八年级下学期期末数学试题 (3)

这是一份八年级下学期期末数学试题 (3)，共26页。试卷主要包含了 已知不等式组的解集是，则是， 九年级等内容，欢迎下载使用。
第二学期期末考试
八年级数学试题
注意事项：
1.本试题分第I卷和第II卷两部分．第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；全卷共4页，满分120分．考试时间为120分钟．
2.答卷时，考生务必将第I卷和第II卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题 30分）
一、选择题：每题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的代号涂在答题卡上．
1. 已知，下列四个不等式中不正确的是( )
A. B. C. D.
2. 下列式子变形是因式分解的是（　　）
A B.
C. D.
3. 图中阴影部分是由4个完全相同正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）

A. 区域①处 B. 区域②处 C. 区域③处 D. 区域④处
4. 已知不等式组的解集是，则是（ ）
A. 4 B. －4 C. 7 D. －7
5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）

A AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC
6. 九年级（3）班小王和小张两人练习跳绳，小王每分钟比小张少跳60个，小王跳120个所用的时间和小张跳180个所用的时间相等．设小王跳绳速度为x个每分钟，则列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，边长为a，b长方形的周长为10，面积为6，则的值为（ ）

A. 15 B. 30 C. 60 D. 120
8. 已知关于的分式方程有增根，则k＝（ ）．
A －3 B. －2 C. 2 D. 3
9. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ）

A. 4 B. C. 6 D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点，点A在x轴的正半轴上，∠COA的平分线OD交BC于点，则点C的坐标为（ ）

A. B. C. D.
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题卡的相应位置上．
11. 因式分解：﹣2x2y+12xy﹣18y=______．
12. 函数中，自变量的取值范围是_______．
13. 如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A，B两点，若再以A点为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠BOC等于______．

14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线，直线相交于点，则关于x的不等式的解集是______．

15. 如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕某点顺时针旋转得到，则旋转中心的坐标是________．

16. 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，交BD于点O，则BD的长为 _____．

三、解答题：共8小题，满分72分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．
17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．

18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，并分别平分∠ABC、∠DCB，且．求证：．

20. 已知，在直角坐标系中，有A（0，3），B（2，1），C（﹣3，﹣3）三点．
（1）请在平面直角坐标系中描出各点，并画出三角形ABC；
（2）三角形ABC的面积是　 　；（直接写出结果）
（3）设BC交y轴于点P，试求P点的坐标．

21. 阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成的形式，但是对于二次三项式，就不能直接应用完全平方式，我们可以在二次三项式中先加一项，使其一部分成为完全平方式，再减去项，使整个式子的值不变，于是有下面的因式分解：





仔细领会上述的解决问题的思路、方法，认真分析完全平方式的构造，结合自己对完全平方式的理解，解决下列问题：
（1）因式分解：；
（2）因式分解：．
22. 已知：如图，在四边形中，，，垂足分别为，，延长、，分别交于点，交于点，若，．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
23. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
24. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是和，因为，所以这个三角形是非凡三角形．
（1）判断：等腰直角三角形 _非凡三角形（填“是”或“不是”)﹔
（2）若是非凡三角形，且，则 _
（3）如图，在平行四边形中，于点，且是非凡三角形，求的值．













第二学期期末考试
八年级数学试题
注意事项：
1.本试题分第I卷和第II卷两部分．第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；全卷共4页，满分120分．考试时间为120分钟．
2.答卷时，考生务必将第I卷和第II卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题 30分）
一、选择题：每题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的代号涂在答题卡上．
1. 已知，下列四个不等式中不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据不等式的性质进行判断即可得出答案．
【详解】Ａ．由，得，即，故A选项错误．
Ｂ．由，得，故B选项正确．
Ｃ．由，得，故C选项正确．
Ｄ．由，得，故D选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的基本性质，即在不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变；在不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变；在不等式两边同乘或除以同一个负数，不等号方向改变；解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
2. 下列式子变形是因式分解的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意；
，左右两边不相等，故B不符合题意；
是整式的乘法，故C不符合题意；
，符合“把一个多项式转化成几个整式积的形式”，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
3. 图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）

