2022-2023学年重庆市忠县中学高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市忠县中学高二（下）第一次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市忠县中学高二（下）第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数 f ( x)=sin x+ex，则 f′(0)的值为(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
2. 函数f(x)=2lnx−x的单调增区间为(    )
A. (−∞,2) B. (−2,2) C. (0,2) D. (2,+∞)
3. 下列各式正确的是(    )
A. (ax)′=axlna B. (cosx)′=sinx C. (sinπ8)′=cosπ8 D. (x−5)′=−15x−6
4. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有(    )
A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种
5. 若函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则(    )


A. −3是函数y=f(x)的极小值点 B. −1是函数y=f(x)的极小值点
C. −2是函数y=f(x)的极大值点 D. 1是函数y=f(x)的极大值点
6. 一只蚂蚁从正四面体A−BCD的顶点A出发，沿着正四面体A−BCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点B，第4秒后又回到A点的不同爬行路线有(    )
A. 6条
B. 7条
C. 8条
D. 9条
7. 函数f(x)是定义是在R上的可导函数，其导函数f′(x)满足2f(x)+xf′(x)<0，则f(x)<0的解集是(    )
A. (−∞,0) B. (−∞,1) C. (0,+∞) D. (−∞,+∞)
8. 芯片制作的原料是晶圆，晶圆是硅元素加以纯化，晶圆越薄，生产的成本越低，但对工艺要求就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立3个科研小组，用A、B、C三种不同的工艺制作芯片原料，其厚度分别为a=13sin12，b=12sin13，c=13cos78(单位：毫米)，则三种芯片原料厚度的大小关系为(    )
A. c>b>a B. c>a>b C. b>a>c D. a>b>c
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在曲线f(x)=1x切线的倾斜角为34π的点的坐标为(    )
A. (1,1) B. (−1,−1) C. (12,2) D. (2,12)
10. 对于函数f(x)=lnxx，下列说法正确的有(    )
A. f(x)在x=e处取得极大值1e B. f(x)在x=e处取得最大值1e
C. f(x)有两个不同零点 D. f(2) 11. 下列说法正确的是(    )
A. 某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中各任选一类，不同的结果共有64种
B. 用 1，2，3三个数字可以组成9个三位奇数
C. 从6位专家中选出 2 位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有15种
D. 用 0，1，2，3，4，5，6这 7 个数字组成无重复数字的四位偶数有420个
12. 某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线f(x)=2x2+1x时通过数学软件绘制出其图象(如图)，并给出以下几个结论，则正确的有(    )
A. 函数f(x)的极值点有且只有一个
B. 过原点且与曲线y=f(x)相切的直线有且仅有2条
C. 当x>0时，|f(−x)| D. 若f(x1)=f(x2)，x1<0
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设f(x)=xlnx，若f′(x0)=2，则x0=______．
14. 若函数f(x)=lnx+ax在[2,4]上为增函数，则实数a的取值范围为______．
15. 如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A点由图中的道路到B点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从A到B的行走线路，则此人从A到B遇见的行人总人数最小值是______ ．

16. 函数f(x)对于任意x∈R，均满足f(x)=f(2−x)，f(x)=x3,0≤x≤13x+2,x<0，若存在实数a，b，c.d(a 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
如图，从青岛到北京有三条不同的航线，从北京到上海有四条不同的航线，从青岛不经北京到上海有两条不同航线．
(1)从青岛到上海共有多少种的不同的飞行航线？
(2)从青岛到上海再回到青岛，但返回时要飞与去时不同的航线，有多少种的不同的飞行航线？

18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=3x3−9x+5．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间；
(Ⅱ)求函数f(x)在[−3,3]上的最大值和最小值．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=13x3+ax2−3a2x+1(a∈R)．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(2)若a≤0，试讨论函数f(x)的单调性
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=12lnx−mx(m∈R),g(x)=x−ax(a>0)．
(1)若m=1，求函数f(x)的极值；
(2)若m=12e2对∀x1,x2∈[2,2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立，求实数a的取值范围
21. (本小题12.0分)
已知f(x)=ex−alnx−a，其中常数a>0．
(1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若函数y=f(x)有两个零点x1，x2(0 22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=−x+1x+alnx(a∈R)，且f(x)有两个极值点x1，x2．
(Ⅰ)求实数a的取值范围；
(Ⅱ)是否存在实数a，使f(x1)−f(x2)x1−x2=a−2成立，若存在求出a的值，若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：f ( x)=sinx+ex，
∴f′( x)=cosx+ex，
∴f′(0)=cos0+e0=1+1=2，
故选：B．
先求导，再代值计算即可
本题考查了导数的运算和导数值得求法，属于基础题．

