2022年江西省萍乡市九年级初中学业水平考试适应性（三）数学试题及答案

这是一份2022年江西省萍乡市九年级初中学业水平考试适应性（三）数学试题及答案，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年江西省萍乡市九年级初中学业水平考试适应性（三）数学试题

一、单选题
1．计算的结果是（    ）
A．4 B． C． D．
2．2021年，江西省全年GDP总量达到29600亿元，增长8.8%．其中将29600亿用科学记数法表示应为（    ）
A． B． C． D．
3．如图所示，将立方体沿所在平面截取几何体，则这个几何体的平面展开图是（    ）

A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
5．如图，是边长为4的等边三角形，点在边上，以为斜边向右作等腰直角三角形，连接，则当点在上运动时，下列说法中，错误的是（    ）

A．当，两点重合时，平分
B．当点为的中点时，
C．当点与点重合时，最大
D．当点在上时，
6．已知二次函数的图象过第一、三、四象限，且最大值为1，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．
C．抛物线的对称轴为
D．方程有两个不相等的实数根

二、填空题
7．在函数中自变量的取值范围是_____________．
8．如图，已知，，则的度数________．

9．若实数，满足，则的值为________．
10．某校随机调查统计了20名学生某日完成教师布置的课外作业时间，列表如下：
时间（分钟）
35
40
45
50
人数
4
6
7
3
则这20名同学这天完成作业时间的中位数是________．
11．如图，在菱形中，，为的中点，点在上，，，将沿方向平移，使点落在上，则平移的距离为________．

12．如图，在矩形中，，，点P在矩形上或其对角线上运动，，则长为________．


三、解答题
13．（1）计算：；
（2）如图，点，，，在同一直线上，四边形是平行四边形，．求证：．

14．解不等式组：，并写出的所有整数解．
15．在一个蓝色不透明的盒子中放三张分别写有数字1，2，3的卡片，在一个绿色不透明的盒子中放两张分别写有数字4，5，6的卡片，所有卡片除数字外完全相同．现按下列要求抽取卡片．
(1)在________色盒子中抽到卡片是偶数的可能性更大，在蓝色盒子中抽到卡片为合数是________事件；
(2)先从蓝盒中随机抽取一张卡片，再从绿盒中随机抽取一张卡片，求两张卡片上数字之和是奇数的概率．
16．《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？
17．如图，在矩形中，，分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．

(1)在图1中，作出的边上的中线；
(2)在图2中，以为边作一个菱形．
18．某教育主管部门为了解“双减”政策实施前城区学生作业负担情况，对某学区学生进行随机抽样调查（每位同学必须且只能选择一种），其中在学生对作业负担感受的调查项分四种情况进行统计：A．非常重；B．比较重；C．适中；D．比较轻．并根据调查结果绘制出部分条形统计图（如图1）和部分扇形统计图（如图2）．请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)本次调查共选取________名学生；
(2)求出扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有学生1600人，估计有多少名学生作业负担非常重？
19．如图，是边长为8的等边三角形，点在上且，以点为圆心为半径作圆，交于点，与相切于点，连接交于点．

(1)求切线的长；
(2)连接，若，求的长．
20．如图1是一种跑步机，图2是其侧面示意图，由跑带、连杆、扶手和显示屏组成，其中的角度固定，跑步者可根据自己的身高，通过绕点转动扶手调节跑步时的舒适度，量得，，，．

(1)当，时，求点到地面的距离；
(2)在（1）中的条件下，若将绕点逆时针旋转，求，两点之间增加的铅垂宽度．
（参考数据：，，，，结果精确到）
21．如图，一次函数的图象过点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接，交于点．

(1)当，时，求的值；
(2)若，过的中点，求一次函数解析式．
22．如图，正方形中，，是边的中点，连接，点在上，点在上．

(1)在图1中，若点是的中点，与交于点，且，求证：；
(2)在图2中若，与不平行，中是否存在一个内角的度数为？如果存在，指出这个角，并求出此时的长；如果不存在，说明理由．
23．已知抛物线与轴交于，两点．

(1)求的值和点的坐标；
(2)在抛物线上任取一点，作点关于原点的对称点．
①是否存在，两点均在抛物线上的情况？如果存在，求的长；如果不存在，请说明理由；
②请在网格中画出点所在曲线的大致图象，并求当取得最小值时点的坐标．

参考答案：
1．A
【分析】根据负整数指数幂的运算法则运算即可．
【详解】，
故选：A．
【点评】本题考查了负整数指数幂的计算，熟悉负整数指数幂的运算法则是解答本题的关键．
2．A
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：亿，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．B
【分析】由题意知，几何体是四面体，且，，即可得到答案．
【详解】解：由题意知，几何体是四面体，
且，，
即几何体的三视图只有选项B符合，
故选：B．
【点评】此题考查了几何体的平面展开图，正确理解几何体的组成特点是解题的关键．
4．D
【分析】根据整式的运算法则即可分别判断求解．
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
【点评】此题主要考查整式的运算法则，解题的关键是熟知完全平方公式，多项式乘多项式法则以及积的乘方法则和合并同类项法则．
5．B
【分析】结合图形分析即可得出结论
【详解】解：如图：

