数学七年级下暑假培优专题训练（十五）

这是一份数学七年级下暑假培优专题训练（十五），共32页。试卷主要包含了一元一次不等式等内容，欢迎下载使用。

数学七年级下暑假培优专题训练
专题十五、一元一次不等式
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【考点一 一元一次 不等式的应用】.......................................1
【考点二 利用一元一次不等式求最值】...................................3
【考点三 绝对值不等式】................................................4
【考点四 一元一次不等式的几何应用】...................................6
【聚焦考点1】
不等式的应用
（1）认真审题.找出题中的已知条件和所求问题，以及题中的相等关系和不等关系；
（2）设未知数.要用含未知数的代数式表示相关量；
（3）根据题目中的不等关系例如出不等式；
（4）解不等式求出未知数的取值（或范围）；
（5）检验是否符合实际情况，写出答案.
【典例剖析1】
【考点一 一元一次 不等式的应用】
【典例1-1】风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．

(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
【典例1-2】2023年五一黄金周武汉东湖风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外A，B两商店以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，A商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八折，B商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为元的商品．
(1)当时，在A商店购买的优惠价为 元，在B商店购买的优惠价为 元．
(2)顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程．
(3)B商场为了吸引顾客，制定了进一步的优惠方案：购物价格累计不超过元不打折，超过但不超过元的部分打八八折，超出500元的部分打七五折．A商场没有调整优惠方案，当顾客选择B商场购物花费更少时，直接写出x的取值范围
【典例1-3】某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱5台和液晶显示器4台，共需要资金4300元，若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4100元．
(1)求每台电脑机箱和每台液晶显示器的进价各是多少元？
(2)该经销商购进这两种商品共50台，根据市场行情，销售一台电脑机箱获利50元，销售一台液晶显示器获利110元，该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于3700元，则该经销商最多可购进多少台电脑机箱？
针对训练1
【变式1-1】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【变式1-2】今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
(1)求该班的学生人数；
(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【变式1-3】凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
(1)求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
(2)一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
【聚焦考点2】
由不等式确定其端点值，从端点值求出最大或最小值。
【典例剖析2】
【考点二 利用一元一次不等式求最值】
【典例2-1】已知，求的最大值和最小值．
【典例2-2】已知、满足和，求的最小值．
针对训练2
【变式2-1】已知关于，的二元一次方程组．
(1)若方程组的解满足，求的取值范围．
(2)当取（1）中最大负整数值时，求的值．
【变式2-2】由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要85万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要50万元．
(1)问A型，B型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？
(2)若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，且购进B型新能源汽车数量不超过A型新能源汽车数量的2倍．每辆A型新能源汽车售价25万元，每辆B型新能源汽车售价28万元，那么购进A型、B型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？
【变式2-3】某班对期中考试进步的同学进行表彰，若购买百乐笔15支，晨光笔20支，需花费250元；若购买百乐笔10支，晨光笔25支，需花费225元．
（1）求百乐笔、展光笔的单价；
（2）如果再次购买百乐笔、晨光笔共35支，并且购买两种笔的总费用不超过300元，求至多购买多少支百乐笔？
【聚焦考点3】
绝对值意义：数轴上表示这个数的点到原点的距离.|x-a|表示一个数x与a的距离。
【典例剖析3】
【考点三 绝对值不等式】
【典例3-1】解下列不等式：
（1）
（2）
【典例3-2】解不等式：
针对训练3
【变式3-1】阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：
如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.
求绝对值不等式的解集（满足不等式的所有解）.
小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示.观察数轴发现，

以点，为分界点把数轴分为三部分：
点左边的点表示的数的绝对值大于3；
点，之间的点表示的数的绝对值小于3；
点B右边的点表示的数的绝对值大于3.
因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为：或.
参照小明的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.
①的解集是 ；
②的解集是 .
（2）求绝对值不等式的解集.
（3）直接写出不等式的解集是 ．
【变式3-2】阅读下列材料并解答问题：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离：，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为表示在数轴上数和数对应的点之间的距离；
例1解方程，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即该方程的解为．
例2解不等式，如图，在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或．

