2023年湖南师大附中梅溪湖中学中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年湖南师大附中梅溪湖中学中考数学三模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南师大附中梅溪湖中学中考数学三模试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的绝对值是(    )
A. −2023 B. 12023 C. −12023 D. 2023
2. 2023年4月3日，长沙统计局发布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》，公报显示：2022年末长沙市常住总人口约为1042万人，比上年末增长1.8%，其中1042万用科学记数法表示为(    )
A. 1.042×107 B. 1.042×108 C. 10.42×107 D. 0.1042×108
3. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是(    )
A. 清华大学 B. 北京大学
C. 中国人民大学 D. 浙江大学
4. 下列四个图形中，∠1=∠2一定成立的是(    )
A. B.
C. D.
5. 下列变形中，正确的是(    )
A. 若a=b ，则a+ 1=b− 1 B. 若a − b+1=0，则a=b+1
C. 若a=b ，则ax =bx D. 若a3 =b3 ，则a=b
6. 下列说法中，正确的是(    )
A. 为了保证大家端午节吃上放心的粽子，质监部门对长沙市市场上的粽子质量实行全面调查
B. 一组数据−1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C. 明天的降水概率为60%，则明天60%的时间下雨
D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2=0.3，s乙2=0.02，则乙组数据更稳定
7. 如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是(    )
A. 144
B. 194
C. 12
D. 13
8. 如图，AB是⊙O的直径，直线EC切⊙O于B点，若∠DBC=α，则(    )
A. ∠A=90°−α
B. ∠A=α
C. ∠ABD=α
D. ∠ABD=90°−12α
9. 几个人一起去购买物品，如果每人出8元，那么剩余3元；如果每人出7元，那么差4元．若设有x人，则下列方程中，符合题意的是(    )
A. 8x−3=7x+4 B. 8x+3=7x−4 C. x−38=x+47 D. x+38=x+47
10. 四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数)时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现−1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当x=2时，y=3，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若代数式2x−5有意义，则实数x的取值范围是______ ．
12. 20°21′+10°55′=______．
13. 在平面直角坐标系中，已知点M(1−a,a+2)在y轴上，则a的值是______ ．
14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是______°.


15. 《中共中央国务院关促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”.政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在三条边的______ 的交点处．
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的顶点A(2,1)，C(6,5)，将直线l：y=−2x沿x轴水平向右平行移动.当直线l将▱ABCD的面积平分时，此时其解析式为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：3tan30°−(14)−1− 12+|− 3|．
18. (本小题6.0分)
已知x−y=5，求代数式[(x−y)2−(x+y)(x−y)]÷2y的值．
19. (本小题6.0分)
如图，在△ABD中，∠ADB=90°，∠A=30°，AB=10，点E是边AB的中点.分别以点B，D为圆心，以BE的长为半径画弧，两弧交于点C；连接CB，CD．
(1)根据以上尺规作图的过程，请直接写出四边形BCDE的形状是______ ；
(2)在第(1)问的基础上，求四边形BCDE的面积．

20. (本小题8.0分)
“茶颜悦色”是长沙的地标美食名片之一，某“茶颜悦色”分店为了了解该地青年朋友对去年销量较好的“三季虫”(A)、“人间烟火”(B)、“声声乌龙”(C)、“幽兰拿铁”(D)四种不同口味的喜爱情况，对该地青年进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题．
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)请将条形统计图补充完整，并计算表示C种类的扇形所对的圆心角的度数为______ ；
(3)某“茶颜悦色”分店决定从A、B、C、D四种口味中，随机选取两种口味作为门店特色口味推销给消费者，请用列表法或画树状图法，求A、B两种口味同时被选中的概率．

21. (本小题8.0分)
如图，一勘测人员从山脚B点出发，沿坡度为1：3的坡面BD行至D点处时，他的垂直高度上升了15米；然后再从D点处沿坡角为45°的坡面DA，以20米/分钟的速度到达山顶A点时，用了10分钟．
(1)求D点到B点之间的水平距离；
(2)求山顶A点处的垂直高度AC是多少米？( 2≈1.414，结果保留整数)

