2023年河南省商丘市中考数学四模试卷（含解析）

2023年河南省商丘市中考数学四模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列表示医疗或救援的标识中既是轴对称图形也是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列各式中运算不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，点，分别在，边上，，若：：，则：(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

5.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则在下列选项中，的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某次数学测试中，该校八年级名学生成绩均在分以上，具体成绩统计如表：

请根据表格中的信息，计算这名学生的平均分为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变．在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂，测量出相应的动力数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂长度为时，所需动力最接近(    )

A.  B.  C.  D.

8.  九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐人，则需要步行：若每辆车都坐人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有辆车，个人，根据题意，列方程组是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，等腰三角形中，，按以下要求作图：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点；作直线，交于点，连接则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点为圆上一个动点，连接，，若，则阴影部分面积的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  如图，将一副直角三角板如图放置，使两个三角形的一个顶点重合，两个直角三角形的斜边，则的度数是______ ．

13.  一个不透明的袋子中装有写着，，，的四个小球，小球除标号外其余均相同，将小球摇匀后随机摸出一个记下标号后放回，再次摇匀后再随机摸出一个记下标号，则第二次摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号数字的概率为______ ．

14.  如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，则的值为______ ．

15.  如图，点为矩形对角线上异于、的一个动点，过点作于点，点为点关于的对称点，连接、，若，，当为直角三角形时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组：；
化简：．

17.  本小题分
开学后，为检验寒假学生学习成果，数学王老师对自己所带的两个班进行了摸底测试，并分别从两个班各随机抽取了名同学的成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
收集数据：两个班各抽取的名学生的成绩如表：

整理、描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：请补全二班的频数分布直方图．

分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：

填空： ______ ； ______ ；
得出结论
根据以上信息，判断______ 班寒假中数学知识掌握的较好，理由如下：______ 至少从两个不同的角度说明判断的合理性．

18.  本小题分
太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯如图，某种型号太阳能路灯的支架与灯柱的夹角，支架米，小明同学在距灯柱米的处，用测角仪测得路灯的仰角为，已知测角仪的高度为米，求路灯距地面的高度结果精确到米，参考数据：，，，

 

19.  本小题分
如图．以为直径的中，为弦，点为上一点，过点的切线交延长线于点，交于点，连接，．
求证：；
若，，求的长．

20.  本小题分
某店商计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共台，两种型号的平板电脑每台进价和销售价格如表所示：

设采购甲型平板电脑台，全部售出后获利元．

求与的函数表达式

若要求采购甲型平板电脑数量不小于乙型的倍，如何采购才能使得获利最大最大利润为多少

21.  本小题分
跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为．
求绳子所对应的抛物线解析式不要求写自变量的取值范围；
身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
身高的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手，为确保绳子能通过他的头顶，请求出的取值范围．

22.  本小题分
小王在学习中遇到了这样一个问题：

如图，在菱形中，对角线，，点是上的动点，是的中点，连接，，当是等腰三角形时，求线段的长度．
小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值．

的值是______；
将线段的长度作为自变量，，的长度都是关于的函数，分别记为，，并在平面直角坐标系中画出了的函数图象，如图所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出的函数图象．
观察图象，可知函数有最小值，请你利用学习过的几何知识，直接写出的最小值．写出准确值
根据图象，在点从移动到的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长．结果精确到

23.  本小题分
如图，正方形中，点是直线上一个动点，连接，过点作于点，过点作交于点，连接、．
若点在边上，猜想：
线段和线段的数量关系是______ ；
线段和线段的位置关系是______ ．
如图，点在延长线上，中的猜想成立吗？请说明理由．
已知，当时直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断即可．
此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，正确；
B、，正确；
C、应为，故本选项错误；
D、，正确．
故选：．
根据合并同类项的法则及单项式的乘法与除法法则解答．
本题比较简单，考查的是合并同类项的法则及单项式的乘法与除法法则等知识，需同学们熟练掌握．
合并同类项时把系数相加减，字母与字母的指数不变．
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．
单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求：的值．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
则，
所以的值可取．
故选：．
利用判别式的意义得到，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

6.【答案】 

【解析】解：这名学生的平均分为，
故选：．
根据加权平均数的定义求解即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，
设方程为：，
从表中取一个有序数对，
不妨取代入，
解得：，
，
把代入上式，
解得：，
故选：．
根据表中信息可知动力臂与动力成反比关系，选择利用反比例函数来解答．
本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是能从表中信息确定出动力臂与动力成反比的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
．
故选：．
根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于，的二元一次方程组．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据作图过程可知：平分，是边的垂直平分线，
，平分，
是边上的中线，
，
是边的垂直平分线，
，
是的中位线，
．
故选：．
根据作图过程可得平分，是边的垂直平分线，由等腰三角形三线合一，得是边上的中线，可得是的中位线，进而可得的长．
此题考查了作图复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，，，
要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形的面积最大，只需满足的面积最大即可，
从而可得当点位于弧的中点时，的面积最大，
连接，则于，
，
，
，
扇形的面积，
阴影部分面积的最小值，
故选：．
连接、连接，根据等腰直角三角形的性质求出，进而得到的长，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、等腰直角三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先计算负整数指数幂、开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

