精品解析：安徽省滁州市南片五校中考二模数学试卷

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中考第二次模拟试卷数学
一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的概念，乘积为的两个数互为倒数，由此即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：．
【点睛】本题主要考查求一个数的倒数，掌握倒数的概念是解题的关键．
2. 据统计，地球上的海洋面积约为361 000 000，该数字用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的一般形式为：a×10n，在本题中a应为3.61，10的指数为9﹣1=8．
【详解】解：361 000 000=3.61×108，即n=8．
故答案为C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图，分别是从上面、正面、左面看某立体图形得到的平面图形，则该立体图形是下列的（ ）

A. 长方体 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱
【答案】D
【解析】
【分析】根据三视图的概念判断选择即可．
【详解】根据三视图的意义，该立体图形是三棱柱．
故选：D．
【点睛】此题考查了三视图，解题的关键是熟悉三视图的概念．
4. 计算的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照积、幂的运算法则直接求解即可得到答案．
【详解】
=
=
故选：C．
【点睛】本题考查幂、积的乘方运算，解题的关键是掌握幂、积的乘方运算法则．
5. 如图，已知，平分，，．若，给出下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】解析：（已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴
∴即平分
∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴，
∴
，，所以④错误；
故答案为：C．
6. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D均在坐标轴上，，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿→→→方向匀速循环前行，当机器人前行了时，其所在位置的点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意易证四边形是菱形，结合勾股定理可求出，即说明智能机器人从点A出发沿→→→方向回到点A运动一圈所走路程是16个单位长度，需要．进而得出第2023秒时智能机器人在边上，且距离点D有3个单位长度，距离点C有1个单位长度．设第2023秒时，智能机器人在处，过点P作于点H，易证，得出，代入数据可求出，，进而可求出，即得出智能机器人所在点P的坐标为．
【详解】解：∵点A、B、C、D均在坐标轴上，，，，，
∴．
∵，
∴四边形是菱形，
∴．
在中，，
∴菱形的周长，即智能机器人从点A出发沿→→→方向回到点A运动一圈所走路程是16个单位长度，需要．
∵，
∴第2023秒时智能机器人在边上，且距离点D有3个单位长度，距离点C有1个单位长度．
设第2023秒时，智能机器人在处，如图，过点P作于点H，

∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴智能机器人所在点P的坐标为．
故选C．
【点睛】本题考查点坐标规律探索，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质等知识．理解第2023秒时智能机器人在边上，且距离点D有3个单位长度，距离点C有1个单位长度和正确作出辅助线是解题关键．
7. 如图，中，，，，点在线段上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作，垂足为点，则线段的长为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】连接，，证明，得到，得到，列出比例式计算即可．
【详解】连接，，
∵，
∴，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握两个性质是解题的关键．
8. 某中学开展校徽设计评比．七、八年级分别设计了1个作品，九年级共设计了2个作品．如果不考虑其他因素，从这四个作品中随机选取两个供全校投票选择，则选中的2个作品来自不同年级的概率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：设七、八年级的作品为九年级的作品为，列表如下，

























共有12种等可能结果，其中符合题意的有10种，
则选中的2个作品来自不同年级的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象经过（ ）

A. 第一、二象限 B. 第二象限 C. 第三、四象限 D. 第三象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可得，，以此可得到抛物线的顶点坐标在第三象限，再根据二次函数的二次系数即可判断函数图象经过的象限．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象的顶点在第三象限，
二次函数的二次项系数小于，
二次函数的图象开口朝下，
二次函数的图象经过第三、四象限．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，根据一次函数的图象得出、的大小，以此确定出抛物线的顶点坐标所在象限是解题关键．
10. 如图，已知，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠，使点C与点E恰好重合，下列结论：①，②点E到的距离为3，③，④四边形是菱形．其中正确的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】①设，由折叠得：，根据勾股定理即可求得；
②过作，，用角平分线的性质定理即可求解；
③由①得：，即可求解；
④连接交于，可证出，从而可得证．
【详解】①，，
，
设，则有，
由折叠得：
在中
，
，
解得：，
．
故此项错误．
②如图，过作，，

