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2023年河南省实验中学中考数学一模试卷附解析
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这是一份2023年河南省实验中学中考数学一模试卷附解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省实验中学中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2023的相反数是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
2．（3分）如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2＝40°，则∠1＝（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．（3分）2023年春节假期，电影《流浪地球2》上映，这是一部讲述太阳出现危机，人类联合拯救地球的国产科幻大片．截止北京时间2023年2月14日，总票房已超37亿元，数字37亿用科学记数法表示为（ ）
A．37×108 B．3.7×108 C．0.37×1010 D．3.7×109
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4m﹣m＝4 B．2a2﹣3a2＝﹣a2
C．m2n﹣mn2＝0 D．x﹣（y﹣x）＝﹣y
6．（3分）若关于x的方程x2+bx+36＝0有两个相等的实数根，则b的值是（ ）
A．12 B．﹣12 C．±12 D．±6
7．（3分）如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）方程的解是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．无解
9．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（∠AOM＝∠BOM），当点P第2023次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（1，4） D．（8，3）
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
3
0
﹣1
m
3
以下结论错误的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣1）
B．当x＞1时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）64的立方根为 ．
12．（3分）写出一个经过点（﹣1，1）的函数表达式 ．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
14．（3分）如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，点D，E分别是AB、AC的中点，点G，F在BC边上（均不与端点重合），DG∥EF．将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）新学期开学，我市某中学举行了“学习二十大，筑梦向未来”知识竞赛，数学王老师从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理、描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.80≤x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D．95≤x≤100．
七年级10名学生的成绩是：
96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：
90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
b
c
52
八年级
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中a，b，c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）设点M在反比例函数的图象（x＞0）上，连接MA、MD，若△MAD的面积是菱形ABCD面积的，求点M的坐标．
19．（9分）某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），探测最大角（∠OBC）为58°，探测最小角（∠OAC）为26.6°，已知该设备在支杆OP上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.01米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
20．（9分）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A（续航600千米）和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如表：
车型
纯电动汽车A（续航600千米）
插电混动汽车B
进价（万元/辆）
25
12
售价（万元/辆）
28
16
新能源积分（分/辆）
8
2
购进数量（辆）
x
y
（1）2月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，设购进A、B型号的车分别为x，y辆，则x，y分别为多少？
（2）因汽车供不应求，该“4S”店3月份决定购进A，B两种车型共50辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于280分，已知新能源积分每分可获得0.3万元的补贴，那么3月份如何进货才能使4S店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴）
21．（9分）定义：自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端点，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．
问题：如图②，已知线段AB与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段AB的视角最大．
小明的分析思路如下：过A、B两点，作⊙O使其与直线l相切，切点为P，则点P对线段AB的视角最大，即∠APB最大．