例3解方程由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和的距离之和为的对应的的值.在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由下图可以看出；同理，若对应的点在的左边，可得，故原方程的解是或．

回答问题：（只需直接写出答案）
①解方程
②解不等式
③解方程
【聚焦考点4】
由不等式确定其端点值，由端点值确定取值范围。
【典例剖析4】
【考点四 一元一次不等式的几何应用】
【典例4-1】在平面直角坐标系中，点，且a，b，c满足．
  
(1)若，求B，C两点的坐标；
(2)当实数a变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；
(3)如图，已知线段与y轴相交于点E，直线与直线交于点P，若，求实数a的取值范围．
【典例4-2】如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．
  
针对训练4
【变式4-1】如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m．

(1)若，求m的值；
(2)将线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是，，若，求m的取值范围．
【变式4-2】如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式：．

(1)求、、的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在的条件下，是否存在负整数，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式4-3】已知平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(2，0)，且满足，线段AB交y轴于点F．
(1)点A的坐标为　　，点B的坐标为　　．
(2)求三角形ABC的面积；
(3)若点P是x轴上一动点，且三角形ABP的面积大于三角形ABC的面积，求出点P的坐标必须满足什么条件？



























数学七年级下暑假培优专题训练
专题十五、一元一次不等式（解析版）
【考点一 一元一次 不等式的应用】
【典例1-1】风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．

(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
【答案】【答案】(1)一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨
(2)6套
【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可；
（2）设该卡军一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可．
【详解】（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．
根据题意，得,解得．
答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨．
（2）解：设该卡军一次可运输套这种设备通过此大桥．
根据题意，得．解得．
因为为整数，取最大值，所以．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键．
【典例1-2】2023年五一黄金周武汉东湖风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外A，B两商店以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，A商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八折，B商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为元的商品．
(1)当时，在A商店购买的优惠价为 元，在B商店购买的优惠价为 元．
(2)顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程．
(3)B商场为了吸引顾客，制定了进一步的优惠方案：购物价格累计不超过元不打折，超过但不超过元的部分打八八折，超出500元的部分打七五折．A商场没有调整优惠方案，当顾客选择B商场购物花费更少时，直接写出x的取值范围
【答案】【答案】(1)元，元
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据A、B两商店的优惠方案进行解答即可；
（2）列出在A、B两商店的花费列出的不等式，分情况讨论，求出顾客到哪家商店购物花费更少；
（3）当时，由题意列出一元一次不等式，可求解．
【详解】（1）解：在A商店购买的优惠价（元），
在B商店购买的优惠价（元）
故答案为：，，
（2）解：在A商店购买的优惠价（元），
在B商店购买的优惠价（元），
当顾客在A商店购物花费少时，，
解得：；
②当顾客在B商店购物花费少时，则，
解得：；
③当顾客在A，B商场购物花费相等时，则，
解得：；
∴当时，顾客在A商店购物花费少，
当时，顾客在A，B商店购物花费相等，
当时，顾客在B商店购物花费少．
（3）解：当时，
由题意可得：，
解得：，
∴当时，顾客在B商店购物花费少，
又∵当时，顾客在B商店购物花费少，
综上所述，顾客选择B商场购物花费少时x的取值范围为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，列出不等式关系式即可求解．注意此题分类讨论的数学思想．
【典例1-3】某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱5台和液晶显示器4台，共需要资金4300元，若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4100元．
(1)求每台电脑机箱和每台液晶显示器的进价各是多少元？
(2)该经销商购进这两种商品共50台，根据市场行情，销售一台电脑机箱获利50元，销售一台液晶显示器获利110元，该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于3700元，则该经销商最多可购进多少台电脑机箱？
【答案】(1)每台电脑机箱进价300元，每台液晶显示器进价700元
(2)30台
【分析】（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x，y元，根据购进电脑机箱5台和液晶显示器4台，共需要资金4300元，若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4100元，列出方程组，再进行求解即可；
（2）设该经销商购进电脑机箱a台，购进液晶显示器台，根据销售一台电脑机箱获利50元，销售一台液晶显示器获利110元，该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于3700元，列出不等式，求出不等式的解，即可得出答案．
【详解】（1）解：设每台电脑机箱进价x元，每台液晶显示器进价y元．

