2022年江西省萍乡市九年级第二次学业水平检测数学试题及答案

这是一份2022年江西省萍乡市九年级第二次学业水平检测数学试题及答案，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年江西省萍乡市九年级第二次学业水平检测（二模）数学试题

一、单选题
1．19的相反数是（    ）
A． B． C． D．19
2．如图所示方式，把图1中正方体的一个角切割掉，形成了如图2的几何体，则如图2的俯视图是（   ）

A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是（    ）．
A． B．
C． D．
4．对于一列数据(数据个数不少于6），如果去掉一个最大值和一个最小值，那么这列数据分析一定不受影响的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是(   )
A． B． C． D．

二、填空题
7．计算：________．
8．今年国庆期间上演的《长津湖》备受广大观众喜爱，票房一路攀升，上映一周票房就高达326000000元．其中326000000用科学记数法表示为______．
9．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程为________．
10．设，是方程的两个实数根，则的值为________．
11．如图，四边形ABCD中，，，，对角线BD恰好平分，则_____.

12．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____．


三、解答题
13．计算：．
14．如图，在四边形中，，接，，，分别是，，的中点，连接，．求证：．

15．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．

16．如图，菱形ABCD及点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）如图1，若点P在AB上，请在CD上作出点Q，使CQ=AP；
（2）如图2，若点P在菱形ABCD外，请在菱形外作点Q，使△CQD≌△APB．

17．《小猪佩奇》这部动画片，估计同学们都非常喜欢．周末，小猪佩奇一家4口人（小猪佩奇，小猪乔治，小猪妈妈，小猪爸爸）到一家餐厅就餐，包厢有一圆桌，旁边有四个座位（，，，）．

（1）小猪佩奇随机坐到座位的概率是________；
（2）若现在由小猪佩奇，小猪乔治两人先后选座位，用树状图或列表的方法计算出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率．
18．如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点的坐标为．

(1)求直线的解析式；
(2)求的值．
19．为了增强学生的疫情防控意识，响应“停课不停学”号召，某校组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习，并进行了一次全校2500名学生都参加的网上测试．阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现考试成绩（分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下不完整的统计图表．请根据图表提供的信息，解答下列问题：
分数段（分）
频数（人）
频率


0.1

18
0.18




35
0.35

12
0.12
合计
100
1

（1）填空：________，________，________；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）该校对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为，请你估算全校获得二等奖的学生人数；
（4）结合调查的情况，为了提高疫情防控意识，请你给学校提一条合理性建议．
20．张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为，，，．求的长（结果精确到．参考数据：，，，）．

21．如图，内接于，为直径，过点O作，交的延长线于点F，交于点D，E为上一点，连接，其中．

（1）求证：E是的中点；
（2）求证：是的切线；
（3）如果，，求弦的长．
22．在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如下表所示：
项目
购进数量（件）
购进所需费用（元）
酒精消毒液
测温枪
第一次
30
40
8300
第二次
40
30
6400
（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
23．已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，点D为BC边上一动点，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE．
（1）当AD平分∠BAC时，如图1，四边形ADCE是　　　　形；
（2）过E作EF⊥AC于F，如图2，求证：F为AC的中点；
（3）若AB=2，
①当D为BC的中点时，过点E作EG⊥BC于G，如图3，求EG的长；
②点D从B点运动到C点，则点E所经过路径长为　　　　．(直接写出结果)

24．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，（点在点的左侧）两点．点是该抛物线上任意一点，过点作平行于轴的直线交于，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．

(1)已知：，，．
①如图①，当点的横坐标为1，直线轴且过抛物线与轴的交点时，________，________；
②如图②，当点的横坐标为2，直线的解析式为时，________，________．
(2)由（1）中两种情况的结果，请你猜想在一般情况下与之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)若，点，的横坐标分别为，2，点在直线的上方的抛物线上运动（点不与点，重合），在点的运动过程中，利用（2）中的结论求出的最大面积．

参考答案：
1．A
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】解：19的相反数是：-19．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．C
【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．
【详解】解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．A
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方法则、单项式乘多项式法则及完全平方公式逐一判断即可．
【详解】解：A．，正确；
B．，原式错误；
C．，原式错误；
D．，原式错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方法则、单项式乘多项式法则及完全平方公式．
4．B
【分析】根据中位数不受极端值的影响即可得．
【详解】解：由题得，去掉了一组数据的极端值，中位数不受极端值的影响，
故选B．
【点评】本题考查了一组数的特征数据，解题的关键是掌握平均数，中位数，众数，方差．
5．C
【分析】根据图形进行剪切拼接可得图形．
【详解】解：根据左边图形可剪成若干小块，再进行拼接平移后能够得到①，②，不能拼成③，
故选C．
【点评】此题主要考查了图形的平移，通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
6．B
【分析】由完美点的概念可得： ，即 ，由只有一个完美点可得判别式 ，得方程根为，从而求得，，所以函数 ，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得的取值范围．
【详解】解：令，即，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
式，则 ．
又方程根为 ，
，．
函数，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为，