小明的证明过程：为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接AQ、BQ，如图②，设直线BQ交圆O于点H，连接AH，
则∠APB＝∠AHB（依据1）
∵∠AHB＝∠AQH+∠QAH（依据2）
∴∠APB＝∠AQH+∠QAH
∴∠APB＞∠AQH
所以，点P对线段AB的视角最大．
（1）请写出小明证明过程中的依据1和依据2；
依据1： ．
依据2： ．
（2）应用：在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如图③，A、B是足球门的两端，线段AB是球门的宽，CD是球场边线，∠ADC是直角，EF⊥CD．
①若球员沿EF带球前进，记足球所在的位置为点P，在图③中，用直尺和圆规在EF上求作点P，使点P对AB的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）．
②若AB＝10，DE＝25，直接写出①中所作的点P对AB的最大视角的度数．（参考数据：．）
22．（10分）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，求自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？
23．（10分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在边AB上，且时，则∠BGE＝ ；
（2）如图2，当折痕的另一端F在边AD上，点E与D点重合时，判断△FHD和△DCG是否全等？请说明理由．
（3）若BG＝10，当折痕的另一端F在边AD上，点E未落在边AD上，且点E到AD的距离为2时，直接写出AF的长．
2023年河南省实验中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2023的相反数是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，几何体的左视图为，
故选：A．
3．（3分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2＝40°，则∠1＝（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：如图，
∵∠2＝40°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝50°，
∴∠1＝50°．
故选：B．
4．（3分）2023年春节假期，电影《流浪地球2》上映，这是一部讲述太阳出现危机，人类联合拯救地球的国产科幻大片．截止北京时间2023年2月14日，总票房已超37亿元，数字37亿用科学记数法表示为（ ）
A．37×108 B．3.7×108 C．0.37×1010 D．3.7×109
【解答】解：37亿＝37×108＝3.7×109．
故选：D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4m﹣m＝4 B．2a2﹣3a2＝﹣a2
C．m2n﹣mn2＝0 D．x﹣（y﹣x）＝﹣y
【解答】解：A、4m﹣m＝3m，不符合题意；
B、2a2﹣3a2＝﹣a2，符合题意；
C、m2n﹣mn2＝mn（m﹣n），不符合题意；
D、x﹣（y﹣x）＝x﹣y+x＝2x﹣y，不符合题意．
故选：B．
6．（3分）若关于x的方程x2+bx+36＝0有两个相等的实数根，则b的值是（ ）
A．12 B．﹣12 C．±12 D．±6
【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+36＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4×36＝0，
解得：b＝±12．
故选：C．
7．（3分）如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：列表如下：
1
2
3
1
1
2
3
2
2
4
6
由表知共有6种等可能结果，其中积为偶数的有4种结果，
所以积为偶数的概率为＝，
故选：A．
8．（3分）方程的解是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．无解
【解答】解：，
方程两边都乘2（3﹣x），得2（2﹣x）＝3﹣x+2，
解得；x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，2（3﹣x）≠0，
所以x＝﹣1是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝﹣1，
故选：C．
9．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（∠AOM＝∠BOM），当点P第2023次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（1，4） D．（8，3）
【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，
∵第6次反弹时回到出发点，
∴每6次碰到矩形的边为一个循环组依次循环，
∵2023÷6＝337⋯⋯1，
∴点P第2023次碰到矩形的边时是第338个循环的一次，
坐标为（3，0）．
故选：B．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
3
0
﹣1
m
3
以下结论错误的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣1）
B．当x＞1时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
【解答】解：将（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x．
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，顶点（1，﹣1），
故A正确，不符合题意．
B．∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故B正确，不符合题意．
C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴当x＝0或x＝2时y＝0，
故C正确，不符合题意．
D．∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴x＜0或x＞2时，y＞0，
