2023年山东省泰安市泰山学院附中中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省泰安市泰山学院附中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共11小题，共44.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  如图，五边形是正五边形，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  某排球队名队员的年龄如表所示：该队队员年龄的众数与中位数分别是(    )

A. 岁，岁 B. 岁，岁 C. 岁，岁 D. 岁，岁

6.  轮船从处以每小时海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是(    )
 

A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里

7.  已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  八年级某班学生参加抗旱活动，女生抬水，每两个女生用一个水桶和一根扁担，男同学们挑水，每个男生用两个水桶和一根扁担，已知全班同学们共用了水桶个，扁担根，若设女生有人，男生有人，则可列方程组(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，是的内接三角形，，，作，并与相交于点，连接，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，的坐标分别为，，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

12.  某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费约是实际花费的倍数是        用科学记数法表示，保留位有效数字

13.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为        ．

14.  二次函数为常数，且中的与的部分对应值如表

下列结论：
；
当时，的值随值的增大而减小．
是方程的一个根；
当时，．
其中正确的结论是______．

15.  如图，在矩形中，，，当直角三角板的直角顶点在边上移动时，直角边始终经过点设直角三角板的另一直角边与相交于点，，那么与之间的函数式为______．

16.  如图，在菱形中，，点，分别在边、上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，满足．

18.  本小题分
某超市预测某饮料有发展前途，用元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的倍，但单价比第一批贵元．
第一批饮料进货单价多少元？
若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于元，那么销售单价至少为多少元？

19.  本小题分
自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了：利用影长求物体高度，制作视力表，设计遮阳棚，制作中心对称图形，四类数学实践活动课规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息解决下列问题：
本次共调查        名学生，扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为        度；
补全条形统计图；
选修类数学实践活动的学生中有名女生和名男生表现出色，现从人中随机抽取人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是名女生和名男生的概率．

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点过点作轴于点，，，连接，已知的面积等于．
求一次函数和反比例函数的解析式；
若点是点关于轴的对称点，求的面积．

21.  本小题分
如图，在中，平分交于点，为上一点，且的延长线交于点．

求证：；
若，，，求的长．

22.  本小题分
如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
求抛物线的解析式；
抛物线顶点为，直线交轴于点；
设点为线段上一点点不与、两点重合，过点作轴的垂线与抛物线交于点，求面积的最大值；
在线段上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
如图，在正方形中，、分别是射线和射线上的动点，且始终．
如图，当点、分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系；
如图，当点、分别在、的延长线上时，中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
如图，当点、分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点，交于，直接写出、的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
四个数中，最小的数是，
故选：．
依据比较有理数大小的方法判断即可．
本题主要考查的是比较有理数的大小，熟练掌握比较有理数大小的法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B正确，符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据整式的运算法则逐项判断即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：延长交于，
，
，
正五边形的每个外角相等，
，
，
，
．
故选：．
延长交于，由平行线的性质，得到，求出正五边形的外角的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
本题考查平行线的性质，多边形，三角形的外角，关键是作辅助线应用三角形外角的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
该队队员年龄的众数是岁；
共有名队员，
中位数是第、个数的平均数，
中位数是；
故选：．
根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．
根据题中所给信息，求出，再求出，从而得到为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．
【解答】
解：如图，根据题意，

，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
海里．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组仅有三个整数解，可得答案．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，利用不等式的解得出关于的不等式是解题关键．
【解答】
解：解不等式组得：，
由关于的不等式组仅有三个整数：
可得：，
解得，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：根据全班共用水桶个，得方程；
根据全班共用扁担根，得方程．
故方程组为：
故选：．
首先明确：抬水的同学是两个人需根扁担，一个筐；担水的同学是一个人需一根扁担个水桶．已知定量为扁担数和水桶数．
等量关系为：全班共用水桶个；全班共用扁担根．
本题应读懂题意，根据实际情况得到抬水同学和担水同学需要的扁担数和水桶数，然后根据扁担数和水桶数来列等量关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：、，
，，
，
，
又，
，
故选：．
根据等腰三角形性质知，，由平行线的性质及圆周角定理得，从而得出答案．
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，

从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，即，
为直径，即，扇形的半径相等，
，
，
阴影部分的面积是．
故选A．
本题考查圆周角定理和扇形面积的计算．
连接，根据圆周角定理得出为圆的直径，解直角三角形求出，根据扇形面积公式即可求出．
 

11.【答案】 

【解析】解：点，的坐标分别为，，，，
是等腰直角三角形，
，
设直线解析式为，则
，
解得，
直线解析式为，
令，则，
，
又点与点关于点成中心对称，
点为的中点，
设，则，，
，，
，
故选：．
先求得直线解析式为，即可得出，再根据点与点关于点成中心对称，利用中点公式，即可得到点的坐标．
本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线的解析式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：预算花费约为元，实际花费约为元，
预算花费约是实际花费的倍数是：．
故答案是：．
直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．
此题主要考查了科学记数法与有效数字，整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

