2023年河南省实验中学中考数学四模试卷

这是一份2023年河南省实验中学中考数学四模试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省实验中学中考数学四模试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，比小的数是　　
A． B．0 C．1 D．
2．（3分）榫卯sǔnmǎo，是一种中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用棒卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种棒，其主视图是　　

A． B．
C． D．
3．（3分）2023年2月28日，国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》中报道：2022年全年研究与试验发展经费支出30870亿元，比上年增长，将数字30870用科学记数法表示应为　　
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
5．（3分）下列说法不正确的是　　
A．为了解中央电视台《开学第1课》的收视率，采用抽样调查
B．为调查某单位职工学历情况占整体的百分比，采用扇形统计图
C．为调查神舟十四号飞船的零部件的质量，采用抽样调查
D．为调查某校初一班级学生的校服尺码，采用全面调查
6．（3分）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是　　

A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误
C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
7．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（3分）如图，王林用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形的边长为4，则图2中，两点之间的距离为　　

A． B． C． D．
9．（3分）如图，的顶点，，，点在第一象限，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在轴正半轴上时，点的对应点恰好落在的延长线上，则点的坐标是　　

A． B． C． D．
10．（3分）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．下面说法不正确的是　　
温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．

A．与踏板上人的质量之间的函数关系式为：
B．电压表显示的读数为3伏时，可变电阻电阻是50欧
C．电压表显示的读数为2伏时，对应测重人的质量为75千克
D．该电子体重秤标注的最大质量为120千克，小明说选用的电压表量程为伏
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个整数，使有意义，则可以是 　　．
12．（3分）不等式组的解集是 　　．
13．（3分）由于节能、环保且路权卓越，新能源车逐渐成为人们的新宠．四张材质、大小完全相同的卡片上涂画如下新能源车标，从中随机抽取两张，则抽到的两张都是中心对称图形的概率是 　　．

14．（3分）如图，在中，，点在上，与，相切，切点分别为点，．若，则阴影部分的面积为 　　．

15．（3分）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得△，连接，当　　时，是以为腰的等腰三角形．

三、解答题（共75分）
16．（10分）（1）计算；；
（2）化简．
17．（9分）2023年5月，市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．
【学科测试】样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：

样本学生成绩
平均数
方差
中位数
众数
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04

66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76

（1）表中　　；　　．
（2）请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩．
【监测反思】
（3）若甲、乙两校学生都超过2000人，按照市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？
18．（9分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在处时，风筝在空中的位置为点，仰角为，小冬站在处继续放线，当再放2米长的线时，风筝飞到点处，此时点、离地面的高度恰好相等，点的仰角为，若小冬的眼睛与地面的距离为1.6米，请计算风筝离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，

19．（9分）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为、，与相交于点．
（1）根据图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值．
条件①四边形的面积为2；
条件②．

20．（9分）某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩．2021年该市投入资金1250万元，安装型充电桩200个和型充电桩300个；2022年又投入2000万元，安装型充电桩250个和型充电桩500个．已知这两年安装、两种型号的充电桩单价不变．
（1）求安装型充电桩和型充电桩的单价各是多少万元？
（2）为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划2023年再安装、两种型号的充电桩共200个．考虑到充电容量等综合因素，决定安装型充电桩的数量不多于型充电桩的一半．在安装单价不变的前提下，当安装型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？
21．（9分）如图为某游乐场摩天轮简化示意图，摩天轮最低端与地面的距离忽略不计，即可看作摩天轮与地面相切，摩天轮最外端圆的直径约为120米．夜晚，小明坐在透明座舱旋转到点时用激光笔照射在摩天轮的点和最低点处，激光线交地面于点，当激光线经过圆心点时，交圆于点，交水平地面于点且于点．

（1）求证：；
（2）若米，求的长．
22．（10分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度为16米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” ，使．点在抛物线上．、点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆、、的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．

23．（10分）九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
操作探究：
（1）如图1，为等腰三角形，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接，则　　，与的数量关系是 　　；
迁移探究：
（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，点正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
拓展应用：
（3）如图3，在等腰三角形中，，．将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接．当时，请直接写出的长．