故D错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）64的立方根为 4 ．
【解答】解：64的立方根是4．
故答案为：4．
12．（3分）写出一个经过点（﹣1，1）的函数表达式 y＝﹣x2（答案不唯一） ．
【解答】解：依题意有y＝﹣x2等，答案不唯一．
故答案为：y＝﹣x2（答案不唯一）．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
【解答】解：，
由①得3x＜10，；
由②得16x﹣3＜18x，
16x﹣18x＜3，
x＞﹣，
不等式解集为．
故答案为：．
14．（3分）如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 π ．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示，
∵AB＝6，△ABC是等边三角形，
∴BD＝3，∠OBD＝30°，
∵∠ADB＝90°，
∴OB＝2OD，OB2＝OD2+BD2，
∴OD＝，
∴圆中的黑色部分的面积是：π×（）2＝π，
故答案为：π．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，点D，E分别是AB、AC的中点，点G，F在BC边上（均不与端点重合），DG∥EF．将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是 49≤l＜65 ．
【解答】解：如图：连接DE，作AH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，AB＝20，AC＝15，
∴，
∵，
∴AH＝12，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴，
∵DG∥EF，
∴四边形DGFE是平行四边形，
∴，
∴MN∥BC，GM∥FN，
∴四边形MNFG是平行四边形，
∴当MG＝NF＝AH时，可得四边形MNFG周长的最小值＝，
当G与B重合时可得周长的最大值为65，
∵G不与B重合，
∴49≤l＜65，
故答案为：49≤l＜65．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）
＝3+9﹣5
＝7．
（2）原式＝
＝
＝
＝a﹣4．
17．（9分）新学期开学，我市某中学举行了“学习二十大，筑梦向未来”知识竞赛，数学王老师从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理、描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.80≤x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D．95≤x≤100．
七年级10名学生的成绩是：
96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：
90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
b
c
52
八年级
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中a，b，c的值：a＝ 40 ，b＝ 93 ，c＝ 96 ．
（2）根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【解答】解：（1），
∴a＝40，
七年级成绩排列为80，82，86，89，90，96，96，96，99，100，
居于中间的数值为90和96，
∴中位数为，
在七年级成绩数据中96出现的次数最多，
∴c＝96
故答案为：40；93；96；
（2）七、八年级的平均分相同，八年级的众数大于七年级，所以八年级的成绩比七年级的要好些．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）设点M在反比例函数的图象（x＞0）上，连接MA、MD，若△MAD的面积是菱形ABCD面积的，求点M的坐标．
【解答】解：（1）延长AD交x轴于F，则AF垂直于x轴，如图1所示．
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF＝4，DF＝3，
∴，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝OD＝5，
∴点A坐标为（4，8），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴k＝4×8＝32；
∴反比例的函数关系式为：；
（2）由（1）知：反比例函数的关系式为，
设点M的坐标为，
∵△MAD的面积是菱形ABCD面积的，
∴，，
∴m＝8或m＝0（舍去），
∴M（8，4）．
19．（9分）某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），探测最大角（∠OBC）为58°，探测最小角（∠OAC）为26.6°，已知该设备在支杆OP上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.01米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
【解答】解：根据题意可知，AC＝AB+BC＝2.53+BC（米）．
在Rt△OBC中，，
∴OC＝1.60BC．
在Rt△OAC中，OC＝AC•tan∠OAC＝（2.53+BC）×0.5，
∴1.60BC＝（2.53+BC）×0.5，
∴BC＝1.15（米），
∴OC＝1.84（米）．
答：该设备的安装高度OC约为1.84米．
20．（9分）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A（续航600千米）和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如表：
车型
纯电动汽车A（续航600千米）
插电混动汽车B
进价（万元/辆）
25
12
售价（万元/辆）
28
16
新能源积分（分/辆）
8
2
购进数量（辆）
x
y
（1）2月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，设购进A、B型号的车分别为x，y辆，则x，y分别为多少？
