数学七年级下暑假培优专题训练（六）

这是一份数学七年级下暑假培优专题训练（六），共46页。试卷主要包含了 实数等内容，欢迎下载使用。

数学七年级下暑假培优专题训练
专题六、 实数
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目录
【考点一 实数的分类】....................................................1
【考点二 实数的性质】....................................................3
【考点三 无理数的概念】..................................................4
【考点四 实数的估算、大小比较】..........................................7
【考点五 实数运算的规律题】..............................................9
【考点六 实数的实际应用】................................................10
【考点七 新定义运算】....................................................12
【聚焦考点1】
实数：有理数与无理数统称为实数. 在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1.



【典例剖析1】
【考点一 实数的分类】

【典例1-1】小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（　　）
  
A．； B．； C．； D．；
【典例1-2】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
，，（相邻两个之间有个），（小数部分由相继的正整数组成）．
针对训练1
【变式1-1】把下列各数填在相应的集合中．
，3，，，，，0，，，
(1)正实数集合：{                         …}
(2)无理数集合：{                         …}
(3)分数集合：{                           …}
(4)负整数集合：{                         …}．
【变式1-2】把下列各数分别填入相应的集合里
，，2.02002，，，0，，，，，
有理数{                                                              ……  }
无理数{                                                              ……  }
正实数{                                                              ……  }
负实数{                                                              ……  }
【变式1-3】．把下面的实数填在相应的大括号里：（★友情提示：将各数用逗号分开）
，，，，，， ，，， （每两个1之间多一个0）
整数集合{　…}；
分数集合{　…}；
无理数集合{ …}.
【聚焦考点2】
实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离.
【典例剖析2】
【考点二 实数的性质】
【典例2-1】如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位．请解决下面的问题．
（1）阴影正方形的面积是________？（可利用割补法求面积）
（2）阴影正方形的边长是________？
（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由．

【典例2-2】已知实数满足，化简．
【典例2-3】如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．

(1)实数的值是______；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
针对训练2
【变式2-1】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：－|a－b|＋|c－a|．

【变式2-2】如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|的值．

【变式2-3】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可知：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么．运用上述知识，解决下列问题：
（1）若，其中a，b为有理数，求a，b的值；
（2）若，其中a，b为有理数，求的值．
【聚焦考点3】
无理数
无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件. 在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等. 应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：
有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式.
考点6

【典例剖析3】
【考点三 无理数的概念】
【典例3-1】下列实数，，，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例3-2】在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（    ）
A． B． C． D．
【典例3-3】下列说法正确的是（   ）
A．是正分数
B．立方根等于本身的数只有1和0
C．0 是绝对值最小的实数
D．在数轴上与原点距离等于2的点之间只有两个点表示无理数
针对训练3
【变式3-1】有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______．


【变式3-2】如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题．

(1)当x为8时，y的值为______．
(2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值．
(3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
【变式3-3】“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．

由面积公式，可得______．
因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．

请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【聚焦考点3】
实数的估算
（1）．估算法：
①若，则；
②若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．
常见实数的估算值：，，．
（2）．高斯记号：
任何实数都可以由整数部分和小数部分组成，整数部分指的是不超过这个实数的最大整数，小数部分是这个实数减去它的整数部分．
例如：的整数部分为2，那么小数部分为；的整数部分为1，那么小数部分为；的整数部分为，那么小数部分为．
【典例剖析4】
【考点四 实数的估算、大小比较】
【典例4-1】某农场现有一块长为35米，宽为20米的长方形空地，农场主打算把这块空地沿着边的方向改造成两块正方形试验田，若这两块正方形实验田的边长之比为，面积之和为600平方米，他能改造成功吗？请说明理由．
【典例4-2】已知如下信息：
①实数有两个不同的平方根，分别是和；
②的立方根是3；
③的相反数是．
请解决以下问题：
(1)求出，，的值；
(2)比较与的大小，直接写出结果．
【典例4-3】阅读下列解题过程：
若5+的小数部分为a， 5的小数部分为b，求a+b的值．
解：，
的整数部分为8，的整数部分为1．
的小数部分a==，的小数部分b==．
a+b=+=1．
阅读后，请解答下列问题：
若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
针对训练4
【变式4-1】虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？
【变式4-2】要比较与1的大小，可按下面步骤进行操作：因为，所以，即，所以，所以，根据上面的方法，完成下列问题：
(1)若，a为正整数，则_
(2)比较与的大小；
【变式4-3】如图，已知A、B两点在数轴上对应的数分别为和1．

