八年级下学期期末数学试题 (2)

这是一份八年级下学期期末数学试题 (2)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
第二学期双减自查评估
八年级数学
（考试时间：100分钟，满分：135分，请把答案填涂在答题卡上）
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，没有平方根的是（ ）
A. 65 B. C. D.
2. 计算－的结果是( )
A. 6 B. C. 2 D.
3. 下列说法中，正确的有（ ）
①正比例函数一定是一次函数；
②一次函数一定是正比例函数；
③速度一定，路程s是时间t的一次函数；
④圆的面积是圆的半径r的正比例函数.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度量是（ ）．
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 频率
5. 如图在平行四边形中，已知，若的周长为，则平行四边形的周长为（ ）

A. B. C. D.
6. 一支蜡烛长20cm，若点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩余的长度y（cm）与燃烧时间x（时）之间的函数关系的图象大致为（如图）（　　）
A. B.
C. D.
7. 如图，在等腰梯形中，，、相交于点O，则图中全等三角形共（ ）

A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
8. 若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 如图，点A的坐标为，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）

A. B. C. D.
10. 如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形面积是13，小正方形面积是1，直角三角形两条直角边长分别为a、b，则的值是（ ）

A. 4 B. 5 C. 12 D. 1
二、填空题（本大题5题，每小题3分，共15分）
11 平行四边形中，，则________°.
12. 成立的条件是___________________.
13. 已知一次函数图象过（1，2）且y随x的增大则减小，请写出一个符合条件的函数解析式______.
14. 已知样本中各数据、…与样本平均数的差的平方和是：，则样本方差______．
15. 如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为______．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16. 当自变量取何值时，函数与的值相等？这个函数值是多少？
17. 某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：
环数
6
7
8
9
人数
1
5
2

（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是 ，中位数是 ．
（2）这10名学生的平均成绩为 ．
（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有 是优秀射手．
18. 如图，从正方形中载去两个面积分别为和的正方形和，求留下部分的总面积．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，是等腰三角形，．

（1）利用直尺和圆规作边上的中线（不写做法，保留作图痕迹）；
（2）延长到D，使，连接，．
求证：四边形菱形．
20. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点．

（1）以格点为顶点画，使三边长为：3，，；
（2）求的面积．
21. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22. 如图，在平行四边形中，过点A作变边于点E，点F在边上，且．

（1）求证：四边形矩形；
（2）若平分，且，求线段的长．
23. 如图，是边长为2的等边三角形，以O为原点建立平面直角坐标系，点B在x轴正半轴上，过点A的直线与x轴交于点E．

（1）求点A的坐标；
（2）求点E的坐标；
（3）求证．
六、附加题（本题15分）
24. 如图，矩形中，，，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴、y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足．

（1）求；
（2）求直线的解析式；
（3）当点P在矩形的对角线上，求点P的坐标；
（4）当点P到O，B两点的距离之和取最小值时，求点P的坐标．

第二学期双减自查评估
八年级数学
（考试时间：100分钟，满分：135分，请把答案填涂在答题卡上）
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，没有平方根的是（ ）
A. 65 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方都是非负数，可得负数没有平方根．
【详解】A、B、D都是正数，故都有平方根；
C是负数，故C没有平方根；
故选C．
【点睛】考查平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
2. 计算－的结果是( )
A. 6 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：，故选D．
考点：二次根式的加减法．
3. 下列说法中，正确的有（ ）
①正比例函数一定是一次函数；
②一次函数一定是正比例函数；
③速度一定，路程s是时间t的一次函数；
④圆的面积是圆的半径r的正比例函数.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据正比例函数和一次函数的关系、一次函数的定义和正比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：①正比例函数一定是一次函数，故正确；
②一次函数不一定是正比例函数，故错误；
③速度一定，路程s与时间t的关系式为，是一次函数，故正确；
④圆的面积是圆的半径r的平方的正比例函数，故错误，
故选B．
【点睛】此题考查的是正比例函数和一次函数的关系及判断，掌握正比例函数和一次函数的关系、一次函数的定义和正比例函数的定义是解决此题的关键．
4. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ）．
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 频率
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：平均数表示一组数据的平均程度，众数表示一组数据中出现次数最多的数，反映数据的聚散程度，而方差和标准差反映是一组数据的波动程度．
考点：基本统计量的意义．

