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辽宁省沈阳市于洪区2022—2023学年下学期八年级期末数学试卷（含答案）
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这是一份辽宁省沈阳市于洪区2022—2023学年下学期八年级期末数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市于洪区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 多项式12ab3c-8a2b各项的公因式是( )
A. 4ab2 B. 4abc C. 2ab2 D. 4ab
3. 下列各式中，正确的是( )
A. x6x2=x3 B. x+mx+n=mn C. x2-1x+1=x-1 D. x+yx-y=-1
4. 在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=108°，则∠D=( )
A. 72° B. 126° C. 136° D. 108°
5. 分式方程xx-3-13-x=2的根是( )
A. -7 B. 1 C. 5 D. 7
6. 一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是( )
A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形
7. 如图，直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P(m,3)，则关于x的不等式x+2
B. x<1
C. x>3
D. x<3
8. 把多项式2x2+mx-5因式分解成(2x+5)(x-n)，则m的值为( )
A. m=3 B. m=-3 C. m=7 D. m=5
9. 如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD.若AB=5，AC=3，则BD=( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 无法确定
10. 如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①AC=BD；②AC⊥BD；③AB2+AD2=BD2；④∠ACD=∠ADC.其中符合要求的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若a”)
12. 分解因式：3x2y-6xy+3y= ______ ．
13. 若2a-b=0，且b≠0，则分式a+ba-b的值为______ ．
14. 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，若AB=CD=2 7，则四边形EFGH的周长是______ ．
15. 已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是_______
16. 如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=4，将▱ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D'落在AB边上时，点C的对应点C'恰好与点B，C在同一直线上，则此时点B'到AB的距离是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
请你说明：当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除．
18. (本小题8.0分)
解不等式组：x2+x-26≤15(x-3)>x-19，并把它的解集表示在数轴上．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1+4m-4)÷m2-3mm2-16，其中m为满足3≤m<6的整数．
20. (本小题8.0分)
为营造读书好，好读书的氛围，某校决定从网店购买甲、乙两种图书以供学生课外阅读.已知甲、乙两种图书的单价分别是20元和16元.若该校准备购买甲、乙两种图书共60本，且购买图书的总费用不超过1150元，那么甲种图书最多能买多少本？
21. (本小题8.0分)
林涵同学设计了“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l外一点P．
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2
①任取一点K，使点K与点P在直线l的两侧；
②以点P为圆心，以PK的长为半径作弧，交直线l于A，B两点；
③连接PA和PB；
④作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q；
⑤作直线PQ．
∴直线PQ就是所求的直线．
根据林涵设计的尺规作图过程，解答下列问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图2(保留作图痕迹)；
(2)写出证明过程．
22. (本小题10.0分)
甲、乙两地相距1400千米，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍.请根据题目的相关信息，提出一个可以用分式方程求解的问题，并进行解答．
23. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，直线y=-43x+8与x轴交于点F，与y轴交于点E.若边长为5的正方形ABCD(A,B,C,D四点按顺时针排列)在该坐标平面内运动，并且边AB所在的直线始终与x轴平行，直线y=-43x+8始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A，B两点重合，点Q不与C，D两点重合).设点A的坐标为(m,n)(m≥0)．
(1)如图1，边AD在y轴正半轴上，且EAOD=12时，求点P的坐标；
(2)如图2，连接PO，当PO=PF时，请直接写出点P和点Q的坐标；
(3)在(2)的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围．
24. (本小题12.0分)
△ABC中，CA=CB，以BC为边作四边形BCDE(B,C,D,E四点按顺时针排列)，BE⊥BC，CD//BE，DE//BC，对角线BD，CE交于点O，连接AO交BC于点F．
(1)如图，当∠ACB=60°时：
①求证：四边形BCDE是矩形；
②求证：AF⊥BC，BF=CF；
(2)当∠ACB=120°，AC=2 3时，延长AB到点M，使BM=AB，连接OM．
①若△BOM是以BM为直角边的直角三角形，请直接写出OM的长；
②若OM=5 2，请直接写出BE的长．
25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k≠0)与y轴交于点A(0,3)，与x轴交于点B，直线y=12x-2过点B，与y轴交于点C．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)点P是直线AB上的一个动点．
