2023年河南省新乡市辉县市冠英中学、百泉中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省新乡市辉县市冠英中学、百泉中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，绝对值最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  锂是一种银白色、质软、密度最小的金属，锂原子的半径为，已知，则锂原子的半径用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列不是正方体展开图的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列各式中，运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知在平面直角坐标系中，点关于坐标原点对称的点位于第一象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列说法中正确的是(    )

A. 某项比赛中，强队战胜弱队是必然事件
B. 神舟十四号飞船发射前的零件检查，选择抽样调查方式
C. 掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为的概率是
D. 数据，，，的方差比数据，，，的方差大

7.  已知方程在中添加个合适的数字，使该方程没有实数根，则添加的数字可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  我们知道，五边形具有不稳定性．正五边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，固定边，将正五边形向右推，使点，，共线，且点落在轴上，如图所示，则此时点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点为点的“纵变点”例如：点的“纵变点”为，点的“纵变点”为若点在直线上，点的“纵变点“在第三象限，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分式方程的解是______ ．

12.  如图，，，则的度数为______ ．

13.  将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为，则的值为______ ．

14.  如图，在矩形中，，点为的中点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，若点为的中点，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  在中，，有一个锐角为，，点为的中点，连接，则点到中线的距离为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简．

17.  本小题分
在“中国航天日”来临之际，某校开展以“航天点亮梦想”为主题的知识测试满分：分测试完成后，在九班和九班各抽取了名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息：
九班名同学的测试成绩统计如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
九名同学的测试成绩统计如图所示：
其中，九班名同学的测试成绩高于，但不超过分的成绩为：，，，，，．
九班和九班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：

根据以上信息可以求出： ______ ， ______ ；
你认为九、九两个班哪个班的学生测试成绩较好，请说明理由理由写出一条即可；
若该校九年级有人，规定分以上为优秀，请估计该校参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人？

18.  本小题分
中岳庙，位于河南省登封市嵩山南麓，是五岳中现存规模最大，保存较完整的古建筑群，同时也是河南省规模最为巨大、最完整的古代建筑群，中岳庙的中轴线是条由青石板铺成的大甭道，沿中轴线从南向北，由低而高，依次为中华门、遥参亭、天中阁、配天作镇坊、祟圣门、化三门、峻极门、嵩高峻极坊、峻极殿、中岳寝殿、御书楼，某数学兴趣小组通过所学知识测量中岳庙中轴线的长他们把测量中岳庙中轴线的长作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，他们在中岳庙正后方山上点处用测角仪测得点中华门的俯角为，测得点御书楼的俯角为已知点的高度为了减小测量误差，小组在测量两个俯角的度数时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表不完整．

任务一：表中 ______ ， ______ ；
任务二：请你帮小组的同学求出中岳庙中轴线的长；结果精确到，参考数据，，
，
任务三：已知中岳庙的中轴线的实际长度为试分析数学兴趣小组测量数据不准确的原因写出一条即可
 

19.  本小题分
教材呈现如图是人教版九年级上册第页部分内容：

【定理应用】如图，四边形为圆内接四边形，是的直径，过点作的切线，与的延长线交于点平分，求证：∽．
拓展应用如图，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰直角三角形，点是的中点，连结若，求的面积．

 

20.  本小题分
北京冬奥会之所以能够开启全球冰雪运动新时代，关键在于中国通过筹办冬奥会和推广冬奥运动，让冰雪运动进入寻常百姓家，某校组建了一个滑雪队，现队长需要购买一些滑雪板，经了解，现有、两种滑雪板若购进种滑雪板副，种滑雪板副，需要元；若购进种滑雪板副，种滑雪板副，需要元．
求购进、两种滑雪板的单价；
若该滑雪队决定拿出万元全部用来购进这两种滑雪板，要求购进种滑雪板的数量不少于种滑雪板数量的倍，且购进种滑雪板数量不少于副，那么该校共有几种购买方案？

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点．
求抛物线的解析式及点的坐标；
设点为抛物线上一点，当时，，求代数式的值．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限的图象经过，两点，．
求，两点的坐标；
请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；要求：不写作法，保留作图痕迹
线段、分别与中所作的垂直平分线相交于点、若点为轴上一动点求的最小值．