由①得：平分，
，
平分，

，
点E到的距离为．
故此项错误．
③由①得：
．
故此项正确．
④如图，连接交于，

由①②得，，，
垂直平分，
，
在和中
，
，
，
，
四边形是菱形．
故此项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握相关的判定方法及性质，折叠问题的典型解法是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 关于的方程的解为正数，则a的取值范围为________．
【答案】且
【解析】
【分析】方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，它的解为含有a的式子，解为正数且最简公分母不为零，得到关于a的一元一次不等式，解之即可．
【详解】方程两边同乘(x−1)得：2−(5-a)=-2(x−1)
解得：x=
∵x>0且x−1≠0，
∴
解得：a<5且a≠3
故答案为：a<5且a≠3
【点睛】本题考查了分式方程解的定义，求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于零的未知数的值，这个值叫分式方程的解，考查了一元一次不等式组的解法，求解每个不等式，再求两个不等式解集的公共部分即可．
12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别方法列出关于m的不等式，即可解得答案．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
∵，
∴；
∴的取值范围是：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根．
13. 如图，A是双曲线（）上的一点，M是线段上的点，，过点M作x轴的垂线，垂足为B，交双曲线于点C，则的面积是_____．

【答案】18
【解析】
【分析】过点作轴于点，轴于点，交于点，证明，由相似三角形性质可求出，进一步求出，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点作轴于点，轴于点，交于点，则四边形是矩形，如图，

∴，
设，
∴
轴，
，



，
即，


∵
∴
，
故答案为：18
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，求出的长是解答本题的关键．
14. 如图，在菱形中，，，点为边上一点，且，在边上存在一点，边上存在一点，线段平分菱形的面积，则周长的最小值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，作点关于直线的对称点，连接、、、，交的延长于点，过点作交的延长线于点，根据线段平分菱形的面积，利用菱形的性质，锐角三角函数及梯形的面积可得出，，再证明四边形是矩形，可得以，，再由对称的性质将周长的最小值转化为，此时为的斜边，最后利用锐角三角函数和勾股定理求解即可．
【详解】解：过点作于点，作点关于直线的对称点，连接、、、，交的延长于点，过点作交的延长线于点，
∴，，
∵在菱形中，，，
∴，
，
，，，
∴，
∵线段平分菱形的面积，，
∴梯形的面积为：，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
∴，，
∵点与点关于直线对称，
∴，，，，
∴周长为：


，
即当点、、三点共线时，此时周长取最小值，此时为的斜边，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
在中，，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：．

【点睛】本题考查轴对称—最短路径，菱形的性质，锐角三角函数，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，三角形三边关系，勾股定理，菱形和梯形的面积等知识点．解题的关键是将三角形周长的最小值转化为两点之间线段最短的问题．
三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）计算：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据非零数的零次幂的运算，三角函数值，负指数幂的运算，二次根式的化简即可求解；
（2）根据不等式的性质，解一元一次不等式组的方法即可求解．
【详解】解：（1）

；
（2）
解不等式，得，解不等式，得，
∴不等式组的解集是．
【点睛】本题主要考查实数运算与解不等式组的综合，掌握实数的运算法则，解不等式组的方法，不等式组的取值方法是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．

（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出平移后的图形．
（2）求的面积．
（3）若点是轴上的一个动点，则的最小值为　　，此时点的坐标为　　．
【答案】（1）见解析 （2）3
（3）；
【解析】
【分析】（1）利用点和点坐标得到平移的规律，然后利用此规律写出的坐标和的坐标，然后描点即可得到为所作；
（2）利用割补法求解即可；
（3）作点关于轴的对称点为，连接交轴于点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时最小，然后利用待定系数法法求出直线的解析式，再计算出自变量为0对应的函数值即可得到点坐标．
【小问1详解】
解：平移后，
，；如图：
【小问2详解】
面积；
【小问3详解】
作点关于轴对称点为，连接交轴于点，如图，根据最短路径可知，
设直线的解析式为，
把，代入得，，
解得，，
所以直线的解析式为，
当时，，解得，
此时点坐标为，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了作图-平移变换，确定平移后图形的基本要素是平移方向，平移距离，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
17. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
【答案】（1）20%；（2）能
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)2，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可；
（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可．
【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x．
根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
18. 观察下列图形和其对应的等式：

根据以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个图形对应的等式是__________．
（2）第个图形对应的等式是__________（用含的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据图形规律，写出第5个图形对应的等式即可求解；
（2）根据前几个等式的规律，写出第个图形对应的等式即可求解．
【小问1详解】
解：写出第5个图形对应的等式是
【小问2详解】
解：；
证明：右边左边，
所以等式成立．
【点睛】本题考查了图形类规律题，整式的乘法与因式分解，找到规律是解题的关键．
19. 如图，、是中两条互相垂直的直径，垂足为O，E为上一点，连接交于点M，过点E作的切线，分别交、的延长线于F、G．

（1）求证：；
（2）若的半径为6，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，由，可得，，由是的切线，可得，由，可知，进而可得，，进而结论得证．
（2）由（1）知，，在中，由勾股定理得，根据求的值，在中，由勾股定理得，计算求解即可．=
【小问1详解】
证明：如图，连接，

∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）知，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20. 如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，米；

