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2023年山东大学附中中考数学四模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东大学附中中考数学四模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东大学附中中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 25的算术平方根是( )
A. 5 B. ±5 C. ± 5 D. 5
2. 如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上.用科学记数法表示1300000是( )
A. 13×105 B. 1.3×105 C. 1.3×106 D. 1.3×107
4. 如图，直线a//b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是( )
A. 50°
B. 45°
C. 35°
D. 30°
5. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
6. 下列运算正确的是( )
A. x4⋅x3=x12 B. (−xy3)3=−x3y9
C. 3x2+2x2=5x4 D. (x−y)2=x2−y2
7. 不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”.随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为( )
A. 34 B. 12 C. 13 D. 14
8. 函数y=kx和y=−kx+2在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC
10. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象上的一个“n阶方形内点”.例如，点(13,13)是函数y=x图象上的一个“12阶方形内点”；点(2,1)是函数y=2x图象上的一个“2阶方形内点”.若y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1的图象上一定存在“n阶方形内点”，则n的取值范围是( )
A. 0≤n≤1 B. 14≤n≤1 C. 0≤n≤14 D. n≥1
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：1−m2= ______ ．
12. 一个n边形的内角和为1080°，则n= ．
13. 比较实数大小： 3 ______ 62.(填>，<或=)
14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b经过A，B两点，若点B的坐标为(3,0)，则不等式ax+b>0的解集是______ ．
15. 如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，AD=2AB，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是______．
16. 如图所示，将矩形ABCD分别沿BE，EF，FG翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上.若AB=2，则GH= ______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：|−2|+ 3tan60°−(12)−1−(+2023)0．
18. (本小题8.0分)
解不等式组：2(x−1)
如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，BF，EF，且∠ABE=∠CBF.求证：∠BEF=∠BFE．
20. (本小题8.0分)
为了了解甲、乙两个学校学生的身高情况，某调查小组分别从甲、乙两个学校随机抽取15名学生测量了身高并对数据进行整理、分析(身高用x表示，单位cm，共分为四个等级A：x>170，B：160≤x<170，C：150≤x<160，D：140≤x<150)．
①抽取的甲校15名学生的身高为：
145，157，160，161，161，163，163，164，164，164，165，165，172，177，179；
②抽取的乙校15名学生的身高中B等级包含的数据为：169，168，164，163，163，162；剩余数据中C，D等级共有6人．
③抽取的甲校、乙校学生身高统计表和乙校学生身高的扇形统计图如下：
甲校、乙校学生身高统计表
学校
平均数
中位数
众数
甲
164
164
a
乙
164
b
163
根据以上信息，解答下列问题．
(1)a= ______ ，b= ______ ，若抽取的乙校学生中，身高B等级所占的百分比为m%，则m= ______ ．
(2)根据以上数据，你认为哪个学校的学生更高？请说明理由．
(3)若甲校有660人，乙校有540人，请估计两个学校身高达到170cm及以上的学生共有多少人？
21. (本小题8.0分)
消防车是灭火救灾的主要装备，如图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图.当云梯OD升起时，OD与底盘OC的夹角为α，液压杆AB与底盘OC的夹角为β.已知液压杆AB=4m，当α=37°，β=53°时，求AO的长.(结果精确到0.1m.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)
22. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC.过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE=AB，连接BE，交⊙O于点F，连接AF．
(1)求证：∠EAF=∠EBD；
(2)过点E作EG⊥BD于点G.如果AB=5，BE=2 5，求EG的长．
23. (本小题8.0分)
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
(1)求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，要求购进甲种粽子不少于乙种粽子的3倍，请为该超市设计出最省钱的购买方案并求最低费用．
24. (本小题8.0分)
一次函数y=12x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，直线BC与反比例函数y=kx交于点A(2,a)．
(1)求出a，k的值；
(2)M为线段BC上的点，将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点N，点N恰巧在反比例函数y=kx上，求出点N坐标；
(3)在(2)的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，Q，使得四边形MAPQ为菱形.若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
25. (本小题8.0分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为射线CA上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