（2）因汽车供不应求，该“4S”店3月份决定购进A，B两种车型共50辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于280分，已知新能源积分每分可获得0.3万元的补贴，那么3月份如何进货才能使4S店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴）
【解答】解：（1）依题意得：，
解得：．
答：x的值为10，y的值为25．
（2）设4月购进A型车m辆，则购进B型车（50﹣m）辆，
依题意得：8m+2（50﹣m）≤280，
解得：m≤30．
设所进车辆全部售出后获得的总利润为w万元，
则w＝（28﹣25）m+（16﹣12）（50﹣m）+0.3[8m+2（50﹣m）]＝0.8m+230，
∵0.8＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝30时，即购进A型车30辆，B型车20辆时获利最大．
21．（9分）定义：自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端点，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．
问题：如图②，已知线段AB与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段AB的视角最大．
小明的分析思路如下：过A、B两点，作⊙O使其与直线l相切，切点为P，则点P对线段AB的视角最大，即∠APB最大．
小明的证明过程：为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接AQ、BQ，如图②，设直线BQ交圆O于点H，连接AH，
则∠APB＝∠AHB（依据1）
∵∠AHB＝∠AQH+∠QAH（依据2）
∴∠APB＝∠AQH+∠QAH
∴∠APB＞∠AQH
所以，点P对线段AB的视角最大．
（1）请写出小明证明过程中的依据1和依据2；
依据1： 同弧所对的圆周角相等 ．
依据2： 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和 ．
（2）应用：在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如图③，A、B是足球门的两端，线段AB是球门的宽，CD是球场边线，∠ADC是直角，EF⊥CD．
①若球员沿EF带球前进，记足球所在的位置为点P，在图③中，用直尺和圆规在EF上求作点P，使点P对AB的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）．
②若AB＝10，DE＝25，直接写出①中所作的点P对AB的最大视角的度数．（参考数据：．）
【解答】解：（1）在直线l上另外任取一点Q，连接AQ、BQ，如图②，设直线BQ交圆O于点H，连接AH，
则∠APB＝∠AHB（同弧所对的圆周角相等），
∵∠AHB＝∠AQH+∠QAH（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）．
∴∠APB＝∠AQH+∠QAH，
∴∠APB＞∠AQH，
所以，点P对线段AB的视角最大．
故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）解：①如图，作线段AB的垂直平分线交EF于点P，点P即为所求．
②过A、B两点，作⊙O使其与直线EF相切，切点为P，设OP交AB于点M，设OA＝OP＝OB＝x，则OP⊥EF，
∴∠DMP＝∠D＝∠DEP＝90°，
∴四边形DEPM是矩形，
∴PM＝DE＝25，OM⊥AB，
∴OM＝25﹣x，，
在Rt△BOM中，OM2+BM2＝OB2，
∴52+（25﹣x）2＝x2，
∴x＝13，
∴OM＝12，
∴OM：BM＝2.4，
∵tan67°≈2.4，
∴∠ABO＝67°，
∴∠AOB＝180﹣67﹣67＝46°，
∴，
∴最大视角是23°．
22．（10分）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，求自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？
【解答】解：（1）由题可知：当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米，
则可设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5，
∴将点（0，1.8）代入可得，
∴抛物线，
（2）设喷射架向左水平平移了m米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点N（10，3.75）代入得：，
解得m＝3或m＝﹣7（舍去），
∴喷射架应向左水平移动3米．
23．（10分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在边AB上，且时，则∠BGE＝ 60° ；
（2）如图2，当折痕的另一端F在边AD上，点E与D点重合时，判断△FHD和△DCG是否全等？请说明理由．
（3）若BG＝10，当折痕的另一端F在边AD上，点E未落在边AD上，且点E到AD的距离为2时，直接写出AF的长．
【解答】解：（1）由折叠的性质得：EF＝BF，∠FEG＝∠B＝90°，
∵，AB＝8，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD⊥BC，
∴∠AEG+∠BGE＝180°，
在Rt△AEF中，，
∴∠AEF＝30°，
∴∠AEG＝120°，
∴∠BGE＝60°；
故答案为：60°．
（2）全等．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，
由题意知：∠A＝∠H＝∠B＝∠HDG＝90°，CD＝AB＝HD，
∴∠H＝∠C＝90°，∠FDH＝∠GDC，
在△FHD和△GCD中，，
∴△FHD≌△GCD（ASA）．
（3）如图，点E在AD的下方时，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，
∵E到AD的距离为2cm，
∴EM＝2，EN＝8﹣2＝6，
在Rt△ENG中，，
∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠KEM＝∠NGE，
又∵∠ENG＝∠KME＝90°，
∴△GEN∽△EKM，
∴，
即，
解得，
∴，
∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，
∴△FKH∽△EKM，
∴，
即，
解得，
∴．
如图，当EG∥CD时，此时点E在AD的上方时，则MG＝CD＝AB＝8，EM⊥AD，
∵EG＝BG＝10，
∴EM＝2，