①当点P在线段AB上，若△BCP的面积等于△AOB面积时，求点P的坐标；
②点Q是直线BC上一个动点，若以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.图形不是中心对称图形，不符合题意；
B.图形不是中心对称图形，不符合题意；
C.图形不是中心对称图形，不符合题意；
D.图形是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：∵12ab3c-8a2b=4ab⋅3b2c-4ab⋅2a，
∴12ab3c-8a2b各项的公因式是4ab，
故选：D．
根据公因式的定义进行解答即可．
本题考查公因式，理解公因式的定义，掌握公因式的计算方法是正确解答的前提．
3.【答案】C
【解析】解：∵x6x2=x4，故选项A错误，
∵当x≠0时，x+mx+n≠mn，故选项B错误，
∵x2-1x+1=(x+1)(x-1)x+1=x-1，故选项C正确，
∵x+yx-y不能化简，故选项D错误，
故选：C．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是可以对各个选项中的式子进行化简．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
又∵∠A+∠C=108°，
∴∠A=∠C=54°，
又∵AD//BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠D=126°．
故选：B．
根据平行四边形的性质，对角相等，可以求出∠A=∠C=54°；又因为平行四边形的邻角互补，可以得出∠D+∠C=180°，即可求出∠D的度数．
本题主要考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的相关性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：xx-3-13-x=2
去分母得：x+1=2(x-3)，
去括号得：x+1=2x-6，
移项得：x-2x=-6-1，
合并同类项得：-x=-7，
系数化为1得：x=7，
经检验，x=7是原方程的解，
∴原方程的解为x=7，
故选：D．
按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤，注意解分式方程最后一定要检验是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
(n-2)⋅180°=2×360°，
解得：n=6，
∴这个多边形为六边形．
故选：A．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n-2)⋅180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：点P(m,3)代入y=x+2，
∴m=1，
∴P(1,3)，
结合图象可知关于x的不等式x+2
将点P(m,3)代入y=x+2，求出点P的坐标，结合函数图象即可求得关于x的不等式x+2
8.【答案】A
【解析】解：∵多项式2x2+mx-5可因式分解成(2x+5)(x-n)，
∴2x2+mx-5
=(2x+5)(x-n)
=2x2-2nx+5x-5n
=2x2+(5-2n)x-5n，
∴m=5-2n，5n=5，
解得n=1，m=3．
故选：A．
根据题意可知2x2+mx-5=(2x+5)(x-n)=2x2-2nx+5x-5n，根据等式列出关于m和n的方程即可解答．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握掌握因式分解与整式乘法的关系．
9.【答案】C
【解析】解：由旋转的性质得：AB=AD=5，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=5．
故选：C．
由旋转的性质得AB=AD=5，∠BAD=60°，据此得△ABD为等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出BD的长．
此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰边三角形的判定及性质，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，找准旋转角，理解有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等，三个角都等于60°．
10.【答案】B
【解析】解：设对角线AC和BD交于点O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
①∵对角线相等的菱形是正方形；
∴补充条件AC=BD，可以使四边形ABCD成为为正方形，
②∵菱形的对角线具有AC⊥BD，
∴补充条件AC⊥BD，不能使四边形ABCD成为为正方形，
③∵AB2+AD2=BD2，
∴∠BAD=90°，
∴菱形ABCD为正方形，
∴补充条件AB2+AD2=BD2，可以使四边形ABCD成为为正方形，
④当∠ACD=∠ADC时，AC=AD，
又∵AD=CD，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∴补充条件∠ACD=∠ADC，不能使四边形ABCD成为为正方形．
综上所述：当补充的条件①③时，可以使四边形ABCD成为为正方形．
故选：B．
根据对角线相等的菱形是正方形可对条件①进行判断；根据菱形的对角线互相垂直可对条件②进行判断；根据勾股定理的逆定理可对条件③进行判断；由条件④可得出△ACD为等边三角形，则∠ADC=60°，据此可对条件④进行判断．
此题主要考查了正方形与菱形之间的关系，解答此题的关键是理解：对角线相等的菱形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形．
11.【答案】>
【解析】解：∵a
故答案为：>．
根据不等式的性质3得出答案即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
12.【答案】3y(x-1)2
【解析】解：3x2y-6xy+3y=3y(x-1)2．
考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应先提公因式，再用完全平方公式．
本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．
13.【答案】-3
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式的值，正确将已知代入是解题关键．直接利用已知代入分式化简得出答案．
【解答】
解：∵2a-b=0，且b≠0，
∴b=2a，
则分式a+ba-b=a+2aa-2a=3a-a=-3．
故答案为：-3．
14.【答案】4 7
【解析】解：∵E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC上的中点，AB=CD=2 7，
∴EF//AB//GH，EH//CD//FG，EF=EH= 7，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长为2(EF+EH)=4 7．