(1)如图1，点P在线段CA延长线上，当α=60°时，PA与DC的数量关系为______ ；∠DCP的度数为______ °；
(2)如图2，点P在线段CA延长线上，当α=120°时，请问(1)中PA与DC的数量关系是什么？∠DCP的度数为多少？请写出你的判断，并说明理由．
(3)如图3，点P在线段CA上，当α=60°时，连接AD交BC于F，若AP=2，CP=2CF，求CP的长．
26. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C(0,−3)，点P为x轴下方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点P的横坐标为2时，D为线段AP上一点，若△OBD的面积为94，请求出D点坐标；
(3)如图2，点P在y轴的右侧，直线AP与y轴交于点M，直线BM与抛物线交于点Q，连接PQ与y轴交于点H，请问PHQH的值是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5，
故选：A．
根据算术平方根的定义即可解决问题．
本题考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2.【答案】B
【解析】解：从左边看，底层是两个正方形，上层左边是一个正方形，
故选：B．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】C
【解析】解：1300000=1.3×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：如图，
∵直线a//b，
∴∠3=∠1=60°．
∵AC⊥AB，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=90°−∠3=90°−60°=30°，
故选：D．
根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得答案．
本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差．
5.【答案】A
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：A：原式=x7，∴不符合题意；
B：原式=−x3y9，∴符合题意；
C：原式=5x2，∴不符合题意；
D：原式=x2−2xy+y2，∴不符合题意；
故选：B．
A：根据同底数幂的乘法计算．
B：根据积的乘方计算．
C：根据合并同类项法则计算．
D：根据完全平方公式计算．
本题考查完全平方公式、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：列表如下：
问天
梦天
问天
(问天，问天)
(梦天，问天)
梦天
(问天，梦天)
(梦天，梦天)
由表知，共有4种等可能结果，其中两次都取到写有“问天”的小球的有1种结果，
所以两次都取到写有“问天”的小球的概率为14．
故选：D．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】D
【解析】解：在函数y=kx和y=−kx+2中，
当k>0时，函数y=kx在一、三象限，
函数y=−kx+2在一、二、四象限，
故A、B均不符合题意，D符合题意；
当k<0时，函数y=kx在二、四象限，
函数y=−kx+2在一、二、三象限，
故C不符合题意．
故选：D．
根据两个函数，首先考虑k>0还是k<0的两种情况．当k>0时，函数y=kx在一、三象限，函数y=−kx+2在一、二、四象限；当k<0时，函数y=kx在二、四象限，函数y=−kx+2在一、二、三象限．以此即可选择．
本题考查的是反比例函数的图象、一次函数的图象，解题关键是分情况讨论k的符号：①k>0，②k<0，然后根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
9.【答案】A
【解析】解：由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF=AH，
则AF=BF，
∴AF=BF=AH，
∵∠ACB=90°，
∴CF=CH，
∴△AFH的周长为AF+AH+FH=2BF+2FC=2(BF+FC)=2BC=8．
故选：A．
由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF=AH，可得AF=BF=AH，由∠ACB=90°，可得CF=CH，则△AFH的周长为AF+AH+FH=2BF+2FC=2(BF+FC)=2BC=8．
本题考查作图−基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图，设A(n,n)，C(−n,−n)，B(n,−n)，D(−n,n)，
当抛物线经过点B时，则−n=−(n−n)2−2n+1，
解得n=1；
当抛物线经过点D时，则n=−(−n−n)2−2n+1
解得n=−1或n=14；
∴当14≤n≤1时，二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在．
故选：B．
在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
本题属于二次函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
11.【答案】(1−m)(1+m)
【解析】解：1−m2=12−m2=(1−m)(1+m)；
故答案为：(1−m)(1+m)．
利用平方差公式即可求解．
本题考查了用平方差公式进行因式分解，关键是确定平方差公式中的a和b．
12.【答案】8
【解析】解：(n−2)⋅180°=1080°，
解得n=8．
直接根据内角和公式(n−2)⋅180°计算即可求解．
本题主要考查了多边形的内角和公式．多边形内角和公式：(n−2)⋅180°．
13.【答案】>
【解析】解：( 3)2=3，( 62)2=32，
∵3>32，
∴ 3> 62．
故答案为：>．
首先分别求出 3、 62的平方的值，比较出它们的平方的大小关系，然后根据正实数>0>负实数，两个正实数，平方大的这个数也大，判断出 3、 62的大小关系即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个正实数，平方大的这个数也大．
14.【答案】x<3
【解析】解：由图象可得，一次函数y=ax+b的图象y随x的增大而减小，与x轴的交点为(3,0)，则不等式ax+b>0的解集是x<3，
故答案为：x<3．
根据一次函数的性质和图象，可以写出不等式ax+b>0的解集．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】32−π4
【解析】
【分析】
利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE，BE的长以及∠EBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积=S矩形ABCD−S△ABE−S扇形EBF，求出答案．
此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出BE的长以及∠EBC的度数是解题关键．
【解答】
解：∵矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF=45°，AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE=45°，
