2022-2023学年新疆和田地区皮山高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆和田地区皮山高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年新疆和田地区皮山高级中学高一（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. AB−CB+OE−OC的运算结果是(    )
A. BE B. AO C. OA D. AE
2. 若2+ai=b−i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2+b2=(    )
A. 0 B. 2 C. 52 D. 5
3. 设l是直线，α、β是两个不同的平面，那么下列判断正确的是(    )
A. 若l//α，l//β，则α//β B. 若α⊥β，l//α，则l//β
C. 若α⊥β，l⊥α，则l//β D. 若l//α，l⊥β，则α⊥β
4. 设平面向量a=(1,2)，b=(x,−3)，若a//b，则x=(    )
A. −6 B. −32 C. −23 D. 6
5. 若复数a+bi4+3i(i为虚数单位，a，b∈R且b≠0)为纯虚数，则ab=(    )
A. 43 B. −43 C. 34 D. −34
6. 如题图所示，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD的斜二测直观图为平行四边形A′B′C′D′.已知A′B′=3，B′C′=2，AA1=5，则将该长方体截去一个三棱锥A−A1B1D1后剩余的几何体体积为(    )

A. 50 B. 30 C. 25 D. 15
7. 已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且(a+b)⋅(2a−b)=−12，则a，b的夹角为(    )
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
8. 复数z在复平面内对应点的坐标为(3,6)，则|z−2i|=．(    )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9. 已知某圆锥的高为2 2cm，体积为2 23cm3，则该圆锥的侧面积为(    )
A. 3π2cm2 B. 3πcm2 C. 6πcm2 D. 12πcm2
10. 如图，在△ABC中，AB=3AD，CE=ED，设AB=a，AC=b，则AE=(    )


A. 13a+12b B. 14a+12b C. 15a+12b D. 16a+12b
11. 为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A，B处分别测得∠BAC=105°，∠BAD=60°，∠ABC=45°，∠ABD=60°，则C，D间的距离为(    )
A. 2km
B. 2km
C. 4 2km
D. 4km
12. 已知复数z满足|z|=1，则|z+3−4i|(i为虚数单位)的最大值为(    )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在复平面内，复数z所对应的点为(1,1).则z⋅z−= ______ ．
14. 正△ABC的边长为2，D为BC边的中点，则AD+BC的模等于______ ．
15. 复数z=( 3−i)i+i2002(i为虚数单位)，则|z|= ______ ．
16. 如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=π3，cos∠ADB=17，则△BCD的面积______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知向量a=(−3,1)，b=(1,−2)，c=(1,1)．
(1)求向量a与b的夹角的大小；
(2)若c⊥(a+kb)，求实数k的值．
18. (本小题12.0分)
已知复数z1=a+3i，z2=2−ai(a∈R,i是虚数单位)．
(1)若z1+z2−在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2−6x+m=0的根，求实数m的值．
19. (本小题12.0分)
如图，在三棱锥A−BCD中，点E，F，M，N分别为相应棱的中点．
(1)求证：四边形EFMN为平行四边形．
(2)若AC=BD=2，EM= 2，求异面直线AC与BD所成的夹角．

20. (本小题12.0分)
在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2csinA= 3a．
(1)求角C的大小；
(2)若b=2，c= 7，求△ABC的面积．
21. (本小题12.0分)
设复数z=a2−a−(a−1)i(a∈R)．
(1)若z为纯虚数，求z·z−；
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
22. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=PD，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中点．

(1)求证：AD//平面PBC；
(2)求证：AB⊥平面PAD．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查向量的加法、减法运算，属于基础题．
根据题意，即可得解．
【解答】
解：AB−CB+OE−OC=AB+BC+OE+CO
=AC+CE=AE．
故选：D．
  
2.【答案】D 
【解析】解：∵2+ai=b−i，
∴b=2，a=−1，
∴a2+b2=5．
故选：D．
直接利用复数相等的条件列式求得a，b的值，代入a2+b2得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．

3.【答案】D 
【解析】解：若l//α，l//β，则α//β或α与β相交，故A错误；
若α⊥β，l//α，则l⊂β或l//β或l与β相交，相交也不一定垂直，故B错误；
若α⊥β，l⊥α，则l//β或l⊂β，故C错误；
若l//α，过l的平面与α相交，交线为m，则l//m，
又l⊥β，
所以m⊥β，可得α⊥β，故D正确．
故选：D．
由平行于同一直线的两平面的位置关系判断A；由直线与平面平行、平面与平面垂直判断直线与平面的位置关系判断B；由直线与平面垂直、平面与平面垂直判断直线与平面的位置关系判断C；直接证明D正确．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

4.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
根据a//b即可得出−3−2x=0，然后解出x的值即可．
【解答】
解：∵a//b，
∴−3−2x=0，
解得x=−32．
故答案选：B．
  
