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云南省昆明市嵩明县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷 （含答案）
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这是一份云南省昆明市嵩明县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷 （含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
云南省昆明市嵩明县2022-2023学年八年级下学期期末
数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列长度的三条线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．3，3，5 D．3，5，6
2．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A．AD∥BC B．AB＝DC C．∠DAB＝∠BCD D．AC＝BD
3．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选出一人参加射击比赛，经过初赛统计，他们的平均成绩都是9环，方差分别是S甲2＝1.7，S乙2＝2.3，S丙2＝5.4，S丁2＝0.5，结合以上数据，你认为派谁参加比赛更合适（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的B，C两点间的距离，可以在池塘外选一点A，连接AB，AC，分别取AB，AC的中点D，E，测得DE＝20m，则BC的长是（ ）
A．30m B．40m C．50m D．60m
6．（3分）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与y轴交点为（0，4）
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象经过点（1，3）
7．（3分）如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD．若CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）按一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，a5，…，则第n个单项式是（ ）
A．an+1 B．an C．an﹣1 D．a2n
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+5与直线l2：y＝k2x的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，连接AE，则∠ADE为（ ）
A．120° B．130° C．150° D．160°
11．（3分）春暖花开，美丽云南景色宜人．一位“驴友”早晨8：00从家出发到郊外赏花．他所走的路程（千米）随时间（时）变化的情况如图所示．则下面说法中错误的是（ ）
A．在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是路程
B．他在途中休息了1小时
C．到9：00时他走的路程是4千米
D．他到达目的地所花的时间是4小时
12．（3分）如图，数轴上的点A对应的实数是0，点B对应的实数是1，过点B作BC⊥AB于点B，使得BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（ ）
A．1.2 B．1.3 C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
14．（2分）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x的图象向上平移1个单位后所得的函数解析式为： ．
15．（2分）如图．将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知BE＝3，CD＝8．则BF的长是 ．
16．（2分）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”那么顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）；
18．（6分）如图，已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以40km/h的速度向东航行，船B以30km/h的速度向北航行，它们离开港口1h后相距多远？
19．（7分）为了庆祝中国共青团成立100周年，加强对青少年的共青团知识普及，嵩明县某校展开了以“请党放心，强国有我”为主题的知识竞赛活动，下面是从八年级260名参赛学生中随机收集的20名学生的成绩（单位：分）：
97 91 99 100 89 96 86 96 97 91
87 99 86 89 91 95 91 96 97 87
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
4
1
a
3
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
b
c
解决问题：
（1）求a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若成绩达到90分及以上为“优秀”等级，请估计该校八年学生中成绩达到“优秀”的人数．
20．（7分）先观察下列的等式，再回答问题：
；
；
；
（1）请你直接写出结果：＝ ，＝ ；
（2）根据你的观察猜想：＝ （n为正整数）．
21．（7分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．AE与BE相交于点E．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）若∠E＝60°，AD＝10，求矩形ABCD的面积．
22．（7分）昆明某电商平台计划用不超过25000元的资金购进A，B两种商品共100件，从市场得知如表信息：
A
B
进价（元/件）
500
100
售价（元/件）
650
150
设该经销商购进A商品x件，这两种商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）该经销商应该如何进货可获利最大？并求出最大利润是多少元．
23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若点在直线l上，求代数式的值．