∴AB=AE=1，BE= 2，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED=1，
∴图中阴影部分的面积=S矩形ABCD−S△ABE−S扇形EBF
=1×2−12×1×1−45π×( 2)2360=32−π4．
故答案为：32−π4．
16.【答案】 22
【解析】解：依题意AE=EH=ED，DF=HF=12CD=12AB=1，AB=BH=2，CG=GH，DF=FC=HF
设AE=ED=a，
∵∠BEH+∠FEH+∠AEB+∠DEF=180°，∠BEH=∠AEB，∠FEH=∠DEF，
∴∠BEF=∠BEH+∠FEH=90°，
在Rt△BEF中，BE2+DF2=BF2，
∴AB2+AE2+DE2+DF2=BC2+FC2
∴22+a2+a2+12=(2a)2+12
解得：a= 2，
同理∠EFG=90°，
又∵DF=FC，
在Rt△EFG中，EG2=EF2+FG2，
∴DE2+DF2+FC2+CG2=EG2，
设CG=GH=x，BG=2 2−x
∵BC=2 2，AB=BH=2，
在Rt△BHG中，BH2+HG2=BG2
∴22+x2=(2 2−x)2，
解得：x= 22．
故答案为： 22．
由折叠的性质得出AE=EH=ED，DF=HF=12CD=12AB=1，由勾股定理，得出AE=ED= 2，进而在Rt△EFG中，EG2=EF2+FG2，列出方程即可求解．
本题考查了矩形折叠问题，勾股定理，得出AE=DE，DF=FC是解题的关键．
17.【答案】解：|−2|+ 3tan60°−(12)−1−(+2023)0
=2+ 3× 3−2−1
=2+3−2−1
=2．
【解析】利用绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂计算．
本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂．
18.【答案】解：解不等式2(x−1)
∴原不等式组的解集是x≤4．
∴非负整数解为0，1，2，3，4．
【解析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，再写出范围内的非负整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
在△ABE与△CBF中，
∠A=∠CAB=BC∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF(ASA)，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE．
【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
20.【答案】164 163 40
【解析】解：(1)∵抽取的甲校15名学生的身高为：145，157，160，161，161，163，163，164，164，164，165，165，172，177，179，
∴众数a=164，
把乙校15名学生的身高从小到大排列，排在最中间的数是163，故中位数b=163；
m%=615×100%=40%，
∴m=40，
故答案为：164，163，40；
(2)甲校的学生更高，理由：甲校的中位数大于乙校的中位数，故甲校的学生更高；
(3)60×315+540×15−6−615=240(人)，
答：估计两个学校身高达到170cm及以上的学生共大约有240人．
(1)根据题意和题目中的数据，以及扇形统计图中的数据，可以计算出a、b、m的值；
(2)先判断，然后说明理由即可，注意本题答案不唯一，主要合理即可；
(3)根据题目中的数据，可以计算出两个学校身高达到170cm及以上的学生共有多少人．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：∵sinβ=sin53°=BEAB=cos37°，
∴BE4≈0.8，
∴BE≈3.2m．
∵tanα=tan37°=BEOE，
∴0.75≈3.2OE，
∴OE=4.27m，
∵cosβ=cos53°=sin37°=AEAB，
∴AE=AB⋅sin37°=4×0.6=2.4(m)，
∴OA=OE−AE=4.27−2.4≈1.9(m)．
答：AO的长约为1.9m．
【解析】利用锐角三角函数可求AE，OE的长，即可求解，结合图形求得AO的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∵∠ABF+∠EBD=90°，
∴∠BAF=∠EBD；
∵AF⊥BE，AE=AB，
∴∠EAF=∠BAF，
∴∠EAF=∠EBD；
(2)解：如图，
∵∠BAF=∠EBD，∠AFB=∠BGE=90°，
∴△ABF∽△BEG，
∴52 5= 5EG，
∴EG=2，
∴EG的长为2．
【解析】(1)利用同角的余角相等即可解决问题；
(2)先根据相似三角形的性质得出EG=2，再利用△DEG∽△DAB，可得答案．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，
依题意得：800x−12002x=50，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，
则2x=8，
即甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元；
(2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，总费用为w元，
依题意得：w=8m+4(200−m)=4m+800，
∵m≥3(200−m)，
∴m≥150，
∵k=4>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=150时，w有最小值为：4×150+800=1400元，
此时200−m=50(个)，
即购进150个甲种粽子，50个乙种粽子．
【解析】(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意：购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，总费用为w元，可得w与m的函数关系式，再根据m≥3(200−m)解答即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据题意列函数关系式，再根据m≥3(200−m)解答即可．
24.【答案】解：(1)把A点坐标代入一次函数解析式可得：a=12×2+2=3，
∴A(2,3)，
∵A点在反比例函数图象上，
∴k=2×3=6；
(2)当y=0时，y=12x+2=0，
解得x=−4，
当x=0时，y=12×0+2=2，
解得x=−4，
∵一次函数y=12x+2的图象与x轴相交于点C，与y轴相交于点B，
∴点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(−4,0)，
∵M为线段BC上的点，
∴点M坐标为(−2,1)，
则点N(2,3)；
解法二：设M(m,12m+2)，则N(m+4,12m+4)，
则有(m+4)×(12m+4)=6，
解得，m=−2或−10(舍去)
∴m=−2；
(3)设点P(x,0)，
点M(−2,1)，点A(2,3)，
由点A、M的坐标得，AM2=20，
由题意知，MA为菱形的边，
则点M向右平移4个单位向上平移2个单位得到点A，
则点P(Q)向右平移4个单位向上平移2个单位得到点Q(P)，
由中点坐标公式和MA=MP(MA=AP)得：
x+4=s0+2=t20=(x+2)2+1或x−4=s0−2=t20=(x−2)2+32，