12.【答案】 

【解析】解：由三角板可得：，，
，
．
，
．
故答案为：．
由平行可得，再用即可．
本题考查平行线的性质，熟知三角板各角的度数是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如图：

共有个等可能的结果，第二次摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号数字的结果有个，
第二次摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号数字的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有个等可能的结果，第二次摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号数字的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查了用列表法或树状图法求概率．通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线与轴交于点，
，即，
，
，
点的横坐标为，
点在直线上，
点，
，
故答案为．
先求出点的坐标，然后表示出、的长度，根据，求出点的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点的横坐标并求出纵坐标是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当时，
为直角三角形，
，
，
四边形为矩形，
，
，点与点关于对称，
，，
，
，
在和中

∽，
，
，，
，
即，


．
当时，

，，
∽，
，
，

故答案为：或．
根据为直角三角形，即为直角，从而证明，得，证得∽，根据相似三角形的性质计算得到的长度，再用长度减去后根据轴对称的性质可得的长．
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定及轴对称的性质，解答本题的关键是能够从复杂的图形中获得基本图形的相似，从而列出等式求线段长度．
 

16.【答案】解：，
由得：．
由得：．
不等式组的解集为：．
原式

． 

【解析】根据一元一不等式组的解法即可求出答案．
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的加减运算以及一元一次不等式组的解法，本题属于基础题型．
 

17.【答案】    二  二班的成绩的众数高于一班，二班的成绩的中位数高于一班． 

【解析】解：由中的表格可知，二班学生的频数为，的频数为，
补全的频数分布直方图如图所示：

由一班的成绩可得，
出现次数最多，故，
第个和第个数分别是分和分，故，
故答案为：，；
根据题目中的信息可知，二班假期中学生数学学习成果较好．
理由：二班的成绩的众数高于一班，二班的成绩的中位数高于一班．
根据表格中的数据可得完成直方图；
根据众数和中位数的定义解答即可；
根据表格中两个班的各种数据可得答案．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示，过点作于，过点作于，过点作于，则四边形和四边形都是矩形，

，，，
，
，
又，
米，
米，
米，
米，
米，
路灯距地面的高度为米． 

【解析】如图所示，过点作于，过点作于，过点作于，则四边形和四边形都是矩形，先解直角三角形求出的长洁儿求出的长，解直角三角形求出的长即可得到答案．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

19.【答案】证明：为切线，
，
，
，
，
；
解：如图，连接，则，

，
，
，
，
，
，
由得：，
，
，
，，
∽，
，
，
，
． 

【解析】求证即可得出结论；
通过角度推导得出，进而利用勾股定理求出，根据∽，即可求出的长度，进而可得结果．
本题考查圆与相似三角形综合知识，熟练掌握切线的性质及相似三角形的性质与判定是解题关键．
 

20.【答案】解：由题意得：，
全部售出后该商店获利与之间函数表达式为；
由题意得：，
解得：，
，
，且，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值，
采购甲型电脑台，乙型电脑台时商店获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；
根据题意求出的取值范围，根据函数的性质求最值．
此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意，抛物线经过点，．

解得
绳子所对应的抛物线解析式为：．
身高的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：
，当时，
最大值．
绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
当时，，
即，
解得．
，．
． 

【解析】把，代入抛物线，得到二元一次方程组，解方程组即可；
由自变量的值求出函数值，再比较便可；
由时求出其自变量的值，便可确定的取值范围．
本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应用二次函数解析式解决实际问题．
 

22.【答案】 

【解析】解：设与交点为，
在菱形中，对角线，，
，，，
．
当时，点与对角线和的交点重合，
此时为直角三角形．
为的中点，
，
即；
故答案为；



画出的的函数图象如解图所示．



记，相交于点，如解图所示．由垂线段最短，
可知当时，的值最小，即取得最小值．
，
，．
为的中点，
为的中点，
，
即的最小值为．



由题意，可知当是等腰三角形时，需分以下两种情况进行讨论：
当时．
观察图象，可知或舍去．
当时，
观察图象，可知的长约为，
综上，线段的长度约为或．
设与交点为，根据菱形中，，，，得到，当时，点与对角线和的交点重合，得到为直角三角形，根据为的中点，得到，即；
以表中每一对，的值作为点的坐标，在同一平面直角坐标系中描点，而后用平滑是曲线顺次连接各点，得到函数的图象；
记，相交于点，当时，取得最小值，根据，得到，根据为的中点，得到为的中点，推出，即的最小值为；
根据题意当是等腰三角形时，需分以下两种情况进行讨论：当时．观察图象，得到或舍去；当时，观察图象，得到的长约为，得到线段的长度约为或．
本题主要考查了菱形，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形，图象法表格法表示函数，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，运用等腰三角形定义分类讨论等腰三角形的存在性，运用对应数值表画函数图象，运用函数图象求函数的最值与函数图象的交点．
 

23.【答案】   

【解析】解：，理由如下：
四边形为正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
，理由如下：
≌，
，
，
；
故答案为：；；
成立，理由如下：
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
设，则，
，，
，
负值舍去，
，，
，
，
．
根据正方形的性质证明≌，可得，，然后证明≌，可得，即可解决问题；
根据≌，可得，进而可以解决问题；
证明≌，可得，，进而可以解决问题；
设，则，根据勾股定理可得，求出，进而可以解决问题．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．