2023年重庆数学中考及模拟试题第18题：材料阅读

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2023年重庆中考及模拟试题第18题：材料阅读
一．整除类（共13小题）
1．（2023•沙坪坝区校级一模）一个数位大于等于4的多位数n，规定其末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为F（n），则＝　 　；若F（n）能被11整除，则这个多位数就一定能被11整除，反之，一个数位大于等于4的多位数n能被11整除，则n的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差F（n）一定能被11整除．若两个四位数s，t，其中s能被11整除，且s＝2000a+321，t的千位数字为b﹣2，百位数字为4，十位数字为3，个位数字为c﹣3（a，b，c均为整数），规定，当时，则K（s，t）的最小值为 　 　．






2．（2023•渝中区校级三模）对于四位数M＝，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），则＝　 　；若一个四位数M＝1201+1000a+100b+30c+d（0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且F（M）除以13余1，则满足条件的M的最大值为 　 　．

3．（2023•沙坪坝区校级模拟）若一个四位自然数M的千位数字的平方恰好等于百位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“君和数”．若“君和数”且（1≤a≤9，1≤b≤5，1≤c≤6，0≤d≤9），将“君和数”M的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数N，规定，，若G（M），F（M）均为整数，则b+c的值为 　 　，M的值为 　 　．






4．（2023•重庆）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足﹣＝，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 　 　；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 　 　．

5．（2023•沙坪坝区校级一模）一个四位正整数A＝2000a+120b+10c+d+3，其中1≤a，b≤4，1≤2b+c≤9，0≤d≤6，且a，b，c，d均为整数．A的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，将A的千位数字和百位数字组成的两位数记为s，十位数字和个位数字组成的两位数记为t．记A的千位数字与个位数字的乘积为P（A），百位数字与十位数字的乘积为Q（A）．若s+t被7除余4，则b+d＝　 　，在此条件下，当P（A）﹣Q（A）＝k2﹣4（k为整数）时，最大的四位正整数A＝　 　．




6．（2023•北碚区校级三模）对任意的四位数m，若千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差等于9，将m的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数s，将m的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数t，记，若F（m）为整数，则称数m为“重九数”，F（4050）＝　 　，若“重九数”n＝1000a+100b+10c+d（1≤a≤9，0≤b，c，d≤9，a，b，c，d为整数）是7的倍数，则满足条件的n的最大值是 　 　．

7．（2023•九龙坡区模拟）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数m1，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数m2，记F（m）＝．若s，t都是“同和数”，其中s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76（1≤x，y，e，f≤9），且x，y，e，f都是正整数，规定：k＝，用含“x，f”的代数式表示k＝　 　，当F（s）+F（t）能被20整除时，k的所有取值之积为 　 　．





8．（2023•沙坪坝区校级二模）若一个四位数的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为150，则称这个四位数为“圆梦数”，若一个四位数（其中1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d均为整数）为“圆梦数”，则a+c＝　 　，定义F（M）＝23a﹣25b+c+3d﹣9，若F（M）能被19整除，且存在整数k，使得F（M）＝k2+12，则满足条件的M的值为 　 　．

9．（2023•沙坪坝区校级二模）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n′．把n′放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F（n），例如：n＝23时，．对于两位正整数s与t，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1≤b＜a≤9，1≤x，y≤9，且a，b，x，y为整数）．若F（s）能被7整除，则a﹣b的值为 　 　，在此条件下，若F（s）+81ky＝kF（t），其中k为整数，则此时s与t乘积的最大值为 　 　．





10．（2023•九龙坡区模拟）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为F（m）．
（1）F（6312）＝　 　；
（2）若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍
和数”m的最大值与最小值的差为 　 　．

11．（2023•重庆）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 　 　；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 　 　．




12．（2023•九龙坡区模拟）若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为G（p）和G（q），F（p，q）＝，若为整数，此时的最大值为 　 　．

