2023年中考数学模拟卷四（重庆专用）

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 2023年中考数学模拟卷四（重庆专用）
（本卷满分150分，考试时间为120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是最符合题意的）
1．下列各数中比小的数是（　　）
A．1
B．0
C．
D．
【答案】D
【分析】正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此解答即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
所以其中比小的数是．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的比较大小，解题时注意负数的比较大小，绝对值大的反而小．
2．下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．如图，，垂足为C，过C作．若，则的度数
是（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可得，再利用直角三角形的两锐角互余即可求得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质及直角三角形两锐角互余的性质，熟练运用性质是解决问题的关键．
4．如图，与位似，点O为位似中心，面积为1，面积为
9，则的值为（　　）

A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∵面积为1，面积为9，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．有一个倒水的容器，由悬在它上面的一条水管匀速地向里面注水，最后把容器注满，
在注水过程中，水面高度y随时间t的变化的情况如图，图中为线段，则这个容器
可能是（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】观察函数图象可知，水位高度上升先慢后快，PQ为一线段，说明容器的横截面先大后小，最后一段横截面不变．
【详解】解：由函数图象可知，容器的横截面从下到上先大后小，最后一段横截面不变．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
6．下列四个命题说法正确的是（　　）
A．一组对角相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连结菱形四边中点得到的四边形是矩形
D．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】C
【分析】根据矩形、正方形、轴对称图形、中心对称图形的判定得出答案即可．
【详解】解：A．一组对角相等的平行四边形不一定是矩形，有可能是菱形，故此命题说法不正确，是假命题，故此选项错误；
B．根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选项错误；
C．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，故此命题是真命题，故此选项正确；
D．平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形，故此命题是假命题，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．如图，数轴上的点可以近似的表示的值的是（　　）

A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而利用估算无理数的大小方法得出答案．
【详解】解：原式＝，
∵，
∴，
∴
∴数轴上的点可以近似的表示的值的是B．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及实数与数轴，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排（如图所示），图中圆点表示
图钉，照这样的规律，当需要的图钉颗数为2022颗时，则所钉图画作品的数量为（　　）

A．1011张
B．1010张
C．1009张
D．1012张
【答案】B
【分析】根据图示，1张画需要图钉：4个；2张画需要图钉：4+2×1＝6（个）；3张画需要图钉：4+2×2＝8（个）；……；可得n张画需要图钉：个．再运用规律解答即可．
【详解】解：∵1张画需要图钉：4个；
2张画需要图钉：4+2×1＝6（个）；
3张画需要图钉：4+2×2＝8（个）；
…，
∴n张画需要图钉：个；
∴当需要的图钉颗数为2022颗时，，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解一元一次方程，掌握探究规律的方法是解题的关键．
9．如图，是的直径，C，D是上的点，，过点C作的
切线交的延长线于点E，若，则的半径为（　　）

A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据余弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
故选：C．

【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
10．已知两个多项式，，
①若时，则有或4；
②若a为整数，且为整数，则或5；
③当时，若，则；
④若当式子中a取值为与时，对应的值相等，则m的最大值为．
以上结论正确的个数是（　　）
A．4
B．3
C．2
D． 1
【答案】C
【分析】根据整式、分式的运算法则进行化简，并运用函数思想对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴或4，
∴①的结论正确；
②
∵为整数，
∴为整数，
即为整数，
，，，．
∴②的结论错误；
③，即，
化简得，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
∴③的结论错误；
④，
∵中a取值为与时，对应的值相等，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴，
则当时，m有最大值．
∴④的结论正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式、分式的运算法则，及二次函数图象性质，综合运用以上知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在每题对应的横线上．
11．计算：　 　．
【答案】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【详解】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12．正n边形的一个内角等于，则边数n的值为 　 　．
【答案】10
【分析】根据多边形每个内角与其相邻的外角互补，则正n边形的每个外角的度数，然后根据多边形的外角和为即可得到n的值．
【详解】解：∵正n边形的每个内角都是，
∴正n边形的每个外角的度数，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角的关系及多边形的外角和定理，掌握多边形每个内角与其相邻的外角互补，多边形的外角和为是关键．
13．已知代数式的值是7，则代数式的值是 　 　．
【答案】18
【分析】由已知可得，，，将原式变形为，将代入式中得，再将代入式中即可解答．
【详解】解：∵代数式的值是7，
∴，，
∴