5.【答案】D 
【解析】解：a+bi4+3i=(a+bi)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=4a+3b25+4b−3a25i为纯虚数，
则4a+3b=04b−3a≠0，即4a+3b=0，
故ab=−34．
故选：D．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．

6.【答案】A 
【解析】解：因为A′B′=3，B′C′=2，AA1=5，
所以在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=5，
所以长方体的体积为V=3×4×5=60，
又VA−A1B1D1=13S△A1B1D1⋅AA1=13×12×3×4×5=10，
所以长方体截去一个三棱锥A−A1B1D1后剩余的几何体体积为60−10=50，
故选：A．
利用斜二测法画法规则求出长方体的长、宽、高，从而可求出长方体的体积和三棱锥A−A1B1D1的体积，进而可求出结果．
本题考查长方体的截面问题，几何体的体积的求解，属基础题．

7.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查平面向量数量积的运算，向量的夹角的求法，属于基础题．
根据平面向量数量积的运算法则求解即可．
【解答】
解：因为向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且(a+b)⋅(2a−b)=−12，
所以2a2+a⋅b−b2=−12，可得a⋅b=2，即cos=a⋅b|a||b|=12，
又∈[0,π]，所以=π3．
故选：B．
  
8.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了复数的概念与运算问题，属于基础题．
根据题意写出复数z=3+6i，再求z−2i的模长．
【解答】
解：复数z在复平面内对应点的坐标为(3,6)，则z=3+6i，
所以z−2i=3+4i，所以|z−2i|= 32+42=5．
故选：C．
  
9.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆锥的结构特征，以及圆锥的侧面积和体积公式，属于基础题．
先设该圆锥的底面半径与母线长分别为r，l，再根据题意求得r的值，结合勾股定理求得l的值，进而即可求得圆锥的侧面积．
【解答】
解：设该圆锥的底面半径与母线长分别为r，l，
由V=13πr2×2 2=2 2π3，得r=1，
所以l= 12+(2 2)2=3，
所以该圆锥的侧面积S=πrl=3π．
故选：B．  
10.【答案】D 
【解析】解：因为AB=3AD，所以AD=13AB=13a．
因为CE=ED，所以AE=12AC+12AD=12b+12×13a=16a+12b．
故选：D．
因为CE=ED，所以AE=12AC+12AD，因为AB=3AD，所以AD=13AB=13a.代入化简即可．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．

11.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦和余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力和分析推理能力
根据题意，在△ABC中由正弦定理求得AC，在△DAC中由余弦定理求得DC．
【解答】
解：因为∠ABD=60°，∠BAD=60°，
所以△ABD是正三角形，
所以AB=BD=DA=2km，
因为△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=105°，
所以∠ACB=30°，
利用正弦定理得ACsin45∘=ABsin30∘，
AC=ABsin45°sin30∘=2× 2212=2 2，
△ACD中，∠CAD=105°−60°=45°，
所以CD2=AC2+AD2−2AC⋅AD⋅cos45°=(2 2)2+22−2×2 2×2× 22=4，
所以CD=2，即C、D间的距离为2km．
故选：B．
  
12.【答案】C 
【解析】解：圆心O(0,0)与点P(−3,4)的距离d= 32+42=5．
∴|z+3−4i|(i为虚数单位)的最大值为5+1=6．
故选：C．
求出圆心O(0,0)与点P(−3,4)的距离d.可得|z+3−4i|(i为虚数单位)的最大值为d+r．
本题考查了复数几何意义、圆的方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

13.【答案】2 
【解析】解：由题得：z=1+i，z−=1−i，∴z⋅z−=(1+i)(1−i)=1−i2=2．
故答案为：2．
由复数的几何意义得到z，z−，再由复数的运算法则直接求得．
本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算，属于基础题．

14.【答案】 7 
【解析】解：根据题意，正△ABC中，D为BC边的中点，易得AD⊥BC，
则有AD⋅BC=0，
又由正△ABC的边长为2，则BC=2，AD= 3
故|AD+BC|2=AD2+BC2=3+4=7，
则|AD+BC|= 7．
故答案为： 7．
根据题意，由等边三角形的性质可得AD⊥BC，即可得AD⋅BC=0，结合数量积的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的运算，涉及向量模的计算，属于基础题．

15.【答案】 3 
【解析】解：z=( 3−i)i+i2002=1+ 3i+(i4)500⋅i2=1+ 3i−1= 3i，
故|z|= 3．
故答案为： 3．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