24．（8分）如图．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t．
（1）AP＝ ，PD＝ （用含t的代数式表示）；
（2）运动中，是否存在这样的t，使得PQ＝CD，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列长度的三条线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．3，3，5 D．3，5，6
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【解答】解：A．∵32+42＝52，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵12+22≠32，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵32+32≠52，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵32+52≠62，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
2．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A．AD∥BC B．AB＝DC C．∠DAB＝∠BCD D．AC＝BD
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠DAB＝∠BCD，故A，B，C正确；
AC不一定等于BD，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝2，故A不符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、＝，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
4．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选出一人参加射击比赛，经过初赛统计，他们的平均成绩都是9环，方差分别是S甲2＝1.7，S乙2＝2.3，S丙2＝5.4，S丁2＝0.5，结合以上数据，你认为派谁参加比赛更合适（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大可得答案．
【解答】解：∵S甲2＝1.7，S乙2＝2.3，S丙2＝5.4，S丁2＝0.5，
∴S丁2＜S甲2＜S乙2＜S丙2，
∴丁的成绩稳定，
∴选丁最合适，
故选：D．
【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差的意义．
5．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的B，C两点间的距离，可以在池塘外选一点A，连接AB，AC，分别取AB，AC的中点D，E，测得DE＝20m，则BC的长是（ ）
A．30m B．40m C．50m D．60m
【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝20m，
∴AB＝2DE＝40（m），
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
6．（3分）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与y轴交点为（0，4）
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象经过点（1，3）
【分析】根据一次函数的性质，与坐标轴的交点，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：y＝﹣2x+4中，k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
A．k＜0，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
B．当x＝0时，y＝4，则图象与y轴交点为（0，4），故该选项正确，不符合题意；
C．∵k＜0，b＞0，则图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，不符合题意；
D．当x＝1时，y＝﹣2+4＝2，则图象经过点（1，2），故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了一次函数图象的增减性，求函数值，与坐标轴交点，能正确根据k判断增减性是解题的关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD．若CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中、点D是AB的中点，CD＝2，
∴AB＝2CD＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
8．（3分）按一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，a5，…，则第n个单项式是（ ）
A．an+1 B．an C．an﹣1 D．a2n
【分析】找出每个幂与幂的个数之间的关系．
【解答】解：每个幂的底数都是a，幂的指数与单项式的个数相等，
∴第n个单项式是an，
故选：B．
【点评】本题考查了代数式的规律，找出每个代数式与代数式的个数之间的关系是关键．
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+5与直线l2：y＝k2x的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据题意，由点（﹣2，3）是两个函数图象的交点，同时满足函数解析式；即同时是函数解析式以及方程组的公共解，则关于x、y的二元一次方程组解即可求出．
【解答】解：∵函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，
∴方程组的解是．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
10．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，连接AE，则∠ADE为（ ）
A．120° B．130° C．150° D．160°
【分析】由正方形的性质可得∠ADC＝90°，由等边三角形的性质可得CD＝DE，∠CDE＝60°，由等腰三角形的性质可求∠ADE＝150°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∵△DCE是等边三角形，
