【小升初奥数竞赛培优专题】六年级下册数学-数论模块综合

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数论模块综合（解析版）

一、知识点

1、奇偶性分析
加减法性质
乘法性质
奇偶性应用

2、整除
尾数判断
数字求和
奇偶位求差
三位截断
分解判断

3、余数问题
和同
差同
余同

4、质数与合数
分解质因数及应用
2是唯一偶质数
层除法判断乘积末尾0的个数

5、因数与倍数
求因数个数
因数求和
最大公因数与最小公倍数的性质

6、完全平方数
质因数指数是偶数


二、学习目标

1．我能够运用奇偶性性质、整除的判断法、质数的性质等解决实际问题。

2.我能够运用层除法求乘积末尾连续的0的个数。

3.我能够掌握完全平方数的性质并解决问题。


三、课前练习

1.判断算式1＋2＋3＋…＋2019的计算结果是奇数还是偶数。
【答案】：偶数


2. 请把下面的数分解质因数：
（1）432 （2）12012 （3）23920
【答案】：（1）432＝24×33
（2）12012＝2²×3×7×11×13
（3）23920＝24×5×13×23

四、典型例题
例题1
修远有一本400页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上（1张纸包含2页）的所有页码之和能否是2019？
【答案】：不能
【解析】：
20张纸中有20页奇数页码和 20页偶数页码，此时40个页码加和一定是偶数，所以和不可能出现2019。

例题2
如果六位数能被35整除，那么这样的六位数有多少个？
【答案】：3个
【解析】：
能被35整除，同时应该满足被5整除和被7整除，所以末位有0或5两种情况。
当末位是0时，三位截断，57□－550＝2□，此时口为1或8；
当末位是5时，三位截断，57□－555，此时口只能为6。
所以满足要求的六位数一共有3个。

例题3
在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的最小的五位数是多少？
【答案】：10395
【解析】：
先从各位不同的最小的五位数开始思考，10234
能被45整除，同时还得满足被5整除和被9整除，末位只能是5
此时1、0、5想要构成9的倍数，只能去凑18，那么其他两位要凑出 18－1－5＝12
让十位尽可能大，百位尽可能小，所以最小是10395。


例题4
如果m、n都是质数，且3m＋7n＝41，则m＋n等于多少？
【答案】：7
【解析】：
根据算式的结果判断奇偶性，m、n应该为一奇一偶，偶质数只有2。
当m为2时，m解得为5，此时m＋n＝7；
当n为2时，m解得为9，此时不符合条件。


例题5
算式35×36×37×…×79×80的结果中，从个位数起一共有多少个连续的0？
【答案】：12
【解析】：
80÷5＝16，16÷5＝3……1
34÷5＝6……4，6÷5＝1……1
（16＋3）－（6＋1）＝12


例题6
一个数恰好有36 个因数，那么这个数最小是多少？
【答案】：1260
【解析】：
列举全部情况后，可知下面情况下这个数最小
将36分解质因数得36＝2×2×3×3，可知指数分别为1、1、2、2
取四个最小的质因数2、3、5、7，最小的数是22×32×51×71＝1260




例题7
从1到2019的所有自然数中，乘72后是完全平方数的数共有多少个？
【答案】：31
【解析】：
为了方便说明，将要求的完全平方数称为N。
72＝23×3²，完全平方数的质因数的指数一定是偶数，所以可知N形如2×a2
2019÷2＝1009……1
在1到1009中，完全平方数有31个。

例题8
甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126。求甲数。
【答案】：18
【解析】：
90＝2×3²×5；105＝3×5×7；126＝2×3²×7
易知甲数中不含5和7，所以甲数是2×3²的因数。而乙数和丙数不能含2和3²，所以甲数只能是2×32＝18

例题9
一个房间中有编号为1~100的100盏灯，现在灯都是亮着的。第一个人进去把编号是1的倍数的灯的开关全部按了一遍，第二个人进去把编号是2 的倍数的灯的开关全部按了一遍……直到第 100个人进去把所有编号为100的倍数的灯的开关按了一遍，请问此时还有多少盏灯是亮着的？
【答案】：90
【解析】：
灯的起始状态是亮着的，当开关被按奇数次时，灯是关着的；当开关被按偶数次时，灯是亮着的。易知一盏灯的开关被按的次数就等于其编号的因数个数，要求哪些灯是亮着的就是问哪些灯的编号有偶数个因数。完全平方数的因数个数是奇数，所以除编号是完全平方数之外的灯都是亮着的。最后一个人离开房间后，，关着的灯有：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，共10盏，其余的100－10＝90盏灯是亮的。

