2022-2023学年新疆和田地区皮山高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆和田地区皮山高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆和田地区皮山高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中选出符合题目的一项）
1．的运算结果是（　　）
A． B． C． D．
2．若2+ai＝b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2+b2＝（　　）
A．0 B．2 C． D．5
3．设l是直线，α、β是两个不同的平面，那么下列判断正确的是（　　）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l∥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
4．设平面向量，．若，则x＝（　　）
A．﹣6 B． C． D．6
5．若复数（i为虚数单位，a，b∈R且b≠0）为纯虚数，则＝（　　）
A． B． C． D．
6．如题图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD的斜二测直观图为平行四边形A′B′C′D′．已知A′B′＝3，B′C′＝2，AA1＝5，则将该长方体截去一个三棱锥A﹣A1B1D1后剩余的几何体体积为（　　）

A．50 B．30 C．25 D．15
7．已知向量，满足||＝1，||＝4，且（+）•（2﹣）＝﹣12，则，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
8．复数z在复平面内对应点的坐标为（3，6），则|z﹣2i|＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知某圆锥的高为，体积为，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B．3πcm2 C．6πcm2 D．12πcm2
10．如图，在△ABC中，AB＝3AD，CE＝ED，设，，则＝（　　）

A． B． C． D．
11．为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A，B处分别测得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，则C，D间的距离为（　　）

A． B．2 C． D．4
12．已知复数z满足|z|＝1，则|z+3﹣4i|（i为虚数单位）的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（本大题共4小题共20.0分）
13．在复平面内，复数z所对应的点为（1，1）．则＝　 　．
14．正△ABC的边长为2，D为BC边的中点，则的模等于 　 　．
15．复数z＝（）i+i2002（i为虚数单位），则|z|＝　 　．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，∠A＝，cos∠ADB＝，则△BCD的面积　 　．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝（1，1）．
（1）求向量与的夹角的大小；
（2）若，求实数k的值．
18．已知复数z1＝a+3i，z2＝2﹣ai（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．
19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E，F，M，N分别为相应棱的中点．
（1）求证：四边形EFMN为平行四边形．
（2）若AC＝BD＝2，，求异面直线AC与BD所成的夹角．

20．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若b＝2，，求△ABC的面积．
21．设复数z＝a2﹣a﹣（a﹣1）i（a∈R）．
（1）若z为纯虚数，求z•；
（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中点．
（1）求证：AD∥平面PBC；
（2）求证：AB⊥平面PAD



参考答案
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中选出符合题目的一项）
1．的运算结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据向量和向量加法的几何意义，向反向量的概念即可进行向量的运算．
解：＝．
故选：D．
【点评】考查向量和向量加法的几何意义，以及相反向量的概念．
2．若2+ai＝b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2+b2＝（　　）
A．0 B．2 C． D．5
【分析】直接利用复数相等的条件列式求得a，b的值，代入a2+b2得答案．
解：∵2+ai＝b﹣i，
∴b＝2，a＝﹣1，
∴a2+b2＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．
3．设l是直线，α、β是两个不同的平面，那么下列判断正确的是（　　）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l∥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
【分析】由平行于同一直线的两平面的位置关系判断A；由直线与平面平行、平面与平面垂直判断直线与平面的位置关系判断B；由直线与平面垂直、平面与平面垂直判断直线与平面的位置关系判断C；直接证明D正确．
解：若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；
若α⊥β，l∥α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，相交也不一定垂直，故B错误；
若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错误；
若l∥α，过l的平面与α相交，交线为m，则l∥m，
又l⊥β，
所以m⊥β，可得α⊥β，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
4．设平面向量，．若，则x＝（　　）
A．﹣6 B． C． D．6
【分析】根据即可得出﹣3﹣2x＝0，然后解出x的值即可．
解：∵，
∴﹣3﹣2x＝0，解得．
故选：B．
【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
5．若复数（i为虚数单位，a，b∈R且b≠0）为纯虚数，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
解：＝＝i为纯虚数，
则，即4a+3b＝0，
故．
故选：D．
【点评】本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
6．如题图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD的斜二测直观图为平行四边形A′B′C′D′．已知A′B′＝3，B′C′＝2，AA1＝5，则将该长方体截去一个三棱锥A﹣A1B1D1后剩余的几何体体积为（　　）