（1）求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；
（参考数据：，，）．
（2）原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？
【答案】（1）1200米
（2）原计划单向开挖每天挖100米
【解析】
【分析】（1）由题意易得，然后根据三角函数可进行求解；
（2）设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得方程，然后求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，米，
∴米；
答：隧道两端B、C之间的距离为1200米．
【小问2详解】
解：设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解且满足题意，
答：原计划单向开挖每天挖100米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形及分式方程的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
21. 2023年3月22日，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座03-06星发射升空，发射任务取得圆满成功．某中学为了提高学生对航天的认识，在全校开展了主题为“弘扬航天精神”的知识竞赛活动．为了解本次知识竞赛成绩的分布情况，学校从参赛学生中随机抽取了100名学生的竞赛成绩进行统计，发现所有学生的成绩（满分100分）均不低于50分，并绘制了如下的统计表．
组别
分数段（成绩为x分）
频数
组内学生的平均竞赛成绩/分
A

6
55
B

20
65
C

34
75
D

20
82
E

20
95
请你根据统计表解答下列问题：
（1）这100名学生的竞赛成绩的中位数落在___________组；
（2）求这100名学生的平均竞赛成绩；
（3）若竞赛成绩在90分以上（包括90分）的可以获得“航天知识标兵”荣誉称号，估计该校参加这次竞赛的1000名学生中可以获得“航天知识标兵”荣誉称号的有多少人？
【答案】（1）C （2）这100名学生的平均竞赛成绩为77.2分
（3）估计该校参加这次竞赛1000名学生中可以获得“航天知识标兵”荣誉称号的有200人
【解析】
【分析】（1）根据中位数的概念即可求解；
（2）求出总分数，再除以100，即可求解；
（3）先求出100名学生中获取“航天知识标兵”荣誉称号的百分比，再乘以1000，即可求解．
【小问1详解】
100名同学，取最中间的两个人，即第50名和第51名，A组和B组的人数和为26人，A组、B组和C组的人数和为60人，所以100名学生的竞赛成绩的中位数落在C组；
【小问2详解】
（分）．
答：这100名学生的平均竞赛成绩为77．2分．
【小问3详解】
（人）．
答：估计该校参加这次竞赛的1000名学生中可以获得“航天知识标兵”荣誉称号的有200人．
【点睛】本题考查中位数的定义，求平均数，利用样本估计总体，解题的关键是认真分析表格，才能作出正确判断．
22. 如图1，已知等边的边长为1，D、E、F分别是、、边上的点（均不与点A、B、C重合），记的周长为．

（1）若D、E、F分别是、、边上的中点，则=_______；
（2）若D、E、F分别是、、边上任意点，则的取值范围是_______．
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将以AC边为轴翻折一次得，再将以为轴翻折一次得，如图2所示． 则由轴对称的性质可知，，根据两点之间线段最短，可得． 老师听了后说：“你的想法很好，但的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质即可求得答案；
（2）根据翻折变换的性质将翻折5次，再利用梯形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵等边的边长为1，
∴，
∵D、E、F分别是、、边上的中点，
∴，，，
∴的周长为；
【小问2详解】
解：
根据题意与由轴对称的性质可知，，
∵与分别是与的中点时、、、共线，
∴当与分别是与的中点时，p最小值为：，
∵，
∴p的取值范围是：．
【点睛】此题考查了三角形与梯形中位线的性质，以及翻折变换的性质．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用．
23. 如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为，最大宽度为，现计划将此余料进行切割．

（1）如图，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式．
（2）如图，若切割成矩形，求此矩形的最大周长．
（3）若切割成宽为的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）
（3）见解析，
【解析】
【分析】（1）根据已知可得抛物线顶点坐标为，，，再设抛物线对应的函数表达式为，把代入，可求出，即可得出抛物线的函数表达式；
（2）在矩形中，设，由抛物线的对称性可知，所以矩形的周长为，由于，且，当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
（3）如图是画出的切割方案，分别令，，，，即可求出，，，再加起来即为拼接后的矩形的长边长．
【小问1详解】
解：根据已知可得，抛物线顶点坐标为，，，
设抛物线对应的函数表达式为，
把代入，得，解得，
∴木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：在矩形中，设，
由抛物线的对称性可知，
∴矩形的周长为．
∵，且，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为，
即矩形的最大周长为．
小问3详解】
解：如图是画出的切割方案：

∵在中，令，解得，
∴；
∵在中，令，解得，
∴；
∵在中，令，解得，
∴；
∵在中，令，解得，
∴，
∴拼接后的矩形的长边长为．
【点睛】本题考查了求二次函数的表达式和二次函数的图象和性质，熟练应用二次函数的图象和性质是解答本题的关键．