A. 区域①处 B. 区域②处 C. 区域③处 D. 区域④处
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义求解可得．
【详解】如图所示的图形是中心对称图形，

故选：B．
【点睛】本题主要考查的是利用中心对称的性质设计图案，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
4. 已知不等式组的解集是，则是（ ）
A. 4 B. －4 C. 7 D. －7
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式组中每一个不等式，再根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：x>2b+3，
∵的解集是，
∴，2b+3=-3，
解得：a=3，b=-3，
∴=(3-1)(-3+1)=-4，
故选：B．
【点睛】本题考查解不等式组，不等式组的解集，代数式求值，熟练掌握不等式组的解集和解不等式组是解题的关键．
5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）

A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选D．

6. 九年级（3）班小王和小张两人练习跳绳，小王每分钟比小张少跳60个，小王跳120个所用的时间和小张跳180个所用的时间相等．设小王跳绳速度为x个每分钟，则列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设小王跳绳速度为x个每分钟，根据所用的时间相等列出分式方程即可．
【详解】解：由题意可得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
7. 如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为（ ）

A. 15 B. 30 C. 60 D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【详解】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a2b+ab2＝ab（a+b）＝30．
故选B．
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
8. 已知关于的分式方程有增根，则k＝（ ）．
A. －3 B. －2 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先化成整式方程，把代入整式方程，确定的值即可．
【详解】∵，
∴，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的增根的意义是解题的关键．
9. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ）

A. 4 B. C. 6 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用旋转性质得出四边形 AECF的面积等于正方形 ABCD的面积，进而可求
出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】绕点顺时针旋转到的位置．
四边形的面积等于正方形的面积等于20，
，
，
中，
故选．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应
边关系是解题关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点，点A在x轴的正半轴上，∠COA的平分线OD交BC于点，则点C的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据四边形是OABC平行四边形，∠COA的平分线是OD，得∠CDO=∠COD，可得OC=OD，由D(2，3)和勾股定理CE2+OE2=CO2，即可得答案．
【详解】解：如上图，∵四边形是OABC平行四边形，


∴BCAO，
∴∠CDO=∠DOA，
∵∠COA的平分线是OD，
∴∠COD=∠DOA，
∴∠CDO=∠COD，
∴OC=OD，
∵D(2，3)，
∴ED=2，EO=3，
∴CE2+OE2=CO2，
CE2+32=（CE+2）2，
解得：CE= ，
∴C(-，3)，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证明OC=OD．
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题卡的相应位置上．
11. 因式分解：﹣2x2y+12xy﹣18y=______．
【答案】﹣2y（x﹣3）2
【解析】
【详解】原式=﹣2y（x2﹣6x+9）=﹣2y（x﹣3）2．
故答案为﹣2y（x﹣3）2．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．

12. 函数中，自变量的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0即可求解．
【详解】解：由题意可得： 且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13. 如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A，B两点，若再以A点为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠BOC等于______．

【答案】30°##30度
【解析】
【分析】根据作图可知为等边三角形，即得出，从而由即可求出的大小．
【详解】由作图可知，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质．根据题意判断出为等边三角形是解题关键．
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线，直线相交于点，则关于x的不等式的解集是______．

【答案】
【解析】
【分析】观察函数图像得到当x＞1时，函数的图像都在的图像下方，所以不等式−2x＋a＜bx−4的解集为x＞1．
【详解】解：当x＞1时，函数的图像都在的图像下方，所以不等式−2x＋a＜bx−4的解集为x＞1；
故答案为：x＞1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15. 如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕某点顺时针旋转得到，则旋转中心的坐标是________．

【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质确定旋转中心即可．①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前后图形全等．
详解】解：将绕某点顺时针旋转得到，
所以点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，
根据旋转的性质可知，旋转中心为点，如图，

点的坐标为，
故旋转中心为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转作图，解题的关键掌握旋转的性质，旋转作图必须具备三个重要条件：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
16. 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，交BD于点O，则BD的长为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】勾股定理求得的长，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，可得，然后勾股定理求得的长，根据即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，AD＝6，
∴，
AB＝10， AC⊥BC，