∴CD＝DE，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°+60°＝150°．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
11．（3分）春暖花开，美丽云南景色宜人．一位“驴友”早晨8：00从家出发到郊外赏花．他所走的路程（千米）随时间（时）变化的情况如图所示．则下面说法中错误的是（ ）
A．在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是路程
B．他在途中休息了1小时
C．到9：00时他走的路程是4千米
D．他到达目的地所花的时间是4小时
【分析】根据函数的图象得出信息解答即可．
【解答】解：A、在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是路程，选项结论正确，不符合题意；
B、他在途中休息了10.5﹣10＝0.5（小时），即半小时，选项结论错误，符合题意；
C、到9：00时他走的路程是4千米，选项结论正确，不符合题意；
D、他到达目的地所花的时间是：12﹣8＝4（小时），选项结论正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
12．（3分）如图，数轴上的点A对应的实数是0，点B对应的实数是1，过点B作BC⊥AB于点B，使得BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（ ）
A．1.2 B．1.3 C． D．
【分析】根据勾股定理即可算出AC的长，根据据题意可得AC＝AD，由点A对应的实数是0，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝，
根据题意可得，AC＝AD，
点D所对应的实数是．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数在数轴上的表示方法进行求解是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥2023 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣2023≥0，再求出答案即可．
【解答】解：要使二次根式有意义，必须x﹣2023≥0，
解得：x≥2023．
故答案为：x≥2023．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中a≥0是解此题的关键．
14．（2分）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x的图象向上平移1个单位后所得的函数解析式为： y＝2x+1 ．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝2x的图象向上平移1个单位后所得的函数解析式为y＝2x+1．
故答案为：y＝2x+1．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
15．（2分）如图．将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知BE＝3，CD＝8．则BF的长是 4 ．
【分析】由折叠的性质得出EF的长，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，∠B＝90°，
由折叠的性质知：AE＝EF＝AB﹣BE＝8﹣3＝5；
在Rt△BEF中，EF＝5，BE＝3，
由勾股定理可得：
BF＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，掌握图形翻折不变性的性质是解题的关键．
16．（2分）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”那么顶角为120°的等腰三角形 不是 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【分析】由等腰三角形顶角为120°，得到等腰三角形的底角是30°．于是得到顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”．
【解答】解：∵等腰三角形顶角为120°，
∴等腰三角形的底角是30°．
∵120°﹣30°＝90°，30°﹣30°＝0°，
∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”．
故答案为：不是．
【点评】本题考查“准等边三角形”，等腰三角形的性质，关键是理解新定义“准等边三角形”．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）；
【分析】（1）先化简，再算加减即可；
（2）利用平方差公式进行运算较简便．
【解答】解：（1）
＝3
＝；
（2）
＝（）2﹣12
＝5﹣1
＝4．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（6分）如图，已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以40km/h的速度向东航行，船B以30km/h的速度向北航行，它们离开港口1h后相距多远？
【分析】由题意知：两条船的航向构成了直角．再根据路程＝速度×时间，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵A、B两艘船同时从港口O出发，船A以40km/h的速度向东航行；船B以30km/h的速度向北航行，
∴∠AOB＝90°，它们离开港口1h后，AO＝40×1＝40km，BO＝30×1＝30km，
∴AB＝＝50km，
答：它们离开港口1h后相距50km．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出AO，BO的长是解题关键．
19．（7分）为了庆祝中国共青团成立100周年，加强对青少年的共青团知识普及，嵩明县某校展开了以“请党放心，强国有我”为主题的知识竞赛活动，下面是从八年级260名参赛学生中随机收集的20名学生的成绩（单位：分）：
97 91 99 100 89 96 86 96 97 91
87 99 86 89 91 95 91 96 97 87
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
4
1
a
3
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