2023年河南省实验中学中考数学四模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，比小的数是　　
A． B．0 C．1 D．
【分析】根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：，
比小的数是，
故选：．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小．
2．（3分）榫卯sǔnmǎo，是一种中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用棒卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种棒，其主视图是　　

A． B．
C． D．
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：该几何体的主视图是：
．
故选：．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
3．（3分）2023年2月28日，国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》中报道：2022年全年研究与试验发展经费支出30870亿元，比上年增长，将数字30870用科学记数法表示应为　　
A． B． C． D．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，正确，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）下列说法不正确的是　　
A．为了解中央电视台《开学第1课》的收视率，采用抽样调查
B．为调查某单位职工学历情况占整体的百分比，采用扇形统计图
C．为调查神舟十四号飞船的零部件的质量，采用抽样调查
D．为调查某校初一班级学生的校服尺码，采用全面调查
【分析】根据抽样调查，全面调查的适用情况，以及扇形统计图的优点，逐个判断各选项，即可进行解答．
【解答】解：、为了解中央电视台《开学第1课》的收视率，采用抽样调查，正确，不符合题意；
、为调查某单位职工学历情况占整体的百分比，采用扇形统计图，正确，不符合题意；
、为调查神舟十四号飞船的零部件的质量，采用全面调查，原说法错误，符合题意；
、为调查某校初一班级学生的校服尺码，采用全面调查，正确，不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了抽样调查，全面调查的适用情况，以及扇形统计图的优点，解题的关键是熟练掌握抽样调查，全面调查的适用情况，以及扇形统计图可以清晰的反应各部分占总体的百分比．
6．（3分）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是　　

A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误
C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
【分析】根据作图以及等腰三角形的性质与判定分别分析甲，乙，根据作一个角等于已知角的作图，判断丙．
【解答】解：甲，根据作图过程可知：，所以为等腰三角形，甲的方法正确；
乙，根据线段的垂直平分线作图过程可知：，所以为等腰三角形，乙的方法正确；
丙，根据作一个角等于已知角的过程可知：，所以，所以为等腰三角形，丙的方法正确；
综上所述：甲、乙、丙都正确，
故选：．
【点评】本题考查了作图复杂作图，等腰三角形的判定，线段的垂直平分线性质，作一个角等于已知角，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键．
7．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先根据根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，然后作答即可．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△，
即，
解得，
是一元二次方程，
，
即，
故的值可以是2，
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
8．（3分）如图，王林用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形的边长为4，则图2中，两点之间的距离为　　

A． B． C． D．
【分析】过作于，由七巧板和正方形的性质可知，，，再利用勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，过作于，

由七巧板可知：大正方形边长4，
小正方形边长，
，，
在中，由勾股定理得，，
故选：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．
9．（3分）如图，的顶点，，，点在第一象限，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在轴正半轴上时，点的对应点恰好落在的延长线上，则点的坐标是　　

A． B． C． D．
【分析】由旋转的性质得出，由平行四边形的性质得出，，，证出，过点作于点，由等腰三角形的性质求出，由勾股定理求出，则可求出答案．
【解答】解：，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，
又四边形和四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
过点作于点，

，
，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10．（3分）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．下面说法不正确的是　　
温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．

A．与踏板上人的质量之间的函数关系式为：
B．电压表显示的读数为3伏时，可变电阻电阻是50欧
C．电压表显示的读数为2伏时，对应测重人的质量为75千克
D．该电子体重秤标注的最大质量为120千克，小明说选用的电压表量程为伏
【分析】利用待定系数法即可求出与踏板上人的质量之间的函数关系式；根据，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，可得，即；根据题意可得，即（欧，代入函数解析式即可求出结果；当时，即可求出的最大值．
【解答】解：将、代入，得，
解得：，，
故不符合题意；
由题意可得：可变电阻两端的电压（伏，
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，
（欧，
故不符合题意；
由题意可得，可变电阻两端的电压（伏，
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，即（欧，
当时，，解得（千克），
故不符合题意；
当时（欧，
可变电阻两端的电压（伏，
电压表显示的读数为（伏，
该电子体重秤标注的最大质量为120千克，小明说选用的电压表量程为伏，
故符合题意，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个整数，使有意义，则可以是 　3（答案不唯一）　．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出，求出，再写出一个符合的整数即可．
【解答】解：要使有意义，必须，
解得：，
为整数，
可以为3．
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得出是解此题的关键．
12．（3分）不等式组的解集是 　　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）由于节能、环保且路权卓越，新能源车逐渐成为人们的新宠．四张材质、大小完全相同的卡片上涂画如下新能源车标，从中随机抽取两张，则抽到的两张都是中心对称图形的概率是 　　．

