安徽省宣城市2022-2023学年高二下学期期末调研测试数学试卷(解析版)

这是一份安徽省宣城市2022-2023学年高二下学期期末调研测试数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了 已知向量，若，则， 若，则， 已知函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】因为，所以，即．
故选：A．
2. 已知集合，若，则实数a的取值所组成的集合是（ ）
A. B. C. 0，D. 0，
【答案】D
【解析】.
当时，为空集，满足条件.
当时，或，解得或.
综上可得，实数a的取值所组成的集合是2，.
故选：D.
3. 为提高学生的数学学习兴趣，某中学拟开设《数学史》､《数学建模》､《数学探究》､《微积分先修课程》四门校本选修课程，其中有5位同学打算在上述四门课程中每人选择一门学习，则每门课程至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）
A. 120种B. 180种C. 240种D. 300种
【答案】C
【解析】将5名同学分为2，1，1，1的分组，有种分组方法，
再分配学习4门课程，有种方法，
所以共有种方法.
故选：C
4. 已知函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若函数f（x）=lg2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，
则当x∈[2，+∞）时，
x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数
即，f（2）=4+a＞0
解得﹣4＜a≤4
故选C．
5. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则下列说法不正确的是（ ）
A. 椭圆的焦距是2
B. 椭圆的离心率是
C. 抛物线的准线方程是
D. 抛物线的焦点到其准线的距离是4
【答案】D
【解析】，
所以椭圆的焦距为，离心率，故AB正确；
抛物线的焦点坐标为，所以准线方程为，焦点到准线的距离，故C正确，D错误.
故选：D
6. 等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（ ）
A. 4B. 16C. 32D. 64
【答案】D
【解析】当公比 时可得，代入，与矛盾，
所以.
由等比数列的前项和公式 ，可得，
两式相除，得 ，可解得或（舍），
当时，代入原式可求得，则由等比数列的通项公式.
故选：D
7. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，可得，
即
，解得：或（舍），
.
故选：C
8. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
因为，所以，
又，所以，
所以，，
所以，
故．
故选：B
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 如图，在正方体中，，分别是的中点，则（ ）
A. 四点，，，共面
B.
C. 平面
D. 若，则正方体外接球的表面积为
【答案】BD
【解析】对于选项，连接和，由此可知点，，在平面中，
点平面，则四点，，，不共面，即选项不正确；
对于选项，由正方体的性质结合条件可知，分别是的中点，
所以,
又因为, 所以，即选项正确；
对于选项，点,,都在平面,所以与平面相交，
即选项不正确；
对于选项，因为为△的中位线，且，所以正方体的棱长为，
设正方体外接球的半径为,则,
即，则外接球的表面积为,即选项正确；
故选： .
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在区间上单调递减，在区间上单调递增
B. 在上仅有一个零点
C. 若关于方程有两个实数解，则
D. 在上有最小值，无最大值
【答案】ABD
【解析】因为，
则，
由，可得，
由，可得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A正确；
在处取得极小值，也是最小值为，
当时，，
当时，，可以得到的图像，如图所示，
由图像可得，在上仅有一个零点，故B正确；
若关于的方程有两个实数解，
则函数与，的图像有两个交点，
由图像可得，故C错误；在上有最小值，无最大值，故D正确；
故选：ABD
11. 已知抛物线，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，，垂足为，设，则（ ）
A. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线恰有2条
B. 已知曲线上的两点到点的距离之和为10，则线段的中点的横坐标是4
C. 的最小值为
D. 的最小值为4
【答案】BCD
【解析】对于A，因为在抛物线外，
显然过与抛物线相切的直线有2条，
当此直线与x轴平行时，与抛物线也是仅有一个公共点，
所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，故A错误；
对于B，设，则，即，
则线段的中点的横坐标为，故B正确；
对于C，，（当点在线段上时，取等号），故C正确；
对于D，设，设直线的方程为，
由，
得，
易得，则，
，（当且仅当时，等号成立），故D正确；
故选：BCD
.
12. 记A，B为随机事件，下列说法正确的是（ ）
A. 若事件A，B互斥，，，则
B. 若事件A，B相互独立，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】BC
【解析】
，∴，A错.
，
B对
令，，，∴，
，∴，
，∴，C对.
，D错，
故选：BC
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量的坐标为__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
则在方向上的投影为.
故答案为：.
14. 已知椭圆的三个顶点构成等边三角形，则椭圆的离心率是__________.
【答案】
【解析】因为，所以三个顶点应是两个短轴端点，一个长轴端点，
即，即，则，得.
故答案为：
15. 已知直线与圆：相交于，两点，且为钝角三角形，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】圆：化为，
故圆心，半径为2，
当为等腰直角三角形时，
点C到直线的距离，
解得，
为钝角三角形，
，当时，，
则可得的取值范围为.
故答案为：.
16. 已知函数满足，且在区间上单调，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】因为在区间上单调，所以，
，，解得；
因为，，
所以，所以，所以，
所以；
当，解得，所以.
故答案为：.
四､解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若边上中线长为，求的面积.
解：（1），
由正弦定理得，所以，
所以，
因为，所以；
（2）由（1）得因为边上中线长为，
设中点为，所以，
所以，即，
所以，
又因为，所以，解得，
所以.
18. 已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）当时，，
当时，因为①，
所以②，
①－②得，
即，
所以，
又因为，所以，
所以，当时，是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.
所以.
（2）因为，
所以，当时，，
当时，，
所以，
所以，
则数列的前项和为，
当时，
当时，，
，
①－②得，
，
，
所以.
当时，也满足.
故数列的前项和.
19. 中国乒乓球队号称梦之队，在过往的三届奥运会上，中国代表团包揽了全部枚乒乓球金牌，在北京奥运会上，甚至在男女子单打项目上包揽了金银铜三枚奖牌.为了推动世界乒乓球运动的发展，增强比赛的观赏性，年世界乒乓球锦标赛在乒乓球双打比赛中允许来自不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名，从这名运动员中随机选择人参加比赛
（1）设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列，并求.
解：（1）由已知，有，
所以事件发生的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为、、、，，
，，，
所以随机变量的分布列为
所以.
20. 如图，在三棱锥中，为的中点.

（1）证明：平面；
（2）点在棱上，若平面与平面的夹角为，求的值.
解：（1）在中，，
因为是的中点，
所以，且.
在中，因为，所以.
因为为的中点，连接，
所以，且.
在中，因为，所以.
因为，平面，
所以平面.
（2）以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，得，，
所以.
取平面的一个法向量，
又平面与平面的夹角为，
所以，
整理得，即或，
因为，所以，
所以.

21. 已知双曲线的焦距为4，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，求证：.
解：（1）因为点在上，所以①，由题意知，
所以②
由①②解得，故双曲线的方程为.
（2）方法一：设直线的方程为，

由消去得，
设，则，
因为为
，所以，
所以所以.
方法二：证明：当直线的斜率不存在时，关于轴对称，结论显然成立
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立消去得，，
显然，
设，则，
因为
所以，所以.
所以.
22. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：对任意的.
解：（1）由题可知函数的定义域为
令得或（舍去）
所以，在上单调递减，上单调递增.
（2），
要证明，
只用证明，
令，
设，，即单调递增，
，，
可得函数有唯一的零点且，满足，
当变化时，与的变化情况如下，
所以，
因为，因为，所以不取等号，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
所以，对成立.
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
0
单调递减
极小值
单调递增