当，两点重合时，可知
是等腰直角三角形，

是公共边，


平分
故选项正确，不符合题意．
如图：

当点为的中点时，
是边长为4的等边三角形，

是等腰直角三角形，

若则为等腰直角三角形，


又

这与矛盾，
故选项错误，符合题意．
如图：

随着由点运动到点的值逐渐增大，
故当点与点重合时，最大，
故选项正确，不符合题意．
如图：取的中点，

当点在上时连接
是边长为4的等边三角形，




是边长为4的等边三角形，
是等腰直角三角形，



故选项正确，不符合题意．
故选：
【点评】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解此题的关键．
6．D
【分析】先根据二次函数的图象可得，再根据最大值为1逐项判断即可得．
【详解】解：二次函数的图象过第一、三、四象限，
，
，
，则选项A错误；
当时，，
二次函数的最大值为1，
，则选项B错误；
因为题设条件不足，无法判断出抛物线的对称轴为，则选项C错误；
方程可变形为，
二次函数的图象过第一、三、四象限，
二次函数的图象与轴有两个交点，
又将二次函数向上平移2个单位长度可得到二次函数，
二次函数与轴也有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，则选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
7．x≥3
【分析】根据二次根式的性质求解即可.
【详解】由二次根式的被开方数的非负性得：
解得：
故答案为：.
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，依据二次根式的性质列出不等式是解题关键.这是常考知识点，需重点掌握.
8．/38度
【分析】根据平行线的性质得出，再根据，求出，即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，

故答案为：．
【点评】本题考查平行线的性质，补角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
9．
【分析】先进行因式分解，再根据根与系数的关系代入即可．
【详解】
∵实数，满足
∴，是的根
∴
∴
故答案为25．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、因式分解等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
10．
【分析】根据中位数的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：把这20个数据从大到小排列后，位于第10位和第11位分别为45，40，
∴这20名同学这天完成作业时间的中位数是．
故答案为：
【点评】本题主要考查了求中位数，熟练掌握把一组数据从大到小（从小到大）排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数是解题的关键．
11．
【分析】连接交于点O，过点F作交于点G，根据菱形四边相等得到，根据中点定义得到，根据勾股定理得到，根据菱形对角线互相垂直证明，求出，根据菱形对角线互相平分得到，根据平行线分线段成比例得到，即得平移的距离．
【详解】解：如图，连接，交于点O，过点F作，交于点G，   

∵四边形是菱形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴将沿方向平移，使点落在上时，平移的距离为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了菱形，勾股定理，三角形中位线等，解决问题的关键是熟练掌握菱形边和对角线的性质，线段中点定义和垂直定义，勾股定理解直角三角形，三角形中位线定理等．
12．或12或
【分析】根据点P在矩形上或对角线上，进行分类讨论即可．
【详解】解：如图：∵四边形是矩形，且，，
①当点P在上，，
；
②当点P在，连接，
是直角三角形，
，不满足
∴点P在上情况不存在；
③点P在上，以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
∴设，又，，且，
，
，

或，
，
或（舍去），
∴点P在上情况不存在；
④点P在上，设点P为，
，

解得：，
，
，
；
⑤当点P在，，，设，
，即，
，
∴设点，
，
，
，且，
解得：或（舍去），
，
故答案为：，12，．

【点评】本题考查三角形的三边关系，点的坐标，解一元二次方程，建立平面直角坐标系，根据点的坐标求线段长度列一元二次方程是解决本题的关键．
13．（1）；（2）见解析
【分析】（1）先根据有理数的乘方，二次根式的性质，绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值化简，再计算，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，可得，可证明，即可．
【详解】解：（1）原式

；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，特殊角锐角三角函数值，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．；0，1，2
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得.
∴原不等式组的解集为，
则的所有整数解为0，1，2.
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
15．(1)绿，不可能
(2)

【分析】（1）根据色盒子里1个偶数，绿色盒子里2个偶数，蓝色盒子里没有合数，即可求解；
（2）根据概率公式或列表法求概率即可求解．
【详解】（1）解：∵蓝色盒子里1个偶数，绿色盒子里2个偶数，
∴在绿色盒子中抽到卡片是偶数的可能性更大，
∵蓝色盒子里没有合数，
∴在蓝色盒子中抽到卡片为合数是不可能事件，
故答案为：绿，不可能．
（2）将所有可能情况列表如下：
       蓝盒绿盒
1
2
3
4