b
c
解决问题：
（1）求a＝ 9 ，b＝ 91 ，c＝ 90 ；
（2）若成绩达到90分及以上为“优秀”等级，请估计该校八年学生中成绩达到“优秀”的人数．
【分析】（1）根据各分数人数之和等于总人数求出a，再根据众数和中位数的定义可得b、c的值；
（2）总人数乘以样本中成绩达到“优秀”的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）a＝20﹣（2+2+2+4+1+3+2+1）＝3，
b＝91，c＝＝90，
故答案为：9、91、90；
（2）260×＝182（名），
答：估计该校八年学生中成绩达到“优秀”的人数为182名．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数、中位数的定义及样本估计总体的应用．
20．（7分）先观察下列的等式，再回答问题：
；
；
；
（1）请你直接写出结果：＝ ，＝ ；
（2）根据你的观察猜想：＝ （n为正整数）．
【分析】（1）利用分母有理化的方法进行求解即可；
（2）分析所给的式子的特点，进行求解即可．
【解答】解：（1）＝＝，
＝＝，
故答案为：，；
（2）
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算是法则的掌握．
21．（7分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．AE与BE相交于点E．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）若∠E＝60°，AD＝10，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）先证四边形AEBO为平行四边形，由矩形的性质可得AO＝BO，可得结论；
（2）由菱形的性质可得OA＝OB，∠E＝∠OAB＝60°，可得△OAB是等边三角形，由含30度直角三角形的性质和勾股定理可求AB的长，即可求矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO为平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴平行四边形AEBO为菱形；
（2）解：∵四边形AEBO为菱形，
∴∠AOB＝∠E＝60°，AO＝CO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB，
在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，AD＝10，
∴AB2+102＝（2AB）2，
∴AB＝，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，证得四边形AEBO是菱形是解此题的关键．
22．（7分）昆明某电商平台计划用不超过25000元的资金购进A，B两种商品共100件，从市场得知如表信息：
A
B
进价（元/件）
500
100
售价（元/件）
650
150
设该经销商购进A商品x件，这两种商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）该经销商应该如何进货可获利最大？并求出最大利润是多少元．
【分析】（1）根据某商品的利润＝数量×（售价﹣进价），分别计算A、B两商品的利润，再求二者之和即得这两种商品全部销售完后获得的利润，将得到的代数式进行整理即可求得y与x之间的函数解析式．再根据“计划用不超过25000元的资金购进A，B两种商品”求出x的取值范围；
（2）根据y与x之间的函数解析式及x的取值范围求出x取何值时，可获利最大，以及最大值是多少．
【解答】解：（1）∵该经销商购进A商品x件，
∴该经销商购进B商品100﹣x件．
∴y＝（650﹣500）x+（150﹣100）（100﹣x）＝100x+5000，
∵计划用不超过25000元的资金购进A，B两种商品共100件，
∴500x+100（100﹣x）≤25000，解得x≤37.5．
∵x为整数，
∴y与x之间的函数解析式为y＝100x+5000（x≤37）．
（2）∵100x随x的增大而增大，
∴当x＝37时，y最大，y＝100×37+5000＝8700．
∴该经销商购进A商品37件、B商品63件可获利最大，最大利润是8700元．
【点评】本题考查一元一次函数及一元一次不等式的应用，深刻理解题意是解答这类问题的关键．
23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若点在直线l上，求代数式的值．
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）降次运算，先求出t+，再求t4+即可．
【解答】解：（1）∵y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，2）．
∴，
∴，
∴直线解析式为y＝x+2，
（2）∵点在直线l上，
∴+2＝t，
∴t1＝1+，t2＝1﹣．
∵＝（t2+）2﹣2，
t²+＝（t+）2﹣2
∴＝[（t+）2﹣2]2﹣2，
t＝1+时，t+＝1++＝1++﹣1＝2，
∴＝[（t+）2﹣2]2﹣2＝34．
当t＝1﹣时，t+＝1﹣+＝1﹣﹣1﹣＝﹣2．
∴＝[（t+）2﹣2]2﹣2＝34．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，灵活设解析式便于简化运算．
24．（8分）如图．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t．
（1）AP＝ tcm ，PD＝ （20﹣t）cm （用含t的代数式表示）；
（2）运动中，是否存在这样的t，使得PQ＝CD，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由P运动的速度即可表示长AP，PD的长；
（2）分两种情况，当四边形PQCD是平行线四边形，得到20﹣t＝3t，因此t＝5，当四边形PQCD是等腰梯形时，由AP＝MB，得到t＝28﹣3t，因此t＝7，即可得到t的值．
【解答】解：（1）AP＝tcm，PD＝（20﹣t）cm．
故答案为：tcm，（20﹣t）cm．
（2）当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行线四边形，
∴PQ＝CD，
∴20﹣t＝3t，
∴t＝5，
当四边形PQCD是等腰梯形时，
PQ＝CD，
作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴四边形ABND是矩形，ABMP是矩形，
∴BN＝AD＝20cm，AP＝MB，
∴CN＝BC﹣AD＝4（cm），
∵PM＝DN，PQ＝DC，