解得
答：每台电脑机箱进价300元，每台液晶显示器进价700元．
（2）解：设该经销商购进a台电脑机箱．

解得
答：该经销商最多购进30台电脑机箱．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，列出方程组和不等式．
针对训练1
【变式1-1】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】(1)甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元
(2)该校最多可以购买甲种书40本
【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可；
（2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可．
【详解】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键．
【变式1-2】今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
(1)求该班的学生人数；
(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【答案】(1)该班的学生人数为45人
(2)至少购买了甲树苗80棵
【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人，
由题意得，，
解得，
∴该班的学生人数为45人；
（2）解：由（1）得一共购买了棵树苗，
设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，
由题意得，，
解得，
∴m得最小值为80，
∴至少购买了甲树苗80棵，
答：至少购买了甲树苗80棵．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．
【变式1-3】凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
(1)求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
(2)一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
【答案】(1)雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．
(2)最多能购买雷波脐橙40千克．
【分析】（1）设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为元，元，购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币，再建立方程组即可；
（2）设最多能购买雷波脐橙千克，根据顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，再建立不等式即可．
【详解】（1）解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为元，元，则
，
①+②得；，则③
把③代入①得：，
把③代入②得：，
∴方程组的解为：，
答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．
（2）设最多能购买雷波脐橙千克，则
，
∴，
解得：，
答：最多能购买雷波脐橙40千克．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键．
【考点二 利用一元一次不等式求最值】
【典例2-1】已知，求的最大值和最小值．
【答案】当时，有最大值为4，；当时，有最小值为．
【分析】解一元一次不等式得到未知数的取值范围，再根据未知数范围化简绝对值，即可求出答案．
【详解】解：不等式的解是，
当时，化简得，


∴；
当时，化简得，

．
故当时， 的最大值是；当时，的最小值是．
【点睛】本题主要考查利用一元一次不等式的取值范围化简绝对值．理解和掌握不等式性质，化简绝对值方法是解题的关键．
【典例2-2】已知、满足和，求的最小值．
【答案】3
【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可．
【详解】解方程组，得，
∵，
∴，即，
解得：，
∴的最小值为3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键．
针对训练2
【变式2-1】已知关于，的二元一次方程组．
(1)若方程组的解满足，求的取值范围．
(2)当取（1）中最大负整数值时，求的值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）先解二元一次方程组用m表示出x、y，再根据得到关于m的不等式，解不等式即可；
（2）根据（1）所求得到m的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：
用②－①得：，解得，
把代入到②得：，解得，
∵，
∴，
解得；
（2）解：由（1）得，
∵m取最大负整数，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，代数式求值，熟知相关计算方法是解题的关键．
【变式2-2】由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要85万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要50万元．
(1)问A型，B型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？
(2)若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，且购进B型新能源汽车数量不超过A型新能源汽车数量的2倍．每辆A型新能源汽车售价25万元，每辆B型新能源汽车售价28万元，那么购进A型、B型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？
【答案】(1)A型新能源汽车进货单价15万元，B型新能源汽车进货单价20万元
(2)购进A型新能源汽车19辆，B型新能源汽车1辆时，全部销售后获得利润最大
【分析】（1）依题意列出方程组，解方程组即可得到答案．
（2）设购进A型新能源汽车m辆，购进B型新能源汽车n辆，依题意列出不等式和方程，由m、n的数量关系及取值范围即可求得最大利润，进而求得m、n对应的值．
(1)
解：设A型新能源汽车进货单价为x万元，B型新能源汽车进货单价为y万元，依题意有：
解得
答：A型新能源汽车进货单价15万元，B型新能源汽车进货单价20万元．
(2)
解：设购进A型新能源汽车m辆，购进B型新能源汽车n辆，
依题意有：，
解得，其中m、n为正整数
全部销售后获得的利润
当m=19时，有最大利润198万元，此时
答：购进A型新能源汽车19辆，B型新能源汽车1辆时全部销售后获得利润最大．
【点睛】本题考查列方程组解决问题、不等式求最值，熟练掌握相关知识是解题的关键.
【变式2-3】某班对期中考试进步的同学进行表彰，若购买百乐笔15支，晨光笔20支，需花费250元；若购买百乐笔10支，晨光笔25支，需花费225元．
（1）求百乐笔、展光笔的单价；
（2）如果再次购买百乐笔、晨光笔共35支，并且购买两种笔的总费用不超过300元，求至多购买多少支百乐笔？
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设百乐笔的单价为x元/支、展光笔的单价为y元/支，根据题意得，
，整理得：
①×2－②×3得：y=5
把y=5代入①得：x=10