22. (本小题9.0分)
北京奥林匹克森林公园位于北京中轴延长线的最北端，是亚洲最大的城市绿化景观.某校七年级2班学生计划去奥森公园划船，游船价格如表：
船型
四座电瓶船
六座电瓶船
价格
100元/小时
120元/小时
已知所有学生均有座位且划船1小时，请解决下面问题：
(1)若租用10条游船，所有船恰好坐满，需花费1060元.那么租用了几条四座电瓶船？
(2)请你直接写出一种比(1)中省钱的租船方案：______ 条四座电瓶船，______ 条六座电瓶船．
23. (本小题9.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长DC到点E，使CE=DF，连接BE．
(1)求证：四边形ABEF是矩形；
(2)若AB=5，CF=2，AC⊥BD，连接OE，求OE的长．

24. (本小题10.0分)
我们定义：对于一个函数，如果自变量x与函数值y，满足：若m≤x≤n，则m≤y≤n(m,n为实数)，我们称这个函数在m→n上是同步函数.比如：函数y=−x+1在−1→2上是同步函数.理由：∵−1≤x≤2，x=1−y，∴−1≤1−y≤2，得−1≤y≤2，∴是同步函数．
(1)若函数y=−x+b在2→4上是同步函数，求b的值；
(2)已知反比例函数y=4x在m→n上是同步函数，求m⋅n的值；
(3)若抛物线y=ax2+bx+c(a>0,a+b>0)在1→3上是同步函数，且在1≤x≤3上的最小值为4a，设抛物线与直线y=74交于A，B点，与y轴相交于C点.若△ABC的内心为G，外心为M，试求MG的长．
25. (本小题10.0分)
如图1，AC为▱ABCD的对角线，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E，连结BE．

(1)求证：∠BAC=∠ABE．
(2)如图2，当AB=AC时，连结OA、OB，延长AO交BE于点G，求证△GOB∽△GBA．
(3)如图3，在(2)的条件下，记AC、BE的交点为点F，连结AE、OF．
①求证：BG2−GF2=GF⋅EF．
②当EFFG=79时，求sin∠EAG的值．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：|−2023|=2023，
故选：D．
一个数在数轴上对应的点到原点的距离即为这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此即可求得答案．
本题考查绝对值的定义及绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

2.【答案】A 
【解析】解：1042万=10420000=1.042×107．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】B 
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

4.【答案】D 
【解析】解：A、∠1和∠2是邻补角，不一定相等，故选项不符合题意；
B、∠1和∠2是同位角，不一定相等，故选项不符合题意；
C、∠1和∠2不一定相等，故选项不符合题意；
D、∠1和∠2是对顶角，根据对顶角的性质可知∠1=∠2，故选项符合题意．
故选：D．
根据邻补角、同位角、对顶角的定义逐一分析解答即可．
本题考查了邻补角、同位角、对顶角，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对于两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．

5.【答案】D 
【解析】解：A.若a=b，则a+1=b+1，故错误，本选项不符合题意；
B.若a−b+1=0，则a=b−1，故错误，本选项不符合题意；
C.当x≠0时，若a=b，则ax=bx，故错误，本选项不符合题意；
D.若a3=b3，则a=b，故正确，本选项符合题意．
故选：D．
根据等式的性质逐个判断即可．
本题考查了等式的性质，能熟记知识点是解此题的关键，注意：等式的性质是：①等式的两边都加(或减)同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．

6.【答案】D 
【解析】解：A.为了保证大家端午节吃上放心的粽子，质监部门对长沙市市场上的粽子质量实行抽样调查，原说法错误，故此选项不符合题意；
B.一组数据−1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是5，原说法错误，故此选项不符合题意；
C.明天的降水概率为60%，则明天不一定会下雨，原说法错误，故此选项不符合题意；
D.若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2=0.3，s乙2=0.02，则乙组数据更稳定，原说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
依据全面调查、抽样调查、众数、中位数、概率以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了全面调查、抽样调查、众数、中位数、概率以及方差的概念．方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

7.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理、正方形的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
【解答】
解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积=169−25=144．
故选A．  
8.【答案】B 
【解析】解：∵直线EC是⊙O的切线，
∴AB⊥EC，
∴∠ABC=90°，
即∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠ABD=90°−α，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=∠DBC=α．
故选：B．
由直线EC是⊙O的切线，根据切线的性质可得：AB⊥EC，继而求得∠ABD=90°−α，又由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，即可求得∠D=90°，继而可得∠A=∠DBC=α．
此题考查了切线的性质与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