∴Rt△PQM≌Rt△DCN（HL），
∴QM＝CN，
∴MB＝（24﹣3t）+4＝（28﹣3t）cm，
∵AP＝t，
∴t＝28﹣3t，
∴t＝7，
∴t＝5s或t＝7s．
【点评】本题考查列代数式，平行四边形、等腰梯形的性质，关键是分两种情况讨论．
云南省昆明市嵩明县2022-2023学年八年级下学期期末
数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列长度的三条线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．3，3，5 D．3，5，6
2．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A．AD∥BC B．AB＝DC C．∠DAB＝∠BCD D．AC＝BD
3．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选出一人参加射击比赛，经过初赛统计，他们的平均成绩都是9环，方差分别是S甲2＝1.7，S乙2＝2.3，S丙2＝5.4，S丁2＝0.5，结合以上数据，你认为派谁参加比赛更合适（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的B，C两点间的距离，可以在池塘外选一点A，连接AB，AC，分别取AB，AC的中点D，E，测得DE＝20m，则BC的长是（ ）
A．30m B．40m C．50m D．60m
6．（3分）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与y轴交点为（0，4）
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象经过点（1，3）
7．（3分）如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD．若CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）按一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，a5，…，则第n个单项式是（ ）
A．an+1 B．an C．an﹣1 D．a2n
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+5与直线l2：y＝k2x的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，连接AE，则∠ADE为（ ）
A．120° B．130° C．150° D．160°
11．（3分）春暖花开，美丽云南景色宜人．一位“驴友”早晨8：00从家出发到郊外赏花．他所走的路程（千米）随时间（时）变化的情况如图所示．则下面说法中错误的是（ ）
A．在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是路程
B．他在途中休息了1小时
C．到9：00时他走的路程是4千米
D．他到达目的地所花的时间是4小时
12．（3分）如图，数轴上的点A对应的实数是0，点B对应的实数是1，过点B作BC⊥AB于点B，使得BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（ ）
A．1.2 B．1.3 C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
14．（2分）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x的图象向上平移1个单位后所得的函数解析式为： ．
15．（2分）如图．将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知BE＝3，CD＝8．则BF的长是 ．
16．（2分）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”那么顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）；
18．（6分）如图，已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以40km/h的速度向东航行，船B以30km/h的速度向北航行，它们离开港口1h后相距多远？
19．（7分）为了庆祝中国共青团成立100周年，加强对青少年的共青团知识普及，嵩明县某校展开了以“请党放心，强国有我”为主题的知识竞赛活动，下面是从八年级260名参赛学生中随机收集的20名学生的成绩（单位：分）：
97 91 99 100 89 96 86 96 97 91
87 99 86 89 91 95 91 96 97 87
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
4
1
a
3
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
b
c
解决问题：
（1）求a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若成绩达到90分及以上为“优秀”等级，请估计该校八年学生中成绩达到“优秀”的人数．
20．（7分）先观察下列的等式，再回答问题：
；
；
；
（1）请你直接写出结果：＝ ，＝ ；
（2）根据你的观察猜想：＝ （n为正整数）．
21．（7分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．AE与BE相交于点E．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）若∠E＝60°，AD＝10，求矩形ABCD的面积．
22．（7分）昆明某电商平台计划用不超过25000元的资金购进A，B两种商品共100件，从市场得知如表信息：
A
B
进价（元/件）
500
100
售价（元/件）
650
150
设该经销商购进A商品x件，这两种商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）该经销商应该如何进货可获利最大？并求出最大利润是多少元．
23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若点在直线l上，求代数式的值．
24．（8分）如图．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t．
（1）AP＝ ，PD＝ （用含t的代数式表示）；
（2）运动中，是否存在这样的t，使得PQ＝CD，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列长度的三条线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．3，3，5 D．3，5，6
