备战2024高考数学艺体生一轮复习40天突破90分讲义word版专题09 指数与指数函数（解析版）

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题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
题型二：指数函数的图像及性质
题型三：指数函数中的恒成立问题
题型四：指数函数的综合问题
【考点预测】
1、指数及指数运算
（1）根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
（2）根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．
（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．
（4）有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
（5）有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指数函数
【方法技巧与总结】
1、指数函数常用技巧
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
（2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
【典例例题】
题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
【方法技巧与总结】
利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
例1．（2023·全国·高三专题练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故选：D
例2．（2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（ ）
A．－B．－
C．－D．－6ab
【答案】C
【解析】原式＝.
故选：C.
例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由，所以A正确；
由，所以B正确；
由，
因为，，所以，所以C错误；
由，所以D正确．
故选：ABD．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）(a>0，b>0)＝________.
【答案】
【解析】原式＝＝.
故答案为：
变式2．（1991·全国·高考真题）不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】，则，整理得，解得.
故答案为：.
变式3．不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】．
故答案为：．
变式4．（2023春·山西运城·高三校考阶段练习）的解集为________.
【答案】
【解析】由得：，解得：，即的解集为.
故答案为：.
题型二：指数函数的图像及性质
【方法技巧与总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数(a>0且a≠1)的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，
显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
函数图象的渐近线为，而，故AB不符合；
对于CD，因为渐近线为，故，故时，，
故选项C符合，D不符合；
当时，，
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
函数图象的渐近线为，而，故ABD不符合；
故选：C
例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【解析】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；
分析可知：
函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.
故选：D
例6．（2023·广东·高三统考学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（ ）
A．（0，－3）B．（0，－2）
C．（1，－3）D．（1，－2）
【答案】D
【解析】令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）．
故选：D．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.
另因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.
故选：B
变式6．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A. 函数的定义域为，值域为R；
B. 函数的定义域为R，值域为；
C. 函数的定义域为R，值域为R；
D. 函数的定义域为，值域为，
故选：C
变式7．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的值域为，，故排除；
函数的值域为，故排除；
函数的值域为，故满足条件；
函数的值域为，，故排除，
故选：．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据指数函数性质知，解得．
故选：C．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在是单调递增B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减D．是奇函数，且在是单调递减
【答案】B
【解析】定义域为，且，
所以为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；
故选：B
变式10．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵函数在上单调递减，∴，解得，实数的取值范围是.
故选：A.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为指数函数在R上单调递减，
所以，得，
所以实数a的取值范围是，
故选：D
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】①当时，，此时，不合题意；
②当时，，可化为，所以，解得．
综上，实数的取值范围是．
故选：B．
题型三：指数函数中的恒成立问题
【方法技巧与总结】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
例7．（2023·全国·高三专题练习）若函数，在上恒成立，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为恒成立，所以在上恒成立；
设，则，，
因为时，，
所以.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数.
(1)求a的值并判断函数的单调性（不需要证明）；
(2)若对任意的实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【解析】（1）因为函数是奇函数，定义域为R，所以，令，有，即，经检验符合题意，所以，又因为函数在R上递增，函数在R上递减，所以函数是R上的增函数．
（2）不等式可化为，由函数是R上的增函数，所以，即，而，所以，故实数k的取值范围为．
例9．（2023春·山西长治·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数是奇函数．
(1)求实数；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)∵是定义域为的奇函数，∴，∴，则．
，满足，所以成立.
(2)中，函数单调递减，单调递增，故在上单调递增．
原不等式化为，∴即恒成立，
∴，解得．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，又恒成立，
即恒成立，
因为在上单调递减，所以，所以，即；
故选：B
题型四：指数函数的综合问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）设函数且是定义域为的奇函数；
（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若，且，求在上的最小值．
【解析】（1）因为函数且是定义域为的奇函数，
可得，从而得，即
当时，函数，
满足，所以，
由，可得且，解得，所以是增函数，
又由，可得，
所以，解得，即不等式的解集是．
（2）由（1）知，，
因为，即，解得，
故，
令，则在上是增函数，故，
即，
此时函数的对称轴为，且开口向上，
所以当，函数取得最小值，最小值为，
即函数的最小值为．
例11．（2023春·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）已知指数函数，当时，有，若不等式 解集为，函数的值域为B．
(1)求集合；
(2)当时，求的取值范围．
【解析】（1）根据题意，指数函数，当时，有，可得，
所以，函数为上的减函数，
由可得，解得，故.