2.【答案】C 
【解析】解：当x>0时，f′(x)=2x−1=2−xx，
当00，函数单调递增．
故选：C．
先对函数求导，然后结合导数分析函数的单调性即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：(ax)′=axlna，故选项A正确；
(cosx)′=−sinx，故选项B错误；
(sinπ8)′=0，故选项C错误；
(x−5)′=−5x−6，故选项D错误．
故选：A．
利用常见函数的导数进行逐一的判断即可．
本题考查了导数的运算，涉及了常见函数的导数，属于基础题．

4.【答案】B 
【解析】解：某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，分三步完成：
第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；
第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；
第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，
根据分步计数原理，共有2×3×6=36不同的选取方法，
故选：B．
利用分步计数原理，分3步即可求出答案．
本题考查分步计数原理，属于基础题．

5.【答案】A 
【解析】解：观察导函数y=f′(x)的图象知，当x<−3时，f′(x)<0，当x>−3时，f′(x)≥0，当且仅当x=−1时取等号，
因此函数y=f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,+∞)上单调递增，
于是得−3是函数y=f(x)的唯一极值点，且是极小值点，A正确，B，C，D都不正确．
故选：A．
根据给定的函数图象，确定导数为正或负的x取值区间，再逐项判断作答．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：根据已知，可作出右图，
由图知，不同的爬行路线有7条，
故选：B．
根据已知，可做出右图，由图知，不同的爬行路线有7条，问题得以解决．
本题考查了分步和分类计数原理，属于基础题．

7.【答案】D 
【解析】解：令g(x)=x2f(x)，
则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x))，
∵∀x∈R，2f(x)+xf′(x)<0，
∴当x>0时，g′(x)<0，当x<0时，g′(x)>0，
∴g(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，又g(0)=0，
∴当x≠0时，g(x)=x2f(x)<0，即此时f(x)<0恒成立；
当x=0时，g(x)=x2f(x)=0，又2f(0)+0⋅f′(x)=2f(0)<0，即f(0)<0，
∴f(x)<0的解集是R，
故选：D．
构造函数g(x)=x2f(x)，求导分析，结合已知∀x∈R，2f(x)+xf′(x)<0，分析可得f(x)<0的解集为R，从而可得答案．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．

8.【答案】A 
【解析】解：令f(x)=sinxx，其中0 令g(x)=xcosx−sinx，其中0 所以，函数g(x)在(0,1)上为减函数，
则当0 所以，函数f(x)在(0,1)上为减函数，
因为0<13<12<1，则f(13)>f(12)，
所以，3sin13>2sin12，即13sin12<12sin13，即a 因为y=cosx在(0,π)上单调递减，且0<78<π3<π，所以，c=13cos78>13cosπ3=16，
令h(x)=x−sinx，其中00，
所以，函数h(x)在(0,1)上为增函数，则g(x)=x−sinx>g(0)=0，即x>sinx，
所以，b=12sin13<12×13=16，则c>b，
综上所述 c>b>a．
故选：A．
构造函数f(x)=sinxx(0 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．

9.【答案】AB 
【解析】解：设切点为(m,n)，
f(x)=1x的导数为f′(x)=−1x2，
可得切线的斜率为k=−1m2，
由题意可得tan3π4=−1m2=−1，
解得m=±1，
则切点为(1,1)，(−1,−1)．
故选：AB．
设切点为(m,n)，求得f(x)的导数，可得切线的斜率，结合斜率公式可得m，进而得到切点坐标．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及直线的倾斜角与斜率的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

10.【答案】ABD 
【解析】解：函数的导数f′(x)=1−lnxx2,(x>0)，
令f′(x)=0得x=e，则当00，函数为增函数，
当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，
则当x=e时，函数取得极大值，极大值为f(e)=1e，故A正确，
由A知当x=e时，函数取得最大值，最大值为f(e)=1e，故B正确；
由f(x)=0，得lnx=0，得x=1，即函数f(x)只有一个零点，故C错误，
∵f(2)=f(4)=ln44=2ln24=ln22，由x>e时，函数f(x)为减函数，知f(3)>f(π)>f(4)，
故f(2) 故选：ABD．
对于AB，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值，最值即可；
对于C，令f(x)=0，则可得函数的零点；
对于D，由选项A的解答过程可知，当x>e时，函数f(x)为减函数，所以f(3)>f(π)>f(4)，而f(2)=f(4)，从而可得结果．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．