，
故答案为：18．
【点睛】此题考查了代数式求值和因式分解的知识，解答本题的关键是得到，，然后整体代入，整体思想是数学中常见的解题思想，所以同学们要将其掌握．
14．周末小张和小王去同一个公园跑步，这个公园有A，B，C三个入口，则他们从同
一个入口进入公园的概率是　 　．
【答案】
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小张和小王从同一个入口进入公园的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小张和小王从同一个入口进入公园的结果有3种，
∴他们从同一个入口进入公园的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．如图，在中，，，，以点A为圆心，
为半径画弧交于点D，以点B为圆心，为半径画弧交于点E，则图中阴影
部分的面积是 　 　（结果保留）．

【答案】
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形与扇形的面积之和与的面积之差．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
∴阴影部分的面积S＝S扇形+S扇形﹣S＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．如图， E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G，若，则的度数为　 　．

【答案】
【分析】过点E作交于点M，则易证四边形是矩形，证，，，，．
【详解】解：如图，过点E作交于点M，
∵正方形，，
∴易证四边形是矩形，，
∴，
∴，．
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．

故答案为：
【点睛】本题考查了与正方形相关的角度计算，运用正方形的性质，构造全等三角形是解题的关键．
17．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程
的解为非负整数，则满足条件的整数a的值的和为　 　．
【答案】
【分析】先解不等式组，根据已知求出a的范围，然后解分式方程，根据分式方程的解为非负数整数确定a的范围，最后找出满足条件的整数a值即可解答．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有解，
∴，
，
，
解得：，
∵分式方程的解为非负数整数，
∴且，
∴且，
∴且，
∴满足条件的整数a的值为：，1，
∴满足条件的整数a的值的和为：，
故答案：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
18．若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小
的“交替数”是　 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是
15，且十位数字与个位数字的和能被5整除，则满足条件的“交替数”m的最大值
为　 ．
【答案】1001；8778
【分析】由题意，若要“交替数”最小，则，，，，得到最小“交替数”为1001；设，m满足千位数字与百位数字的平方差是15，得，即，要使m最大，则有，再由，可得，即，由m满足十位数字与个位数字的和能被5整除，
要使m最大，则有，则满足条件的“交替数”m的最大值为8778．
【详解】解：由题意，若要“交替数”最小，则，，
∵，
∴，，
故最小的“交替数”为1001；
设，
∵m满足千位数字与百位数字的平方差是15，
∴，
即，，
∵，
∴或，
要使m最大，则有，
∵，
∴，
即，，
∵m满足十位数字与个位数字的和能被5整除，
∴要使m最大，则有，
则满足条件的“交替数”m的最大值为8778．
【点睛】本题考查了平方差公式的运用，数的整除性质，充分理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，19、20题每小题8分，21-25题每小题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
19．计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式法则即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：（1）原式．
（2）原式．
【点睛】本题考查整式与分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
20．如图，在正方形中，点E在上，连接．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，分别与、交于点F、G；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴　 　．
∴　 　+．
又∵，
∴　 　．
在和中，
，
∴．
∴．

【答案】见解析
【分析】（1）利用基本作图，过D点作的垂线即可；
（2）先利用等角的余角证明，然后根据“ASA”证明，从而得到结论．
【详解】（1）解：如图，为所作；

（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判断与性质和正方形的性质．
21．为加强量子学生对古诗词的学习与掌握，我校组织七、八年级学生开展了“漫游诗
海，牵手古今”古诗词知识竞赛（满分100分，其中A组：50≤x＜60；B组：60≤x＜
70；C组：70≤x＜80；D组：80≤x＜90；E组：90≤x≤100），竞赛成绩在80分及以
上的为优秀．测试完成后，为了解本校学生的掌握情况，在七年级随机抽取了10名学
生的测试成绩，八年级随机抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，得到
了下列信息：
七年级10名学生测试成绩统计如下：60，70，70，80，80，85，90，90，90，100；
八年级20名学生测试成绩中，D组的成绩如下：80，80，85，85，85，88；
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
81.5
82.5
c
70%
八年级
81.5
b
85
75%
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）根据以上信息可以求出：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）若本校七年级有400人，且规定80分及以上的学生为“古诗词小达人”，请估计该校七年级参加此次知识竞赛的学生中为“古诗词小达人”的学生人数？
（3）结合以上的数据分析，针对本次古诗词知识竞赛你认为七年级与八年级中，哪个年级对古诗词知识掌握得更好？请说明理由（一条理由即可）．