(1)点A到点B的距离为______．
(2)数轴上存在一点M，使M到A的距离是M到B距离的2倍，求点M所表示的数．
(3)在点B右侧的数轴上取点D，使D到B的距离是个单位长度，如果点D所表示的数的整数部分为a，小数部分为b，求的绝对值．
【变式4-4】按要求作答：
(1)设的小数部分为m，n的平方根等于它本身，求的值．
(2)已知，，求代数式的值．
【聚焦考点5】
一般是先写出式子的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式．
【典例剖析5】
【考点五 实数运算的规律题】
【典例5-1】阅读下列解题过程：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
……
(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________．
(2)利用这一规律计算：．
【典例5-2】【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式________．
(2)请根据上面式子的规律填空：________．
(3)计算：．
针对训练5
【变式5-1】现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现．
(1)第个数是______ ，第个数是______ ．
(2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？
【变式5-2】先观察下列各式：
；
；
；

(1)计算：　 　；
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，
请写出： ＝　 　；
(3)应用上述结论，请计算的值．
【变式5-3】．观察等式：，，，按上述规律，若，则______
【聚焦考点6】
【典例剖析6】
【考点六 实数的实际应用】
【典例6-1】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片的长为，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（    ）

A． B． C． D．
【典例6-2】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.

(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
【典例6-3】用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？
针对训练6
【变式6-1】数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
【变式6-2】先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=﹣2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
【变式6-3】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________．

【聚焦考点7】
【典例剖析7】
【考点七 新定义运算】
【典例7-1】对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
【典例7-2】规定两个非零数，之间的一种新运算，如果，那么．例如：因为，所以，因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______；______．
(2)若，则______．
(3)在运算时，按以上规定：设，，请你说明下面这个等式成立：．
【典例7-3】定义一种新运算★：当时，；当时，．例如，．
(1)计算：________；
(2)对于式子，
①若，求的值；
②当的值分别取，，，（为整数）时，式子的值的和的最大值为_____．
针对训练7
【变式7-1】规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为__________．
【变式7-2】若一个两位数N满足，其中a、b均为正整数，则称N为好数，那么最大的好数是________；若a、b同时还满足或4，则称N为绝对好数，那么绝对好数的个数为________．
【变式7-3】对于任意实数a、b，规定两种运算：表示的算术平方根，表示的立方根，按照上述规则计算的结果为____



















数学七年级下暑假培优专题训练
专题六、 实数（解析版）
【考点一 实数的分类】

【典例1-1】小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（　　）
  
A．； B．； C．； D．；
【答案】A
【分析】根据实数的分类判断各项，即可得到答案．
【详解】解：A．是负整数，是负无理数，故A选项符合题意；
B．是正整数，是负无理数，故B选项不符合题意；
C．是负整数，是负整数，故C选项不符合题意；
D．是正整数，是负整数，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的分类，掌握基本概念是解题的关键．
【典例1-2】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
，，（相邻两个之间有个），（小数部分由相继的正整数组成）．
【答案】．，，（相邻两个之间有个）是有理数；（小数部分由相继的正整数组成）是无理数．
【分析】根据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，无限循环小数属于有理数）和无理数的定义（无限不循环小数叫无理数）即可得．
【详解】解：，，（相邻两个之间有个）是有理数；
（小数部分由相继的正整数组成）是无理数．
【点睛】本题考查了有理数和无理数，熟记定义是解题关键．
针对训练1
【变式1-1】把下列各数填在相应的集合中．
，3，，，，，0，，，
(1)正实数集合：{                         …}
(2)无理数集合：{                         …}
(3)分数集合：{                           …}
(4)负整数集合：{                         …}．
【答案】(1)3，，，
(2)
(3)，，，，
(4)，
【分析】（1）先化简与，再根据正数都大于0解答；
（2）根据无理数的定义：无限不循环小数叫无理数解答；
（3）根据分数的分类解答；
（4）根据负整数的分类解答；
【详解】（1），，
正实数集合：{3，，，}；
（2）无理数集合：{}；
（3）分数集合：{，，，，}
（4）负整数集合：{，}
【点睛】本题考查了有理数的分类和无理数的概念，属于基础题目，熟练掌握有理数和无理数的概念是关键．
【变式1-2】把下列各数分别填入相应的集合里
，，2.02002，，，0，，，，，
有理数{                                                              ……  }
无理数{                                                              ……  }
正实数{                                                              ……  }
负实数{                                                              ……  }
【答案】见解析
【分析】首先计算各数，然后根据有理数，无理数，正实数和负实数的概念求解即可．
【详解】∵，，，，，
有理数{，2.02002，，0，，……}
无理数{，，，，……}
正实数{，，2.02002，，……}
负实数{，，，， ……}
【点睛】此题考查了实数的分类，有理数的乘方运算，求一个数的立方根和算术平方根等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点。
【变式1-3】．把下面的实数填在相应的大括号里：（★友情提示：将各数用逗号分开）
，，，，，， ，，， （每两个1之间多一个0）
整数集合{　…}；
分数集合{　…}；
无理数集合{ …}.
【答案】见解析
【分析】根据实数的分类，逐一判断即可解答．
【详解】解：（1），
（2） ，
（3）．
【点睛】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
【考点二 实数的性质】
【典例2-1】如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位．请解决下面的问题．
（1）阴影正方形的面积是________？（可利用割补法求面积）
（2）阴影正方形的边长是________？
（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由．