答：百乐笔的单价为10元、展光笔的单价为5元．
（2）设购买百乐笔m支，则晨光笔（35-m）支，
由题意得：，
解得：m≤25，
答：至多购买25支百乐笔．
【考点三 绝对值不等式】
【典例3-1】解下列不等式：
（1）
（2）
【答案】（1）或；（2）
【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可．
【详解】（1）
当时，则，解得，
，
当时，则，解得，
，
综上，或；
（2）
当，即时，，解得，
，
当时，则，解得，
，
综上，．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．
【典例3-2】解不等式：
【答案】x＜-5或x＞1
【分析】根据相应的x的特殊值进行分段，从而去绝对值化简，再分别求解，最后将解集合并．
【详解】解：令，解得：x=±4，
令，解得：x=，
∴当x＜-4时，，
解得：x＜-5，
∴此时x＜-5；
当-4≤x＜时，，
解得：x＜-7，
∴此时无解；
当≤x＜0时，，
解得：x＞，
∴此时无解；
当0≤x＜4时，，
解得：x＞1，
∴此时1＜x＜4；
当x≥4时，，
解得：x＞3，
∴此时x≥4；
综上：不等式的解集为：x＜-5或x＞1．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，解题时要结合绝对值的意义进行分段，分别求解，注意最后要合并解集．
针对训练3
【变式3-1】阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：
如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.
求绝对值不等式的解集（满足不等式的所有解）.
小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示.观察数轴发现，

以点，为分界点把数轴分为三部分：
点左边的点表示的数的绝对值大于3；
点，之间的点表示的数的绝对值小于3；
点B右边的点表示的数的绝对值大于3.
因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为：或.
参照小明的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.
①的解集是 ；
②的解集是 .
（2）求绝对值不等式的解集.
（3）直接写出不等式的解集是 ．
【答案】（1）①x＞1或x＜-1；②-2.5＜x＜2.5；（2）x＞7或x＜-1；（3）x＞2或x＜-2
【分析】（1）根据题中小明的做法可得；
（2）将化为后，根据以上结论即可得；
（3）求不等式的解集实际上是求|x|＞2的解集即可．
【详解】解（1）由题意可得：
①令|x|=1，x=1或-1，如图，数轴上表示如下：

∴|x|＞1的解集是x＞1或x＜-1；
②令|x|=2.5，x=2.5或-2.5，如图，数轴上表示如下：

∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x＜2.5；
（2），化简得，
当时，x=-1或7，如图，数轴上表示如下：

可知：的解集为：x＞7或x＜-1；
（3）不等式x2＞4可化为|x|＞2，如图，数轴上表示如下：

可知：不等式x2＞4的解集是 x＞2或x＜-2．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的基本步骤和绝对值的性质．
【变式3-2】阅读下列材料并解答问题：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离：，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为表示在数轴上数和数对应的点之间的距离；
例1解方程，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即该方程的解为．
例2解不等式，如图，在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或．

例3解方程由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和的距离之和为的对应的的值.在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由下图可以看出；同理，若对应的点在的左边，可得，故原方程的解是或．

回答问题：（只需直接写出答案）
①解方程
②解不等式
③解方程
【答案】①或②或③或
【分析】①根据题意可以求得方程的解；
②根据题意可以求得不等式得解集；
③讨论的不同取值范围可以求得方程的解．
【详解】①解方程
∵在数轴上与距离为4的点的对应数为，1，
∴这个方程的解为或；
②解不等式，
如图3，在数轴上找出的解，
∵在数轴上到3的距离为4的点对应的数为，7，
∴的解集为或；