与轴交点为，根据对称规律，
点也是该二次函数图象上的点．
在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；
且当 时，函数的最大值为，最小值为，
则．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．
7．-1
【分析】先把二次根式化简，再计算即可．
【详解】解：．
【点评】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再计算．
8．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
9．
【分析】根据五只雀、六只燕共重一斤可得，根据互换其中一只，恰好一样重可得，据此可得答案．
【详解】解：设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，
由题意得：，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
10．-1
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，则原式可化简为，然后根据根与系数的关系得到，，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
则，，
且，则，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（≠0）的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
11．6
【分析】在BC上截取BE=BA，连接DE．只要证明△DBA≌△DBE（SAS），△DEC是等边三角形，即可解决问题；
【详解】解：在BC上截取BE=BA，连接DE．

∵BA=BE，∠ABD=∠EBD，BD=BD，
∴△DBA≌△DBE（SAS），
∴AD=DE=6，
∵AD=CD=6，
∴DE=DC，
∵∠C=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴EC=DE=6，
∴BC-AB=BC-BE=EC=6，
故答案为6．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
12．或或1
【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【详解】当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，
∴BP=，
在直角三角形ABP中，
AP=；
当∠APB=90°时，分两种情况，
情况一，（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴BP=OB=1，
∵AB=BC=2，
∴AP=；
情况二，如图3，
∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=1，
故答案为：或或1．
．
【点评】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
13．-1
【分析】先将原式中的每一项分别按照绝对值的意义、零指数幂法则、负整数指数幂法则、特殊角的三角函数值计算，然后再进行加减运算即可得解．
【详解】原式．
故答案是：
【点评】本题考查了绝对值的意义、零指数幂法则、负整数指数幂法则、特殊角的三角函数值以及实数的加减运算，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
14．见解析
【分析】根据中位线与直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【详解】证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
．
，是的中点，

．
【点评】此题主要考查三角形的线段证明，解题的关键是熟知三角形中位线与直角三角形斜边上的中线性质．
15．，见解析
【分析】根据不等式组的解法求解，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，在数轴上表示如下．

【点评】本题考查了解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
16．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接，交于点，连接延长交于点，点即为所求．
（2）连接，交于点，延长交的延长线于，连接交的延长线于，连接，连接，延长交于点，连接，点即为所求．
【详解】解：（1）如图1中，点即为所求．

（2）如图2中，点即为所求．
【点评】本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是作出菱形的对称中心，属于中考常考题型．
17．（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式可得答案；
（2）画出树状图，得出所有情况数以及小猪佩奇和小猪乔治坐对面的情况数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）∵有4个座位，
∴小猪佩奇随机坐到座位的概率是；
（2）树状图如下：

∴共有12种结果，其中与或与为对面，共有4种，
∴小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率．
【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
18．(1)
(2)

【分析】（1）先求点的坐标为，将点P坐标代入到双曲线中，即可求出，得到，再求出，代入设直线的解析式为，即可求解．
（2）过点作于点，求出QD，OQ的长，即可求得．
（1）
解：∵的中点是，点的坐标为，
∴．
∵双曲线经过点；
∴，
∴．
∵为直角三角形，
∵轴，
∴，两点的纵坐标相等，均为4，
∴．
设直线的解析式为，
∴，解得．
∴直线的解析式为．
（2）
如图，过点作于点，
∵，
∴，解得，
∴在中，．

【点评】本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，以及构造直角三角形求三角比，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．
19．（1）10，25，0.25；（2）见解析；（3）90人；（4）见解析
【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系计算即可；
（2）根据a，b的值补全频数分布直方图即可；
（3）用该校总人数乘以成绩为的频率，再乘以二等奖的比例即可；
（4）建议学校开展疫情防控的专题讲座，让同学们更加充分的了解疫情
【详解】解：（1），，；
故答案为：10，25，0.25；
（2）补全频数分布直方图如图所示：

（3）（人），
答：估计全校获得二等奖的学生人数约为90人；
（4）建议学校开展疫情防控的专题讲座，让同学们更加充分的了解疫情．
【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、样本估计总体，直方图能清楚地表示出每个项目的数据，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．27.7cm
【分析】作AG⊥EH于G，则∠ANM=∠AGC=90°，由三角函数求出AN=AMsin37°=6，MN=AMcos37°=8，EG=MN，，得出EC．
【详解】如图，作

则，
，
，
∴



∴

∴
答：EC的长是27.7cm．
【点评】本题考查了相似三角形的应用以及三角函数的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB=90°，由直角三角形的性质得出∠ECF=∠F，得出EC=EF，则可得出结论；
（2）连接OC，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出∠OCA+∠DCE=90°，则EC⊥OC，则可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长．
【详解】解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵EC=ED，
∴∠DCE=∠EDC，
在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF=90°，
∴∠CDE+∠ECF=90°，
∵∠CDE+∠F=90°，
∴∠ECF=∠F，
∴EC=EF，
∴ED=EF，
∴E是DF的中点；
（2）证明：连接OC，