（2），故，
因为，则，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
例12．（2023春·山西太原·高三校考期中）已知是偶函数．
(1)求实数k的值；
(2)求不等式的解集．
【解析】（1）由题意，，则，解得.
（2）由（1）可知，则，整理为，
，，，，，解得，即.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，是减函数，排除CD，
，，是增函数，又排除B，
故选：A．
2．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为指数函数单调递增，
由可得：，充分性成立，
当时，，但不一定，必要性不成立，
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据图象可知，函数关于对称，且当时，，故排除B、D两项；
当时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则=（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】由题意，函数，
因为，可得，解得，即，
所以.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．10C．4D．2
【答案】B
【解析】由，得，
∴函数是周期函数，且4是它的一个周期，
又当时，，
∴；
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）不等式成立是不等式成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解不等式，得，
解不等式，得，
又，
所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件.
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【解析】令，则方程可化为，甲写错了常数b，
所以和是方程的两根，所以，
乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，
则可得方程，解得，
所以原方程的根是或
故选：D
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，即，函数单调递增，所以，解得．
故选：B
9．（2023·全国·高三专题练习）函数在的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数是单调递增函数，
所以函数也是单调递增函数，
所以.
故选：C
10．（2023·全国·高三专题练习）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由指数函数（，且），且
根据指数函数单调性可知
所以，
故选：A
11．（2023·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数,则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】二次函数的开口向上，对称轴为，左减右增，所以且在上递减.故，解得，所以实数的取值范围是.
故选：B
12．（2023春·四川德阳·高三校考期中）世界人口在过去​年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（ ）（参考数据​，​）
A．​B．​C．​D．​
【答案】A
【解析】设40年前人口数为，则现在人口数为，
假设每年的增长率为，
则经过40年增长人口数为​，即，
​， ​，
​， ​.
故选::A.
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）下列函数是指数函数的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，函数不是指数函数，
对于B，函数是指数函数；
对于C，函数是指数函数；
对于D，函数不是指数函数.
故选：BC.
14．（2023·全国·高三专题练习）关于函数的结论正确的是（ ）
A．值域是B．单调增区间是
C．值域是D．单调减区间是
【答案】AB
【解析】令，
则，
又为增函数，
所以，所以函数的值域为，故A正确，C错误；
因为在上单调递增，为增函数，
所以函数的单调增区间是，
故选：AB
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】命题意图本题考查不等式的性质.
∵，∴，
∴，A错误；，B错误；，C正确，，D正确．
故选：CD.
三、填空题
16．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．
【答案】
【解析】因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，
函数图象如图所示：
由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是．
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）若函数为指数函数，则a＝________.
【答案】2
【解析】因为函数为指数函数，
所以，解得a＝2.
故答案为：2
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】当时，
则不等式可转化为或
解得或，所以，则不等式的解集为,
故答案为：.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】当时，，当时，，
因为函数的值域为，所以，解得：.
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则______．
【答案】4043
【解析】由题意，函数，
可得
，
设，
则
两式相加，可得
，
所以.
故答案为：.
21．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，满足“”的单调递增函数是________. （填序号）
①；②；③；④f（x）＝3x
【答案】④
【解析】①，，，不满足.
②，，，不满足.
③，是上的减函数，不符合题意.
④，，，且在上递增，符合题意.
故答案为：④
四、解答题
22．（2023·全国·高三专题练习）化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【解析】（1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.
23．（2023·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】（1）原式
；
（2）原式；
（3）原式
；
（4）原式.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．
【解析】①当0若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(0则由图象可知0<3a<2，所以0②当a>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象如图2．
若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，
则由图象可知0<3a<2，此时无解．
所以实数a的取值范围是．
25．（2023春·天津武清·高三校考阶段练习）已知函数是定义域在R上的奇函数，当时，.
(1)求在上的解析式；
(2)若，求a的取值范围.
【解析】（1）因为函数是定义域在R上的奇函数，所以，则.
当时，，所以，
则，
所以在上的解析式为
（2）当时，，则在上单调递增，
又函数为奇函数，所以在R上单调递增，
因为，所以，所以，
解得，即a的取值范围是
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，
(1)当时，求函数在的值域
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．
【解析】（1）∵，，
令，∵，∴，
∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，
∴的值域是.
（2）方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，则，
∴.
27．（2023春·黑龙江鸡西·高三校考开学考试）已知函数是指数函数.
(1)求实数的值；
(2)解不等式
【解析】（1）由题可知解得
（2）由（1）得
∵在上单调递增，
∴，解得，
故原不等式的解集为
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数