ______ ，192−172= ______ ；
(2)用含n(n是正整数)的等式表示这一规律，证明你的结论是正确的．
22. (本小题8.0分)
“互联网+”让我国经济更具活力，直播带货就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品直播带货，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，50千克花生的售价与10千克茶叶的售价相同．
(1)求每千克花生与茶叶的售价；
(2)若甲在1小时内销售两种特产共100千克，销售收入不低于2600元，则茶叶至少需要销售多少千克？
23. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点E、G分别在BC、AC上，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别是D、F．
(1)CD与EF平行吗？证明你的结论；
(2)已知∠1=∠2，∠3=105°，求∠ACB的度数．

24. (本小题6.0分)
关于x的两个不等式①3x+a2<1与②1−3x>0．
(1)若两个不等式的解集相同，求a的值．
(2)若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图1，MN//PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
(1)求证：∠CAB=∠MCA+∠PBA；
(2)如图2，CD//AB，点E在PQ上，∠ECN=∠CAB，求证：∠MCA=∠DCE；
(3)如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF//CG.若∠CAB=60°，求∠AFB的度数．

答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：a⋅a2
=a1+2的
=a3．
故选：C．
利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

2.【答案】A 
【解析】解：−3a>1，两边都除以−3，
得a<−13，
故选：A．
根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，求解即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：0.0000025m=2.5×10−6m.
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4.【答案】D 
【解析】解：A、a2+a2=2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a2=a4，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、(a+3)(a−3)=a2−9，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、(−3a3)2=9a6，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
根据合并同类项法则、同底数幂的除法运算法则、平方差公式、幂的乘方的运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则和乘法公式是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查的是多边形的外角和的运用，明确正多边形的每个外角的度数×边数=360°是解题的关键．
任意多边形的外角和为360°，用360°除以45°即为多边形的边数．
【解答】
解：因为多边形的外角和为360°，
所以该多边形的边数=360°÷45°=8．
故选：C．
  
6.【答案】B 
【解析】解：设共有y人，x辆车，
依题意得：y=3(x−2)y=2x+9．
故选：B．
设共有y人，x辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：x+a=0，
x=−a，
∵−3 ∴−3≤−a<3，
∴−3≤x<3．
故选：D．
把a看作已知数求出方程的解得到x的值，将−3 本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是表示出x．

8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质定理和外角的性质，求出∠A，∠D的度数是解本题的关键．利用三角形的内角和定理可得∠A=30°，∠D=45°，由平行线的性质定理可得∠1=∠D=45°，利用三角形外角的性质可得结果．
【解答】
解：如图，

∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=180°−∠ACB−∠ABC=180°−90°−60°=30°，
∵∠EFD=90°，∠DEF=45°，
∴∠D=180°−∠EFD−∠DEF=180°−90°−45°=45°，
∵AB//DE，
∴∠1=∠D=45°，
∴∠AFD=∠1−∠A=45°−30°=15°，
故选A．  
9.【答案】2x2−4x 
【解析】解：原式=2x2−4x．
故答案为：2x2−4x．
直接根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
此题考查的是单项式乘多项式，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

10.【答案】(x+5)(x−5) 
【解析】解：原式=(x+5)(x−5)．
故答案为：(x+5)(x−5)．
应用平方差公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了因式分解−应用公式法，熟练掌握因式分解−应用公式法进行求解是解决本题的关键．

11.【答案】真 
【解析】解：对顶角相等是真命题，
故答案为：真．
根据对顶角相等、真命题的概念解答．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

12.【答案】−1 
【解析】解：把x=1y=3代入到方程中得：a+3=2，
∴a=−1，
故答案为：−1．
把方程组的解代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程的解，把方程组的解代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．

13.【答案】5 
【解析】解：∵10a×100b=100，
∴10a×102b=102．
∴10a+2b=102，
∴a+2b=2，
∴a+2b+3=5．
故答案为：5．
将10a×100b=100化成底数都为10的幂，根据同底数幂的乘法可得a+2b的值，代入所求式子即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方．化成底数相同是本题的关键．

14.【答案】4 
【解析】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，
4−1 又∵第三边的长是偶数，
∴a为4．
故答案为：4．
利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．
此题主要考查了三角形三边关系，掌握第三边满足：大于已知两边的差，且小于已知两边的和是解决问题的关键．

15.【答案】a>1 
【解析】
【分析】
本题考查解一元一次不等式、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确利用加减消元法得到x−y的值．
根据方程组的特点，用第一个方程减第二个方程，即可得到x−y=3a−3，再根据x−y>0，即可得到3a−3>0，从而可以求得a的取值范围．
【解答】
解：2x+3y=5a①x+4y=2a+3②，
①−②，得x−y=3a−3，
∵x−y>0，
∴3a−3>0，
解得a>1，
故答案为a>1．  
16.【答案】140 
【解析】解：∵AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
根据翻转折叠的性质可知，∠AEF=∠GEF，∠EFB=∠EFK，
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB，∠AEF=∠EFC，
∴∠GEF=∠AEF=∠EFC，∠DEF=∠EFB=∠EFK，
∴∠GEF−∠DEF=∠EFC−∠EFK，
∴∠GED=∠CFK，
∵∠C+∠CFK+∠CKF=180°，
∴∠C+∠CFK=140°，
∴∠A+∠GED=140°，
故答案为：140．
首先判定四边形ABCD是平行四边形，得到∠A=∠C，AD//BC，再根据折叠变换的性质和平行线的性质将角度转化求解．
本题主要考查了翻转变化、平行四边形的判定和性质、三角形内角和等知识点，解题关键是将角度灵活转化求解．