解得：x=−2± 19或2± 11，
即点P的坐标为：(−2+ 19,0)或(−2− 19,0)或(2+ 11,0)或(2− 11,0)．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)求出点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(−4,0)，而M为线段BC上的点，求出点M的坐标，即可求解；
(3)分EM为菱形的一边和菱形的对角线，两种情况分别求解即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、菱形的性质、待定系数法求函数表达式等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
25.【答案】PA=DC 60
【解析】解：(1)如图1中，
∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，
∴PB=PD，
∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=60°，
∴△ABC，△PBD是等边三角形，
∴∠ABC=∠PBD=60°，
∴∠PBA=∠DBC，
∵BP=BD，BA=BC，
∴△PBA≌△DBC(SAS)，
∴PA=DC；
如图1中，设BD交PC于点O．
∵△PBA≌△DBC，
∴∠BPA=∠BDC，
∵∠BOP=∠COD，
∴∠OBP=∠OCD=60°，即∠DCP=60°；
故答案为：PA=DC，60°；
(2)结论：CD= 3PA；∠DCP=30°．
理由：如图2中，
∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=120°，
∴BC=2⋅AB⋅cos30°= 3BA，BD=2BP⋅cos30°= 3BP，
∴BCBA=BDPB= 3，
∵∠ABC=∠PBD=30°，
∴∠ABP=∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴CDPA=BCAB= 3，
∴CD= 3PA；
设BD交PC于O，
∵△CBD∽△ABP，
∴∠BPA=∠BDC，
∵∠BOP=∠COD，
∴∠OBP=∠OCD，
又∵∠BPD=120°，PB=PD，
∠OBP=30°，
∴∠OCD=30°，
即∠DCP=30°；
(3)如图3，连接CD，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为60°，得到线段PD，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴△PBD是等边三角形，
∴∠ABC=∠PBD=60°，PB=BD，
∴∠ABP=∠CBD，
∴△ABP≌△CBD(SAS)，
∴AP=CD=2，∠BCD=∠ABC=60°，
∴AB//CD，
∴△ABF∽△DCF，
∴ABCD=BFCF，
∵CP=2CF，
设CF=x，CP=2x，
∴BC=AC=AB=2+2x，
∴BF=x+2，
∴2+2x2=x+2x，
解得x= 2(负值舍去)，
∴PC=2x=2 2．
(1)可证得△CBD≌△ABP，由全等三角形的性质得出PA=DC，∠BCD=∠BAP=180°−∠BAC=180°−60°=120°，进而得出结论；
(2)证出∠CBD=∠ABP，可证明△CBD∽△ABP，进而得出CDAP=BCAB= 3，∠BCD=∠PEB=180°−∠BAC=60°，证出∠PCD=∠BCD−∠ACB=60°−30°=30°；
(3)如图3，连接CD，根据等边三角形的性质得到AB=BC，∠ABC=60°，根据旋转的性质得到PB=PD，∠BPD=60°，根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠PBD=60°，PB=BD，根据全等三角形的性质得到AP=CD=2，∠BCD=∠ABC=60°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
26.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，点C(0,−3)代入y=x2+bx+c，
得：1−b+c=0c=−3，解得：b=−2c=3，
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．
(2)对于y=x2−2x−3，当y=0时，得x1=−1，x2=3，
∴点B的坐标为(0,3)，
∵点P为x轴下方抛物线上一点，且点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标y=22−2×2−3=−3，
∴点P的坐标为(2,−3)，
设直线AP的解析式为：y=kx+t，
将点A(−1,0)，点P(2,−3)代入y=kx+t，
得：−k+t=02k+t=−3，解得：k=−1t=−1，
∴直线AP的解析式为：y=−x−1，
∵点D为线段AP上的一点，设点D的横坐标为a，
∴点D的纵坐标y=−a−1，
∴点D的坐标为(a,−a−1)，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点A(−1,0)，点P(2,−3)，点B(0,3)，
∴线段AP在x轴的下方，
∴DE=−(−a−1)=a+1，OB=3，
∵S△OBD=12OB⋅DE=94，
∴12×3(a+1)=94，
解得：a=12，
∴−a−1=−32，
∴点D的坐标为(12,−32)．
(3)PHQH的值是定值，PHQH=3.理由如下：
过P作PF⊥y轴交于F，过P作PN⊥x轴交于N，过Q作QE⊥y轴交于E，过Q作QK⊥x轴交于K，
设P(m,m2−2m−3)，Q(n,n2−2n−3)，
∴PF=ON=m，PN=−(m2−2m−3)=−(m+1)(m−3)，QE=OK=−n，QK=−(n2−2n−3)=−(n+1)(n−3)，
∵点A(−1,0)，点B(0,3)，
∴OA=1，OB=3，AN=m+1，BK=3−n=−(n−3)，
∵OM//PN，
∴△APN∽△AMO，
∴AO：AN=OM：PN，
即：1m+1=OM−(m+1)(m−3)，
∴OM=−(m−3)，
同理：△BKQ∽△BOM，
∴OB：BK=OM：QK，
∴3−(n−3)=OM−(n+1)(n−3)，
∴OM=3(n+1)，
∴−(m−3)=3(n+1)，
∴m=−3n，
∵QE⊥y轴，PF⊥y轴，
∴QE//PF，
∴△QHE∽△PHF，
∴PHQH=PFQE=m−n=−3m−n=3．
【解析】(1)将点A(−1,0)，点C(0,−3)代入y=x2+bx+c建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c即可得到抛物线的解析式；
(2)先求出点B(0,3)，点P(2,−3)，进而可求出直线AP的解析式为y=−x−1，设点D的坐标为(a,−a−1)，过点D作DE⊥x轴于点E，根据△OBD的面积为94建立关于a的方程，解方程求出a即可得到点D的坐标；
(3)过P作PF⊥y轴交于F，过P作PN⊥x轴交于N，过Q作QE⊥y轴交于E，过Q作QK⊥x轴交于K，设P(m,m2−2m−3)，Q(n,n2−2n−3)，先证△APN∽△AMO得AO：AN=OM：PN，进而得OM=−(m−3)，再证△BKQ∽△BOM得OB：BK=OM：QK，进而得OM=3(n+1)，据此可得出m=−3n，然后证△QHE∽△PHF得PH：QH=PF：QE，由此便可得出结论．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定方法与性质是解答此题的关键．难点是解答(3)时，通过点P，Q向坐标轴作垂线，构造相似三角形，把点的坐标与线段建立联系．