A．50 B．30 C．25 D．15
【分析】利用斜二测法画法规则求出长方体的长、宽、高，从而可求出长方体的体积和三棱锥A﹣A1B1D1的体积，进而可求出结果．
解：因为A′B′＝3，B′C′＝2，AA1＝5，
所以在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，
所以长方体的体积为V＝3×4×5＝60，
又，
所以长方体截去一个三棱锥A﹣A1B1D1后剩余的几何体体积为60﹣10＝50，
故选：A．
【点评】本题考查长方体的截面问题，几何体的体积的求解，属基础题．
7．已知向量，满足||＝1，||＝4，且（+）•（2﹣）＝﹣12，则，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平面向量数量积的运算法则求解即可．
解：因为向量，满足||＝1，＝4，且（+）•（2﹣）＝﹣12，
所以＝﹣12，可得＝2，即cos＜，＞＝＝，＜，＞∈[0，π]，
所以＜，＞＝．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，向量的夹角的求法，属于基础题．
8．复数z在复平面内对应点的坐标为（3，6），则|z﹣2i|＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据题意写出复数z＝3+6i，再求z﹣2i的模长．
解：复数z在复平面内对应点的坐标为（3，6），则z＝3+6i，
所以z﹣2i＝3+4i，
所以|z﹣2i|＝＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的概念与运算问题，是基础题．
9．已知某圆锥的高为，体积为，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B．3πcm2 C．6πcm2 D．12πcm2
【分析】先设该圆锥的底面半径与母线长分别为r，l，再根据题意求得r的值，结合勾股定理求得l的值，进而即可求得圆锥的侧面积．
解：设该圆锥的底面半径与母线长分别为r，l，
由，得r＝1，
所以，
所以该圆锥的侧面积S＝πrl＝3π．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆锥的结构特征，以及圆锥的侧面积和体积公式，属于基础题．
10．如图，在△ABC中，AB＝3AD，CE＝ED，设，，则＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】因为CE＝ED，所以，因为AB＝3AD，所以．代入化简即可．
解：因为AB＝3AD，所以．
因为CE＝ED，所以＝．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
11．为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A，B处分别测得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，则C，D间的距离为（　　）

A． B．2 C． D．4
【分析】根据题意，在△ABC中由正弦定理求得DA，在△DAC中由余弦定理求得DC．
解：因为∠ABD＝60°，∠BAD＝60°，
所以△ABD是正三角形，
所以AB＝BD＝DA＝2km，
因为△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝105°，
所以∠ACB＝30°，
利用正弦定理得＝，
AC＝＝＝2，
△ACD中，∠CAD＝105°﹣60°＝45°，
所以CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos45°＝+22﹣2×2×2×＝4，
所以CD＝2，即C、D间的距离为2km．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦和余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力和分析推理能力，是基础题．
12．已知复数z满足|z|＝1，则|z+3﹣4i|（i为虚数单位）的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】求出圆心O（0，0）与点P（﹣3，4）的距离d．可得|z+3﹣4i|（i为虚数单位）的最大值为d+r．
解：圆心O（0，0）与点P（﹣3，4）的距离d＝＝5．
∴|z+3﹣4i|（i为虚数单位）的最大值为5+1＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了复数几何意义、圆的方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题共20.0分）
13．在复平面内，复数z所对应的点为（1，1）．则＝　2　．
【分析】由复数的几何意义得到z，，再由复数的运算法则直接求得．
解：由题得：z＝1+i，，∴．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算，属于基础题．
14．正△ABC的边长为2，D为BC边的中点，则的模等于 　　．
【分析】根据题意，由等边三角形的性质可得AD⊥BC，即可得•＝0，结合数量积的计算公式计算可得答案．
解：根据题意，正△ABC中，D为BC边的中点，易得AD⊥BC，
则有•＝0，
又由正△ABC的边长为2，则BC＝2，AD＝
故|+|2＝2+2＝3+4＝7，
则||＝．
故答案为：．

【点评】本题考查向量数量积的运算，涉及向量模的计算，属于基础题．
15．复数z＝（）i+i2002（i为虚数单位），则|z|＝　　．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
解：z＝（）i+i2002＝，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，∠A＝，cos∠ADB＝，则△BCD的面积　　．