9.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据“如果每人出8元，那么剩余3元；如果每人出7元，那么差4元”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】
解：依题意得：8x−3=7x+4．
故选A．  
10.【答案】B 
【解析】解：若甲、丙的结论正确，设抛物线解析式为y=(x−1)2+2，
即y=x2−2x+3；
当x=−1时，y=x2−2x+3=6，所以乙的结论错误；
当x=2时，y=x2−2x+3=3，所以丁的结论正确．
故选：B．
若甲、丙的结论正确，利用顶点式写出抛物线解析式为y=(x−1)2+2，由于x=−1时，y=6，则乙的结论错误；x=2时，y=3，则丁的结论正确．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

11.【答案】x≠5 
【解析】解：要使2x−5有意义，必须x−5≠0，
解得：x≠5．
故答案为：x≠5．
根据分式有意义的条件得出x−5≠0，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，注意：当分母B≠0时，分式AB有意义．

12.【答案】31°16′ 
【解析】解：原式=31°16′，
故答案为：31°16′．
根据度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″进行计算即可．
本题主要考查度分秒的换算，1°=60′，1′=60′′是解题的关键．

13.【答案】1 
【解析】解：因为点M(1−a,a+2)在y轴上，
所以1−a=0，
解得a=1．
故答案为：1．
根据y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．

14.【答案】105 
【解析】解：∵∠BAD=105°，
∴∠BCD=180°−∠BAD=75°，
∴∠DCE=180°−∠BCD=105°．
故答案为：105．
由圆的内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，又由邻补角的定义可得：∠BCD+∠DCE=180°，可得∠DCE=∠BAD．
此题考查了圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

15.【答案】垂直平分线 
【解析】解：因为充电桩到三个出口的距离都相等，即点A、B、C的距离相等，
所以充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：垂直平分线．
利用线段的垂直平分线的性质解决问题．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

16.【答案】y=−2x+11 
【解析】解：∵直线l将▱ABCD的面积平分，
∴直线l经过▱ABCD对角线的交点，
∵▱ABCD的顶点A(2,1)，C(6,5)，
∴▱ABCD对角线的交点为(4,3)，
设平移后的直线方程为y=−2x+b，
把(4,3)代入，得3=−2×4+b，
解得b=11，
则平移后的直线l解析式为：y=−2x+11；
故答案为：y=−2x+11．
设平移后的直线方程为y=−2x+b；把AC的中点坐标代入进行解答即可．
本题考查了一次函数图象的几何变换．平行四边形的性质，直线平移时k的值不变，只有b发生变化是解题的关键．

17.【答案】解：原式=3× 33−4−2 3+ 3
= 3−4−2 3+ 3
=−4． 
【解析】先代入特殊角的函数值，计算负整数指数幂化简二次根式，再算乘法，最后算加减．
本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．

18.【答案】解：原式=[(x2−2xy+y2)−(x2−y2)]÷2y
=(x2−2xy+y2−x2+y2)÷2y
=(2y2−2xy)÷2y
=y−x，
当x−y=5时，原式=−(x−y)=−5． 
【解析】根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．

19.【答案】菱形 
【解析】解：(1)四边形BCDE是菱形．
理由：∵∠ADB=90°，BE=AE，
∴DE=BE=AE，
∵BC=DC=BE，
∴BE=BC=CD=DE，
∴四边形BCDE是菱形．
故答案为：菱形；
(2)∵∠ADB=90°，∠A=30°，
∴∠DBE=60°，
∵EB=ED，
∴△BDE是等边三角形，
∴菱形BCDE的面积=2S△BDE=2× 34×52=25 32．
(1)证明BC=BE=CD=DE即可．
(2)证明△BDE是等边三角形，可得结论．
本题考查的是菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

20.【答案】2  45  72° 
【解析】解：(1)抽样调查的人数为12÷30%=40(人)，
∴a=40×5%=2，
∴B种类的人数为40−12−8−2=18，
∴b%=1840×100%=45%，
∴b=45．
故答案为：2；45．
(2)补全条形统计图如图所示．

C种类的扇形所对的圆心角的度数为360°×840=72°．
故答案为：72°．
(3)画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中A、B两种口味同时被选中的结果有2种，
∴A、B两种口味同时被选中的概率为212=16．
(1)用a种类的人数除以其所占百分比求出抽样调查的总人数，再用抽样调查的总人数乘以D种类的百分比可得a的值；用抽样调查的总人数分别减去A，C，D种类的人数，求出B种类的人数，再求出其所占百分比，即可得b的值．
(2)根据B种类的人数直接补全条形统计图即可；用360°乘以C种类的百分比可得C种类的扇形所对的圆心角的度数．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及A、B两种口味同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．