在中，

故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
三、解答题：共8小题，满分72分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．
17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】，数轴表示见解析
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】解：



∵，
∴原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，并分别平分∠ABC、∠DCB，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和等角对等边求出∠ABD＝∠ACD，OB＝OC，然后证明△ABO≌△DCO即可．
【详解】证明：∵对角线AC、BD分别平分∠ABC、∠DCB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠ACB，
∵，
∴OB＝OC，∠ABD＝∠ACD，
在△ABO和△DCO中，，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角对等边，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握基础知识是解题的关键．
20. 已知，在直角坐标系中，有A（0，3），B（2，1），C（﹣3，﹣3）三点．
（1）请在平面直角坐标系中描出各点，并画出三角形ABC；
（2）三角形ABC的面积是　 　；（直接写出结果）
（3）设BC交y轴于点P，试求P点的坐标．

【答案】（1）作图见解析；（2）9；（3）P点坐标为（0，-）．
【解析】
【分析】（1）根据A、B、C点的坐标描点，从而得到△ABc；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积得到△ABC的面积；
（3）利用S△ABC=S△ABP+S△ACP计算出AP的长，从而得到P点坐标．
【详解】解：（1）如图，△ABC为所作；

（2）S△ABC=5×6-×5×4-×2×2-×3×6=9；
故答案为9；
（3）∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴×3×AP+×2×AP=9，解得AP=，
∴OP=-3=，
∴P点坐标为（0，-）．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21. 阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成的形式，但是对于二次三项式，就不能直接应用完全平方式，我们可以在二次三项式中先加一项，使其一部分成为完全平方式，再减去项，使整个式子的值不变，于是有下面的因式分解：





仔细领会上述的解决问题的思路、方法，认真分析完全平方式的构造，结合自己对完全平方式的理解，解决下列问题：
（1）因式分解：；
（2）因式分解：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）仿照题意先配方成完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）仿照题意先配方成完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：




；
【小问2详解】
解：





．
【点睛】．本题主要考查了因式分解，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
22. 已知：如图，在四边形中，，，垂足分别为，，延长、，分别交于点，交于点，若，．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）5．
【分析】（1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；
（2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题．
【小问1详解】
证明：，，
，
∵，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在中，
，，
，
，
．
．
【点睛】本题考查了平行四边形判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
23. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【答案】（1）每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元；
（2）商场最多购进乙商品25个；
（3）共有2种方案．方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
（2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式；
（3）根据“使销售两种商品的总利润（利润=售价-进价）超过380元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
【小问1详解】
解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元，
根据题意，得，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10-2=8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
【小问2详解】
设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个．
由题意得：3y-5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
【小问3详解】
由（2）知，（12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380，
解得：y＞．
∵y整数，y≤25，
∴y=24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【点睛】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系．
24. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是和，因为，所以这个三角形是非凡三角形．
（1）判断：等腰直角三角形 _非凡三角形（填“是”或“不是”)﹔
（2）若是非凡三角形，且，则 _
（3）如图，在平行四边形中，于点，且是非凡三角形，求的值．

【答案】（1）是；（2）；（3）或．
【分析】（1）令等腰直角三角形的三个边分别为，，，由可知等腰直角三角形是非凡三角形；
（2）根据非凡三角形定义及三角形三边关系求出即可；
（3）根据四边形是平行四边形，得出，由是非凡三角形，分情况计算的值即可．
【详解】解：（1）令等腰直角三角形的三个边分别为，，，
，
等腰直角三角形是非凡三角形，
故答案为：是；
（2）是非凡三角形，，
∴当时，
则，
∴，
当时，
则，
∴，
当时，
则，
∴（显然不符合题意，舍去），，，
，
∴符合题意；不符合题意，舍去，
故答案为：；
（3）四边形是平行四边形，
，，
又，
垂直平分，
，
是非凡三角形，
∴①当时，
则，
（舍负），
，
在中，，
；
②当时，
则，
（舍负），
，
在中，，
；
③当时，
则，
（舍负），
，
在中，，
；
综上所述，AC的值为或．