故答案为：4 7．
利用三角形中位线定理，即可解决问题．
本题考查了三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】36°或45°
【解析】解：应分两种情况：
(1)
AD=BD，DC=AD，那么△ADB和△ADC是全等三角形，可求得∠ADC=90°，那么∠C=45°；
(2)
AB=BD，CD=AD，那么∠B=∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA=2∠C，然后用∠C表示出△ABC的内角和，即可求得5∠C=180°，那么∠C=36°．
故填36°或45°．
△ACD和△ABD都是等腰三角形，但没有说具体的边相等，所以应分情况讨论．
(1)AD=BD，DC=AD，那么△ADB和△ADC是全等三角形，可求得∠ADC=90°，那么∠C=45°；
(2)AB=BD，CD=AD，那么∠B=∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA=2∠C，然后用∠C表示出△ABC的内角和，即可求得5∠C=180°，那么∠C=36°．
本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质；本题的易错点在于判断此题应分情况讨论，难点在于画出图形，得到各种情况里所求的角的关系．
16.【答案】 91
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB=10，AD=4，
∴CD=AB=10，CD//AB，∠1=∠C，
∴∠C=∠4，
∵四边形AB'C'D'是平行四边形ABCD绕点A旋转而得到的，且点D'在AB上，点C'在直线CB上，
∴四边形AB'C'D'为平行四边形，且AD'=AD=4，C'D'=CD=10，∠1=∠2，
∴AB'//C'D'，AD'//B'C'，BD'=AB-AD'=10-4=6，
∴∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
∴C'D'=CB=10，
过点C'作C'E⊥AB于E，则D'E=BE=12BD'=3，
在Rt△C'D'E中，CD'=10，D'E=3，
由勾股定理得：CE= C'D'2-D'E2= 91．
∵B'C'//AB，
∴点B'到AB的距离为 91．
故答案为： 91．
首先根据题意画出图形，由旋转的性质得四边形AB'C'D'为平行四边形，且AD'=AD=4，C'D'=CD=10，然后证C'D'=CB=10，再过点C'作C'E⊥AB于E，则D'E=BE=3，最后在Rt△C'D'E中由勾股定理求出CE即可．
此题主要考查了图形的旋转变换及性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合(三线合一)．
17.【答案】解：原式=(n+7+n-5)(n+7-n+5)
=24(n+1)，
则当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除．
【解析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．
18.【答案】解：x2+x-26≤1①5(x-3)>x-19②，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>-1，
∴原不等式组的解集为：-1
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：(1+4m-4)÷m2-3mm2-16
=m-4+4m-4⋅(m+4)(m-4)m(m-3)
=mm-4⋅(m+4)(m-4)m(m-3)
=m+4m-3，
∵m为满足3≤m<6的整数，
∴m=3或4或5，
∵m2-16≠0，m-3≠0，
∴m≠±4，m≠3，
∴当m=5时，原式=5+45-3=92．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：设购买甲种图书x本，则购买乙种图书(60-x)本，
根据题意得：20x+16(60-x)≤1150，
解得：x≤952，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为47．
答：甲种图书最多能买47本．
【解析】设购买甲种图书x本，则购买乙种图书(60-x)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1150元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可求出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
21.【答案】(1)解：如图，
(2)证明：∵PA=PB，
∴△PAB等腰三角形，
∵PQ平分∠APB，
∴PQ⊥AB．
【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)根据等腰三角形的“三线合一”进行证明．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
22.【答案】解：求高铁列车的平均行驶速度是多少？
设特快列车的平均行驶速度为x km/h，则高铁列车的平均行驶速度为2.8x km/h，
由题意得1400x-14002.8x=9，
解得：x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解，
则2.8x=280，
答：高铁列车的平均行驶速度为280km/h．
【解析】设特快列车的平均行驶速度为x km/h，则高铁列车的平均行驶速度为2.8x km/h，由题意：乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，列出分式方程，解方程，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵直线y=-43x+8与x轴交于点F，与y轴交于点E，
∴点E(0,8)，点F(6,0)，
∴EO=8，OF=6，
∵AD=5，
∴AE+OD=3，
∵EAOD=12，
∴AE=1，DO=2，
∴OA=7，
∴当y=7时，x=34，
∴点P(34,7)；
(2)∵PO=PF，
∴∠POF=∠PFO，
∴∠EOP=∠POE，
∴OP=EP，
∴EP=PF，
∴点P(3,4)，
∴点Q的纵坐标为-1，
∴点Q(274,-1)；
(3)当点B在EF上时，点B坐标为(3,4)，
此时m=-2，
当点A在EF上时，m=3，
∴-2
(2)由题意可得EP=PF，由中点坐标公式可求点P(3,4)，即可求解；
(3)利用特殊位置可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，直角三角形的性质，正方形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：①∵CD//BE，DE//BC，
∴四边形BCDE为平行四边形，
又∵BE⊥BC，
∴∠CBE=90°，
∴平行四边形BCDE为矩形；
②由(1)可知：四边形BCDE为矩形，
∴OC=OB，