11.【答案】CD 
【解析】解：对于A，第1位同学可以从三类不同的图书中任选一类，有3种选法，
同理，其他的3位同学也都各有3种选法，则不同的选书方法有3×3×3×3=81种，故选项A错误；
对于B，个位可以放1，3，十位和百位都可以放1，2，3，所以有2×3×3=18个奇数，故选项B错误；
对于C，6位专家中选出 2 位组成评审委员会，则有C62=15种不同的方式，故选项C正确；
对于D，分个位数字为0和个位数字不为0两种情况：个位数字为0时，有A63=120个，
个位数字不为零时，先从2，4，6三个数字中选一个作为位数字，
再从除0和个位数字外的5个数自选一个作为首位数字，然后从剩下的数字中选2个进行全排，
则有C31C51A52=300，由分类加法计数原理可得共有120+300=420种，故选项D正确．
故选：CD．
根据分类加法计数原理，分步乘法计数原理和排列组合依次计算每个选项的结果即可得到结果．
本题主要考查了排列组合知识，考查了计数原理的应用，属于中档题．

12.【答案】ACD 
【解析】解：对于A：f(x)=2x2+1x，x≠0，
f′(x)=4x−1x2=4(x−314)(x2+314x+3116)x2，
所以在(−∞,0)，(0,314)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(314,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=314时，函数f(x)取得极小值，故A正确；
对于B：设直线l经过原点且与曲线f(x)相切于点P(x0,y0)，
则y−(2x02+1x0)=(4x0−1x02)(x−x0)，x0≠0，
把点(0,0)代入可得x03=1，
解得x0=1，
所以经过原点且与曲线f(x)相切的切线只有一条，故B不正确；
对于C：当x>0时，f2(x)−f2(−x)=(2x2+1x)2−(2x2−1x)2=8x>0，
f(x)>0，
所以f(x)>|f(−x)|，故C正确；
对于D：f(x1)=f(x2)，x1<0 所以2x12+1x1=2x22+1x2，
化为x1+x2=12x1x2，
所以x2−x1= (x1+x2)2−4x1x2= 14x12x22−4x1x2，
令x1x2=t<0，则x2−x1= 14t2−4t，
令g(t)=14t2−4t，
g′(t)=−12t3−4=−8t3+12t，
所以当t=−12时，x2−x1≥ 14×14−4×(−12)= 3，故D正确，
故选：ACD．
对于A：求导分析f′(x)的符号，进而可得f(x)的单调性，极值，即可判断A是否正确；
对于B：设直线l经过原点且与曲线f(x)相切于点P(x0,y0)，则y−(2x02+1x0)=(4x0−1x02)(x−x0)，x0≠0，把点(0,0)代入可解得x0，即可判断B是否正确；
对于C：当x>0时，计算f2(x)−f2(−x)，即可判断C是否正确；
对于D：由题意可得f(x1)=f(x2)，x1<0 令g(t)=14t2−4t，求导分析单调性，即可得出最值，进而可得D是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．

13.【答案】e 
【解析】解：∵f′(x)=lnx+1；
故f′(x0)=2可化为lnx0+1=2；
故x0=e；
故答案为：e
由题意求导f′(x)=lnx+1，从而得lnx0+1=2；从而解得．
本题考查了导数的求法及应用，属于基础题．

14.【答案】(−∞,2] 
【解析】解：∵函数f(x)=lnx+ax在[2,4]上为增函数，
∴f′(x)=1x−ax2≥0在[2,4]上恒成立，
∴a≤x在[2,4]上恒成立，
∵y=x在[2,4]上单调递增，
∴a≤2，
故答案为：(−∞,2]．
函数f(x)=lnx+ax在[2,4]上是增函数⇒f′(x)≥0在[2,4]上恒成立，分离参数a，结合函数y=x的单调性可得实数a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化与化归思想及分离参数法的应用，属于中档题．

15.【答案】34 
【解析】解：要使遇见的行人总人数最小，则此人应从点A处向上或向右走，即不能后退或向左走，
现在假设从点B处往回走至点A处，结合图中数据，易知满足条件的路径如图所示，

此时遇见的总人数为5+5+7+4+6+7=34，即最小值为34．
故答案为：34．
假设从点B处往回走至点A处，根据图形，从点B处出发，前两条路遇见人数可能为5+8，或5+5，或5+7，由此可确定前两条路的走法，进而得到满足条件的路径，再计算即可得出结论．
本题考查进行简单的合情推理，将问题反向思考是解决本题的关键，属于基础题．