【答案】（1）5；（2）；（3）2与3两个整数之间，见解析
【分析】（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；
（2）根据实数的性质即可求解；
（3）根据实数的估算即可求解．
【详解】（1）阴影正方形的面积是3×3-4×=5
故答案为：5；
（2）设阴影正方形的边长为x，则x2=5
∴x=（-舍去）
故答案为：；
（3）∵
∴
∴阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间．
【点睛】本题考查了无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法．通过观察可知阴影部分的面积是5个小正方形的面积和．会利用估算的方法比较无理数的大小．
【典例2-2】已知实数满足，化简．
【答案】
【分析】根据实数的性质，绝对值的性质，相反数的意义，判断出的符号，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行化简即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴

．
【点睛】本题考查了实数的性质，整式的加减，化简绝对值，判断出的符号是解题的关键．
【典例2-3】如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．

(1)实数的值是______；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)；
(2)0
(3)
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；
（2）根据点B在数轴上的位置可知，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案；
（3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根．
【详解】（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示
∴点表示
∴．
故答案为：；
（2）解：由数轴可知：，
，，
原式
；
（3）解：与互为相反数，
，
，，
，，
，，



，
∵8的平方根为，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了实数与数轴、实数的性质、相反数的定义、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
针对训练2
【变式2-1】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：－|a－b|＋|c－a|．

【答案】
【分析】先判断，进而得到，，再化简即可．
【详解】解：由数轴上点的位置可得 ，
∴，，
∴

．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的加减运算，实数与数轴，根据数轴及运算法则判断，是解本题的关键．
【变式2-2】如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|的值．

【答案】（1）2−（2）-1
【分析】（1）根据数轴的特点即可计算；
（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．
【详解】解：（1）由题意A点和B点的距离为2，A点表示的数为−，因此点B所表示的数m＝2−．
（2）把m的值代入得：|m−1|＝|2−−1|＝|1−|=-1．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键．
【变式2-3】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可知：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么．运用上述知识，解决下列问题：
（1）若，其中a，b为有理数，求a，b的值；
（2）若，其中a，b为有理数，求的值．
【答案】（1）a=2，b=3；（2）
【分析】（1）a，b是有理数，则a-2，b+3都是有理数，根据如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．即可确定；
（2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据a=0，b=0即可求解．
【详解】解：（1）由，得a-2=0，b-3=0，
解得：a=2，b=3；
（2）整理，得，
∵a、b为有理数，
∴，
解得：，
∴==．
【点睛】本题考查了实数的运算，正确理解题意是关键。
【考点三 无理数的概念】
【典例3-1】下列实数，，，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，
∴无理数有：，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1），共3个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
【典例3-2】在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据无理数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意；
B、不是无理数，故本选项不符合题意；
C、不是无理数，故本选项不符合题意；
D、不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了无理数，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
【典例3-3】下列说法正确的是（   ）
A．是正分数
B．立方根等于本身的数只有1和0
C．0 是绝对值最小的实数
D．在数轴上与原点距离等于2的点之间只有两个点表示无理数
【答案】C
【分析】分别根据无理数的定义，立方根的性质，实数的大小，实数与数轴的关系判断即可．
【详解】解：A、是无理数，不是正分数，故错误，不合题意；
B、立方根等于本身的数只有和0，故错误，不合题意；
C、0 是绝对值最小的实数，故正确，符合题意；
D、在数轴上与原点距离等于2的点之间有无数个点表示无理数，故错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数，立方根，实数的大小，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
针对训练3
【变式3-1】有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______．