在△ABC中，CA=CB，∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CA=BA，
在△AOC和△AOB中，
CA=BAOC=OBAO=AO，
∴△AOC≌△AOB(SSS)，
∴∠CAO=∠BAO，
即：AO为等边△ABC的角平分线，
∴AF⊥BC，BF=CF；
(2)解：①OM=4 3．
理由如下：
由(1)可知：四边形BCDE为矩形，
∴OB=OC，
即△OBC为等腰三角形，
∵△BOM是以BM为直角边的直角三角形，
∴∠OBM=90°，
又∵点M在AB的延长线上，
∴∠OBA=90°，
∵AC=BC=2 3，∠ACB=120°，
∴∠A=∠ABC=30°，
∴∠OBC=∠OBA-∠ABC=60°，
∴等腰△OBC为等边三角形，
∴OC=OB=BC=2 3，∠OCB=60°，
∴∠ACB+∠OCB=120°+60°=180°，
∴点A，C，O在同一条直线上，
∵BM=AB，∠OBM=90°，
∴OB为线段AM的垂直平分线，
∴OM=OA=OC+AC=2 2+2 2=4 2．
②BE=2 2+6．
理由如下：
过点C，O，E分别作AM的垂线，垂足分别为N，P，Q，
∵四边形BCDE为矩形，对角线BD，CE交于点O，
∴OC=OE，∠CBE=90°，
∵CN⊥AM，OP⊥AM，EQ⊥AM，
∴CN//OP//EQ，
∴OP为梯形CNQE的中位线，
∴OP=1/2(CN+EQ)，NP=QP，
在三角形ABC中，AC=2 3，CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠A=∠ABC=30°，AN=BN，
∴CN=12AC= 3，
由勾股定理得：AN= AC2-CN2=3，
∴BN=3，
∴AB=BM=AN+BN=6，
设BP=x，则NP=BN+BP=x+3，
∴QP=x+3，PM=BM-BP=6-x，
∴BQ=QP+BP=x+3+x=2x+3，
∵∠ABC=30°，∠CBE=90°，
∴∠EBQ=180°-∠ABC-∠CBE=60°，
∴∠BEQ=30°，
在Rt△BEQ中，∠BEQ=30°，BQ=2x+3，
∴BE=2BQ=4x+6，
由勾股定理得：EQ= BE2-BQ2B= 3(2x+3)，
∴OP=12(CN+EQ)=12[ 3+ 3(2x+3)]= 3(x+2)
在Rt△PMO中，PM=6-x，OP= 3(x+2)，OM=5 2，
由勾股定理的：OP2+PM2=OM2，
即：[ 3(x+2)]2+(6-x)2=(5 2)2，
整理得：2x2=1，
∴x1= 22，x2=- 22(不合题意，舍去)，
∴BE=4x+6=2 2+6．
【解析】(1)①由CD//BE，DE//BC可判定四边形BCDE为平行四边形，再根据BE⊥BC可得出结论；
②先根据矩形的性质得OC=OB，进而判定△ABC为等边三角形，然后证△AOC和△AOB全等得∠CAO=∠BAO，据此再根据等边三角形的性质可得出结论；
(2)①先证△OBC为等边三角形得OC=OB=BC=2 2，∠OCB=60°，进而可证点A，C，O在同一条直线上，然后证OB为线段AM的垂直平分线得OM=OA，据此可得出OM的长；
②过点C，O，E分别作AM的垂线，垂足分别为N，P，Q，先证OP为梯形CNQE的中位线，得OP=12(CN+EQ)，NP=QP，再计算得CN= 3，AN=BN=3，AB=BM=6，设BP=x，则NP=QP=x+3，PM=6-x，BQ=2x+3，进而再求出∠EBQ=60°，则∠BEQ=30°，继而可得BE=2BQ=4x+6，EQ= 3(2x+3)，则OP= 3(x+2)最后在Rt△PMO中由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x即可得出BE的长．
此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，解答(1)的关键是熟练掌握矩形的判定，全等三角形的判定方法，理解等边三角形边上的中线、高、顶角的平分线重合；解答(2)的关键是理解在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半；灵活运用勾股定理进行计算．
25.【答案】解：(1)对于y=12x-2，当y=0时，x=4，当x=0时，y=-2，
∴点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,-2)，
将点A(0,3)，点B(4,0)代入y=kx+b，
得：b=34k+b=0，解得：k=-34b=3，
∴直线AB的函数表达式为：y=-34x+3．
(2)①∵点A(0,3)，B(4,0)，C(0,-2)，
∴OA=3，OB=4，OC=2，
∴AC=OA+OC=5，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×3×4=6，S△ABC=12AC⋅OB=12×5×4=10，
过点P作PE⊥y轴于点E，设PE=t，
∴S△PAC=12AC⋅PE=12×5t=5t2，
∵△BCP的面积等于△AOB面积，
∴S△BCP=6，
又∵S△BCP=S△ABC-S△PAC，
∴6=10-5t2，
解得：t=85，
∴点P的横坐标为85，
又∵点P在线段AB上，
∴点P的纵坐标y=-34×85+3=95．
∴点P的坐标为(85,95)．
②点P的坐标为(125,65)或(285,-65)．
理由如下：
(ⅰ)当OB为平行四边形的一边，点P在x轴上方时，
∵四边形OBQP为平行四边形，
∴OP//BC，
∴直线OP的表达式为：y=12x，
解方程组：y=-34x+3y=12x，得：x=125y=65，
∴点P的坐标为(125,65)．
(ⅱ)当OB为平行四边形的一边，点P在x轴下方时，
∵四边形OBPQ为平行四边形，
∴OQ//AB，
∴直线OQ的表达式为：y=-34x，
解方程组：y=-34xy=12x-2，得：x=85y=-65，
∵PQ//OB，PQ=OB，
∴点P的横坐标为85+4=285，纵坐标为-65，
∴点P的坐标为(285,-65)，
(ⅲ)当OB为对角线时，
∵四边形OPBQ为平行四边形，
∴OP//BC，
由(ⅰ)可知：点P的坐标为(125,65)．
综上所述：以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为(125,65)或(285,-65)．
【解析】解：(1)先求出点B(4,0)，点C(0,-2)，进而将是点A、C代入y=kx+b中求出k，b即可；
(2)①由点A(0,3)，B(4,0)，C(0,-2)得OA=3，OB=4，OC=2，S△AOB=6，S△ABC=10，过点P作PE⊥y轴于点E，设PE=t，则S△PAC=5t2，然后根据S△BCP=S△ABC-S△PAC=6列出方程解出t，进而可得点P的坐标；
②分三种情况进行讨论：
(ⅰ)当OB为平行四边形的一边，点P在x轴上方时，由OP//BC可得直线OP的表达式为y=12x，然后与直线AB的表达式联立方程组，解方程组可得点P的坐标；
(ⅱ)当OB为平行四边形的一边，点P在x轴下方时，由OQ//AB可得直线OQ的表达式为y=-34x，然后与直线BC的表达式联立方程组，解方程组可得点Q的坐标，进而可求出点P的坐标；
(ⅲ)当OB为对角线时，则OP//BC，情况与(ⅰ)相同，点P的坐标与(ⅰ)相同．