【答案】（1），，；（2）280人；（3）见解析
【分析】（1）用1减去其它组的百分数即可求出a，根据中位数和众数的方法求b和c的值；
（2）利用样本估计总体，用400乘80分及以上的学生所占百分比即可；
（3）根据中位数可判断八年级对冬奥知识掌握得更好．
【详解】解：（1）∵，
∴，
八年级学生的测试成绩的中位数为，
七年级学生的测试成绩的众数为90．
故答案为：15，86.5，90；
（2）（人），
答：估计该校七年级参加此次知识竞赛的学生中为“古诗词小达人”的学生大约有280人；
（3）八年级对古诗词知识掌握得更好，理由如下：
∵七年级与八年级的平均成绩都是81.5分，但是八年级的中位数86.5分大于七年级的中位数82.5分，
∴八年级对古诗词知识掌握得更好．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及扇形统计图，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
上点的坐标特征，函数与不等式的关系以及三角形面积，数形结合是解题的关键．
22．在全民抗击“新冠肺炎”战役中，某药品公司接到生产1500万盒“连花清瘟胶囊”
的任务，马上设置了A、B两个药品生产车间．试产时，A生产车间的日生产数量是B
生产车间日生产数量的3倍，各生产90万盒，A比B少用了2天．
（1）求A、B两生产车间的日生产数量各是多少？
（2）若A、B两生产车间每天的运行成本分别是1万元和0.5万元，要使完成这批任务
总运行成本不超过20万元，则最多可安排B生产车间生产多少天？
【答案】（1）A生产车间的日生产数量为90万盒，B生产车间的日生产数量为30万盒；（2）最多可安排B生产车间生产20天
【分析】（1）设B生产车间的日生产数量是x万盒，则A生产车间的日生产数量为3x万盒，由题意：各生产90万盒，A比B少用了2天．列出分式方程，解方程即可；
（2）设可安排B生产车间生产m天，由题意：要使完成这批任务总运行成本不超过20万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）设B生产车间的日生产数量是x万盒，则A生产车间的日生产数量为3x万盒，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A生产车间的日生产数量为90万盒，B生产车间的日生产数量为30万盒；
（2）设可安排B生产车间生产m天，
由题意得：，
解得：，
答：最多可安排B生产车间生产20天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．黄葛树是重庆的市树，走在重庆的大街小巷，总能看到它巨大的身影．某天学校九
年级某班的两名同学小语和小航在校园的操场边看见一颗特别高大的黄葛树，他们便准
备测量这颗黄葛树的高度．如图小宇在点A处观测到黄葛树最高点P的仰角为，
再沿正对黄葛树的方向前进6m至B处测得最高点P的仰角为，小航先在点C处竖
立一根长为2.6m标杆FC，再后退至其眼睛所在位置点D、标杆顶F、最高点P在一条
直线上，此时测得最高点P的仰角为，已知两人身高均为1.6m（头顶到眼睛的距
离忽略不计）．
（1）求黄葛树的高度．（结果保留一位小数）；（参考数据：）
（2）测量结束时小宇站在点E处，小航在点C处，两人相约在树下Q点见面，小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，你认为谁先到达Q点？请说明理由．

【答案】（1）15.8m；（2）小宇先到达塔底，理由见解析
【分析】（1）设与相交于点G，根据题意可得：，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于x的方程，进而求出的长，最后进行计算即可解答；
（2）设与相交于点H，根据题意可得：，则，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后分别求出他们所用的时间，进行比较即可解答．
【详解】解：（1）设与相交于点G，

由题意得：
，，
设，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ m，
∴（m），
∴黄果树的高度约为15.8m；
（2）小宇先到达塔底，
理由：设与相交于点H，

