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2023郴州高一下学期期末数学试题含答案
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这是一份2023郴州高一下学期期末数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卡，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
郴州市2023年上学期期末教学质量监测试卷
高一数学
（试题卷）
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共6页，有四道大题，共22道小题，满分150分.考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名､准考证号和科目.
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数满足（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一780人､高二600人､高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高一被抽取的人数为13人，则等于（ ）
A.660 B.720 C.780 D.800
3.若一个圆锥的轴截面是一个底边长是2，腰长为的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A. B. C.2 D.4
4.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列四个说法中正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
5.“网红”打卡地高椅岭，位于郴州苏仙区飞天山高椅岭村，丹霞奇景集聚凸显，被称之为“被上帝遗忘的地方”.如图1是高椅岭最高峰美丽坦，下面是登云天梯.现测量美丽坦的高度时，选取了与美丽坦底部在同一平面内的两个测量基点与，测得，在点测得该美丽坦顶端的仰角为，则美丽坦的高度约为（ ）（参考数据：取）
A. B. C. D.
6.已知，且的夹角是，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在中，，过点的直线交射线于点，交于点，若，则的最小值为（ ）
A.3 B. C. D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.）
9.已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A.的紱部是 B.
C.的共轭复数是 D.
10.下列说法正确的是（ ）
A.从容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取抽签法抽样､随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，则
B.若，则事件与事件相互独立
C.一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D.设是两个随机事件，且，则
11.在中，角的对边分别为，则（ ）
A.若，则为直角三角形
B.若符合条件的有一个，则
C.若，则
D.若，则为等腰三角形
12.如图，在正方体中，点分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.在平面内存在直线与平面平行
B.在上存在点，使得与平面所成的角为
C.若点是的中点，点是线段上的动点，则三棱锥的体积是定值
D.过点的截面与正方体的面的交线组成的图形是五边形
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，第16题第一问2分第2问3分，共20分.）
13.数据24，11，12，13，15，14.17，18，20，10的第60百分位数是____________.
14.在平行四边形中，为的靠近的三等分点，若，且，则____________.
15.某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了获取学生身高信息，采用男､女按比例分配分层抽样的方法抽取样本50人，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为20，女生样本的均值为160，方差为30，据此估计该校高一年级学生身高的总体方差为____________.
16.已知四棱锥的各个顶点都在球的表面上，平面，底面是等腰梯形，，（1）四棱锥的外接球的表面积为____________（2）若是线段上一点，且.过点作球的截面，所得截面圆面积的最小值为____________.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.已知向量，且.
（1）求及与的夹角的余弦值；
（2）若与垂直，求实数的值.
18.如图，在四棱锥中，平面底面，底面为正方形，为的中点，为的中点.
（1）证明：底面；
（2）已知，二面角的平面角为，求四棱锥的体积.
19.在锐角中，内角所对的边分别为，若满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
20.为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有梆州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；
（2）用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率；
（3）学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军.已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由.
21.已知函数.
（1）如图，在中，角的对边分别为，点为的中点.当时，分别等于的最小值､最大值，且，求的长.
（2）当时，关于的方程有三个不同的解，求实数的取值范围.
22.如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿翻折到沿翻折到
（1）求证：平面平面；
（2）若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值.
郴州市2023年上学期期末教学质量监测试卷高一数学
参考答案及评分细则
（命题人：安仁一中 李洪华 资兴市立中学 黄永行 临武一中 白玉龙
审题人：郴州一中 王俊超 郴州二中 曾小丽 郴州市教科院 汪昌华）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1-5ABCDA 6-8CAB
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.）
9.BD 10.AB 11.AC 12.ACD
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，第16题第一问2分第2问3分，共20分.）
13.16 14. 15.48 16.；
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.解：（1）因为向量
所以
即解得，所以
（2）由（1）知，故，故
因为与垂直，所以，解得.
18.（1）连接，在中，为的中点，为的中点，所以
又底面底面，所以底面；
（2）取的中点，连接，
因为，
所以，又平面底面，平面底面平面，
所以底面，所以，
因为底面为正方形，所以，又，所以平面，
是二面角的平面角，
，又为正三角形，，
所以，
即四棱锥的体积为.
19.（1）由余弦定理得
即：，则
所以得又，所以
（2）由正弦定理：得，
又，故
是锐角三角形，则，
因此，，
故.
20.（1）由，所以这次知识能力测评的平均
数为84.5
（2）依题意，设区间中应抽人，区间中应抽人，得
成绩在区间样本中的学生人数为；
成绩在区间样本中的学生人数为：；
所以，解得，
所以区间中应抽1人，区间中应抽3人.
不妨记区间中1人为，区间中人为，
则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为
共12件，
其中第二个交流分享的学生成绩在区间（记为事件A）的基本事件为，共3件，
故，即第二个交流分享的学生成绩在区间的概率为
（3）因为，解得.
甲得2分的概率，
甲得3分的概率所以甲得2分或3分的概率，那
么乙得2分或3分的概率为
所以甲获得最终胜利的可能性大.
21.（1）由题意得，
当时，
的值域是
或或
当时，；
当时，.
（2）由得，或.
函数的图象如下：
由图可知，有一解，即，
有两解，即函数与有两个
不同的交点，
22.（1）因为是正方形，，
面.
又平面平面平面
（2）设在面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角.
设，则.