13．（2023•渝中区校级模拟）一个各个数位数字均不为0的四位正整数m＝，记F（m）＝，将m的首位数字a放在末尾产生第一个新数，记为m1，同样再将新数m1首位上的数字放在末尾，产生第二个新数m2，以此类推得到m3，记G（m）＝，若千位上数字与十位上数字之差刚好等于个位上数字，且a+2b+3c＝27，当为整数时，d＝　 　，此时满足F（m）为整数的m的值为 　 　．




二．完全平方数类（共3小题）
14．（2023•沙坪坝区校级模拟）一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”m′，并规定．若已知数m为“双胞蛋数”，设m的千位数字为a，百位数字为b，且a≠b，若是一个完全平方数，则a﹣b＝　 　，满足条件的m的最小值为 　 　．




15．（2023•九龙坡区校级模拟）一个四位数，若千位上的数字与百位上的数字之和与十位上的数字与个位上的数字之和的积等于60，则称这个四位数为“六秩数”，例如，对于四位数1537，∵（1+5）×（3+7）＝60，∴1537为“六秩数”．若，，记F（N）＝p﹣q，则F（2278）＝　 　；若N是一个“六秩数”，且F（N）是一个完全平方数，记，则K（N）的最大值与最小值的差为 　 　．
16．（2023•九龙坡区模拟）一个两位自然数m，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”．将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数m′，那么称m′为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数mn，那么称mn为m的“后置完美数”．记，例如：m＝12时，m′＝312，mn＝123，．请计算F（32）＝　 　；已知两个“完美数”m＝10a+b（6≤a≤9，0≤b≤9），n＝10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9），若F（m）是一个完全平方数，且2m+F（n）﹣8y＝140，则n的最大值为 　 　．

2023年重庆中考及模拟试题第18题：材料阅读（答案）
一．整除类（共13小题）
1．（2023•沙坪坝区校级一模）一个数位大于等于4的多位数n，规定其末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为F（n），则＝　13　；若F（n）能被11整除，则这个多位数就一定能被11整除，反之，一个数位大于等于4的多位数n能被11整除，则n的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差F（n）一定能被11整除．若两个四位数s，t，其中s能被11整除，且s＝2000a+321，t的千位数字为b﹣2，百位数字为4，十位数字为3，个位数字为c﹣3（a，b，c均为整数），规定，当时，则K（s，t）的最小值为 　　．
【答案】13； ．




2．（2023•渝中区校级三模）对于四位数M＝，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），则＝　82　；若一个四位数M＝1201+1000a+100b+30c+d（0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且F（M）除以13余1，则满足条件的M的最大值为 　6939　．
【答案】82；6939．

3．（2023•沙坪坝区校级模拟）若一个四位自然数M的千位数字的平方恰好等于百位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“君和数”．若“君和数”且（1≤a≤9，1≤b≤5，1≤c≤6，0≤d≤9），将“君和数”M的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数N，规定，，若G（M），F（M）均为整数，则b+c的值为 　7　，M的值为 　4169　．
【答案】7；4169．




4．（2023•重庆）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足﹣＝，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 　4312　；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 　8165　．
【答案】4312；8165．

5．（2023•沙坪坝区校级一模）一个四位正整数A＝2000a+120b+10c+d+3，其中1≤a，b≤4，1≤2b+c≤9，0≤d≤6，且a，b，c，d均为整数．A的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，将A的千位数字和百位数字组成的两位数记为s，十位数字和个位数字组成的两位数记为t．记A的千位数字与个位数字的乘积为P（A），百位数字与十位数字的乘积为Q（A）．若s+t被7除余4，则b+d＝　5　，在此条件下，当P（A）﹣Q（A）＝k2﹣4（k为整数）时，最大的四位正整数A＝　6226　．
【答案】5；6226．