17.【答案】解：(1)原式=1+1−2
=0；
(2)原式=a2−4−(a2−4a+4)
=a2−4−a2+4a−4
=4a−8． 
【解析】(1)利用零指数幂、负整数指数幂的法则，以及数的乘方的意义计算即可得到结果；
(2)利用平方差公式和完全平方公式计算即可得到结果．
本题考查了整式的混合运算以及实数的运算，熟练掌握公式及运算法则是解题的关键．

18.【答案】解：(1)原式=a(9x2−y2)
=a(3x+y)(3x−y)；

(2)原式=−a(1−2a+a2)
=−a(1−a)2． 
【解析】(1)提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
(2)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

19.【答案】解：(1)3x−2y=8①2x+y=3②，
①+②×2得：7x=14，
∴x=2，
把x=2代入②得：4+y=3，
∴y=−1，
∴方程组的解为x=2y=−1；
(2)3x−4<4−x①2x+13 解不等式①得：x<2，
解不等式②得：x>−2，
∴不等式组的解集为−2 【解析】(1)用加减消元法把方程组转化为一元一次方程即可求解；
(2)解出每个不等式，再取公共解集．
本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是掌握“消元“将“二元“转化为“一元“和取不等式公共解集的方法．

20.【答案】解：(a+b)2=a2+2ab+b2=7，
(1)∵a2+b2=5，
∴a2+2ab+b2=5+2ab=7，
∴ab=1；
(2)(a−b)2
=a2+b2−2ab
=5−2×1
=5−2
=3． 
【解析】(1)将已知完全平方公式展开，再代入计算即可得到答案；
(2)将所求完全平方式展开后，整体代入计算可得答案．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

21.【答案】48  72 
【解析】解：(1)132−112=48，192−172=72，
故答案为：48，72．
(2)由数列3，5，7，9...，得第n个数为：2n+1，
由数列1，3，5，7...，得第n个数为：2n−1，
由数列8，16，24，32...，得第n个数为：8n，
∴该等式的规律为：(2n+1)2−(2n−1)2=8n．
等式左边：
(2n+1)2−(2n−1)2
=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)
=4n×2
=8n，
∴结论正确．
(1)按题所给算式计算即可；
(2)分别探索三个数列的规律，再按照等式形式表示即可，将结论按照平方差公式展开计算即可．
本题考查了数字规律的探究，等差数列规律的性质及平方差公式的应用是解题关键．

22.【答案】解：(1)设每千克花生的售价为x元，每千克茶叶的售价为y元，
根据题意得：x+40=y50x=10y，
解得：x=10y=50．
答：每千克花生的售价为10元，每千克茶叶的售价为50元；
(2)设销售茶叶m千克，则销售花生(100−m)千克，
根据题意得：10(100−m)+50m≥2600，
解得：m≥40，
∴m的最小值为40．
答：茶叶至少需要销售40千克． 
【解析】(1)设每千克花生的售价为x元，每千克茶叶的售价为y元，根据“每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，50千克花生的售价与10千克茶叶的售价相同”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设销售茶叶m千克，则销售花生(100−m)千克，利用销售收入=销售单价×销售数量，结合销售收入不低于2600元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

23.【答案】解：(1)CD与EF平行．理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB=∠EFB=90°，
∴EF//CD；
(2)∵EF//CD，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG//BC，
∴∠ACB=∠3=105°． 
【解析】(1)先根据垂直的定义得到∠CDB=∠EFB=90°，然后根据同位角相等，两直线平行可判断EF//CD；
(2)由EF//CD，根据平行线的性质得∠2=∠BCD，而∠1=∠2，所以∠1=∠BCD，根据内错角相等，两直线平行得到DG//BC，所以∠ACB=∠3=105°．
本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．

24.【答案】解：(1)利用不等式的基本性质，由①得：x<2−a3，
由②得：x<13，
由两个不等式的解集相同，得到2−a3=13，
解得：a=1；

(2)由不等式①的解都是②的解，得到2−a3≤13，
结合(1)的结论，可得：a≥1． 
【解析】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．
(1)利用不等式的基本性质，求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；
(2)根据不等式①的解都是②的解，结合(1)的结论，求出a的范围即可．

25.【答案】(1)证明：如图1，过点A作AD//MN，

∵MN//PQ，AD//MN，
∴AD//MN//PQ，
∴∠MCA=∠DAC，∠PBA=∠DAB，
∴∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB=∠MCA+∠PBA；
(2)如图2，∵CD//AB，
∴∠CAB+∠ACD=180°，
∵∠ECM+∠ECN=180°，
∵∠ECN=∠CAB
∴∠ECM=∠ACD，
即∠MCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA=∠DCE；
(3)∵AF//CG，
∴∠GCA+∠FAC=180°，
∵∠CAB=60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB=180°，
∴∠FAB=180°−60°−∠GCA=120°−∠GCA，
由(1)可知，∠CAB=∠MCA+∠ABP，
∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，
∴∠ACN=2∠GCA，∠ABP=2∠ABF，
又∵∠MCA=180°−∠ACN，
∴∠CAB=180°−2∠GCA+2∠ABF=60°，
∴∠GCA−∠ABF=60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB=180°，
∴∠AFB=180°−∠FAB−∠FBA
=180°−(120°−∠GCA)−∠ABF
=180°−120°+∠GCA−∠ABF
=120°． 
【解析】(1)过点A作AD//MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA=∠DAC，∠PBA=∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
(2)由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD=180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN=180°，再等量代换即可得解；
(3)由平行线的性质得到，∠FAB=120°−∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA−∠ABF=60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的内角和是180°是解题的关键．