16.【答案】(89,1] 
【解析】解：由函数f(x)对于任意x∈R，均满足f(x)=f(2−x)，可知f(x)的对称轴方程为x=1．
又当x≤1时，f(x)=x3,0≤x≤13x+2,x<0，
∴作出函数f(x)的图象如图：
由图可知，a与d，b与c关于直线x=1对称，
∴b+c=2，a+d=2，
又∵f(a)=f(b)，
∴3a+2=b3，
∴a=13(b3−2)，
∴(b−a)(c−d+2)=(b−a)(2+a−b)=2(b−a)−(b−a)2=−(b−a−1)2+1，
b−a−1=b−13(b3−2)−1=−13b3+b−13，
设f(b)=−13b3+b−13，0 ∴f′(b)=−b2+1>0，
∴f(b)在(0,1)上单调递增，
∴−13 即−13 ∴0≤(b−a−1)2<19，
∴−19<−(b−a−1)2≤0，
∴89<−(b−a−1)2+1≤1
即(b−a)(c−d+2)的范围为(89,1]．
故答案为：(89,1]．
由已知画出分段函数的图象，可得b+c=2，a+d=2，由f(a)=f(b)，得a=13(b3−2)，因此(b−a)(c−d+2)=−(b−a−1)2+1，则b−a−1=−13b3+b−13，利用导数求出b−a−1的范围，即可求出答案．
本题考查分段函数的图象和性质，考查转化思想和运算能力、数形结合思想和推理能力，属于中档题．

17.【答案】解：(1)从青岛到上海的航线分为两类：
第一类经过北京，分两步完成，第一步从青岛到北京，第二步从北京到上海，有3×4=12种方法，
第二类从青岛直接到上海，有2种方法，所以从青岛到上海的不同走法总数是12+2=14种．
(2)该事件发生的过程分为两大步，第一步去，有14种走法；第二步回，返回的走法比去时的走法少一种，
所以不同的走法总数为14×13=182种． 
【解析】(1)利用分类加法计数原理求解即可；
(2)利用分步乘法计数原理求解即可．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．

18.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=3x3−9x+5的导数为f′(x)=9x2−9，
令9x2−9<0⇒−1 (Ⅱ)当x变化时，y′与y的变化情况如下：
 x
[−3,−1)
−1
(−1,1)
1
( 1,3]
y′
+
0
−
0
+
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(−1)=11，而f(1)=−1，f(−3)=5，f(3)=59，
∴ymin=f(1)=−1.ymax=f(3)=59． 
【解析】(Ⅰ)求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求函数f(x)的单调递减区间；
(Ⅱ)根据函数的导数判断函数的单调性求解函数的极值以及端点值，即可求函数f(x)在[−3,3]上的最大值与最小值．
本题主要考查函数的单调性和最值的求解，导数的应用是解决本题的关键．

19.【答案】解：(1)由题意a=1时，函数f(x)=13x3+x2−3x+1，
则有f′(x)=x2+2x−3=(x+3)(x−1)，∴f′(2)=5,f(2)=53，
故所求切线方程为y−53=5(x−2)，即15x−3y−25=0；
(2)f′(x)=x2+2ax−3a2=(x+3a)(x−a)，且x∈(−∞,+∞)，
当a=0时，f′(x)=x2≥0，此时f(x)在(−∞,+∞)单调递增．
当a<0时，x∈(−∞,a)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；
x∈(a,−3a)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；
x∈(−3a,+∞)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．
综上，当a=0时，函数f(x)单调递增区间为(−∞,+∞)，
当a<0时，函数f(x)单调递增区间为(−∞,a)，(−3a,+∞)；
函数f(x)单调递减区间为(a,−3a)． 
【解析】(1)求导，根据点斜式即可求解切线方程即可；
(2)分a=0、a<0讨论利用导函数的正负确定函数的单调性即可．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．