③，
当时，
，
∴；
当时，
，
∴不能使得成立；
当时，
，
∴当时，不能使得成立；
当时，
，
解得，；
故的解是或．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，弄懂阅读材料中的方法，利用分类讨论思想是解本题的关键．
【考点四 一元一次不等式的几何应用】
【典例4-1】在平面直角坐标系中，点，且a，b，c满足．
  
(1)若，求B，C两点的坐标；
(2)当实数a变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；
(3)如图，已知线段与y轴相交于点E，直线与直线交于点P，若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)的面积不变，值为．
(3)

【分析】（1）将代入方程组求解即可；
（2）根据方程组确定，，，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H，得出，然后结合图象求三角形面积即可；
（3）连接，根据题意得出，再由线段的数量关系得出，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，利用三角形面积之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：当时，代入方程组得：
，
解得：，
∴，；
（2）的面积不变，值为．
由，得
∴，，
如图，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H，
  
∴，
∴

（3）连接，
  
∵，，
又∵线段与y轴相交于点E
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
如图，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，则有






∴，解得
∴．
【点睛】题目主要考查解二元一次方程组，坐标与图形，不等式的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

【典例4-2】如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．
  
【答案】能，或
【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可．
【详解】解：分两种情况：
①当点P在上时，如图1所示：
  
假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则

解得：
又∵P在上运动，，
∴；
②当点P在上时，
  
假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则

解得：
又∵P在上运动，，
∴；
综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或．
【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键．
针对训练4
【变式4-1】如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m．

(1)若，求m的值；
(2)将线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是，，若，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据和点A表示的数即可求出m的值；
（2）首先根据题意表示出，然后根据三等分点的特点表示出，最后利用求不等式即可．
【详解】（1）∵，
∴，
即m的值为；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得．
【点睛】此题综合考查了数轴的有关内容及一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握以上知识点
【变式4-2】如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式：．

(1)求、、的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在的条件下，是否存在负整数，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在，点的坐标为或或

【分析】根据几个非负数和的性质得到，，，分别解一元一次方程得到，，；
根据三角形的面积公式和四边形的面积进行计算；
若，则，解得，则，，，然后分别写出点的坐标．
【详解】（1）解：，
，，，
，，；
（2）点坐标为，点坐标为，
四边形的面积

；
（3）存在．理由如下：
，
，
，
为负整数，
或或，
点的坐标为或或
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．
【变式4-3】已知平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(2，0)，且满足，线段AB交y轴于点F．
(1)点A的坐标为　　，点B的坐标为　　．
(2)求三角形ABC的面积；
(3)若点P是x轴上一动点，且三角形ABP的面积大于三角形ABC的面积，求出点P的坐标必须满足什么条件？
【答案】(1)(-3，0)；(3，3)
(2)三角形ABC的面积为
(3)点P的横坐标必须满足大于2或小于-8，且纵坐标为0

【分析】（1）根据非负数的性质列出a、b的方程组求得a、b的值便可；
（2）根据△ABC的面积等于进行计算便可；
（3）设点P的坐标为（x，0），运用三角形的面积公式列出不等式进行解答便可．
【详解】（1）解：∵，
∴，解得：，
∴点A的坐标为(-3，0)，点B的坐标为(3，3)；
故答案为：(-3，0)；(3，3)
（2）解：∵点A (-3，0)，B (3，3)，C(2，0)，
∴，
∴三角形ABC的面积为；
（3）解：∵点P在x轴上，
∴可设点P的坐标为（x，0），
当点P在x轴正半轴时，
，
∵三角形ABP的面积大于三角形ABC的面积，
∴，
解得：x＞2；
当点P在x轴负半轴时，
，
∵三角形ABP的面积大于三角形ABC的面积，
∴
解得x＜-8
∴点P的横坐标必须满足大于2或小于-8，且纵坐标为0．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，三角形的面积，非负数的性质，关键是根据非负数的性质及三角形的面积公式解题．