此题主要考查了一次函数的图象，平行四边形的性质，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，理解两个一次函数图象的交点就是这两个函数的表达式所组成方程组的解；难点是分类讨论思想在解题中的应用．
2022-2023学年辽宁省沈阳市于洪区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 多项式12ab3c-8a2b各项的公因式是( )
A. 4ab2 B. 4abc C. 2ab2 D. 4ab
3. 下列各式中，正确的是( )
A. x6x2=x3 B. x+mx+n=mn C. x2-1x+1=x-1 D. x+yx-y=-1
4. 在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=108°，则∠D=( )
A. 72° B. 126° C. 136° D. 108°
5. 分式方程xx-3-13-x=2的根是( )
A. -7 B. 1 C. 5 D. 7
6. 一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是( )
A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形
7. 如图，直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P(m,3)，则关于x的不等式x+2
B. x<1
C. x>3
D. x<3
8. 把多项式2x2+mx-5因式分解成(2x+5)(x-n)，则m的值为( )
A. m=3 B. m=-3 C. m=7 D. m=5
9. 如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD.若AB=5，AC=3，则BD=( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 无法确定
10. 如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①AC=BD；②AC⊥BD；③AB2+AD2=BD2；④∠ACD=∠ADC.其中符合要求的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若a
12. 分解因式：3x2y-6xy+3y= ______ ．
13. 若2a-b=0，且b≠0，则分式a+ba-b的值为______ ．
14. 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，若AB=CD=2 7，则四边形EFGH的周长是______ ．
15. 已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是_______
16. 如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=4，将▱ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D'落在AB边上时，点C的对应点C'恰好与点B，C在同一直线上，则此时点B'到AB的距离是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
请你说明：当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除．
18. (本小题8.0分)
解不等式组：x2+x-26≤15(x-3)>x-19，并把它的解集表示在数轴上．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1+4m-4)÷m2-3mm2-16，其中m为满足3≤m<6的整数．
20. (本小题8.0分)
为营造读书好，好读书的氛围，某校决定从网店购买甲、乙两种图书以供学生课外阅读.已知甲、乙两种图书的单价分别是20元和16元.若该校准备购买甲、乙两种图书共60本，且购买图书的总费用不超过1150元，那么甲种图书最多能买多少本？
21. (本小题8.0分)
林涵同学设计了“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l外一点P．
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2
①任取一点K，使点K与点P在直线l的两侧；
②以点P为圆心，以PK的长为半径作弧，交直线l于A，B两点；
③连接PA和PB；
④作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q；
⑤作直线PQ．
∴直线PQ就是所求的直线．
根据林涵设计的尺规作图过程，解答下列问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图2(保留作图痕迹)；
(2)写出证明过程．
22. (本小题10.0分)
甲、乙两地相距1400千米，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍.请根据题目的相关信息，提出一个可以用分式方程求解的问题，并进行解答．
23. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，直线y=-43x+8与x轴交于点F，与y轴交于点E.若边长为5的正方形ABCD(A,B,C,D四点按顺时针排列)在该坐标平面内运动，并且边AB所在的直线始终与x轴平行，直线y=-43x+8始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A，B两点重合，点Q不与C，D两点重合).设点A的坐标为(m,n)(m≥0)．
(1)如图1，边AD在y轴正半轴上，且EAOD=12时，求点P的坐标；
(2)如图2，连接PO，当PO=PF时，请直接写出点P和点Q的坐标；
(3)在(2)的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围．
24. (本小题12.0分)
△ABC中，CA=CB，以BC为边作四边形BCDE(B,C,D,E四点按顺时针排列)，BE⊥BC，CD//BE，DE//BC，对角线BD，CE交于点O，连接AO交BC于点F．
(1)如图，当∠ACB=60°时：
①求证：四边形BCDE是矩形；
②求证：AF⊥BC，BF=CF；
(2)当∠ACB=120°，AC=2 3时，延长AB到点M，使BM=AB，连接OM．
①若△BOM是以BM为直角边的直角三角形，请直接写出OM的长；
②若OM=5 2，请直接写出BE的长．
25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k≠0)与y轴交于点A(0,3)，与x轴交于点B，直线y=12x-2过点B，与y轴交于点C．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)点P是直线AB上的一个动点．
①当点P在线段AB上，若△BCP的面积等于△AOB面积时，求点P的坐标；
②点Q是直线BC上一个动点，若以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.图形不是中心对称图形，不符合题意；