5



6



或列树状图为：

以上列表或树状图中共有9种等可能出现的结果，其中两张卡片上数字之和是奇数的结果有5种，
∴（两张卡片数字之和是奇数）.
【点评】本题考查了根据概率公式求概率，事件的分类，列表法或树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
16．里
【分析】设善行者走里时就追上了不善行者，根据速度比等于路程比列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设善行者走里时就追上了不善行者，
根据题意，
解得.
答：善行者走里时追上了不善行者.
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）连接，，作点与、交点的线段并延长至线段交于点，连接即为所求；
（2）分别取、的中点、，连接、、，四边形即为所求．
【详解】（1）如图1，即为所作

（2）如图2，四边形即为所作

【点评】本题考查了基本作图，矩形、菱形的性质，三角形中线等知识，熟悉以上知识点是解题的关键．
18．(1)
(2)，图见解析
(3)人

【分析】（1）根据题意可知总人数．
（2）先求出作业负担适中的学生人数，再根据其所占总数的百分比即可求得所对扇形圆心角的度数，再补全统计图即可．
（3）根据题意可知感觉作业负担非常重的占比为，再乘以总人数即可解答．
【详解】（1）总人数
故答案为100．
（2）∵，
∴作业负担适中的学生人数为5人，
∴扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角的度数为．

（3）（人）
估计有1120名学生名学生作业负担非常重．
【点评】本题考查了条形统计图及扇形统计图，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
19．(1)
(2)

【分析】（1）连接，先求出，根据切线性质，得出，说明是直角三角形，根据勾股定理求出即可；
（2）连接，根据平行线的性质，求出，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据三角函数求出即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∴，
∵是边长为8的等边三角形，
∴，，
∵与相切于点，
∴，
∴是直角三角形，
∴．

（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴.
【点评】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的应用，直径所对的圆周角为直角，平行线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的性质定理．
20．(1)
(2)

【分析】（1）作于点，过点作垂直于的延长线于点，利用三角函数分别求出长，即可求解．
（2）作于点，于点且交于点，根据旋转的性质可知，再利用三角函数求出长，即可求解．
【详解】（1）
如图，作于点，过点作垂直于的延长线于点．
∵，，
∴．
∴．
∵，，
∴，，
∵，
∴．
∴点到地面的高度．
（2）
如图，作于点，于点且交于点．
∵，，
∴，．
又∵，
∴．
∴．
∴，两点之间增加的铅垂宽度为．
【点评】本题主要考查了三角函数、平行线的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
21．(1)
(2)

【分析】（1）将，代入一次函数的解析式求出点P的坐标，由此得到点B的坐标，代入反比例函数的解析式即可；
（2）根据一次函数的图象过点，得到，由，得，的中点为，设直线表达式为，把点代入得直线的表达式为，由此求出点坐标为，由点在的图象上进而求出，由此得到函数的解析式．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数关系式为，其图象与轴的交点为，
∵平行于轴，，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
（2）∵一次函数的图象过点，
∴，，即，其图象与轴的交点为，
∵，
∴，
∴，的中点为，
设直线表达式为，把点代入得，
解得，直线的表达式为，
直线与直线有公共点，
可列方程，解得，
∴点坐标为，
∵点在的图象上，
∴，解得，
∵由题可知，即，解得，
∴.∴，
∴．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)存在，

【分析】（1）根据四边形是正方形可得，，从而得到，结合中点可得，根据，可得，从而得到，得到，即可得到答案；
（2）先根据正方形的性质和已知条件可得，再运用勾股定理求得，然后再证，最后根据相似三角形的性质和线段的和差即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：中存在一个内角的度数为，
即.
理由：∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．
23．(1)，
(2)①存在，；②图见解析，或

【分析】（1）把代入抛物线解析式，求得，从而得到抛物线解析式为，即可得出抛物线的对称轴为直线，则，得，，即可求得点A的坐标；
（2）①设点的坐标为，则点坐标为，代入解析式可得求解即可得出P、M的坐标，然后由两点问距离公式可求出的长；
②根据中心对称图形的性质作出抛物线关于原点的对称图形即可,然后由坐标为和点，得．再把代入，则．所以．然后根据二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
∴抛物线的对称轴为，
由，得，．
∴点的坐标为．
（2）解：①存在，两点均在抛物线上的情况．
设点的坐标为，则点坐标为．
若，两点均在抛物线上，则有
解得，
或．
∴点，的坐标分别为，或，．
∴．
②点所在曲线的大致图象如图所示，该图象为抛物线．

由坐标为和点，得．
∵在抛物线上，
∴．
∴．
不妨设，则有．
∴当时，取得最小值．
即，解得．
∴当取得最小值点的坐标为或．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与x轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，两点间距离公式，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．