∵OF⊥AB，
∴∠DOA=90°，
∴∠A+∠ADO=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠OCA+∠ADO=90°，
∵∠ADO=∠CDE，
∴∠OCA+∠CDE=90°，
∵∠CDE=∠DCE，
∴∠OCA+∠DCE=90°，
∴EC⊥OC，
∴EC是⊙O的切线；
（3）∵EF=3，ED=EF，
∴EC=DE=3，
∴，
∴OD=OE-DE=2，
在Rt△OAD中，，
在Rt△AOD和Rt△ACB中，
∵∠A=∠A，∠ACB=∠AOD，
∴Rt△AOD∽Rt△ACB，
∴，
即，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定，直角三角性质，勾股定理，圆周角定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
22．（1）酒精消毒液的进价为10元，测温枪的进价为200元；
（2）该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为元.
【分析】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是，根据第一次购买30件酒精消毒液和40件测温枪的总费用为8300可以列出，根据第二次购买40件酒精消毒液和30件测温枪的总费用为6400可以列出，联立这两个方程即可求解；
（2）设购进酒精消毒液件，则购进测温枪件，销售完这1000件商品获得的利润为，根据酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售，可以得到酒精消毒液每件的利润为10元，测温枪每件的利润为40元，由此可以求出利润的表达式；同时结合酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍列出不等式，即可求出的取值范围，从而求出最大利润；
【详解】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是元，y元
由题意可得：
解得：
酒精消毒液的进价为10元，测温枪的进价为200元
（2）设购进酒精消毒液件，则购进测温枪件，销售完这1000件商品获得的利润为
由题意可得：
酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍

解得：
利润是关于的一次函数，同时
随着的增大而减小
当时，有最大值为
该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为元
【点评】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，同时结合一次函数的性质求最值，充分理解题意列出方程组，以及利润的表达式是求解本题的关键.
23．（1）菱形；（2）证明见解析；（3）①EG；②2．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ADCE为平行四边形，证明AD=AE，根据菱形的判定定理证明结论；
（2）证明△BAD≌△FAE，根据全等三角形的性质得到AB=AF，根据直角三角形的性质得到AC=2AB，证明结论；
（3）①作EF⊥AC于F，连接EC，根据勾股定理求出BC，根据等腰三角形的性质求出CG，根据勾股定理计算，得到答案； ②根据线段垂直平分线的判定定理得到E'E''垂直平分AC，证明△E'AE''≌△BAC，得到E'E''=BC=．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=30°．
∵△ADE为等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠EAC=30°，
∴∠EAC=∠ACB，∠DAC=∠ACB，
∴AE∥DC，AD=DC．
∵AE=AD，∴AE=CD，
∴四边形ADCE为平行四边形．
∵AD=AE，
∴平行四边形ADCE为菱形．

故答案为：菱形；
（2）

在△BAD和△FAE中，
，
∴△BAD≌△FAE(AAS)，
∴AB=AF，
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴AC=2AF，
∴F为AC的中点；

（3）①如图3，作EF⊥AC于F，连接EC，

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=4，
∴BC2，
∵D为BC的中点，
∴BDBC，
∴AD，
∵AF=FC，EF⊥AC，
∴EC=AE=AD，
∵EC=EA=ED，EG⊥DC，
∴CGCD，
∴EG；
②如图4，当点D与点B重合时，点E在E'处，点E'是AC中点；
当点D与点C重合时，点E在E''处，其中△ACE''是等边三角形，
由（1）得：AE=CE，∴点E始终落在线段AC的垂直平分线上，
∴E'E''垂直平分AC，
∴点E的运动路径是从AC的中点E'，沿着AC垂直平分线运动到E''处，
在△E'AE''和△BAC中，
，
∴△E'AE''≌△BAC(AAS)，
∴E'E''=BC=2．
故答案为：2．

【点评】本题考查的是等边三角形的性质、菱形的判定、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．(1)①2，2；②7，7；
(2)
(3)当时，

【分析】（1）先求出抛物线的解析式：，①当点的横坐标为1，直线轴且过抛物线与轴的交点时，利用点的坐标即可求出CD的长，进一步求出AE,BF的长，即可得到答案；②当点的横坐标为2，根据已知条件证出点，点，即可求CD，进一步可求，，即可得到的答案；
（2）先给出猜想，再根据已知得到式子，化简得，则，，∴，，代入即可得AE、BF，即可得到答案；
（3）过点作轴交于，设点的横坐标为，的面积为，即可表示，，，则，即可得到极值，即当时，．
(1)
解：∵，，，
∴抛物线解析式为：，
①当点的横坐标为1，直线轴且过抛物线与轴的交点时，
∴点，点，点，点，
∴，，，
∴，
故答案为：2，2；
②当点的横坐标为2，直线的解析式为时，
∴点，点，
∴，
∵，
∴，，
∴点，点，
∴，，
∴，
故答案为：7，7；
(2)
猜想：，
证明：设点，点，点的横坐标为：，，，直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵，是方程的两根，
∴，，
∴，，
∴



，
∵点，
∴；
∴；
(3)
过点作轴交于，
设点的横坐标为，的面积为，
则，，，
∵


，
∴当时，．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、掌握根于系数的关系是解题的关键．