13.【答案】且． 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：时，时，，时，，
，
解得，
，
，故正确；
对称轴为直线，
所以，当时，的值随值的增大而减小，故错误；
方程为，
整理得，，
解得，，
所以，是方程的一个根，正确，故正确；
时，正确，故正确；
综上所述，结论正确的是．
故答案为：．
利用待定系数法求出二次函数解析式为，然后判断出正确，错误，再根据一元二次方程的解法和二次函数与不等式的关系判定正确．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
证明∽，可得，由此构建方程即可解决问题．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长交于点，

将四边形沿翻折，
，，，，
四边形是菱形
，，
，
设，，
，
，



，



，
，

故答案为：
由折叠的性质可得，，，，，设，，，由勾股定理可得，，，即可求的值．
本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

17.【答案】解：原式






，
方程组，
得：，
解得：，
得：，
解得：，
当，时，
原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后再通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出方程组的解得到与的值，代入计算即可求出值．
此题考查了配方法的应用，非负数的性质，分式的化简求值，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则及方程组的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批饮料进货单价为元．
设销售单价为元，
则第一批进货数量为：瓶，
第二次进货数量为：瓶，
根据题意得：，
解得：．
答：销售单价至少为元． 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元，根据数量总价单价结合第二批饮料的数量是第一批的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设销售单价为元，根据获利不少于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值，即可得出结论．
 

19.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生人数为名，
则扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为．
故答案为：，．
类别人数为人，则类别人数为人，
补全条形图如下：

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是名女生和名男生的结果数为，
所以所抽取的两人恰好是名女生和名男生的概率为．
用类别人数除以其所占百分比可得总人数，用乘以类别人数占总人数的比例即可得；
总人数乘以类别的百分比求得其人数，用总人数减去，，的人数求得类别的人数，据此补全图形即可；
画树状图展示种等可能的结果数，再找出所抽取的两人恰好是名女生和名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

20.【答案】解：轴于点，设，
，
，
，
，
连接，
轴，
，
，
，
将代入，得，
反比例函数解析式为；
，
在中，，
，
将点，点代入，可得
，
，
一次函数解析式为；

点是点关于轴的对称点，
，
，
解方程组，
得 或，
，
． 

【解析】依据，可得，将代入，得，即可得到反比例函数解析式为；将点，点代入，可得一次函数解析式为；
依据，可得，解方程组，即可得到，进而得出的面积．
本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：平分，
，
又，
，
，
∽，
．
；
解：作于，作于，则，，
，，
，
，
∽，
，
，
又，，
． 

【解析】证∽即可
作于，作于，则，，再证∽即可．
此题主要考查相似三角形的性质，灵活运用相似三角形的边的比例关系是解题的关键．
 

22.【答案】解：抛物线对称轴为直线，
由对称轴公式得，
，
抛物线解析式为，
点坐标为．
，
点坐标为，代入得，
，
或舍去，
抛物线解析式为．

抛物线解析式，
当时，有最小值，
顶点坐标为．
在中，令得，，
解得，，
，，
，，
直线解析式为，．
轴，
设点坐标为，则，
，
的面积，
，
当时，．

存在，理由如下：
，，，
，，
，
，，
∽，
，
设线段上的点为则，
，
整理方程得，
或舍去，
点坐标为 

【解析】应用对称轴方程，求，再根据，得点坐标为，代入抛物线解析式，可求；
设出点坐标，用含的代数式表示面积，利用二次函数求最值的方法，求最大值；
利用，对应边成比例，得，设出点坐标，由两点之间距离公式建立方程，再解方程，即可求出点坐标．
本题是二次函数综合题，考查一元二次方程根与系数关系、二次函数图象性质及相似三角形的相关知识．熟练掌握铅垂法计算三角形的面积，利用相似三角形的比例式，将问题转化，是解此题的关键．
 

23.【答案】解：，理由如下：
如图，在的延长线上，截取，连接，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，，
≌，
，，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
又，
；
故答案为：；
中的结论不成立，理由如下：
如图，在上截取，连接，
则，
在和中，，
≌，
，，
，
即，
，
，
在和中，，
≌，
，
，
．
四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
由得：．
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】在的延长线上，截取，连接，则可证明≌，得到，进一步证明≌，得出，得出；
在上截取，连接，可先证明≌，得出，进一步证明≌，可得到，从而可得到；
由已知得出，由勾股定理得出，由平行线得出∽，得出，，求出；由得出设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程得出，由勾股定理得出，由平行线得出∽，得出，求出，得出．
本题是四边形的综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．