【答案】256
【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可．
【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2，
第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为，
第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为，
第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为，
∴符合题意，
故答案为：256．
【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键
【变式3-2】如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题．

(1)当x为8时，y的值为______．
(2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值．
(3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)x的值不唯一，x=3或x=27
(3)存在，1，0，或-1

【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解；
（2）立方根逆运算即可．
（3）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有1，0，或-1．
【详解】（1），
则y=；
（2）答案不唯一．
x＝或 x＝．
故答案是3或27．
（3）当输入的x=-1、0和1时，取它们的立方根始终是-1、0和1，是有理数，
∴输入的x=-1、0和1时，始终输不出 y值
【点睛】本题考查立方根以及无理数，正确理解题目中规定的运算是解题的关键．
【变式3-3】“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．

由面积公式，可得______．
因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．

请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程。
【答案】(1)，，，；
(2)见解析
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
【详解】（1）由面积公式，可得
∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．
故答案为：，，，；
（2）小敏同学的做法，如图：

排列形式如图（3），如图：

画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．
【考点四 实数的估算、大小比较】
【典例4-1】某农场现有一块长为35米，宽为20米的长方形空地，农场主打算把这块空地沿着边的方向改造成两块正方形试验田，若这两块正方形实验田的边长之比为，面积之和为600平方米，他能改造成功吗？请说明理由．
【答案】能，理由见解析
【分析】设这两个小正方形的边长分别为米和米，根据题意列出方程，求得正方形的边长，再将两个正方形的边长与长方形的长和宽进行比较，即可得出结论．
【详解】解：设这两个小正方形的边长分别为米和米，
由题意得：．
解得或（不符题意，舍去），
则较大的正方形的边长为米，较小的正方形的边长为米，

，．
能改造出这样的两块不相连的正方形试验田．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，实数的大小比较，根据题意，列出方程求得两个小正方形的边长是解题的关键．
【典例4-2】已知如下信息：
①实数有两个不同的平方根，分别是和；
②的立方根是3；
③的相反数是．
请解决以下问题：
(1)求出，，的值；
(2)比较与的大小，直接写出结果．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）①根据实数两个不同的平方根是互为相反数的关系列方程求出x进而可求出a的值；
②先根据的立方根是3求出的值，进而可求出b的值；
③根据相反数的定义可求出c的值；
（2）先求出的值，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：由①可知：
解之，得．
则的平方根为2和，即．
结合②，可得的立方根是3，
则，．
由③，的相反数是得．
总之，，，．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，相反数的定义，以及实数的大小比较，求出，，的值是解答本题的关键
【典例4-3】阅读下列解题过程：
若5+的小数部分为a， 5的小数部分为b，求a+b的值．
解：，
的整数部分为8，的整数部分为1．
的小数部分a==，的小数部分b==．
a+b=+=1．
阅读后，请解答下列问题：
若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
【答案】2036
【分析】相据题意得出a，b的值，再把a，b的值代入进行计算即可得．
【详解】解：∵，
∴的整数部分，的小数部分，
∴
=
=
=2036．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是理解题意，正确计算．
针对训练4
【变式4-1】虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？
【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解
【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答．
【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：，
即：（负值舍去），
则此时花园的围墙为：（米）；
当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：，
即：（负值舍去），
则此时花园的围墙为：（米）；
∵，
∴建造成圆形时，广场的围墙会更短，
则建造成本更低，
∴作为投资商，会选择建圆形花园．
【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．
【变式4-2】要比较与1的大小，可按下面步骤进行操作：因为，所以，即，所以，所以，根据上面的方法，完成下列问题：
(1)若，a为正整数，则_
(2)比较与的大小；
【答案】．(1)3
(2)

【分析】（1）仿照题意得到即可得到答案；
（2）仿照题意得到，则，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∵，a为正整数，
∴，
故答案为：3；
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确理解题意并熟知无理数的估算方法是解题的关键．
【变式4-3】如图，已知A、B两点在数轴上对应的数分别为和1．