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【解答】解：A．∵32+42＝52，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵12+22≠32，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵32+32≠52，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵32+52≠62，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
2．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A．AD∥BC B．AB＝DC C．∠DAB＝∠BCD D．AC＝BD
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠DAB＝∠BCD，故A，B，C正确；
AC不一定等于BD，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝2，故A不符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、＝，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
4．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选出一人参加射击比赛，经过初赛统计，他们的平均成绩都是9环，方差分别是S甲2＝1.7，S乙2＝2.3，S丙2＝5.4，S丁2＝0.5，结合以上数据，你认为派谁参加比赛更合适（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大可得答案．
【解答】解：∵S甲2＝1.7，S乙2＝2.3，S丙2＝5.4，S丁2＝0.5，
∴S丁2＜S甲2＜S乙2＜S丙2，
∴丁的成绩稳定，
∴选丁最合适，
故选：D．
【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差的意义．
5．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的B，C两点间的距离，可以在池塘外选一点A，连接AB，AC，分别取AB，AC的中点D，E，测得DE＝20m，则BC的长是（ ）
A．30m B．40m C．50m D．60m
【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝20m，
∴AB＝2DE＝40（m），
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
6．（3分）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与y轴交点为（0，4）
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象经过点（1，3）
【分析】根据一次函数的性质，与坐标轴的交点，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：y＝﹣2x+4中，k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
A．k＜0，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
B．当x＝0时，y＝4，则图象与y轴交点为（0，4），故该选项正确，不符合题意；
C．∵k＜0，b＞0，则图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，不符合题意；
D．当x＝1时，y＝﹣2+4＝2，则图象经过点（1，2），故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了一次函数图象的增减性，求函数值，与坐标轴交点，能正确根据k判断增减性是解题的关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD．若CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中、点D是AB的中点，CD＝2，
∴AB＝2CD＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
8．（3分）按一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，a5，…，则第n个单项式是（ ）
A．an+1 B．an C．an﹣1 D．a2n
【分析】找出每个幂与幂的个数之间的关系．
【解答】解：每个幂的底数都是a，幂的指数与单项式的个数相等，
∴第n个单项式是an，
故选：B．
【点评】本题考查了代数式的规律，找出每个代数式与代数式的个数之间的关系是关键．
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+5与直线l2：y＝k2x的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据题意，由点（﹣2，3）是两个函数图象的交点，同时满足函数解析式；即同时是函数解析式以及方程组的公共解，则关于x、y的二元一次方程组解即可求出．
【解答】解：∵函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，
∴方程组的解是．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
10．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，连接AE，则∠ADE为（ ）
A．120° B．130° C．150° D．160°
【分析】由正方形的性质可得∠ADC＝90°，由等边三角形的性质可得CD＝DE，∠CDE＝60°，由等腰三角形的性质可求∠ADE＝150°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∵△DCE是等边三角形，
∴CD＝DE，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°+60°＝150°．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