6．（2023•北碚区校级三模）对任意的四位数m，若千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差等于9，将m的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数s，将m的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数t，记，若F（m）为整数，则称数m为“重九数”，F（4050）＝　10　，若“重九数”n＝1000a+100b+10c+d（1≤a≤9，0≤b，c，d≤9，a，b，c，d为整数）是7的倍数，则满足条件的n的最大值是 　9990　．
【答案】10；9990

7．（2023•九龙坡区模拟）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数m1，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数m2，记F（m）＝．若s，t都是“同和数”，其中s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76（1≤x，y，e，f≤9），且x，y，e，f都是正整数，规定：k＝，用含“x，f”的代数式表示k＝　　，当F（s）+F（t）能被20整除时，k的所有取值之积为 　　．
【答案】；．




8．（2023•沙坪坝区校级二模）若一个四位数的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为150，则称这个四位数为“圆梦数”，若一个四位数（其中1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d均为整数）为“圆梦数”，则a+c＝　14　，定义F（M）＝23a﹣25b+c+3d﹣9，若F（M）能被19整除，且存在整数k，使得F（M）＝k2+12，则满足条件的M的值为 　7278　．
【答案】14；133．

9．（2023•沙坪坝区校级二模）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n′．把n′放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F（n），例如：n＝23时，．对于两位正整数s与t，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1≤b＜a≤9，1≤x，y≤9，且a，b，x，y为整数）．若F（s）能被7整除，则a﹣b的值为 　7　，在此条件下，若F（s）+81ky＝kF（t），其中k为整数，则此时s与t乘积的最大值为 　8648　．
【答案】7，8648．




10．（2023•九龙坡区模拟）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为F（m）．
（1）F（6312）＝　2187　；
（2）若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍
和数”m的最大值与最小值的差为 　4176　．
【答案】（1）2187；（2）4176．

11．（2023•重庆）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 　6200　；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 　9313　．
【答案】6200；9313．



12．（2023•九龙坡区模拟）若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为G（p）和G（q），F（p，q）＝，若为整数，此时的最大值为 　　．
【答案】．
13．（2023•渝中区校级模拟）一个各个数位数字均不为0的四位正整数m＝，记F（m）＝，将m的首位数字a放在末尾产生第一个新数，记为m1，同样再将新数m1首位上的数字放在末尾，产生第二个新数m2，以此类推得到m3，记G（m）＝，若千位上数字与十位上数字之差刚好等于个位上数字，且a+2b+3c＝27，当为整数时，d＝　3　，此时满足F（m）为整数的m的值为 　6633　．
【答案】3，6633．

二．完全平方数类（共3小题）
14．（2023•沙坪坝区校级模拟）一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”m′，并规定．若已知数m为“双胞蛋数”，设m的千位数字为a，百位数字为b，且a≠b，若是一个完全平方数，则a﹣b＝　6　，满足条件的m的最小值为 　7117　．
【答案】a﹣b＝6，
m的最小值为7117．



15．（2023•九龙坡区校级模拟）一个四位数，若千位上的数字与百位上的数字之和与十位上的数字与个位上的数字之和的积等于60，则称这个四位数为“六秩数”，例如，对于四位数1537，∵（1+5）×（3+7）＝60，∴1537为“六秩数”．若，，记F（N）＝p﹣q，则F（2278）＝　﹣2　；若N是一个“六秩数”，且F（N）是一个完全平方数，记，则K（N）的最大值与最小值的差为 　6，8，4，3，　．
【答案】﹣2；6，8，4，3，．

16．（2023•九龙坡区模拟）一个两位自然数m，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”．将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数m′，那么称m′为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数mn，那么称mn为m的“后置完美数”．记，例如：m＝12时，m′＝312，mn＝123，．请计算F（32）＝　23　；已知两个“完美数”m＝10a+b（6≤a≤9，0≤b≤9），n＝10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9），若F（m）是一个完全平方数，且2m+F（n）﹣8y＝140，则n的最大值为 　45　．
【答案】23，45．