【分析】由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值，利用余弦定理求得∠C的值，再计算△BCD的面积．
解：△ABD中，因为cos∠ADB＝，∠ADB∈（0，π），
所以sin∠ADB＝＝，
根据正弦定理得，＝，
代入AB＝8，∠A＝，解得BD＝7；
在△BCD中，根据余弦定理得
cos∠C＝＝＝﹣，
又∠C∈（0，π），所以∠C＝；
所以△BCD的面积为
S△BCD＝BC•CD•sin∠C＝×3×5×sin＝．
【点评】本题主要考查了正弦、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用问题，是中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝（1，1）．
（1）求向量与的夹角的大小；
（2）若，求实数k的值．
【分析】（1）根据题意，设向量与的夹角为θ，由、的坐标可得||、||以及•的值，计算可得cosθ的值，结合θ的范围，分析可得答案；
（2）根据题意，求出+k的坐标，由向量垂直的判断方法可得•（+k）＝（﹣3+k）+（1﹣2k）＝﹣2﹣k＝0，解可得k的值，即可得答案．
解：（1）根据题意，设向量与的夹角为θ，
向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），
则•＝﹣3﹣2＝﹣5，||＝＝，||＝＝，
则，
又因为θ∈[0，π]，故；
（2）向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝（1，1），
则，因为，
•（+k）＝（﹣3+k）+（1﹣2k）＝﹣2﹣k＝0，
解可得k＝﹣2；
故k＝﹣2；
故答案为：（1）；（2）﹣2．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算以及数量积的坐标计算，属于基础题．
18．已知复数z1＝a+3i，z2＝2﹣ai（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
（2）将z1代入一元二次方程x2﹣6x+m＝0，再结合复数相等的条件，即可求解．
解：（1）∵z1＝a+3i，z2＝2﹣ai，
∴，
∵在复平面内对应的点落在第一象限，
∴，解得a＞﹣2，
故a的取值范围为（﹣2，+∞）．
（2）由，得（a+3i）2﹣6（a+3i）+m＝0，
即a2﹣6a+m﹣9+（6a﹣18）i＝0，
故，解得，
故m＝18．
【点评】本题主要考查复数相等的条件，以及复数的几何意义，属于基础题．
19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E，F，M，N分别为相应棱的中点．
（1）求证：四边形EFMN为平行四边形．
（2）若AC＝BD＝2，，求异面直线AC与BD所成的夹角．

【分析】（1）结合中位线的性质和平行四边形的判定定理，即可得证；
（2）由MN∥AC，MF∥BD，知∠FMN或其补角即为所求，再由勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，即可得解．
【解答】（1）证明：∵点E，F，M，N分别为相应棱的中点，
∴MN∥AC，MN＝AC，EF∥AC，EF＝AC，
∴MN∥EF，MN＝EF，
∴四边形EFMN为平行四边形．
（2）解：∵点E，F，M，N分别为相应棱的中点，
∴MN∥AC，MF∥BD，且MN＝AC＝1，EN＝MF＝BD＝1，
∴∠FMN或其补角即为异面直线AC与BD所成的夹角，
在△MNE中，有MN2+EN2＝EM2，即∠MNE＝90°，
由（1）知，四边形EFMN为平行四边形，
∴∠FMN＝180°﹣∠MNE＝90°，
故异面直线AC与BD所成的夹角为90°．
【点评】本题考查空间中线与线的平行关系、异面直线夹角的求法，利用平移法找出异面直线所成的角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
20．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若b＝2，，求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知及正弦定理，结合sinA≠0，可求sinC的值，结合C为锐角，可求C的值．
（2）由已知利用余弦定理可得a2﹣2a﹣3＝0，解得a的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
解：（1）由已知及正弦定理可得．
因为A为锐角，则sinA≠0，
所以．
因为C为锐角，则．
（2）由余弦定理，a2+b2﹣2abcosC＝c2，
则，即a2﹣2a﹣3＝0，
即（a﹣3）（a+1）＝0．
因为a＞0，则a＝3．
所以△ABC的面积．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21．设复数z＝a2﹣a﹣（a﹣1）i（a∈R）．
（1）若z为纯虚数，求z•；
（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
【分析】（1）直接根据纯虚数需满足的条件实部为0虚部部位0即可求解；
（2）直接根据第四象限内点的坐标满足的条件求解即可
解：（1）若z为纯虚数，则，
所以a＝0，故z＝i，，；
∴．
（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，则，
得a＞1．
【点评】本题考查复数的基本知识，复数的概念的应用，考查计算能力．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中点．
（1）求证：AD∥平面PBC；
（2）求证：AB⊥平面PAD

【分析】（1）利用AD∥BC证明；
（2）由面面垂直的性质证明．
【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC；
∴AD∥平面PBC；
（2）∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩平面ABCD＝AD，
∵AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD
【点评】本题考查了空间线面平行、垂直的证明，属于基础题