11．（3分）春暖花开，美丽云南景色宜人．一位“驴友”早晨8：00从家出发到郊外赏花．他所走的路程（千米）随时间（时）变化的情况如图所示．则下面说法中错误的是（ ）
A．在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是路程
B．他在途中休息了1小时
C．到9：00时他走的路程是4千米
D．他到达目的地所花的时间是4小时
【分析】根据函数的图象得出信息解答即可．
【解答】解：A、在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是路程，选项结论正确，不符合题意；
B、他在途中休息了10.5﹣10＝0.5（小时），即半小时，选项结论错误，符合题意；
C、到9：00时他走的路程是4千米，选项结论正确，不符合题意；
D、他到达目的地所花的时间是：12﹣8＝4（小时），选项结论正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
12．（3分）如图，数轴上的点A对应的实数是0，点B对应的实数是1，过点B作BC⊥AB于点B，使得BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（ ）
A．1.2 B．1.3 C． D．
【分析】根据勾股定理即可算出AC的长，根据据题意可得AC＝AD，由点A对应的实数是0，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝，
根据题意可得，AC＝AD，
点D所对应的实数是．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数在数轴上的表示方法进行求解是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥2023 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣2023≥0，再求出答案即可．
【解答】解：要使二次根式有意义，必须x﹣2023≥0，
解得：x≥2023．
故答案为：x≥2023．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中a≥0是解此题的关键．
14．（2分）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x的图象向上平移1个单位后所得的函数解析式为： y＝2x+1 ．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝2x的图象向上平移1个单位后所得的函数解析式为y＝2x+1．
故答案为：y＝2x+1．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
15．（2分）如图．将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知BE＝3，CD＝8．则BF的长是 4 ．
【分析】由折叠的性质得出EF的长，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，∠B＝90°，
由折叠的性质知：AE＝EF＝AB﹣BE＝8﹣3＝5；
在Rt△BEF中，EF＝5，BE＝3，
由勾股定理可得：
BF＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，掌握图形翻折不变性的性质是解题的关键．
16．（2分）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”那么顶角为120°的等腰三角形 不是 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【分析】由等腰三角形顶角为120°，得到等腰三角形的底角是30°．于是得到顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”．
【解答】解：∵等腰三角形顶角为120°，
∴等腰三角形的底角是30°．
∵120°﹣30°＝90°，30°﹣30°＝0°，
∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”．
故答案为：不是．
【点评】本题考查“准等边三角形”，等腰三角形的性质，关键是理解新定义“准等边三角形”．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）；
【分析】（1）先化简，再算加减即可；
（2）利用平方差公式进行运算较简便．
【解答】解：（1）
＝3
＝；
（2）
＝（）2﹣12
＝5﹣1
＝4．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（6分）如图，已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以40km/h的速度向东航行，船B以30km/h的速度向北航行，它们离开港口1h后相距多远？
【分析】由题意知：两条船的航向构成了直角．再根据路程＝速度×时间，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵A、B两艘船同时从港口O出发，船A以40km/h的速度向东航行；船B以30km/h的速度向北航行，
∴∠AOB＝90°，它们离开港口1h后，AO＝40×1＝40km，BO＝30×1＝30km，
∴AB＝＝50km，
答：它们离开港口1h后相距50km．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出AO，BO的长是解题关键．
19．（7分）为了庆祝中国共青团成立100周年，加强对青少年的共青团知识普及，嵩明县某校展开了以“请党放心，强国有我”为主题的知识竞赛活动，下面是从八年级260名参赛学生中随机收集的20名学生的成绩（单位：分）：
97 91 99 100 89 96 86 96 97 91
87 99 86 89 91 95 91 96 97 87
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
4
1
a
3
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
b
c
解决问题：
（1）求a＝ 9 ，b＝ 91 ，c＝ 90 ；
（2）若成绩达到90分及以上为“优秀”等级，请估计该校八年学生中成绩达到“优秀”的人数．
【分析】（1）根据各分数人数之和等于总人数求出a，再根据众数和中位数的定义可得b、c的值；