【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的两张都是中心对称图形的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：设四个车标依次为、、、，
则是中心对称图形的车标为、．
画树状图如下：

由图可知，共12种等可能结果，其中抽到的两张是和的结果有2种，
抽到的两张都是中心对称图形的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、中心对称图形，熟练掌握列表法与树状图法以及中心对称图形是解答本题的关键．
14．（3分）如图，在中，，点在上，与，相切，切点分别为点，．若，则阴影部分的面积为 　　．

【分析】连接，，与交于点，证明，得出，则，由扇形的面积公式可得出答案．
【解答】解：连接，，与交于点，

与，相切，
，，
又，，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定与性质，扇形的面积公式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得△，连接，当　或　时，是以为腰的等腰三角形．

【分析】设，则，由翻折得：．当时，由勾股定理得：；当时，作，由，平方可证得，则，所以，由三线合一得，即，解方程即可．
【解答】解：设，则，
由翻折得：，当时，，
矩形，
，
由勾股定理得：，
解得：，
当时，如图，作
，
，
，
沿翻折得△，
，
，
，，
，
，
，
，
即，
解得，
综上所述：或．
故答案为：或．

【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当时如何列方程，有一定难度．
三、解答题（共75分）
16．（10分）（1）计算；；
（2）化简．
【分析】（1）根据零指数幂、零指数幂和绝对值计算即可；
（2）先算括号内的式子，再算除法即可．
【解答】解：（1）

；
（2）


．
【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．（9分）2023年5月，市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．
【学科测试】样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：

样本学生成绩
平均数
方差
中位数
众数
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04

66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76

（1）表中　79　；　　．
（2）请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩．
【监测反思】
（3）若甲、乙两校学生都超过2000人，按照市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？
【分析】（1）根据中位数和众数的概念分析求解即可；
（2）结合平均数，中位数，众数，方差的意义进行分析评判；
（3）统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小．
【解答】解：（1）将甲校样本学生成绩从小到大排序为：50，66，66，66，78，80，81，82，83，94，位于第5个和第6个的数据分别是78和80，
，
在乙校样本学生成绩中出现次数最多的是76，
，
故答案为：79，76；
（2）由题意，甲乙两校平均数相同，乙校方差小于甲校，
乙校成绩更加稳定；
（3）甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平，因为市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000多人的成绩．
【点评】本题考查众数，平均数，中位数，样本估计总体，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（9分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在处时，风筝在空中的位置为点，仰角为，小冬站在处继续放线，当再放2米长的线时，风筝飞到点处，此时点、离地面的高度恰好相等，点的仰角为，若小冬的眼睛与地面的距离为1.6米，请计算风筝离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，

【分析】过点作，分别过点、作于点，于点，设米，则米，可求，，即可求解．
【解答】解：如图，过点作，分别过点、作于点，于点．

由题意得，，，米，
设米，则米，
在中，，
米；
在中，，
米，
，解得；
米，
米．
答：风筝离地面的高度约为13米．
【点评】本题考查了三角函数在解直角三角形中的应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．
19．（9分）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为、，与相交于点．
（1）根据图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值．
条件①四边形的面积为2；
条件②．