此时E到AD的距离为2，符合题意，
根据题意得：∠H＝∠E＝∠EMF＝90°，
∴四边形EHFM为矩形，
∴FH＝EM＝2，
∴AF＝HF＝2；
综上所述，或2．
2023年河南省实验中学中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2023的相反数是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
2．（3分）如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2＝40°，则∠1＝（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．（3分）2023年春节假期，电影《流浪地球2》上映，这是一部讲述太阳出现危机，人类联合拯救地球的国产科幻大片．截止北京时间2023年2月14日，总票房已超37亿元，数字37亿用科学记数法表示为（ ）
A．37×108 B．3.7×108 C．0.37×1010 D．3.7×109
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4m﹣m＝4 B．2a2﹣3a2＝﹣a2
C．m2n﹣mn2＝0 D．x﹣（y﹣x）＝﹣y
6．（3分）若关于x的方程x2+bx+36＝0有两个相等的实数根，则b的值是（ ）
A．12 B．﹣12 C．±12 D．±6
7．（3分）如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）方程的解是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．无解
9．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（∠AOM＝∠BOM），当点P第2023次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（1，4） D．（8，3）
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
3
0
﹣1
m
3
以下结论错误的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣1）
B．当x＞1时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）64的立方根为 ．
12．（3分）写出一个经过点（﹣1，1）的函数表达式 ．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
14．（3分）如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，点D，E分别是AB、AC的中点，点G，F在BC边上（均不与端点重合），DG∥EF．将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）新学期开学，我市某中学举行了“学习二十大，筑梦向未来”知识竞赛，数学王老师从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理、描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.80≤x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D．95≤x≤100．
七年级10名学生的成绩是：
96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：
90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
b
c
52
八年级
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中a，b，c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）设点M在反比例函数的图象（x＞0）上，连接MA、MD，若△MAD的面积是菱形ABCD面积的，求点M的坐标．
19．（9分）某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），探测最大角（∠OBC）为58°，探测最小角（∠OAC）为26.6°，已知该设备在支杆OP上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.01米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
20．（9分）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A（续航600千米）和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如表：
车型
纯电动汽车A（续航600千米）
插电混动汽车B
进价（万元/辆）
25
12
售价（万元/辆）
28
16
新能源积分（分/辆）
8
2
购进数量（辆）
x
y
（1）2月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，设购进A、B型号的车分别为x，y辆，则x，y分别为多少？
（2）因汽车供不应求，该“4S”店3月份决定购进A，B两种车型共50辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于280分，已知新能源积分每分可获得0.3万元的补贴，那么3月份如何进货才能使4S店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴）
21．（9分）定义：自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端点，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．
问题：如图②，已知线段AB与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段AB的视角最大．
小明的分析思路如下：过A、B两点，作⊙O使其与直线l相切，切点为P，则点P对线段AB的视角最大，即∠APB最大．
小明的证明过程：为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接AQ、BQ，如图②，设直线BQ交圆O于点H，连接AH，
则∠APB＝∠AHB（依据1）