(1)点A到点B的距离为______．
(2)数轴上存在一点M，使M到A的距离是M到B距离的2倍，求点M所表示的数．
(3)在点B右侧的数轴上取点D，使D到B的距离是个单位长度，如果点D所表示的数的整数部分为a，小数部分为b，求的绝对值．
【答案】(1)4
(2)或
(3)
【分析】（1）求出点A与点B对应的数的差的绝对值即可；
（2）设出未知数，写出点M到点A的距离和点M到点B距离，根据题中给的等量关系，列出方程，解出方程的解即可求出；
（3）根据题意写出点D所表示的数，然后可以写出的范围，即可写出a和b的值，即可求出的绝对值．
【详解】（1）点A到点B的距离为：，
故答案为4；
（2）设点M表示的数为x，
则点M到点A的距离为，点M到点B距离为，
∵M到A的距离是M到B距离的2倍，
∴，
则或，
解得：或，
综上所述：点M所表示的数为5或；
（3）根据题意可得：点D所表示的数为，
∵，
∴，
∴，
∵点D所表示的数的整数部分为a，小数部分为b，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
综上所述：的绝对值为．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值的应用以及无理数的估值，解题关键：一是会用绝对值表示数轴上两点间的距离，二是要熟练掌握无理数的估值．
【变式4-4】按要求作答：
(1)设的小数部分为m，n的平方根等于它本身，求的值．
(2)已知，，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)6或30
【分析】（1）先估算出的小数部分m=-3，n=0，再代入，即可求解；
（2）根据立方根的性质可得3a-2b=-(a+b)，从而得到b=4a．然后再代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，
∴小数部分m=-3，
∵n的平方根等于它本身，
∴n=0，
∴；
（2）解：∵，
∴a=±3．
∵，
∴，
∴3a-2b=-(a+b)，解得b=4a．
当a=3时，b=12，此时；
当a=-3时，b=-12，此时．
综上所述，代数式的值是6或30．
【点睛】本题考查了平方根的性质和估算无理数的大小，立方根的性质，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
【考点五 实数运算的规律题】
【典例5-1】阅读下列解题过程：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
……
(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________．
(2)利用这一规律计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；
（2）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
∴第4个等式为：；
故答案为：；
（2）


．
【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
【典例5-2】【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式________．
(2)请根据上面式子的规律填空：________．
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)16
【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；
（2）所给是n+1个式子，根据规律即可得；
（3）根据（2）得出的结论可知，利用规律即可得．
【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为，
∴第7个等式为：，
故答案为：；
（2）解：根据材料中给出的规律可知：，
故答案为：；
（3）解：根据（2）中的规律知，



．
【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律探索，解题的关键是掌握是式子的规律．
针对训练5
【变式5-1】现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现．
(1)第个数是______ ，第个数是______ ．
(2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？
【答案】(1)，
(2)和为，共有个数的平方相加得到
【分析】（1）根据每六个数一循环解答即可；
（2）根据每六个数的平方和等于，利用循环规律解答即可．
【详解】（1），
第个数在这六个数中排在第，即，
，
第个数是这六个数中排在第，即，
故答案为：，；
（2），，，，这六个数的平方加起来是，
且，
和为是由前个循环组的平方和再加上得到，
而，由个数平方相加得到，
和为，共有个数的平方相加得到．
【点睛】本题考查数字变化类规律探究，解答时涉及平方根的性质，解题的关键是探究出循环规律，利用规律解答问题．
【变式5-2】先观察下列各式：
；
；
；

(1)计算：　 　；
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，
请写出： ＝　 　；
(3)应用上述结论，请计算的值．
【答案】(1)6
(2)n
(3)52
【分析】（1）先求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可；
（2）观察可知左边根式里面都是奇数，等式右边的结果是等式左边根号里面最后一个数加1后的一半，据此规律求解即可；
（3）把根号里面的数字提取公因数4，然后根据（2）的规律求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：
（2）解：∵，
，
，

……
∴可以发现规律
（3）解：



．
【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
【变式5-3】．观察等式：，，，按上述规律，若，则______

【答案】
【分析】观察等式的左边等于等号的右边为，据此即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴第个式子为，
∴第个式子为
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数有关的规律题，找到规律是解题的关键。
【考点六 实数的实际应用】
【典例6-1】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片的长为，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出较大阴影的周长和较小阴影的周长，再相加整理，即得出答案．
【详解】较大阴影的周长为：，
较小阴影的周长为：，
两块阴影部分的周长和为：= ，
故两块阴影部分的周长和为16．
故选B．
【点睛】本题考查了图形周长，整式加减的应用，利用数形结合的思想求出较大阴影的周长和较小阴影的周长是解题的关键．
【典例6-2】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.