2023年山东大学附中中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 25的算术平方根是( )
A. 5 B. ±5 C. ± 5 D. 5
2. 如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上.用科学记数法表示1300000是( )
A. 13×105 B. 1.3×105 C. 1.3×106 D. 1.3×107
4. 如图，直线a//b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是( )
A. 50°
B. 45°
C. 35°
D. 30°
5. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
6. 下列运算正确的是( )
A. x4⋅x3=x12 B. (−xy3)3=−x3y9
C. 3x2+2x2=5x4 D. (x−y)2=x2−y2
7. 不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”.随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为( )
A. 34 B. 12 C. 13 D. 14
8. 函数y=kx和y=−kx+2在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC
10. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象上的一个“n阶方形内点”.例如，点(13,13)是函数y=x图象上的一个“12阶方形内点”；点(2,1)是函数y=2x图象上的一个“2阶方形内点”.若y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1的图象上一定存在“n阶方形内点”，则n的取值范围是( )
A. 0≤n≤1 B. 14≤n≤1 C. 0≤n≤14 D. n≥1
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：1−m2= ______ ．
12. 一个n边形的内角和为1080°，则n= ．
13. 比较实数大小： 3 ______ 62.(填>，<或=)
14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b经过A，B两点，若点B的坐标为(3,0)，则不等式ax+b>0的解集是______ ．
15. 如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，AD=2AB，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是______．
16. 如图所示，将矩形ABCD分别沿BE，EF，FG翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上.若AB=2，则GH= ______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：|−2|+ 3tan60°−(12)−1−(+2023)0．
18. (本小题8.0分)
解不等式组：2(x−1)
如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，BF，EF，且∠ABE=∠CBF.求证：∠BEF=∠BFE．
20. (本小题8.0分)
为了了解甲、乙两个学校学生的身高情况，某调查小组分别从甲、乙两个学校随机抽取15名学生测量了身高并对数据进行整理、分析(身高用x表示，单位cm，共分为四个等级A：x>170，B：160≤x<170，C：150≤x<160，D：140≤x<150)．
①抽取的甲校15名学生的身高为：
145，157，160，161，161，163，163，164，164，164，165，165，172，177，179；
②抽取的乙校15名学生的身高中B等级包含的数据为：169，168，164，163，163，162；剩余数据中C，D等级共有6人．
③抽取的甲校、乙校学生身高统计表和乙校学生身高的扇形统计图如下：
甲校、乙校学生身高统计表
学校
平均数
中位数
众数
甲
164
164
a
乙
164
b
163
根据以上信息，解答下列问题．
(1)a= ______ ，b= ______ ，若抽取的乙校学生中，身高B等级所占的百分比为m%，则m= ______ ．
(2)根据以上数据，你认为哪个学校的学生更高？请说明理由．
(3)若甲校有660人，乙校有540人，请估计两个学校身高达到170cm及以上的学生共有多少人？
21. (本小题8.0分)
消防车是灭火救灾的主要装备，如图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图.当云梯OD升起时，OD与底盘OC的夹角为α，液压杆AB与底盘OC的夹角为β.已知液压杆AB=4m，当α=37°，β=53°时，求AO的长.(结果精确到0.1m.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)
22. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC.过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE=AB，连接BE，交⊙O于点F，连接AF．
(1)求证：∠EAF=∠EBD；
(2)过点E作EG⊥BD于点G.如果AB=5，BE=2 5，求EG的长．
23. (本小题8.0分)
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
(1)求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，要求购进甲种粽子不少于乙种粽子的3倍，请为该超市设计出最省钱的购买方案并求最低费用．
24. (本小题8.0分)
一次函数y=12x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，直线BC与反比例函数y=kx交于点A(2,a)．
(1)求出a，k的值；
(2)M为线段BC上的点，将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点N，点N恰巧在反比例函数y=kx上，求出点N坐标；
(3)在(2)的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，Q，使得四边形MAPQ为菱形.若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
25. (本小题8.0分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为射线CA上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
(1)如图1，点P在线段CA延长线上，当α=60°时，PA与DC的数量关系为______ ；∠DCP的度数为______ °；
(2)如图2，点P在线段CA延长线上，当α=120°时，请问(1)中PA与DC的数量关系是什么？∠DCP的度数为多少？请写出你的判断，并说明理由．