∵∠AHB＝∠AQH+∠QAH（依据2）
∴∠APB＝∠AQH+∠QAH
∴∠APB＞∠AQH
所以，点P对线段AB的视角最大．
（1）请写出小明证明过程中的依据1和依据2；
依据1： ．
依据2： ．
（2）应用：在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如图③，A、B是足球门的两端，线段AB是球门的宽，CD是球场边线，∠ADC是直角，EF⊥CD．
①若球员沿EF带球前进，记足球所在的位置为点P，在图③中，用直尺和圆规在EF上求作点P，使点P对AB的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）．
②若AB＝10，DE＝25，直接写出①中所作的点P对AB的最大视角的度数．（参考数据：．）
22．（10分）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，求自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？
23．（10分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在边AB上，且时，则∠BGE＝ ；
（2）如图2，当折痕的另一端F在边AD上，点E与D点重合时，判断△FHD和△DCG是否全等？请说明理由．
（3）若BG＝10，当折痕的另一端F在边AD上，点E未落在边AD上，且点E到AD的距离为2时，直接写出AF的长．
2023年河南省实验中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2023的相反数是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，几何体的左视图为，
故选：A．
3．（3分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2＝40°，则∠1＝（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：如图，
∵∠2＝40°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝50°，
∴∠1＝50°．
故选：B．
4．（3分）2023年春节假期，电影《流浪地球2》上映，这是一部讲述太阳出现危机，人类联合拯救地球的国产科幻大片．截止北京时间2023年2月14日，总票房已超37亿元，数字37亿用科学记数法表示为（ ）
A．37×108 B．3.7×108 C．0.37×1010 D．3.7×109
【解答】解：37亿＝37×108＝3.7×109．
故选：D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4m﹣m＝4 B．2a2﹣3a2＝﹣a2
C．m2n﹣mn2＝0 D．x﹣（y﹣x）＝﹣y
【解答】解：A、4m﹣m＝3m，不符合题意；
B、2a2﹣3a2＝﹣a2，符合题意；
C、m2n﹣mn2＝mn（m﹣n），不符合题意；
D、x﹣（y﹣x）＝x﹣y+x＝2x﹣y，不符合题意．
故选：B．
6．（3分）若关于x的方程x2+bx+36＝0有两个相等的实数根，则b的值是（ ）
A．12 B．﹣12 C．±12 D．±6
【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+36＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4×36＝0，
解得：b＝±12．
故选：C．
7．（3分）如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：列表如下：
1
2
3
1
1
2
3
2
2
4
6
由表知共有6种等可能结果，其中积为偶数的有4种结果，
所以积为偶数的概率为＝，
故选：A．
8．（3分）方程的解是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．无解
【解答】解：，
方程两边都乘2（3﹣x），得2（2﹣x）＝3﹣x+2，
解得；x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，2（3﹣x）≠0，
所以x＝﹣1是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝﹣1，
故选：C．
9．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（∠AOM＝∠BOM），当点P第2023次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（1，4） D．（8，3）
【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，
∵第6次反弹时回到出发点，
∴每6次碰到矩形的边为一个循环组依次循环，
∵2023÷6＝337⋯⋯1，
∴点P第2023次碰到矩形的边时是第338个循环的一次，
坐标为（3，0）．
故选：B．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
3
0
﹣1
m
3
以下结论错误的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣1）
B．当x＞1时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
【解答】解：将（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x．
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，顶点（1，﹣1），
故A正确，不符合题意．
B．∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故B正确，不符合题意．
C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴当x＝0或x＝2时y＝0，
故C正确，不符合题意．
D．∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴x＜0或x＞2时，y＞0，
故D错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）64的立方根为 4 ．
【解答】解：64的立方根是4．
故答案为：4．
12．（3分）写出一个经过点（﹣1，1）的函数表达式 y＝﹣x2（答案不唯一） ．