B.图形不是中心对称图形，不符合题意；
C.图形不是中心对称图形，不符合题意；
D.图形是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：∵12ab3c-8a2b=4ab⋅3b2c-4ab⋅2a，
∴12ab3c-8a2b各项的公因式是4ab，
故选：D．
根据公因式的定义进行解答即可．
本题考查公因式，理解公因式的定义，掌握公因式的计算方法是正确解答的前提．
3.【答案】C
【解析】解：∵x6x2=x4，故选项A错误，
∵当x≠0时，x+mx+n≠mn，故选项B错误，
∵x2-1x+1=(x+1)(x-1)x+1=x-1，故选项C正确，
∵x+yx-y不能化简，故选项D错误，
故选：C．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是可以对各个选项中的式子进行化简．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
又∵∠A+∠C=108°，
∴∠A=∠C=54°，
又∵AD//BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠D=126°．
故选：B．
根据平行四边形的性质，对角相等，可以求出∠A=∠C=54°；又因为平行四边形的邻角互补，可以得出∠D+∠C=180°，即可求出∠D的度数．
本题主要考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的相关性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：xx-3-13-x=2
去分母得：x+1=2(x-3)，
去括号得：x+1=2x-6，
移项得：x-2x=-6-1，
合并同类项得：-x=-7，
系数化为1得：x=7，
经检验，x=7是原方程的解，
∴原方程的解为x=7，
故选：D．
按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤，注意解分式方程最后一定要检验是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
(n-2)⋅180°=2×360°，
解得：n=6，
∴这个多边形为六边形．
故选：A．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n-2)⋅180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：点P(m,3)代入y=x+2，
∴m=1，
∴P(1,3)，
结合图象可知关于x的不等式x+2
将点P(m,3)代入y=x+2，求出点P的坐标，结合函数图象即可求得关于x的不等式x+2
8.【答案】A
【解析】解：∵多项式2x2+mx-5可因式分解成(2x+5)(x-n)，
∴2x2+mx-5
=(2x+5)(x-n)
=2x2-2nx+5x-5n
=2x2+(5-2n)x-5n，
∴m=5-2n，5n=5，
解得n=1，m=3．
故选：A．
根据题意可知2x2+mx-5=(2x+5)(x-n)=2x2-2nx+5x-5n，根据等式列出关于m和n的方程即可解答．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握掌握因式分解与整式乘法的关系．
9.【答案】C
【解析】解：由旋转的性质得：AB=AD=5，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=5．
故选：C．
由旋转的性质得AB=AD=5，∠BAD=60°，据此得△ABD为等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出BD的长．
此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰边三角形的判定及性质，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，找准旋转角，理解有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等，三个角都等于60°．
10.【答案】B
【解析】解：设对角线AC和BD交于点O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
①∵对角线相等的菱形是正方形；
∴补充条件AC=BD，可以使四边形ABCD成为为正方形，
②∵菱形的对角线具有AC⊥BD，
∴补充条件AC⊥BD，不能使四边形ABCD成为为正方形，
③∵AB2+AD2=BD2，
∴∠BAD=90°，
∴菱形ABCD为正方形，
∴补充条件AB2+AD2=BD2，可以使四边形ABCD成为为正方形，
④当∠ACD=∠ADC时，AC=AD，
又∵AD=CD，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∴补充条件∠ACD=∠ADC，不能使四边形ABCD成为为正方形．
综上所述：当补充的条件①③时，可以使四边形ABCD成为为正方形．
故选：B．
根据对角线相等的菱形是正方形可对条件①进行判断；根据菱形的对角线互相垂直可对条件②进行判断；根据勾股定理的逆定理可对条件③进行判断；由条件④可得出△ACD为等边三角形，则∠ADC=60°，据此可对条件④进行判断．
此题主要考查了正方形与菱形之间的关系，解答此题的关键是理解：对角线相等的菱形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形．
11.【答案】>
【解析】解：∵a
故答案为：>．
根据不等式的性质3得出答案即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
12.【答案】3y(x-1)2
【解析】解：3x2y-6xy+3y=3y(x-1)2．
考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应先提公因式，再用完全平方公式．
本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．
13.【答案】-3
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式的值，正确将已知代入是解题关键．直接利用已知代入分式化简得出答案．
【解答】
解：∵2a-b=0，且b≠0，
∴b=2a，
则分式a+ba-b=a+2aa-2a=3a-a=-3．
故答案为：-3．
14.【答案】4 7
【解析】解：∵E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC上的中点，AB=CD=2 7，
∴EF//AB//GH，EH//CD//FG，EF=EH= 7，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长为2(EF+EH)=4 7．
故答案为：4 7．
利用三角形中位线定理，即可解决问题．
本题考查了三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】36°或45°
【解析】解：应分两种情况：
(1)