.
在中，，
.
可得
令
函数在递减，
郴州市2023年上学期期末教学质量监测试卷
高一数学
（试题卷）
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共6页，有四道大题，共22道小题，满分150分.考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名､准考证号和科目.
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数满足（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一780人､高二600人､高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高一被抽取的人数为13人，则等于（ ）
A.660 B.720 C.780 D.800
3.若一个圆锥的轴截面是一个底边长是2，腰长为的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A. B. C.2 D.4
4.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列四个说法中正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
5.“网红”打卡地高椅岭，位于郴州苏仙区飞天山高椅岭村，丹霞奇景集聚凸显，被称之为“被上帝遗忘的地方”.如图1是高椅岭最高峰美丽坦，下面是登云天梯.现测量美丽坦的高度时，选取了与美丽坦底部在同一平面内的两个测量基点与，测得，在点测得该美丽坦顶端的仰角为，则美丽坦的高度约为（ ）（参考数据：取）
A. B. C. D.
6.已知，且的夹角是，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在中，，过点的直线交射线于点，交于点，若，则的最小值为（ ）
A.3 B. C. D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.）
9.已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A.的紱部是 B.
C.的共轭复数是 D.
10.下列说法正确的是（ ）
A.从容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取抽签法抽样､随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，则
B.若，则事件与事件相互独立
C.一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D.设是两个随机事件，且，则
11.在中，角的对边分别为，则（ ）
A.若，则为直角三角形
B.若符合条件的有一个，则
C.若，则
D.若，则为等腰三角形
12.如图，在正方体中，点分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.在平面内存在直线与平面平行
B.在上存在点，使得与平面所成的角为
C.若点是的中点，点是线段上的动点，则三棱锥的体积是定值
D.过点的截面与正方体的面的交线组成的图形是五边形
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，第16题第一问2分第2问3分，共20分.）
13.数据24，11，12，13，15，14.17，18，20，10的第60百分位数是____________.
14.在平行四边形中，为的靠近的三等分点，若，且，则____________.
15.某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了获取学生身高信息，采用男､女按比例分配分层抽样的方法抽取样本50人，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为20，女生样本的均值为160，方差为30，据此估计该校高一年级学生身高的总体方差为____________.
16.已知四棱锥的各个顶点都在球的表面上，平面，底面是等腰梯形，，（1）四棱锥的外接球的表面积为____________（2）若是线段上一点，且.过点作球的截面，所得截面圆面积的最小值为____________.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.已知向量，且.
（1）求及与的夹角的余弦值；
（2）若与垂直，求实数的值.
18.如图，在四棱锥中，平面底面，底面为正方形，为的中点，为的中点.
（1）证明：底面；
（2）已知，二面角的平面角为，求四棱锥的体积.
19.在锐角中，内角所对的边分别为，若满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
20.为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有梆州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；
（2）用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率；
（3）学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军.已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由.
21.已知函数.
（1）如图，在中，角的对边分别为，点为的中点.当时，分别等于的最小值､最大值，且，求的长.
（2）当时，关于的方程有三个不同的解，求实数的取值范围.
22.如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿翻折到沿翻折到
（1）求证：平面平面；
（2）若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值.
郴州市2023年上学期期末教学质量监测试卷高一数学
参考答案及评分细则
（命题人：安仁一中 李洪华 资兴市立中学 黄永行 临武一中 白玉龙
审题人：郴州一中 王俊超 郴州二中 曾小丽 郴州市教科院 汪昌华）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1-5ABCDA 6-8CAB
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.）
9.BD 10.AB 11.AC 12.ACD
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，第16题第一问2分第2问3分，共20分.）
13.16 14. 15.48 16.；
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.解：（1）因为向量
所以
即解得，所以
（2）由（1）知，故，故
因为与垂直，所以，解得.
18.（1）连接，在中，为的中点，为的中点，所以
又底面底面，所以底面；
（2）取的中点，连接，
因为，
所以，又平面底面，平面底面平面，
所以底面，所以，
因为底面为正方形，所以，又，所以平面，
是二面角的平面角，
，又为正三角形，，
所以，
即四棱锥的体积为.
19.（1）由余弦定理得
即：，则
所以得又，所以
（2）由正弦定理：得，
又，故
是锐角三角形，则，
因此，，
故.
20.（1）由，所以这次知识能力测评的平均
数为84.5
（2）依题意，设区间中应抽人，区间中应抽人，得
成绩在区间样本中的学生人数为；
成绩在区间样本中的学生人数为：；
所以，解得，
所以区间中应抽1人，区间中应抽3人.
不妨记区间中1人为，区间中人为，
则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为
共12件，
其中第二个交流分享的学生成绩在区间（记为事件A）的基本事件为，共3件，
故，即第二个交流分享的学生成绩在区间的概率为
（3）因为，解得.
甲得2分的概率，
甲得3分的概率所以甲得2分或3分的概率，那
么乙得2分或3分的概率为
所以甲获得最终胜利的可能性大.
21.（1）由题意得，
当时，
的值域是
或或
当时，；
当时，.
（2）由得，或.
函数的图象如下：
由图可知，有一解，即，
有两解，即函数与有两个
不同的交点，
22.（1）因为是正方形，，
面.
又平面平面平面
（2）设在面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角.
设，则.
.
在中，，
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可得
令
函数在递减，
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