23.  本小题分
教材呈现如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．

定理证明请根据教材内容，结合图，写出证明过程．
定理应用如图，在矩形中，，点为的中点，点为边上一动点，点为的中点，连结、、．
当时，与的数量关系是______ ，的值为______ ；
如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点在上，，点是的中点，连接交于点，若点为的中点，，连接．
求的度数；
直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
绝对值最小的数是．
故选：．
直接利用绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可得：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图，所以选项D不是正方体的展开图．
故选：．
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
此题主要考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
 

4.【答案】 

【解析】解：．与不是同类二次根式，选项不符合题意；
B.原式，故不符合题意；
C.原式，故不符合题意；
D.原式，故符合题意．
故选：．
结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式等运算，然后选择正确选项．
本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算法则是解答本题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点关于坐标原点对称的点位于第一象限，
点在第三象限，由第三象限内点的坐标特点，横坐标、纵坐标都为负数，
，
解得：．
故选：．
直接利用关于原点对称点的性质得出点位置，再结合第三象限内点的坐标特点得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、某项比赛中，强队战胜弱队是随机事件，此选项错误，不符合题意；
B、神舟十四号飞船发射前的零件检查，选择抽样调查方式，此选项错误，不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为的概率是，此选项错误，不符合题意；
D、数据，，，比数据，，，波动大，故前者的方差比后者大，选项符合题意．
故选：．
根据随机事件的定义，全面调查与抽样调查的定义，概率公式以及方差的定义解答即可．
本题考查了随机事件的定义，全面调查与抽样调查的定义，概率公式以及方差的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义以及公式．
 

7.【答案】 

【解析】解：设中添加的数字为，
根据题意得且，
解得且，
所以只有符合条件．
故选：．
设中添加的数字为，利用根的判别式的意义得到且，解不等式组得到的取值范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，设每个小三角形的面积为，

则阴影的面积为，正六边形的面积为，
将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为．
故选：．
如图，将整个图形分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图中，连接．

，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，关于对称，

故选：．
如图中，连接求出点的坐标，证明四边形是菱形，推出，关于对称，可得结论．
本题考查正多边形与圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：点在第三象限，
，，
点的坐标为．
点在直线上，
，
，
，
，
，
又，
．
故选：．
由点在第三象限，可得出，，结合“纵变点”的定义，可得出点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，结合，可求出，再结合，即可得出．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“纵变点”的定义及点在第三象限，求出的取值范围是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当，时，，
是原方程的解．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：延长交于点，如图，

是的外角，，
，
，
，
是的外角，
．
故答案为：．
延长交于点，由三角形的外角性质可求得的度数，再次利用三角形的外角性质即可求．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
 

13.【答案】 

【解析】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式为：，
得到的抛物线的函数表达式为，
，
解得．
故答案为：．
根据二次函数图象平移的法则解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接交于点，
四边形是矩形，
，
点为的中点，点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
连接交于点，根据矩形的性质、结合中点的定义可得，进而证得≌，即可得，得出，利用扇形面积公式计算即可得出答案．
本题主要考查扇形面积的计算和矩形性质，解题关键是将不规则面积转化成规则面积．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，当时，作于，
在中，，，
，
，
点为的中点，
，
，
的面积，
，
；
如图，当时，作于，
在中，，，
，
，
点为的中点，
，
，
的面积，
，
．
点到中线的距离为或．
故答案为：或．
分两种情况，由直角三角形的性质求出，长，得到长，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式即可解决问题．
本题考查勾股定理，含角的直角三角形，三角形的面积，关键是要分两种情况讨论．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】首先求出立方根，然后利用零指数幂的意义，负整数指数幂的意义化简运算即可；
根据分式的运算法则化简即可．
本题主要考查了实数运算，分式的化简，掌握正确化简各数及进行分式运算是解题关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：由直方图可知，九班的测试成绩个数据按从小到大的顺序排列，第、个数分别为，，
则九班的数据的中位数，
即，
甲班的众数；
故答案为：，；