21.【答案】解：(1)过D点作DF⊥BC于点F，
∵BD的坡度为1：3，
∴DFBF=13，即15BF=13，
解得，BF=45，即D点到B点之间的水平距离为45米，
答：D点到B点之间的水平距离为45米；
(2)由题意得，AD=20×10=200，
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴AE=AD⋅sin∠ADE=200× 22=100 2，
∴AC=AE+EC=100 2+15≈156，
答：山顶A点处的垂直高度约为156米． 
【解析】(1)过D点作DF⊥BC，根据坡度的概念求出BF；
(2)根据正弦的定义求出AE，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

22.【答案】1  7 
【解析】解：(1)设租用了x条四座电瓶船，
根据题意得100x+120(10−x)=1060，
解得x=7，
答：租用了7条四座电瓶船．
(2)由(1)可知，共有学生4×7+6×(10−7)=46(名)，
在每船都坐满的情况下，乘四座电瓶船平均每人100÷4=25(元)，乘六座电瓶船平均每人120÷6=20(元)，
∴应尽可能多用六座电瓶船，
设租用m条四座电瓶船，n条六座电瓶船，
根据题意得4m+6n=46，
整理得2m+3n=23，
∵m、n都是整数，
∴m=10n=1或m=7n=3或m=4n=5或m=1n=7，
当m=4，n=5时，总费用为100×4+120×5=1000(元)，
当m=1，n=7时，总费用为100×1+120×7=940(元)，
若只租用8条六座电瓶船，总费用为120×8=960(元)，
∴最省钱的方案是租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船，
故答案为：1，7．
注：答案不唯一，4，5，或0，8．
(1)设租用了x条四座电瓶船，则租用四座电瓶船用了100x元，租用六座电瓶船用了120(10−x)元，可列方程100x+120(10−x)=1060，解方程求出x的值即可；
(2)先计算出学生人数为46名，在每船都坐满的情况下，乘四座电瓶船平均每人25元，乘六座电瓶船平均每人20元，因此应应尽可能多用六座电瓶船，设租用m条四座电瓶船，n条六座电瓶船，则4m+6n=46，则m=10n=1或m=7n=3或m=4n=5或m=1n=7，显然，在都坐满的情况下比(1)省钱的方案有两种，即租用4条四座电瓶船，5条六座电瓶船或租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船，在还有空座位的情况下，可只租用8条六座电瓶船．
此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示租有每种电瓶船的钱数及学生的总人数是解题的关键．

23.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∵CE=DF，
∴CE+CF=DF+CF，
即EF=CD，
∴AB=EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AF⊥CD，
∴∠AFE=90°，
∴平行四边形ABEF是矩形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴OB=OD，平行四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=5，
∴DF=CD−CF=5−2=3，
∵AF⊥CD，
∴∠AFD=90°，
∴AF= AD2−DF2= 52−32=4，
由(1)得四边形ABEF是矩形，
∴∠BEF=90°，BE=AF=4，
∵CE=DF=3，
∴DE=CD+CE=8，
∴BD= DE2+BE2= 82+42=4 5，
又∵OB=OD，
∴OE=12BD=2 5． 
【解析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线以及勾股定理的应用．
(1)先证四边形ABEF是平行四边形，再证∠AFE=90°，即可得出结论；
(2)证平行四边形ABCD是菱形，得AD=CD=AB=5，再由勾股定理求出AF=4，然后由矩形的性质和勾股定理求出BD=4 5，即可求解．

24.【答案】解：(1)由题意，∵2≤x≤4，2≤y≤4，且函数y=−x+b在2→4上是递减的，
∴−2+b=4−4+b=2，
∴b=6；
(2)由题意，当m≤x≤n时，m≤y≤n，
∵反比例函数y=4x在x<0或x>0上是递减的，
∴当x=m时，y=n取最大值，当x=n，y=m取最小值，
∴4m=n4n=m，
∴m⋅n=4；
(3)抛物线的顶点式为y=a(x+b2a)2+c−b24a，
顶点坐标为(−b2a,c−b24a)，
∵a>0，a+b>0，
∴−b2a<12，
∴抛物线y=a(x+b2a)2+c−b24a在1≤x≤3上是递增的，
∴当x=1时，取最小值，
∴a+b+c=1=4a9a+3b+c=3，
∴a=14b=0c=34，
∴抛物线的函数表达式为y=14x2+34，
∵抛物线与直线y=74相交于A、B两点，设A(xA,74)，B(xB,74)，