选讲题
已知n个自然数之积是2016，这n个自然数之和也是2016，那么n的值最大是多少？
【答案】：2001
【解析】：
将2016分解质因数，2016＝2×2×2×2×2×3×3×7，这8个质因数的和只有23，
所以想要凑出和为2016，剩下的应该是2016－23＝1993个1，所以n的值最大是 1993＋8＝2001




五、课后作业
1.判断算式 2019＋2018×2017＋2016×2015＋2014×2013＋…＋1994×1993的结果是奇数还是偶数。
【答案】：奇数
【解析】：
除 2019外，其他的算式中都是奇数乘偶数，所以全部加起来结果还是偶数，加上2019后，结果为奇数。

2.如果六位数能被52整除，那么这样的六位数有多少个？
【答案】：2
【解析】：
能被 52整除，需要同时满足被4整除和被13整除，被4 整除看后两位，所以末位只能是0、4、8
当末位是0时，三位截断，580－57□，差无法满足整除13；
当末位是4时，三位截断，584－57□，口可以填1；
当末位是8时，三位截断，588－57□，□可以填5。
所以一共有2个这样的六位数。

3.如果一个多位数是45的倍数，那么这个多位数至少有多少位？
【答案】：14
【解析】：
多位数是45的倍数，则满足能同时被5和9整除。末尾是5，满足被5整除，接下来考虑数字和。
4＋2＋5n＝6＋5n，当n取6时满足被9整除且最小，所以至少有2＋6×2＝14 位。




4.一个四位数除以17余6，除以21余2，那么这个数最小是多少？
【答案】：1094
【解析】：
属于和同类。除以17的余数是6，相当于除以17的余数是23；除以21的余数是2，相当于除以21的余数是23.17与21的最小公倍数是357，题目中要求的四位数是357的倍数再加23。
357×2＋23＝737＜1000；357×3＋23＝1094

5.算式2×4×6×…×48×50 的计算结果的末尾有多少个连续的0？
【答案】：6
【解析】：
2×4×6×…×48×50＝225×（1×2×3×…×24×25）
25÷5＝5，5÷5＝1，5＋1＝6

6.一个数恰好有30个因数，那么这个数最小是多少？
【答案】720
【解析】：
列举全部情况后，可知这种情况下这个数最小
先将30分解质因数得30＝2×3×5，可知指数分别为1、2、4 取三个最小的质因数2、3、5，所以最小的数是24×32×51＝720


7.在所有1001的倍数中，有多少个数恰好有1001个因数？
【答案】：6
【解析】：
1001＝7×11×13，所以1001的倍数中一定有若干个7、11、13，假设它们的个数为a、b、c（a、b、c大于等于0）。
恰有1001个因数，通过因数个数公式可知（a＋1）×（b＋1）×（c＋1）＝1001，易知a、b、c可取6、10、13，所以一共有3×2×1＝6个。

8.两个数的最大公因数是6，最小公倍数是420，已知这两个数的差是18，则这两个数分别是多少？
【答案】：60和42
【解析】
设这两个数分别为：6×a和6×b，且a、b互质。
易知a×b＝70，6×a和6×b相差18，则a、b相差3。


9.22019与20192的和除以7的余数是多少？
【答案】：3 5515
【解析】：
利用余数的可加性，和除以7的余数等于它们分别除以7的余数再相加用7去除2、22、22、23、……、22019，得到的余数呈现出周期性2、4、1、2、4、1……
2019÷3＝673，所以22019除以7的余数为1
2019除以7余3，22019除以7余2。它们的和除以7的余数是1＋2＝3


10.有一个整数，用它去除70、110、160得到的三个余数之和是50，求这个整数。
【答案】29
【解析】
70＋110＋160＝340，340－50＝290，则这个整数一定是290的因数，通过验证可得这个整数是29。