AD=BD，DC=AD，那么△ADB和△ADC是全等三角形，可求得∠ADC=90°，那么∠C=45°；
(2)
AB=BD，CD=AD，那么∠B=∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA=2∠C，然后用∠C表示出△ABC的内角和，即可求得5∠C=180°，那么∠C=36°．
故填36°或45°．
△ACD和△ABD都是等腰三角形，但没有说具体的边相等，所以应分情况讨论．
(1)AD=BD，DC=AD，那么△ADB和△ADC是全等三角形，可求得∠ADC=90°，那么∠C=45°；
(2)AB=BD，CD=AD，那么∠B=∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA=2∠C，然后用∠C表示出△ABC的内角和，即可求得5∠C=180°，那么∠C=36°．
本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质；本题的易错点在于判断此题应分情况讨论，难点在于画出图形，得到各种情况里所求的角的关系．
16.【答案】 91
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB=10，AD=4，
∴CD=AB=10，CD//AB，∠1=∠C，
∴∠C=∠4，
∵四边形AB'C'D'是平行四边形ABCD绕点A旋转而得到的，且点D'在AB上，点C'在直线CB上，
∴四边形AB'C'D'为平行四边形，且AD'=AD=4，C'D'=CD=10，∠1=∠2，
∴AB'//C'D'，AD'//B'C'，BD'=AB-AD'=10-4=6，
∴∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
∴C'D'=CB=10，
过点C'作C'E⊥AB于E，则D'E=BE=12BD'=3，
在Rt△C'D'E中，CD'=10，D'E=3，
由勾股定理得：CE= C'D'2-D'E2= 91．
∵B'C'//AB，
∴点B'到AB的距离为 91．
故答案为： 91．
首先根据题意画出图形，由旋转的性质得四边形AB'C'D'为平行四边形，且AD'=AD=4，C'D'=CD=10，然后证C'D'=CB=10，再过点C'作C'E⊥AB于E，则D'E=BE=3，最后在Rt△C'D'E中由勾股定理求出CE即可．
此题主要考查了图形的旋转变换及性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合(三线合一)．
17.【答案】解：原式=(n+7+n-5)(n+7-n+5)
=24(n+1)，
则当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除．
【解析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．
18.【答案】解：x2+x-26≤1①5(x-3)>x-19②，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>-1，
∴原不等式组的解集为：-1
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：(1+4m-4)÷m2-3mm2-16
=m-4+4m-4⋅(m+4)(m-4)m(m-3)
=mm-4⋅(m+4)(m-4)m(m-3)
=m+4m-3，
∵m为满足3≤m<6的整数，
∴m=3或4或5，
∵m2-16≠0，m-3≠0，
∴m≠±4，m≠3，
∴当m=5时，原式=5+45-3=92．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：设购买甲种图书x本，则购买乙种图书(60-x)本，
根据题意得：20x+16(60-x)≤1150，
解得：x≤952，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为47．
答：甲种图书最多能买47本．
【解析】设购买甲种图书x本，则购买乙种图书(60-x)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1150元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可求出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
21.【答案】(1)解：如图，
(2)证明：∵PA=PB，
∴△PAB等腰三角形，
∵PQ平分∠APB，
∴PQ⊥AB．
【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)根据等腰三角形的“三线合一”进行证明．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
22.【答案】解：求高铁列车的平均行驶速度是多少？
设特快列车的平均行驶速度为x km/h，则高铁列车的平均行驶速度为2.8x km/h，
由题意得1400x-14002.8x=9，
解得：x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解，
则2.8x=280，
答：高铁列车的平均行驶速度为280km/h．
【解析】设特快列车的平均行驶速度为x km/h，则高铁列车的平均行驶速度为2.8x km/h，由题意：乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，列出分式方程，解方程，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵直线y=-43x+8与x轴交于点F，与y轴交于点E，
∴点E(0,8)，点F(6,0)，
∴EO=8，OF=6，
∵AD=5，
∴AE+OD=3，
∵EAOD=12，
∴AE=1，DO=2，
∴OA=7，
∴当y=7时，x=34，
∴点P(34,7)；
(2)∵PO=PF，
∴∠POF=∠PFO，
∴∠EOP=∠POE，
∴OP=EP，
∴EP=PF，
∴点P(3,4)，
∴点Q的纵坐标为-1，
∴点Q(274,-1)；
(3)当点B在EF上时，点B坐标为(3,4)，
此时m=-2，
当点A在EF上时，m=3，
∴-2
(2)由题意可得EP=PF，由中点坐标公式可求点P(3,4)，即可求解；
(3)利用特殊位置可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，直角三角形的性质，正方形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：①∵CD//BE，DE//BC，
∴四边形BCDE为平行四边形，
又∵BE⊥BC，
∴∠CBE=90°，
∴平行四边形BCDE为矩形；
②由(1)可知：四边形BCDE为矩形，
∴OC=OB，
在△ABC中，CA=CB，∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CA=BA，
在△AOC和△AOB中，
CA=BAOC=OBAO=AO，
∴△AOC≌△AOB(SSS)，
∴∠CAO=∠BAO，
即：AO为等边△ABC的角平分线，
∴AF⊥BC，BF=CF；