(3)如图3，点P在线段CA上，当α=60°时，连接AD交BC于F，若AP=2，CP=2CF，求CP的长．
26. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C(0,−3)，点P为x轴下方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点P的横坐标为2时，D为线段AP上一点，若△OBD的面积为94，请求出D点坐标；
(3)如图2，点P在y轴的右侧，直线AP与y轴交于点M，直线BM与抛物线交于点Q，连接PQ与y轴交于点H，请问PHQH的值是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5，
故选：A．
根据算术平方根的定义即可解决问题．
本题考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2.【答案】B
【解析】解：从左边看，底层是两个正方形，上层左边是一个正方形，
故选：B．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】C
【解析】解：1300000=1.3×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：如图，
∵直线a//b，
∴∠3=∠1=60°．
∵AC⊥AB，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=90°−∠3=90°−60°=30°，
故选：D．
根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得答案．
本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差．
5.【答案】A
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：A：原式=x7，∴不符合题意；
B：原式=−x3y9，∴符合题意；
C：原式=5x2，∴不符合题意；
D：原式=x2−2xy+y2，∴不符合题意；
故选：B．
A：根据同底数幂的乘法计算．
B：根据积的乘方计算．
C：根据合并同类项法则计算．
D：根据完全平方公式计算．
本题考查完全平方公式、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：列表如下：
问天
梦天
问天
(问天，问天)
(梦天，问天)
梦天
(问天，梦天)
(梦天，梦天)
由表知，共有4种等可能结果，其中两次都取到写有“问天”的小球的有1种结果，
所以两次都取到写有“问天”的小球的概率为14．
故选：D．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】D
【解析】解：在函数y=kx和y=−kx+2中，
当k>0时，函数y=kx在一、三象限，
函数y=−kx+2在一、二、四象限，
故A、B均不符合题意，D符合题意；
当k<0时，函数y=kx在二、四象限，
函数y=−kx+2在一、二、三象限，
故C不符合题意．
故选：D．
根据两个函数，首先考虑k>0还是k<0的两种情况．当k>0时，函数y=kx在一、三象限，函数y=−kx+2在一、二、四象限；当k<0时，函数y=kx在二、四象限，函数y=−kx+2在一、二、三象限．以此即可选择．
本题考查的是反比例函数的图象、一次函数的图象，解题关键是分情况讨论k的符号：①k>0，②k<0，然后根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
9.【答案】A
【解析】解：由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF=AH，
则AF=BF，
∴AF=BF=AH，
∵∠ACB=90°，
∴CF=CH，
∴△AFH的周长为AF+AH+FH=2BF+2FC=2(BF+FC)=2BC=8．
故选：A．
由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF=AH，可得AF=BF=AH，由∠ACB=90°，可得CF=CH，则△AFH的周长为AF+AH+FH=2BF+2FC=2(BF+FC)=2BC=8．
本题考查作图−基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图，设A(n,n)，C(−n,−n)，B(n,−n)，D(−n,n)，
当抛物线经过点B时，则−n=−(n−n)2−2n+1，
解得n=1；
当抛物线经过点D时，则n=−(−n−n)2−2n+1
解得n=−1或n=14；
∴当14≤n≤1时，二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在．
故选：B．
在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
本题属于二次函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
11.【答案】(1−m)(1+m)
【解析】解：1−m2=12−m2=(1−m)(1+m)；
故答案为：(1−m)(1+m)．
利用平方差公式即可求解．
本题考查了用平方差公式进行因式分解，关键是确定平方差公式中的a和b．
12.【答案】8
【解析】解：(n−2)⋅180°=1080°，
解得n=8．
直接根据内角和公式(n−2)⋅180°计算即可求解．
本题主要考查了多边形的内角和公式．多边形内角和公式：(n−2)⋅180°．
13.【答案】>
【解析】解：( 3)2=3，( 62)2=32，
∵3>32，
∴ 3> 62．
故答案为：>．
首先分别求出 3、 62的平方的值，比较出它们的平方的大小关系，然后根据正实数>0>负实数，两个正实数，平方大的这个数也大，判断出 3、 62的大小关系即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个正实数，平方大的这个数也大．
14.【答案】x<3
【解析】解：由图象可得，一次函数y=ax+b的图象y随x的增大而减小，与x轴的交点为(3,0)，则不等式ax+b>0的解集是x<3，
故答案为：x<3．
根据一次函数的性质和图象，可以写出不等式ax+b>0的解集．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】32−π4
【解析】
【分析】
利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE，BE的长以及∠EBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积=S矩形ABCD−S△ABE−S扇形EBF，求出答案．
此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出BE的长以及∠EBC的度数是解题关键．
【解答】
解：∵矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF=45°，AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE=45°，
∴AB=AE=1，BE= 2，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED=1，
∴图中阴影部分的面积=S矩形ABCD−S△ABE−S扇形EBF
=1×2−12×1×1−45π×( 2)2360=32−π4．