5. 如图在平行四边形中，已知，若的周长为，则平行四边形的周长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形周长的定义得到．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．
【详解】解：，的周长为，
．
又四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长为．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的周长．熟记“平行四边形的对边相等”是解题的关键．
6. 一支蜡烛长20cm，若点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩余的长度y（cm）与燃烧时间x（时）之间的函数关系的图象大致为（如图）（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据蜡烛剩余的长度＝原长度﹣燃烧的长度建立函数关系，然后根据函数关系式就可以求出结论．
【详解】解：由题意，得y＝20﹣5x．
∵0≤y≤20，
∴0≤20﹣5x≤20，
∴0≤x≤4，
∴y＝20﹣5x的图象是一条线段．
∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的运用，一次函数与实际问题的联系，一次函数的图象的运用，解答时运用解析式确定函数的图象是关键．
7. 如图，在等腰梯形中，，、相交于点O，则图中全等三角形共（ ）

A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后根据全等三角形的判定来判断哪些三角形全等．
【详解】解：在等腰梯形中，，

，
，
，
，，
，
，，，
，
共有3对，
故选C．
【点睛】此题主要考查等腰梯形的性质及全等三角形的判定的理解及运用．
8. 若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】令点A为（-0.5，0），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：

分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏．
9. 如图，点A的坐标为，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作直线于点，过点作轴于点，线段最短，由点在直线上，可得出，进而可得出为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可得出，的长，进而可得出点的坐标．
【详解】解：过点作直线于点，过点作轴于点，线段最短，如图所示
点在直线上，
设点的坐标为，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形．
点的坐标为，
，
，
点的坐标为．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、垂线段最短以及等腰直角三角形的判定与性质，利用等腰直角三角形的性质，找出，的长是解题的关键．
10. 如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形面积是13，小正方形面积是1，直角三角形两条直角边长分别为a、b，则的值是（ ）

A. 4 B. 5 C. 12 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据大正方形的面积即可求得，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据可求解．
【详解】解：设斜边为c，
∵大正方形面积是13，
∴，
∵小正方形面积是1，
∴直角三角形的面积为，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
二、填空题（本大题5题，每小题3分，共15分）
11 平行四边形中，，则________°.
【答案】110
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出， ，再根据求出结果即可．
【详解】解：∵是平行四边形
∴， ，
∵ ，
∴，
∴．
故答案为：110．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角相等，邻角互补．
12. 成立的条件是___________________.
【答案】x≥1
【解析】
【详解】分析：根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，x-1≥0，求出x的范围．
详解：由题意得，x+1≥0，x-1≥0，
解得：x≥-1，x≥1，
综上所述：x≥1．
故答案为x≥1．
点睛：本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式有意义的条件．
13. 已知一次函数图象过（1，2）且y随x的增大则减小，请写出一个符合条件的函数解析式______.
【答案】y=-x+3
【解析】
【详解】试题解析：设一次函数为y=kx+b，
∵y随x的增大而减少，
∴k＜0，
∴y=-x+b，
∵图象过点（1，2），
∴-1+b=2，
b=3，
∴一次函数解析式为：y=-x+3．
14. 已知样本中各数据、…与样本平均数的差的平方和是：，则样本方差______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据方差公式，将代入即可．
【详解】解：．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了方差有关计算，正确掌握方差公式是解题关键．
15. 如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为______．

【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为a，根据正方形的性质分别表示出B，C两点的坐标，再将C的坐标代入函数中从而可求得k的值．
【详解】设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，把点B代入直线y=2x的解析式，则设点B的坐标为（，a），
则点C的坐标为（+a，a），
把点C的坐标代入y=kx中得，a=k（+a），解得，k=．
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质及正比例函数的综合运用，建立起关系，灵活运用性质是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16. 当自变量取何值时，函数与的值相等？这个函数值是多少？
【答案】当时，函数与的值相等，函数值是.
【解析】
【分析】依题意列出方程组，解出方程组的解即可.
详解】解：由题意可得，
解得
∴当时，函数与的值相等，函数值是.
【点睛】本题考查了函数值与自变量的关系，能依题意列出方程组，是解题的关键.
17. 某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：
环数
6
7
8
9
人数
1
5
2