【解答】解：依题意有y＝﹣x2等，答案不唯一．
故答案为：y＝﹣x2（答案不唯一）．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
【解答】解：，
由①得3x＜10，；
由②得16x﹣3＜18x，
16x﹣18x＜3，
x＞﹣，
不等式解集为．
故答案为：．
14．（3分）如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 π ．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示，
∵AB＝6，△ABC是等边三角形，
∴BD＝3，∠OBD＝30°，
∵∠ADB＝90°，
∴OB＝2OD，OB2＝OD2+BD2，
∴OD＝，
∴圆中的黑色部分的面积是：π×（）2＝π，
故答案为：π．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，点D，E分别是AB、AC的中点，点G，F在BC边上（均不与端点重合），DG∥EF．将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是 49≤l＜65 ．
【解答】解：如图：连接DE，作AH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，AB＝20，AC＝15，
∴，
∵，
∴AH＝12，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴，
∵DG∥EF，
∴四边形DGFE是平行四边形，
∴，
∴MN∥BC，GM∥FN，
∴四边形MNFG是平行四边形，
∴当MG＝NF＝AH时，可得四边形MNFG周长的最小值＝，
当G与B重合时可得周长的最大值为65，
∵G不与B重合，
∴49≤l＜65，
故答案为：49≤l＜65．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）
＝3+9﹣5
＝7．
（2）原式＝
＝
＝
＝a﹣4．
17．（9分）新学期开学，我市某中学举行了“学习二十大，筑梦向未来”知识竞赛，数学王老师从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理、描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.80≤x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D．95≤x≤100．
七年级10名学生的成绩是：
96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：
90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
b
c
52
八年级
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中a，b，c的值：a＝ 40 ，b＝ 93 ，c＝ 96 ．
（2）根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【解答】解：（1），
∴a＝40，
七年级成绩排列为80，82，86，89，90，96，96，96，99，100，
居于中间的数值为90和96，
∴中位数为，
在七年级成绩数据中96出现的次数最多，
∴c＝96
故答案为：40；93；96；
（2）七、八年级的平均分相同，八年级的众数大于七年级，所以八年级的成绩比七年级的要好些．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）设点M在反比例函数的图象（x＞0）上，连接MA、MD，若△MAD的面积是菱形ABCD面积的，求点M的坐标．
【解答】解：（1）延长AD交x轴于F，则AF垂直于x轴，如图1所示．
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF＝4，DF＝3，
∴，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝OD＝5，
∴点A坐标为（4，8），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴k＝4×8＝32；
∴反比例的函数关系式为：；
（2）由（1）知：反比例函数的关系式为，
设点M的坐标为，
∵△MAD的面积是菱形ABCD面积的，
∴，，
∴m＝8或m＝0（舍去），
∴M（8，4）．
19．（9分）某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），探测最大角（∠OBC）为58°，探测最小角（∠OAC）为26.6°，已知该设备在支杆OP上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.01米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
【解答】解：根据题意可知，AC＝AB+BC＝2.53+BC（米）．
在Rt△OBC中，，
∴OC＝1.60BC．
在Rt△OAC中，OC＝AC•tan∠OAC＝（2.53+BC）×0.5，
∴1.60BC＝（2.53+BC）×0.5，
∴BC＝1.15（米），
∴OC＝1.84（米）．
答：该设备的安装高度OC约为1.84米．
20．（9分）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A（续航600千米）和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如表：
车型
纯电动汽车A（续航600千米）
插电混动汽车B
进价（万元/辆）
25
12
售价（万元/辆）
28
16
新能源积分（分/辆）
8
2
购进数量（辆）
x
y
（1）2月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，设购进A、B型号的车分别为x，y辆，则x，y分别为多少？
（2）因汽车供不应求，该“4S”店3月份决定购进A，B两种车型共50辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于280分，已知新能源积分每分可获得0.3万元的补贴，那么3月份如何进货才能使4S店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴）
【解答】解：（1）依题意得：，
解得：．
答：x的值为10，y的值为25．