故答案为：32−π4．
16.【答案】 22
【解析】解：依题意AE=EH=ED，DF=HF=12CD=12AB=1，AB=BH=2，CG=GH，DF=FC=HF
设AE=ED=a，
∵∠BEH+∠FEH+∠AEB+∠DEF=180°，∠BEH=∠AEB，∠FEH=∠DEF，
∴∠BEF=∠BEH+∠FEH=90°，
在Rt△BEF中，BE2+DF2=BF2，
∴AB2+AE2+DE2+DF2=BC2+FC2
∴22+a2+a2+12=(2a)2+12
解得：a= 2，
同理∠EFG=90°，
又∵DF=FC，
在Rt△EFG中，EG2=EF2+FG2，
∴DE2+DF2+FC2+CG2=EG2，
设CG=GH=x，BG=2 2−x
∵BC=2 2，AB=BH=2，
在Rt△BHG中，BH2+HG2=BG2
∴22+x2=(2 2−x)2，
解得：x= 22．
故答案为： 22．
由折叠的性质得出AE=EH=ED，DF=HF=12CD=12AB=1，由勾股定理，得出AE=ED= 2，进而在Rt△EFG中，EG2=EF2+FG2，列出方程即可求解．
本题考查了矩形折叠问题，勾股定理，得出AE=DE，DF=FC是解题的关键．
17.【答案】解：|−2|+ 3tan60°−(12)−1−(+2023)0
=2+ 3× 3−2−1
=2+3−2−1
=2．
【解析】利用绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂计算．
本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂．
18.【答案】解：解不等式2(x−1)
∴原不等式组的解集是x≤4．
∴非负整数解为0，1，2，3，4．
【解析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，再写出范围内的非负整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
在△ABE与△CBF中，
∠A=∠CAB=BC∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF(ASA)，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE．
【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
20.【答案】164 163 40
【解析】解：(1)∵抽取的甲校15名学生的身高为：145，157，160，161，161，163，163，164，164，164，165，165，172，177，179，
∴众数a=164，
把乙校15名学生的身高从小到大排列，排在最中间的数是163，故中位数b=163；
m%=615×100%=40%，
∴m=40，
故答案为：164，163，40；
(2)甲校的学生更高，理由：甲校的中位数大于乙校的中位数，故甲校的学生更高；
(3)60×315+540×15−6−615=240(人)，
答：估计两个学校身高达到170cm及以上的学生共大约有240人．
(1)根据题意和题目中的数据，以及扇形统计图中的数据，可以计算出a、b、m的值；
(2)先判断，然后说明理由即可，注意本题答案不唯一，主要合理即可；
(3)根据题目中的数据，可以计算出两个学校身高达到170cm及以上的学生共有多少人．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：∵sinβ=sin53°=BEAB=cos37°，
∴BE4≈0.8，
∴BE≈3.2m．
∵tanα=tan37°=BEOE，
∴0.75≈3.2OE，
∴OE=4.27m，
∵cosβ=cos53°=sin37°=AEAB，
∴AE=AB⋅sin37°=4×0.6=2.4(m)，
∴OA=OE−AE=4.27−2.4≈1.9(m)．
答：AO的长约为1.9m．
【解析】利用锐角三角函数可求AE，OE的长，即可求解，结合图形求得AO的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∵∠ABF+∠EBD=90°，
∴∠BAF=∠EBD；
∵AF⊥BE，AE=AB，
∴∠EAF=∠BAF，
∴∠EAF=∠EBD；
(2)解：如图，
∵∠BAF=∠EBD，∠AFB=∠BGE=90°，
∴△ABF∽△BEG，
∴52 5= 5EG，
∴EG=2，
∴EG的长为2．
【解析】(1)利用同角的余角相等即可解决问题；
(2)先根据相似三角形的性质得出EG=2，再利用△DEG∽△DAB，可得答案．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，
依题意得：800x−12002x=50，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，
则2x=8，
即甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元；
(2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，总费用为w元，
依题意得：w=8m+4(200−m)=4m+800，
∵m≥3(200−m)，
∴m≥150，
∵k=4>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=150时，w有最小值为：4×150+800=1400元，
此时200−m=50(个)，
即购进150个甲种粽子，50个乙种粽子．
【解析】(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意：购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，总费用为w元，可得w与m的函数关系式，再根据m≥3(200−m)解答即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据题意列函数关系式，再根据m≥3(200−m)解答即可．
24.【答案】解：(1)把A点坐标代入一次函数解析式可得：a=12×2+2=3，
∴A(2,3)，
∵A点在反比例函数图象上，
∴k=2×3=6；
(2)当y=0时，y=12x+2=0，
解得x=−4，
当x=0时，y=12×0+2=2，
解得x=−4，
∵一次函数y=12x+2的图象与x轴相交于点C，与y轴相交于点B，
∴点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(−4,0)，
∵M为线段BC上的点，
∴点M坐标为(−2,1)，
则点N(2,3)；
解法二：设M(m,12m+2)，则N(m+4,12m+4)，
则有(m+4)×(12m+4)=6，
解得，m=−2或−10(舍去)
∴m=−2；
(3)设点P(x,0)，
点M(−2,1)，点A(2,3)，
由点A、M的坐标得，AM2=20，
由题意知，MA为菱形的边，
则点M向右平移4个单位向上平移2个单位得到点A，
则点P(Q)向右平移4个单位向上平移2个单位得到点Q(P)，
由中点坐标公式和MA=MP(MA=AP)得：
x+4=s0+2=t20=(x+2)2+1或x−4=s0−2=t20=(x−2)2+32，
解得：x=−2± 19或2± 11，
即点P的坐标为：(−2+ 19,0)或(−2− 19,0)或(2+ 11,0)或(2− 11,0)．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)求出点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(−4,0)，而M为线段BC上的点，求出点M的坐标，即可求解；