根据以上数据，九的学生的测试成绩较好，
理由：两个年级的平均成绩一样，而九班的中位数、众数均高于九班，说明就班的学生测试成绩较好；

根据题意得：人，
答：估计该校参加此次测试的学生中优秀的学生有人．
根据中位数和众数的定义即可得出答案；
从中位数和众数两个方面进行分析，即可得出答案；
用总人数乘以测试的学生中优秀的学生所占的百分比即可．
本题考查了数据的分析，具体有求中位数、众数，用数据分析比较，用样本估计总体等知识点，数据的准确分析是解题关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：任务一：，，
故答案为：，；
任务二：由题意得：，
，，
在中，米，
米，
在中，米，
米，
中岳庙的中轴线的长约为米；
任务三：数学兴趣小组测量数据不准确的原因：测角仪摆放不平衡答案不唯一．
任务一：根据算术平均数的计算方法，进行计算即可解答；
任务二：根据题意可得：，从而可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
任务三：从测量步骤中需要注意的事项考虑，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】【定理应用】证明：如图，连接，

为的切线，
，
平分，
，
又，，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
四边形为圆内接四边形，
，
；
拓展应用解：如图，连接，过点作于点，

是等边三角形，点是的中点，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
、、、在以为直径的圆上，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】【定理应用】连接，由切线的性质得出，证出，，由相似三角形的判定可得出结论；
拓展应用连接，过点作于点，证明、、、在以为直径的圆上，由等边三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．
 

20.【答案】解：设购进种滑雪板的单价是元，种滑雪板的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进种滑雪板的单价是元，种滑雪板的单价是元；
设该校购进副种滑雪板，则购进副种滑雪板，
根据题意得：，
解得：，
又，均为正整数，
可以为，，，，，
该校共有种购买方案． 

【解析】设购进种滑雪板的单价是元，种滑雪板的单价是元，根据“购进种滑雪板副，种滑雪板副，需要元；购进种滑雪板副，种滑雪板副，需要元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该校购进副种滑雪板，则购进副种滑雪板，根据“购进种滑雪板的数量不少于种滑雪板数量的倍，且购进种滑雪板数量不少于副”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可求出的取值范围，结合，均为正整数，即可得出该校共有种购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

21.【答案】解：抛物线与轴交于，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得：，
点的坐标为；
，
抛物线开口向下，顶点坐标为，
时，取最大值为，
当时，得：，
当时，得：，
当时，，
，．
． 

【解析】利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，令，解方程即可求得点的横坐标；
配方法求得抛物线的顶点坐标，得到时，取最大值为；分别求得和时的值，结合函数图象解答即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图形与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：反比例函数的图象经过，两点，
，
解得负值舍去，
，
，
解得负值舍去，
，
；
如图，直线即为所求；
如图，过点作轴于点，
，
，，
在中，
垂直平分，
，，
分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点，，
，，，
设，，
在中，，
即，
解得负值舍去，
，
，，
作点关于轴的对称点，
则，
连接，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，
过点作轴，交的延长线于点，
点的横坐标为，，
，
，
，
点到轴的距离为，
，
，
在中，． 

【解析】根据反比例函数的图象经过，两点，列方程，解方程即可得到；
如图，根据线段垂直平分线的作法作出图形即可；
如图，过点作轴于点，根据勾股定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，分别过点、作轴的垂线，设，，在中，根据勾股定理得到，，作点关于轴的对称点根据轴对称的性质得到，连接，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，过点作轴，交的延长线于点，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，求点的坐标，勾股定理，轴对称的性质，基本作图，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】  

【解析】定理证明证明：如图，

延长至，使，
是的中点，
，
，
≌，
，，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
；
定理应用
点是得中点，是的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
▱是矩形，
，，
，
，
，
，
；
如图，

连接，
由定理可得：，，
，
，
是的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
如图，

连接，作于，
设，则，，
在中，，，
，，
在中，，由勾股定理得，
，
．
定理证明延长至，使，可证得≌，从而，，进而推出四边形是平行四边形，进一步得出结论；
定理应用可证明点是的中点，进而得出四边形是矩形，进一步得出结果；
连接，可证明是等边三角形，进一步得出结果；
连接，作于，设，则，，解表示出，进而解求得的值，进一步得出结果．
本题考查了三角形的中位线定理证明和运用，平行四边形的性质，矩形的判定，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，利用三角形中位线定理．