（2）设4月购进A型车m辆，则购进B型车（50﹣m）辆，
依题意得：8m+2（50﹣m）≤280，
解得：m≤30．
设所进车辆全部售出后获得的总利润为w万元，
则w＝（28﹣25）m+（16﹣12）（50﹣m）+0.3[8m+2（50﹣m）]＝0.8m+230，
∵0.8＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝30时，即购进A型车30辆，B型车20辆时获利最大．
21．（9分）定义：自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端点，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．
问题：如图②，已知线段AB与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段AB的视角最大．
小明的分析思路如下：过A、B两点，作⊙O使其与直线l相切，切点为P，则点P对线段AB的视角最大，即∠APB最大．
小明的证明过程：为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接AQ、BQ，如图②，设直线BQ交圆O于点H，连接AH，
则∠APB＝∠AHB（依据1）
∵∠AHB＝∠AQH+∠QAH（依据2）
∴∠APB＝∠AQH+∠QAH
∴∠APB＞∠AQH
所以，点P对线段AB的视角最大．
（1）请写出小明证明过程中的依据1和依据2；
依据1： 同弧所对的圆周角相等 ．
依据2： 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和 ．
（2）应用：在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如图③，A、B是足球门的两端，线段AB是球门的宽，CD是球场边线，∠ADC是直角，EF⊥CD．
①若球员沿EF带球前进，记足球所在的位置为点P，在图③中，用直尺和圆规在EF上求作点P，使点P对AB的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）．
②若AB＝10，DE＝25，直接写出①中所作的点P对AB的最大视角的度数．（参考数据：．）
【解答】解：（1）在直线l上另外任取一点Q，连接AQ、BQ，如图②，设直线BQ交圆O于点H，连接AH，
则∠APB＝∠AHB（同弧所对的圆周角相等），
∵∠AHB＝∠AQH+∠QAH（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）．
∴∠APB＝∠AQH+∠QAH，
∴∠APB＞∠AQH，
所以，点P对线段AB的视角最大．
故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）解：①如图，作线段AB的垂直平分线交EF于点P，点P即为所求．
②过A、B两点，作⊙O使其与直线EF相切，切点为P，设OP交AB于点M，设OA＝OP＝OB＝x，则OP⊥EF，
∴∠DMP＝∠D＝∠DEP＝90°，
∴四边形DEPM是矩形，
∴PM＝DE＝25，OM⊥AB，
∴OM＝25﹣x，，
在Rt△BOM中，OM2+BM2＝OB2，
∴52+（25﹣x）2＝x2，
∴x＝13，
∴OM＝12，
∴OM：BM＝2.4，
∵tan67°≈2.4，
∴∠ABO＝67°，
∴∠AOB＝180﹣67﹣67＝46°，
∴，
∴最大视角是23°．
22．（10分）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，求自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？
【解答】解：（1）由题可知：当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米，
则可设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5，
∴将点（0，1.8）代入可得，
∴抛物线，
（2）设喷射架向左水平平移了m米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点N（10，3.75）代入得：，
解得m＝3或m＝﹣7（舍去），
∴喷射架应向左水平移动3米．
23．（10分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在边AB上，且时，则∠BGE＝ 60° ；
（2）如图2，当折痕的另一端F在边AD上，点E与D点重合时，判断△FHD和△DCG是否全等？请说明理由．
（3）若BG＝10，当折痕的另一端F在边AD上，点E未落在边AD上，且点E到AD的距离为2时，直接写出AF的长．
【解答】解：（1）由折叠的性质得：EF＝BF，∠FEG＝∠B＝90°，
∵，AB＝8，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD⊥BC，
∴∠AEG+∠BGE＝180°，
在Rt△AEF中，，
∴∠AEF＝30°，
∴∠AEG＝120°，
∴∠BGE＝60°；
故答案为：60°．
（2）全等．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，
由题意知：∠A＝∠H＝∠B＝∠HDG＝90°，CD＝AB＝HD，
∴∠H＝∠C＝90°，∠FDH＝∠GDC，
在△FHD和△GCD中，，
∴△FHD≌△GCD（ASA）．
（3）如图，点E在AD的下方时，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，
∵E到AD的距离为2cm，
∴EM＝2，EN＝8﹣2＝6，
在Rt△ENG中，，
∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠KEM＝∠NGE，
又∵∠ENG＝∠KME＝90°，
∴△GEN∽△EKM，
∴，
即，
解得，
∴，
∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，
∴△FKH∽△EKM，
∴，
即，
解得，
∴．
如图，当EG∥CD时，此时点E在AD的上方时，则MG＝CD＝AB＝8，EM⊥AD，
∵EG＝BG＝10，
∴EM＝2，
此时E到AD的距离为2，符合题意，
根据题意得：∠H＝∠E＝∠EMF＝90°，
∴四边形EHFM为矩形，
∴FH＝EM＝2，
∴AF＝HF＝2；
综上所述，或2．
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