20.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
当m=1时，f(x)=12lnx−x，
求导得f′(x)=12x−1=1−2x2x，
由f′(x)>0得0 由f′(x)<0得x>12，
因此函数f(x)在(0,12)上单调递增，(12,+∞)上单调递减，
所以函数f(x)的极大值为f(12)=12ln12−12=−12−12ln2,f(x)无极小值．
(2)若m=12e2，则f(x)=12lnx−12e2x，
对∀x1,x2∈[2,2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立，等价于对∀x∈[2,2e2]有g(x)min≥f(x)max成立，
f′(x)=12(1x−1e2)，
当20，当e2 因此函数f(x)在[2,e2]上单调递增，在[e2,2e2]上单调递减，
f(x)的最大值为f(e2)=12，
g′(x)=1+ax2>0(a>0),x∈[2,2e2]，
函数g(x)在[2,2e2]上是增函数，
g(x)min=g(2)=2−a2，
于是2−a2≥12，解得a≤3，
又a>0，因此a∈(0,3]，
所以实数a的取值范围是(0,3]． 
【解析】(1)把m=1代入，求出函数f(x)的导数，探讨单调性求出极值作答．
(2)根据给定的条件，求出函数g(x)的最小值及函数f(x)的最大值，再列式求解作答．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化能力，属于难题．

21.【答案】解：(1)若0 若x>1e，由f(x)≥0得a≤exlnx+1，令ϕ(x)=exlnx+1，
则ϕ′(x)=ex(lnx+1−1x)(lnx+1)2，
令g(x)=lnx+1−1x(x>1e)，由g′(x)=1+1x2>0得g(x)在(1e,+∞)上单调递增，
又∵g(1)=0，所以ϕ′(x)在(1e,1)上为负，在(1,+∞)上为正，
∴ϕ(x)在(1e,1)上递减，在(1,+∞)上递增，
∴ϕ(x)min=ϕ(1)=e，从而0 (2)证明：函数y=f(x)若有两个零点，则α>e，
所以f(1)=e−a<0，
由f(a)=ea−alna−a(a>e)得f′(a)=ea−lna−2，则f″(a)=ea−1a>ea−1e>e−1e>0，
∴f′(a)=ea−lna−2在(e,+∞)上单调递增，
∴f′(a)>f′(e)=ee−3>e2−3>0，
∴f(a)=ea−alna−a在(e,+∞)上单调递增，
∴f(a)>f(e)=ee−2e>e2−2e>0，则f(1)f(a)<0，
∴1 由a>e得f(1a)=e1a−aln1a−a=e1a+alna−a>e1a+alne−a=e1a>0，则f(1)f(1a)<0，
∴1a 综上得1a 【解析】(1)当01e，问题转化为a≤exlnx+1，构造函数ϕ(x)=exlnx+1，利用导数求其最小值即可；
(2)利用导数结合零点存在性定理直接求证即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题及函数的零点问题，考查推理论证能力，属于中档题．

22.【答案】解：(Ⅰ)由题设，知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
且f′(x)=−1−1x2+ax=−x2+ax−1x2(x>0)，
因为函数f(x)有两个极值点x1，x2，
所以f′(x)=0在(0,+∞)上有两个不等的实数根，
即x2−ax+1=0在(0,+∞)上有两个不等的实数根x1，x2，
则有Δ=a2−4>0a2>0x1x2=1，
解得a>2，即所求实数a的取值范围是(2,+∞)．
(Ⅱ)由题意，得f(x1)=−x1+1x1+alnx1,f(x2)=−x2+1x2+alnx2，
又由(Ⅰ)知x1x2=1，
所以f(x1)−f(x2)x1−x2=1x1−1x2+x2−x1+a(lnx1−lnx2)x1−x2=−1x1x2−1+a(lnx1−lnx2)x1−x2=−2+a(lnx1−lnx2)x1−x2．
要使f(x1)−f(x2)x1−x2=a−2成立，只需a(lnx1−lnx2)x1−x2=a．
由(Ⅰ)知a>2，则只需lnx1−lnx2x1−x2=1，
即lnx1−lnx2=x1−x2.(※)
由于x1x2=1，所以x1=1x2不妨设x2>1，
则(※)式成立，等价于−x2+1x2+2lnx2=0成立．
设h(x)=−x+1x+2lnx   (x>1)，
则h′(x)=−1−1x2+2x=−x2−2x+1x2=−(x−1)2x2<0，
所以函数h(x)在区间(1,+∞)上单调递减，且h(1)=0，
所以h(x)max 所以h(x)=0无实数解，即(※)式不成立，
所以不存在实数a，使f(x1)−f(x2)x1−x2=a−2成立． 
【解析】(I)求导之后，根据导函数在(0,+∞)上有两个变号零点，列式即可求解．
(II)假设存在，由(I)知x1x2=1，则x1=1x2，不妨设x2>1，代入f(x1)−f(x2)x1−x2=a−2，消元得−x2+1x2+2lnx2=0，构造函数h(x)=−x+1x+2lnx(x>1)可知上述方程无实解，故不存在实数a，使f(x1)−f(x2)x1−x2=a−2成立
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．