【分析】（1）根据反比例函数的性质即可得，再将点，代入反比例函数的解析式分别求出、的值，由此即可加以验证；
（2）选择条件①：先根据矩形的判定与性质可得，再根据点，的坐标可得，，从而可得，，利用待定系数法求解即可得；选择条件②：先求出，，，，再根据矩形的判定与性质可得，，从而可得，，代入可得，然后根据即可得．
【解答】解：（1）因为函数图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，
所以；
验证如下：
当时，；
当时，，
，，
即．
（2）选择条件①四边形的面积为2，求解如下：
轴，轴，，
四边形是矩形，
，
、，
，，
解得，
，
将点代入得：
．
选择条件②，求解如下：
、，
，，，，
轴，轴，，
四边形是矩形，
，，
，
，
又，
，
由（1）可知，，
，
解得．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
20．（9分）某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩．2021年该市投入资金1250万元，安装型充电桩200个和型充电桩300个；2022年又投入2000万元，安装型充电桩250个和型充电桩500个．已知这两年安装、两种型号的充电桩单价不变．
（1）求安装型充电桩和型充电桩的单价各是多少万元？
（2）为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划2023年再安装、两种型号的充电桩共200个．考虑到充电容量等综合因素，决定安装型充电桩的数量不多于型充电桩的一半．在安装单价不变的前提下，当安装型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？
【分析】（1）设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价万元，根据题意即可列出关于、的方程组，解方程组即可求出答案；
（2）设型充电桩安装了个，则型充电桩安装了个，投入的总费用为万元，根据题意可列出不等式，进而可求出的取值范围，然后得出关于的函数关系式，再根据一次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价万元，根据题意，
得，
解这个方程组，得；
答：安装型充电桩和型充电桩的单价分别是1万元和3.5万元．
（2）设型充电桩安装了个，则型充电桩安装了个，投入的总费用为万元，根据题意，得
．
解这个不等式，得．
投入的总费用．
，
，
随增大而减小，
为正整数，当取最大值66时，的最小值为（万元）．
答：当型充电桩安装66个时，所需投入的总费用最少，最少的费用为535万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，正确理解题意、列出方程组、不等式及一次函数关系式是解题的关键．
21．（9分）如图为某游乐场摩天轮简化示意图，摩天轮最低端与地面的距离忽略不计，即可看作摩天轮与地面相切，摩天轮最外端圆的直径约为120米．夜晚，小明坐在透明座舱旋转到点时用激光笔照射在摩天轮的点和最低点处，激光线交地面于点，当激光线经过圆心点时，交圆于点，交水平地面于点且于点．

（1）求证：；
（2）若米，求的长．
【分析】（1）利用垂径定理、圆周角定理，同角的余角相等证得即可；
（2）利用勾股定理求得，然后通过解直角三角形求得，然后利用相交弦定理即可求得，进一步求得．
【解答】（1）证明：是的切线，
，
，
于点，过圆心，
，
，
；
（2）解：米，圆的直径约为120米，
米，米，
（米，
，
，
，
，
，
（米（负数舍去），
（米．
故的长为135米．

【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，切线的性质等的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
22．（10分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度为16米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” ，使．点在抛物线上．、点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆、、的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．

【分析】（1）抛物线的顶点坐标为，则其表达式为：，将点代入上式，即可求解；
（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的，即可求解；
（3）点、关于函数对称轴对称，则设，则，，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为，
则其表达式为：，
将点代入上式得：，解得：，
故函数的表达式为：，即；

（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，
车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的，
当时，，即允许的最大高度为6米，
，故该车辆能通行；

（3）设点，则点，
由抛物线的表达式知，其对称轴为，则，
则，
则设：，
，故有最大值，
当时，的最大值为20，
故、、的长度之和的最大值是20．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
23．（10分）九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
操作探究：
（1）如图1，为等腰三角形，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接，则　90　，与的数量关系是 　　；
迁移探究：
（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，点正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
拓展应用：
（3）如图3，在等腰三角形中，，．将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接．当时，请直接写出的长．


【分析】（1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，；
（2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得；
（3）分以下两种情况进行讨论：①当点在右边时，②当点在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）为等腰三角形，，，
为等边三角形，
将绕点旋转，得到，
，
为等边三角形，，，
，
，
，
，是的中点，
，
，
故答案为：90，；
（2）由旋转的性质，可知，
为等边三角形，平分，为等边三角形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
是的中点，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）分以下两种情况进行讨论：
①如图．当点在右边时，

，，
为等腰直角三角形，
．
，
，
由旋转的性质，得，
为等边三角形，
是的中点，
，平分，
，
，
；
②如图，当点在左边时，

同理，可得，，
．
综上所述，的长为或2．


【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键．