16.【答案】15 34 
【解析】解：△ABD中，因为cos∠ADB=17，∠ADB∈(0,π)，
所以sin∠ADB= 1−(17)2=4 37，
根据正弦定理得，BDsin∠A=ABsin∠ADB，
代入AB=8，∠A=π3，解得BD=7；
在△BCD中，根据余弦定理得
cos∠C=BC2+CD2−BD22BC⋅CD=32+52−722×3×5=−12，
又∠C∈(0,π)，所以∠C=2π3；
所以△BCD的面积为
S△BCD=12BC⋅CD⋅sin∠C=12×3×5×sin2π3=15 34．
由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值，利用余弦定理求得∠C的值，再计算△BCD的面积．
本题主要考查了正弦、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用问题，是中档题．

17.【答案】解：(1)根据题意，设向量a与b的夹角为θ，
向量a=(−3,1)，b=(1,−2)，
则a⋅b=−3−2=−5，|a|= 9+1= 10，|b|= 1+4= 5，
则cosθ=a⋅b|a||b|=−3−2 9+1× 1+4=− 22，
又因为θ∈[0,π]，故θ=3π4；
(2)向量a=(−3,1)，b=(1,−2)，c=(1,1)，
则a+kb=(−3+k,1−2k)，因为c⊥(a+kb)，
c⋅(a+kb)=(−3+k)+(1−2k)=−2−k=0，
解可得k=−2；
故k=−2；
故答案为：(1)3π4；(2)−2． 
【解析】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算以及数量积的坐标计算，属于基础题．
(1)根据题意，设向量a与b的夹角为θ，由a、b的坐标可得|a|、|b|以及a⋅b的值，计算可得cosθ的值，结合θ的范围，分析可得答案；
(2)根据题意，求出a+kb的坐标，由向量垂直的判断方法可得c⋅(a+kb)=(−3+k)+(1−2k)=−2−k=0，解可得k的值，即可得答案．

18.【答案】解：(1)∵z1=a+3i，z2=2−ai，
∴z1+z2−=(a+2)+(3+a)i，
∵z1+z2−在复平面内对应的点落在第一象限，
∴a+2>03+a>0，解得a>−2，
故a的取值范围为(−∞,−2)．
(2)由z12−6z1+m=0，得(a+3i)2−6(a+3i)+m=0，
即a2−6a+m−9+(6a−18)i=0，
故a2−6a+m−9=06a−18=0，解得a=3m=18，
故m=8． 
【解析】(1)根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
(2)将z1代入一元二次方程x2−6x+m=0，再结合复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数相等的条件，以及复数的几何意义，属于基础题．

19.【答案】(1)证明：∵点E，F，M，N分别为相应棱的中点，
∴MN//AC，MN=12AC，EF//AC，EF=12AC，
∴MN//EF，MN=EF，
∴四边形EFMN为平行四边形．
(2)解：∵点E，F，M，N分别为相应棱的中点，
∴MN//AC，MF//BD，且MN=12AC=1，EN=MF=12BD=1，
∴∠FMN或其补角即为异面直线AC与BD所成的夹角，
在△MNE中，有MN2+EN2=EM2，即∠MNE=90°，
由(1)知，四边形EFMN为平行四边形，
∴∠FMN=180°−∠MNE=90°，
故异面直线AC与BD所成的夹角为90°． 
【解析】(1)结合中位线的性质和平行四边形的判定定理，即可得证；
(2)由MN//AC，MF//BD，知∠FMN或其补角即为所求，再由勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，即可得解．
本题考查空间中线与线的平行关系、异面直线夹角的求法，利用平移法找出异面直线所成的角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

20.【答案】解：(1)由已知及正弦定理可得2sinCsinA= 3sinA．
因为A为锐角，则sinA≠0，
所以sinC= 32．
因为C为锐角，则C=π3．
(2)由余弦定理，a2+b2−2abcosC=c2，
则a2+4−4acosπ3=7，即a2−2a−3=0，
即(a−3)(a+1)=0．
因为a>0，则a=3．
所以△ABC的面积S=12absinC=12×3×2sinπ3=3 32． 
【解析】(1)由已知及正弦定理，结合sinA≠0，可求sinC的值，结合C为锐角，可求C的值．
(2)由已知利用余弦定理可得a2−2a−3=0，解得a的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

21.【答案】解：(1)若z为纯虚数，则a2−a=0a−1≠0，
所以a=0，故z=i，z−=−i，
故z⋅z−=1．
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，则a2−a>0−a+1<0，
得a>1．
故a的取值范围为1,+∞． 
【解析】本题考查复数的概念，复数的几何意义，复数的乘法运算，属于基础题．
(1)根据纯虚数定义即可求解；
(2)根据第四象限内点的坐标满足的条件列不等式组求解即可．

22.【答案】证明：(1)在四棱锥P−ABCD中，∵底面ABCD是矩形，
∴AD//BC，
又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC；
∴AD//平面PBC；
(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩平面ABCD=AD，
∵AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD． 
【解析】本题考查了空间线面平行、垂直的证明，属于基础题．
(1)利用AD//BC证明；
(2)由面面垂直的性质证明．