由题意得：
，
∵，
∴，
在中，m，，
∴m，
在中，，
∴m，
∵小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，
∴小航的速度为3m/s，
∴，，
∵，
∴小宇先到达塔底．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．如图1，在中，D为的中点，P是边上一动点，连接，．若
，，设（当点P与点C重合时，x的0），．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）通过取点、画图、计算，得到了x与y的几组值，如下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y
5.5
5.15
　 　
4.94
5.1
5.5
　 　
6.7
7.5
说明：补全表格时，相关数值保留一位小数．
（参考数据：，，）
（2）如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象．
（3）观察图象，下列结论正确的有 　 　．
①函数有最小值，没有最大值
②函数有最小值，也有最大值
③当时，y随着x的增大而增大
④当y＞5.5时，x的取值范围是x＞2.5

【答案】（1）5.0，6.0；（2）作图见解析；（3）②③④
【分析】（1）根据题意作出对应的图形，过点D作于点E，然后由勾股定理跟别求得和的长，最后得到的值，即y的值；
（2）根据表中数据描点，然后用光滑的曲线连接即可；
（3）根据函数的图象得到函数的性质．
【详解】解：（1）当时，作出图形如图1，
过点D作于点E，则，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
当时，图形如图2，
过点D作于点E，则，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
故答案为：5.0，6.0．
（2）通过描点﹣连线，作出函数图象如下，

（3）由图象可知，有最小值，也有最大值；当y＞5.5时，x的取值范围是x＞2.5，
∴正确的有②③④，
故答案为：②③④．

【点睛】本题考查了函数的图象和函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是学会根据题目条件作出对应的几何图形．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，
，与y轴交于点C，连接，过点A、C作直线．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点F，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标．
（3）在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点M；连接，把线段沿直线平移，记平移后的线段为，当以、、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

【答案】（1）；（2）的最大值为：；此时；（3）符合题意的点的坐标为：或或
【分析】（1）根据点A，B的坐标设出抛物线的交点式，化简可得a的值，进而可得结论；
（2）分别过点P，A作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点G，根据相似三角形的性质，可得，，表达的长度，根据二次函数的性质求解即可；
（3）由图象的平移可得的解析式，联立可得出M的坐标；由线段的平移可表示，的坐标，根据等腰三角形的性质，进行分类讨论，依次求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点，，
∴抛物线的解析式为：，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，直线的解析式为：，
∴，，；
如图，分别过点P，A作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点G，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵轴，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
设点P的横坐标为t，则，，
∴，
∴当时，的最大值为；
∴的最大值为：；此时；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
∵抛物线的解析式为：；
∴；
∴；
将线段沿直线平移到线段，
则设，则，
∵，
∴，，，
若以、、M为顶点的三角形是等腰三角形，则需要分以下三种情况：
①当时，
，
整理得，，
解得或，
∴或；
②当时，
，
整理得，，
无解；
③当时，
，
解得，
∴；
综上，符合题意的点的坐标为：或或．

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质与判定，三角函数的定义，等腰三角形的性质与判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
26．如图，在等边中，点D为中点，点E为线段上一动点，连接，以点D为旋转中心，旋转线段得到线段，旋转角为，连接．
（1）如图1，若，，，求；
（2）如图2，若，点G在上，连接、、，、交于点H，，求证：；
（3）如图3，点K为等边外一点，连接、，点T为上一动点，连接，若，，．当取得最小值时，将沿着翻折到同一平面内得到，求点到的距离．


【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）过点D作点G，证，设，则在中，由，，，得，，即；（2）连接，在上截取点M，使，证明，；（3）连接，作，
A，B，C，K四点共圆，易证，点K在以O为圆心，为半径的圆上，点M在以为圆心，为半径的圆上，点T在以为圆心，为半径的圆上，
当，T，C三点共线，且T在之间时，有最小值．
【详解】（1）解：如图1，过点D作点G，

∵等边，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴．
在与中，
∵，
∴．
设，
在中，
∵，，，
∴，，
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
．
（2）证明：如图2，连接，在上截取点M，使．

∵，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵等边，点D为中点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
∵，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵
∴．
（3）解：如图3，连接，作，
∵，
∴A，B，C，K四点共圆，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴易证，
∴．
点K在以O为圆心，为半径的圆上，
点M在以为圆心，为半径的圆上，
点T在以为圆心，为半径的圆上，
当，T，C三点共线，且T在之间时，有最小值．
∵，，，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点到的距离为：

【点睛】本题是以等边三角形为背景的几何综合题，考查了等边三角形的性质，锐角的三角函数值，全等三角形的判定和性质，瓜豆原理，综合运用以上几何性质是解题关键．