(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3
(2)2.20
【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可；
（2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可．
（1）
解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9，
∴正方形A和正方形B的边长各是；
（2）
解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键．
【典例6-3】用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？
【答案】甲
【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解．
【详解】∵
∴
∴，，该用电器是甲．
【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识．
针对训练6
【变式6-1】数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
【答案】8或0
【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【详解】解：∵，
∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，
当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0．
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．
【变式6-2】先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=﹣2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
【答案】7或-1.
【分析】根据题目中给出的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，进而可求x+y的值.
【详解】解：∵，
∴，
∴=0，=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答.
【变式6-3】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________．

【答案】18
【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解．
【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，
∴，
∵，
∴，
∴阴影面积为，
∵
∴，
∴，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积．
【考点七 新定义运算】
【典例7-1】对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)1；2；
(2)，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1），
，

；
故答案为：1；2；
（2）若时，即时，则
，
解得：，
若时，即时，则
，
解得：，不合题意，舍去，
，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【典例7-2】规定两个非零数，之间的一种新运算，如果，那么．例如：因为，所以，因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______；______．
(2)若，则______．
(3)在运算时，按以上规定：设，，请你说明下面这个等式成立：．
【答案】(1)3，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（3）根据积的乘方法则，结合定义计算；
【详解】（1）解：，，
，，
故答案为：3，；
（2）解：∵
∴，
，
故答案为：；
（3）解：设，，，
则，，，
∴，
，即．
【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
【典例7-3】定义一种新运算★：当时，；当时，．例如，．
(1)计算：________；
(2)对于式子，
①若，求的值；
②当的值分别取，，，（为整数）时，式子的值的和的最大值为_____．
【答案】(1)
(2)①的值为4或6；②16
【分析】（1）根据新的运算列式计算即可；
（2）①分和两种情况讨论根据新定义计算即可；②先求出x的各值得最大值，然后求和即可．
【详解】（1）解：∵
∴．
故答案为．
（2）解：①当时，即，原式可化为，解得；
当时，即，原式可化为
综上，的值为4或6．
②当时，，
当时，即时，
同理，当时，,
当时，,
当时，
∴
∴
∴的最大值为16
当时，即时，，
当时，,
当时，,
当时，
∴
∵，m为整数
∴
∴的最大值为14．
故最大值为16
【点睛】本题主要考查了新定义运算、代数式求值等知识点，正确理解代数式的值是解答本题的关键．
针对训练7
【变式7-1】规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为__________．
【答案】
【分析】读懂新定义，利用新定义计算．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义实数的运算，解题的关键是理解新定义的运算方法．
【变式7-2】若一个两位数N满足，其中a、b均为正整数，则称N为好数，那么最大的好数是________；若a、b同时还满足或4，则称N为绝对好数，那么绝对好数的个数为________．
【答案】 99 39
【分析】（1）根据题意可得，再根据判断出的取值范围，并且是合数，即可得出答案；
（2）根据a、b同时还满足或4，得出或，再根据，，判断出N的取值范围，即可求出答案．
【详解】解：①∵，
，
，，
，即，
是合数，
又，
，且是合数，
的最大值为100，
∴N的最大值为99；
②当a、b同时满足，即，
，
，，
，即，且N 是4的倍数，
又∵N是一个两位数，
，且N 是4的倍数，
∴绝对好数N有21个，
当a、b同时满足，即，
，
，，
，且N是5的倍数，
又∵N是一个两位数，
，且N是5的倍数，
∴绝对好数N有18个，
综上所述，绝对好数N的个数为：（个）．
【点睛】本题考查了新定义，判断出是合数和取值范围是解题的关键．
【变式7-3】对于任意实数a、b，规定两种运算：表示的算术平方根，表示的立方根，按照上述规则计算的结果为____
【答案】10
【分析】根据新定义和算术平方根、立方根的定义分别求出，的值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了新定义，算术平方根和立方根，正确理解题意是解题的关键。