（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是 ，中位数是 ．
（2）这10名学生的平均成绩为 ．
（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有 是优秀射手．
【答案】（1）7环，7环；（2）75环；（3）100人
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数的意义将10名学生的射击成绩排序后找出第5、6位两个数的平均数即为中位数，出现次数最多的数是众数．
（2）根据平均数的计算方法进行计算即可，
（3）样本估计总体，用样本中优秀人数的所占的百分比估计总体中优秀的百分比，用总人数乘以这个百分比即可．
【详解】解：（1）射中9环的人数为：10-1-5-2=2（人）
射击成绩出现次数最多的是7环，共出现5次，因此众数是7环，射击成绩从小到大排列后处在第5、6位的数都是7环，因此中位数是7环，
故答案为：7环，7环．
（2）(环)
∴这10名学生的平均成绩为7.5环．
故答案为：7.5环
（3）500×=100人，
∴全年级500名学生中有100名是优秀射手．
故答案为：100人
【点睛】考查平均数、众数、中位数的意义及求法，理解样本估计总体的统计方法．
18. 如图，从正方形中载去两个面积分别为和的正方形和，求留下部分的总面积．

【答案】
【解析】
【分析】先得出小正方形的边长，从而求出大正方形的边长，从而计算面积．
【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，
∴两个小正方形的边长分别为和，
∴大正方形的边长是，
∴留下部分的总面积为．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是得出大正方形的边长．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，是等腰三角形，．

（1）利用直尺和圆规作边上的中线（不写做法，保留作图痕迹）；
（2）延长到D，使，连接，．
求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）过点B作的垂线，垂足为M即可；
（2）首先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据三线合一得到，从而证明菱形．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
∵为中线，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是结合作图过程，利用三线合一，灵活选择方法证明菱形．
20. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点．

（1）以格点为顶点画，使三边长为：3，，；
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理画出图形即可．
（2）利用三角形面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
其中，，，；
【小问2详解】
如图，的面积为．
【点睛】本题考查的是勾股定理，格点三角形，三角形的面积，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
21. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺
【解析】
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺，
由勾股定理：，
解得：，
∴，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22. 如图，在平行四边形中，过点A作变边于点E，点F在边上，且．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）首先证明AF=EC，AF∥EC，推出四边形AECF是平行四边形，再证明∠AEC=90°即可解决问题；
（2）分别在Rt△ABE，Rt△BCF中，利用勾股定理求出AE、BF即可；
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形．
（2）∵BF平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，
∴AB=AF=3，AD=BC=4，
在Rt△ABE中，AE=CF=，
在Rt△BFC中，BF=．

【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23. 如图，是边长为2的等边三角形，以O为原点建立平面直角坐标系，点B在x轴正半轴上，过点A的直线与x轴交于点E．

（1）求点A的坐标；
（2）求点E的坐标；
（3）求证．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）过作，垂足为，根据等边三角形的性质求出，利用勾股定理求出，可得点A坐标；
（2）将点A坐标代入中求出函数解析式，再令，求出x值，即可得到点E的坐标；
（3）根据点A和点E坐标求出，，再根据勾股定理的逆定理得到，即可证明．
【小问1详解】
解：如图，过作，垂足为，

∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为；
【小问2详解】
∵，代入中，
得，
∴，即，
令，则，
∴；
【小问3详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练转化点的坐标和线段的长．
六、附加题（本题15分）
24. 如图，矩形中，，，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴、y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足．

（1）求；
（2）求直线的解析式；
（3）当点P在矩形的对角线上，求点P的坐标；
（4）当点P到O，B两点的距离之和取最小值时，求点P的坐标．
【答案】（1）5 （2）
（3）
（4），或，
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质，结合计算即可；
（2）根据已知条件得到，设直线的解析式为，求得直线的解析式为；
（3）设，根据，列方程即可得到结论；
（4）设点的纵坐标为，得到点在直线或的直线上，作关于直线的对称点，则点的坐标为，连接交直线于，则此时的值最小，设直线的解析式为，即可得到结论．
【小问1详解】
解：在矩形中，，，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
【小问3详解】
点在矩形的对角线上，
设，
，
，
，
，；
【小问4详解】
，
设点的纵坐标为，
，
，
点在直线或的直线上，
作关于直线的对称点，

则点的坐标为，
连接交直线于，则此时的值最小，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，，
同理，点在直线的直线上，
，，
点的坐标为，或，．