假设A点在B点的左侧，即14x2+34=74，
∴x2=4，
∴xA=−2，xB=2，
∴在△ABC中，A(−2,74)，B(2,74)，C(0,34)，
∴AB=4，AC= 5，BC= 5，
∵外心M在线段AB的垂直平分线上，设M(0,t)，
则MA=MC，
∴ (−2)2+(t−74)2= 02+(t−34)2，
∴t=134，
∴M(0,134)，
在△ABC中，根据内心的性质，设内心G到各边距离为d，得
S△ABC=12×4×1=12×(AB+BC+CA)×d，
∴d=2 5−4，
∵△ABC是等腰三角形，y轴为∠ACB的角平分线，
∴内心G在y轴上，
∴yG=yA−d=74−(2 5−4)=234−2 5，
∴G(0,234−2 5)，
∴MG=yM−yG=134−(234−2 5)=2 5−52． 
【解析】(1)根据同步函数的定义和一次函数的增减性可得答案；
(2)根据反比例函数的增减性可知，x=m时，y=n，从而得出答案；
(3)由a>0，a+b>0，得−b2a<12，则抛物线y=a(x+b2a)2+c−b24a在1≤x≤3上是递增的，可知x=1时，y=1，且最小值为4a，得出抛物线的解析式，从而得出点A、B、C的坐标，设M(0,t)，根据MA=MC，可得M的坐标，再利用面积法求出点G的坐标，从而解决问题．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出△ABC的顶点坐标是解题的关键．

25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∵弧BC=弧BC，
∴∠BAC=∠BEC，
∴∠BAC=∠ABE；
(2)证明：∵AB=AC，AO经过圆心，
∴∠BAG=∠CAG，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BAC=∠ABE，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBG，
又∠BGO=∠AGB，
∴△GOB∽△GBA；
(3)①证明：连接CG，

∵△GOB∽△GBA，
∴BGGA=GOBG，
∴BG2=GO⋅GA，
∵AB=AC，∠BAG=∠CAG，AG=AG，
∴△BAG≌△CAG(SAS)，
∴BG=CG，∠ABG=∠ACG，
∵∠ABG=∠BEC，
∴∠GCF=∠GEC，
∴△GCF∽△GEC，
∴GCGE=GFGC，
∴GC2=GF⋅GE，
∴GF⋅EF+GF2=GF(EF+GF)=GF⋅GE=GC2=BG2，
∴BG2−GF2=GF⋅EF；
②解：延长AO交BC于点H，

∵∠ABE=∠ACE=∠BEC，
∴EF=FC，
∵EFFG=79，
设EF=CF=7a，
则FG=9a，GE=16a，
∴BG=CG= GF⋅GE=12a，
∵EFFG=79，
∴S△CEFS△CGF=79，
∵∠GCF=∠ECF，即CF是∠ECG的平分线，
∴点F到∠ECG两边的距离相等，
∴S△CEFS△CGF=CECG=79，
∴CE=283a，
∵AB/​/CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴CEAB=EFBF，
即283aAB=7a12a+9a，
∴AB=28a，
由(2)可知：OB是∠ABG的平分线，同理BGBA=OGOA，
即12a28a=37=OGOA，
∴GO=37OA，
设⊙O的半径为R，
∵BG2=GO⋅GA，
∴(12a)2=37R⋅(R+37R)，
解得：R2=11765a2，
即a2=51176R2，
设OH=x，
在Rt△ABH和Rt△OBH中，(28a)2−(R+x)2=R2−x2，
整理得：xR=23，
即OHOB=23，
∵∠CAE=∠CBE，∠CAG=∠OBG，
∴∠EAG=∠OBH，
∴sin∠EAG=sin∠OBH=OHOB=23． 
【解析】(1)根据平行四边形的性质以及圆周角定理即可证明；
(2)由垂径定理证明∠BAG=∠CAG，再推出∠OAB=∠OBA=∠OBG，即可证明结论；
(3)①由△GOB∽△GBA，推出BG2=GO⋅GA，再证明△BAG≌△CAG，推出∠ABG=∠ACG，得到△GCF∽△GEC，推出GC2=GF⋅GE，计算即可证明结论；
②设EF=CF=7a，得到FG=9a，GE=9a，BG=CG=12a，由角平分线的性质求得CE=283a，证明△CEF∽△ABF，求得AB=28a，由角平分线的性质推出GO=37OA，在Rt△ABH和Rt△OBH中，求得OHOB=23，然后推出∠EAG=∠OBH，即可求解．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，本题难度大，明确题意，找出所求问题需要的条件是解答本题的关键．