(2)解：①OM=4 3．
理由如下：
由(1)可知：四边形BCDE为矩形，
∴OB=OC，
即△OBC为等腰三角形，
∵△BOM是以BM为直角边的直角三角形，
∴∠OBM=90°，
又∵点M在AB的延长线上，
∴∠OBA=90°，
∵AC=BC=2 3，∠ACB=120°，
∴∠A=∠ABC=30°，
∴∠OBC=∠OBA-∠ABC=60°，
∴等腰△OBC为等边三角形，
∴OC=OB=BC=2 3，∠OCB=60°，
∴∠ACB+∠OCB=120°+60°=180°，
∴点A，C，O在同一条直线上，
∵BM=AB，∠OBM=90°，
∴OB为线段AM的垂直平分线，
∴OM=OA=OC+AC=2 2+2 2=4 2．
②BE=2 2+6．
理由如下：
过点C，O，E分别作AM的垂线，垂足分别为N，P，Q，
∵四边形BCDE为矩形，对角线BD，CE交于点O，
∴OC=OE，∠CBE=90°，
∵CN⊥AM，OP⊥AM，EQ⊥AM，
∴CN//OP//EQ，
∴OP为梯形CNQE的中位线，
∴OP=1/2(CN+EQ)，NP=QP，
在三角形ABC中，AC=2 3，CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠A=∠ABC=30°，AN=BN，
∴CN=12AC= 3，
由勾股定理得：AN= AC2-CN2=3，
∴BN=3，
∴AB=BM=AN+BN=6，
设BP=x，则NP=BN+BP=x+3，
∴QP=x+3，PM=BM-BP=6-x，
∴BQ=QP+BP=x+3+x=2x+3，
∵∠ABC=30°，∠CBE=90°，
∴∠EBQ=180°-∠ABC-∠CBE=60°，
∴∠BEQ=30°，
在Rt△BEQ中，∠BEQ=30°，BQ=2x+3，
∴BE=2BQ=4x+6，
由勾股定理得：EQ= BE2-BQ2B= 3(2x+3)，
∴OP=12(CN+EQ)=12[ 3+ 3(2x+3)]= 3(x+2)
在Rt△PMO中，PM=6-x，OP= 3(x+2)，OM=5 2，
由勾股定理的：OP2+PM2=OM2，
即：[ 3(x+2)]2+(6-x)2=(5 2)2，
整理得：2x2=1，
∴x1= 22，x2=- 22(不合题意，舍去)，
∴BE=4x+6=2 2+6．
【解析】(1)①由CD//BE，DE//BC可判定四边形BCDE为平行四边形，再根据BE⊥BC可得出结论；
②先根据矩形的性质得OC=OB，进而判定△ABC为等边三角形，然后证△AOC和△AOB全等得∠CAO=∠BAO，据此再根据等边三角形的性质可得出结论；
(2)①先证△OBC为等边三角形得OC=OB=BC=2 2，∠OCB=60°，进而可证点A，C，O在同一条直线上，然后证OB为线段AM的垂直平分线得OM=OA，据此可得出OM的长；
②过点C，O，E分别作AM的垂线，垂足分别为N，P，Q，先证OP为梯形CNQE的中位线，得OP=12(CN+EQ)，NP=QP，再计算得CN= 3，AN=BN=3，AB=BM=6，设BP=x，则NP=QP=x+3，PM=6-x，BQ=2x+3，进而再求出∠EBQ=60°，则∠BEQ=30°，继而可得BE=2BQ=4x+6，EQ= 3(2x+3)，则OP= 3(x+2)最后在Rt△PMO中由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x即可得出BE的长．
此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，解答(1)的关键是熟练掌握矩形的判定，全等三角形的判定方法，理解等边三角形边上的中线、高、顶角的平分线重合；解答(2)的关键是理解在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半；灵活运用勾股定理进行计算．
25.【答案】解：(1)对于y=12x-2，当y=0时，x=4，当x=0时，y=-2，
∴点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,-2)，
将点A(0,3)，点B(4,0)代入y=kx+b，
得：b=34k+b=0，解得：k=-34b=3，
∴直线AB的函数表达式为：y=-34x+3．
(2)①∵点A(0,3)，B(4,0)，C(0,-2)，
∴OA=3，OB=4，OC=2，
∴AC=OA+OC=5，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×3×4=6，S△ABC=12AC⋅OB=12×5×4=10，
过点P作PE⊥y轴于点E，设PE=t，
∴S△PAC=12AC⋅PE=12×5t=5t2，
∵△BCP的面积等于△AOB面积，
∴S△BCP=6，
又∵S△BCP=S△ABC-S△PAC，
∴6=10-5t2，
解得：t=85，
∴点P的横坐标为85，
又∵点P在线段AB上，
∴点P的纵坐标y=-34×85+3=95．
∴点P的坐标为(85,95)．
②点P的坐标为(125,65)或(285,-65)．
理由如下：
(ⅰ)当OB为平行四边形的一边，点P在x轴上方时，
∵四边形OBQP为平行四边形，
∴OP//BC，
∴直线OP的表达式为：y=12x，
解方程组：y=-34x+3y=12x，得：x=125y=65，
∴点P的坐标为(125,65)．
(ⅱ)当OB为平行四边形的一边，点P在x轴下方时，
∵四边形OBPQ为平行四边形，
∴OQ//AB，
∴直线OQ的表达式为：y=-34x，
解方程组：y=-34xy=12x-2，得：x=85y=-65，
∵PQ//OB，PQ=OB，
∴点P的横坐标为85+4=285，纵坐标为-65，
∴点P的坐标为(285,-65)，
(ⅲ)当OB为对角线时，
∵四边形OPBQ为平行四边形，
∴OP//BC，
由(ⅰ)可知：点P的坐标为(125,65)．
综上所述：以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为(125,65)或(285,-65)．
【解析】解：(1)先求出点B(4,0)，点C(0,-2)，进而将是点A、C代入y=kx+b中求出k，b即可；
(2)①由点A(0,3)，B(4,0)，C(0,-2)得OA=3，OB=4，OC=2，S△AOB=6，S△ABC=10，过点P作PE⊥y轴于点E，设PE=t，则S△PAC=5t2，然后根据S△BCP=S△ABC-S△PAC=6列出方程解出t，进而可得点P的坐标；
②分三种情况进行讨论：
(ⅰ)当OB为平行四边形的一边，点P在x轴上方时，由OP//BC可得直线OP的表达式为y=12x，然后与直线AB的表达式联立方程组，解方程组可得点P的坐标；
(ⅱ)当OB为平行四边形的一边，点P在x轴下方时，由OQ//AB可得直线OQ的表达式为y=-34x，然后与直线BC的表达式联立方程组，解方程组可得点Q的坐标，进而可求出点P的坐标；
(ⅲ)当OB为对角线时，则OP//BC，情况与(ⅰ)相同，点P的坐标与(ⅰ)相同．
此题主要考查了一次函数的图象，平行四边形的性质，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，理解两个一次函数图象的交点就是这两个函数的表达式所组成方程组的解；难点是分类讨论思想在解题中的应用．
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