(3)分EM为菱形的一边和菱形的对角线，两种情况分别求解即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、菱形的性质、待定系数法求函数表达式等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
25.【答案】PA=DC 60
【解析】解：(1)如图1中，
∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，
∴PB=PD，
∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=60°，
∴△ABC，△PBD是等边三角形，
∴∠ABC=∠PBD=60°，
∴∠PBA=∠DBC，
∵BP=BD，BA=BC，
∴△PBA≌△DBC(SAS)，
∴PA=DC；
如图1中，设BD交PC于点O．
∵△PBA≌△DBC，
∴∠BPA=∠BDC，
∵∠BOP=∠COD，
∴∠OBP=∠OCD=60°，即∠DCP=60°；
故答案为：PA=DC，60°；
(2)结论：CD= 3PA；∠DCP=30°．
理由：如图2中，
∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=120°，
∴BC=2⋅AB⋅cos30°= 3BA，BD=2BP⋅cos30°= 3BP，
∴BCBA=BDPB= 3，
∵∠ABC=∠PBD=30°，
∴∠ABP=∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴CDPA=BCAB= 3，
∴CD= 3PA；
设BD交PC于O，
∵△CBD∽△ABP，
∴∠BPA=∠BDC，
∵∠BOP=∠COD，
∴∠OBP=∠OCD，
又∵∠BPD=120°，PB=PD，
∠OBP=30°，
∴∠OCD=30°，
即∠DCP=30°；
(3)如图3，连接CD，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为60°，得到线段PD，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴△PBD是等边三角形，
∴∠ABC=∠PBD=60°，PB=BD，
∴∠ABP=∠CBD，
∴△ABP≌△CBD(SAS)，
∴AP=CD=2，∠BCD=∠ABC=60°，
∴AB//CD，
∴△ABF∽△DCF，
∴ABCD=BFCF，
∵CP=2CF，
设CF=x，CP=2x，
∴BC=AC=AB=2+2x，
∴BF=x+2，
∴2+2x2=x+2x，
解得x= 2(负值舍去)，
∴PC=2x=2 2．
(1)可证得△CBD≌△ABP，由全等三角形的性质得出PA=DC，∠BCD=∠BAP=180°−∠BAC=180°−60°=120°，进而得出结论；
(2)证出∠CBD=∠ABP，可证明△CBD∽△ABP，进而得出CDAP=BCAB= 3，∠BCD=∠PEB=180°−∠BAC=60°，证出∠PCD=∠BCD−∠ACB=60°−30°=30°；
(3)如图3，连接CD，根据等边三角形的性质得到AB=BC，∠ABC=60°，根据旋转的性质得到PB=PD，∠BPD=60°，根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠PBD=60°，PB=BD，根据全等三角形的性质得到AP=CD=2，∠BCD=∠ABC=60°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
26.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，点C(0,−3)代入y=x2+bx+c，
得：1−b+c=0c=−3，解得：b=−2c=3，
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．
(2)对于y=x2−2x−3，当y=0时，得x1=−1，x2=3，
∴点B的坐标为(0,3)，
∵点P为x轴下方抛物线上一点，且点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标y=22−2×2−3=−3，
∴点P的坐标为(2,−3)，
设直线AP的解析式为：y=kx+t，
将点A(−1,0)，点P(2,−3)代入y=kx+t，
得：−k+t=02k+t=−3，解得：k=−1t=−1，
∴直线AP的解析式为：y=−x−1，
∵点D为线段AP上的一点，设点D的横坐标为a，
∴点D的纵坐标y=−a−1，
∴点D的坐标为(a,−a−1)，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点A(−1,0)，点P(2,−3)，点B(0,3)，
∴线段AP在x轴的下方，
∴DE=−(−a−1)=a+1，OB=3，
∵S△OBD=12OB⋅DE=94，
∴12×3(a+1)=94，
解得：a=12，
∴−a−1=−32，
∴点D的坐标为(12,−32)．
(3)PHQH的值是定值，PHQH=3.理由如下：
过P作PF⊥y轴交于F，过P作PN⊥x轴交于N，过Q作QE⊥y轴交于E，过Q作QK⊥x轴交于K，
设P(m,m2−2m−3)，Q(n,n2−2n−3)，
∴PF=ON=m，PN=−(m2−2m−3)=−(m+1)(m−3)，QE=OK=−n，QK=−(n2−2n−3)=−(n+1)(n−3)，
∵点A(−1,0)，点B(0,3)，
∴OA=1，OB=3，AN=m+1，BK=3−n=−(n−3)，
∵OM//PN，
∴△APN∽△AMO，
∴AO：AN=OM：PN，
即：1m+1=OM−(m+1)(m−3)，
∴OM=−(m−3)，
同理：△BKQ∽△BOM，
∴OB：BK=OM：QK，
∴3−(n−3)=OM−(n+1)(n−3)，
∴OM=3(n+1)，
∴−(m−3)=3(n+1)，
∴m=−3n，
∵QE⊥y轴，PF⊥y轴，
∴QE//PF，
∴△QHE∽△PHF，
∴PHQH=PFQE=m−n=−3m−n=3．
【解析】(1)将点A(−1,0)，点C(0,−3)代入y=x2+bx+c建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c即可得到抛物线的解析式；
(2)先求出点B(0,3)，点P(2,−3)，进而可求出直线AP的解析式为y=−x−1，设点D的坐标为(a,−a−1)，过点D作DE⊥x轴于点E，根据△OBD的面积为94建立关于a的方程，解方程求出a即可得到点D的坐标；
(3)过P作PF⊥y轴交于F，过P作PN⊥x轴交于N，过Q作QE⊥y轴交于E，过Q作QK⊥x轴交于K，设P(m,m2−2m−3)，Q(n,n2−2n−3)，先证△APN∽△AMO得AO：AN=OM：PN，进而得OM=−(m−3)，再证△BKQ∽△BOM得OB：BK=OM：QK，进而得OM=3(n+1)，据此可得出m=−3n，然后证△QHE∽△PHF得PH：QH=PF：QE，由此便可得出结论．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定方法与性质是解答此题的关键．难点是解答(3)时，通过点P，Q向坐标轴作垂线，构造相似三角形，把点的坐标与线段建立联系．
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