（2）总人数乘以样本中成绩达到“优秀”的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）a＝20﹣（2+2+2+4+1+3+2+1）＝3，
b＝91，c＝＝90，
故答案为：9、91、90；
（2）260×＝182（名），
答：估计该校八年学生中成绩达到“优秀”的人数为182名．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数、中位数的定义及样本估计总体的应用．
20．（7分）先观察下列的等式，再回答问题：
；
；
；
（1）请你直接写出结果：＝ ，＝ ；
（2）根据你的观察猜想：＝ （n为正整数）．
【分析】（1）利用分母有理化的方法进行求解即可；
（2）分析所给的式子的特点，进行求解即可．
【解答】解：（1）＝＝，
＝＝，
故答案为：，；
（2）
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算是法则的掌握．
21．（7分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．AE与BE相交于点E．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）若∠E＝60°，AD＝10，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）先证四边形AEBO为平行四边形，由矩形的性质可得AO＝BO，可得结论；
（2）由菱形的性质可得OA＝OB，∠E＝∠OAB＝60°，可得△OAB是等边三角形，由含30度直角三角形的性质和勾股定理可求AB的长，即可求矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO为平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴平行四边形AEBO为菱形；
（2）解：∵四边形AEBO为菱形，
∴∠AOB＝∠E＝60°，AO＝CO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB，
在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，AD＝10，
∴AB2+102＝（2AB）2，
∴AB＝，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，证得四边形AEBO是菱形是解此题的关键．
22．（7分）昆明某电商平台计划用不超过25000元的资金购进A，B两种商品共100件，从市场得知如表信息：
A
B
进价（元/件）
500
100
售价（元/件）
650
150
设该经销商购进A商品x件，这两种商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）该经销商应该如何进货可获利最大？并求出最大利润是多少元．
【分析】（1）根据某商品的利润＝数量×（售价﹣进价），分别计算A、B两商品的利润，再求二者之和即得这两种商品全部销售完后获得的利润，将得到的代数式进行整理即可求得y与x之间的函数解析式．再根据“计划用不超过25000元的资金购进A，B两种商品”求出x的取值范围；
（2）根据y与x之间的函数解析式及x的取值范围求出x取何值时，可获利最大，以及最大值是多少．
【解答】解：（1）∵该经销商购进A商品x件，
∴该经销商购进B商品100﹣x件．
∴y＝（650﹣500）x+（150﹣100）（100﹣x）＝100x+5000，
∵计划用不超过25000元的资金购进A，B两种商品共100件，
∴500x+100（100﹣x）≤25000，解得x≤37.5．
∵x为整数，
∴y与x之间的函数解析式为y＝100x+5000（x≤37）．
（2）∵100x随x的增大而增大，
∴当x＝37时，y最大，y＝100×37+5000＝8700．
∴该经销商购进A商品37件、B商品63件可获利最大，最大利润是8700元．
【点评】本题考查一元一次函数及一元一次不等式的应用，深刻理解题意是解答这类问题的关键．
23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若点在直线l上，求代数式的值．
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）降次运算，先求出t+，再求t4+即可．
【解答】解：（1）∵y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，2）．
∴，
∴，
∴直线解析式为y＝x+2，
（2）∵点在直线l上，
∴+2＝t，
∴t1＝1+，t2＝1﹣．
∵＝（t2+）2﹣2，
t²+＝（t+）2﹣2
∴＝[（t+）2﹣2]2﹣2，
t＝1+时，t+＝1++＝1++﹣1＝2，
∴＝[（t+）2﹣2]2﹣2＝34．
当t＝1﹣时，t+＝1﹣+＝1﹣﹣1﹣＝﹣2．
∴＝[（t+）2﹣2]2﹣2＝34．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，灵活设解析式便于简化运算．
24．（8分）如图．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t．
（1）AP＝ tcm ，PD＝ （20﹣t）cm （用含t的代数式表示）；
（2）运动中，是否存在这样的t，使得PQ＝CD，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由P运动的速度即可表示长AP，PD的长；
（2）分两种情况，当四边形PQCD是平行线四边形，得到20﹣t＝3t，因此t＝5，当四边形PQCD是等腰梯形时，由AP＝MB，得到t＝28﹣3t，因此t＝7，即可得到t的值．
【解答】解：（1）AP＝tcm，PD＝（20﹣t）cm．
故答案为：tcm，（20﹣t）cm．
（2）当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行线四边形，
∴PQ＝CD，
∴20﹣t＝3t，
∴t＝5，
当四边形PQCD是等腰梯形时，
PQ＝CD，
作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴四边形ABND是矩形，ABMP是矩形，
∴BN＝AD＝20cm，AP＝MB，
∴CN＝BC﹣AD＝4（cm），
∵PM＝DN，PQ＝DC，
∴Rt△PQM≌Rt△DCN（HL），
∴QM＝CN，
∴MB＝（24﹣3t）+4＝（28﹣3t）cm，
∵AP＝t，
∴t＝28﹣3t，
∴t＝7，
∴t＝5s或t＝7s．
【点评】本题考查列代数式，平行四边形、等腰梯形的性质，关键是分两种情况讨论．
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