能力拓展03 构造导函数解不等式问题（13种考向）

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能力拓展03 构造导函数解不等式问题
【命题方向目录】
命题方向一：利用构造型
命题方向二：利用构造型
命题方向三：利用构造型
命题方向四：用构造型
命题方向五：利用、与构造型
命题方向六：利用与构造型
命题方向七：复杂型：与等构造型
命题方向八：复杂型：与型
命题方向九：复杂型：与结合型
命题方向十：复杂型：基础型添加因式型
命题方向十一：复杂型：二次构造
命题方向十二：综合构造
命题方向十三：找出原函数
【方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于，构造，
4、对于，构造
5、对于，构造，
6、对于，构造
7、对于，构造，
8、对于，构造
9、对于，构造，
10、对于，构造
11、对于，构造，
12、对于，构造
13、对于，构造
14、对于，构造
15、；；；
16、；．
【典例例题】
命题方向一：利用构造型
例1．（安徽省马鞍山第二中学2022-2023学年高三上学期10月段考数学试题）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，构造函数，，则，
所以函数的图象在上单调递减.
又因为，所以，
所以，解得或（舍）.
所以不等式的解集是.
故选：B.
例2．（河南省温县第一高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，即在上递增，
又，则等价于，即，
所以，解得，原不等式解集为.
故选：C
例3．（2023·广西·高二校联考期中）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
令，则当时，得，即在上是减函数，
∴，，
即不等式等价为，
∴，得，即，
又，解得，故．
故选：D.
【通性通解总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
命题方向二：利用构造型
例4．（2023·重庆·高二校联考期中）已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，，
因为，
所以，
所以在单调递增，
因为，
所以，
由，且得，
则，
所以，又在单调递增，
所以，
故选：A．
例5．（2023·河北保定·高二定州市第二中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，则．
当时，，即，则，
故在上单调递增．
因为是偶函数，所以，
所以，则是奇函数，
故在上单调递增．
因为，所以，则．
不等式等价于或
即或解得或．
故选：A.
【通性通解总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
命题方向三：利用构造型
例6．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考文科数学试题）已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
∴在R上单调递增.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故选：A.
例7．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考数学试题）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
所以函数在上单调递增，又，所以．
又等价于，即，所以，
即所求不等式的解集为．
故选：B
【通性通解总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
命题方向四：用构造型
例8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）已知是定义在R上的可导函数，其导函数为，对时，有，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，，因为，
所以，所以在上单调递增，
因为，所以，
即，解得.
故选：C.
例9．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，
所以，即，
设，
则，
所以在上单调递减，
又，的解集等价于的解集，即，
所以，即不等式的解集为.
故选：C.
例10．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知定义在R上函数满足：，，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
则为定义域R上减函数，则由可得，
又， 则由，可得，
则不等式的解集为
故选：C
变式1．（2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）已知函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以在上单调递减，
又，原不等式可化为，即，
所以，即不等式的解集为.
故选：B.
变式2．（江西省九江十校2023届高三第二次联考数学试题）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
，即，
，
在上单调递减，又，
不等式，
即，，
原不等式的解集为.
故选：D
【通性通解总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
命题方向五：利用、与构造型
例11．（江西省2023届高三教学质量监测数学试题）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，化简得，
构造函数，
即当时，单调递增，
所以由，
则，
即.因为为偶函数且在上单调递增，
所以，解得.
故选：C.
例12．（天津市南开中学2023届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得
故选：D
例13．（2023·全国·高二专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，
则，
所以在上单调递减.
又因为偶函数，所以，
所以.
又，
所以不等式等价于，
根据函数的单调性可知，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
【通性通解总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
命题方向六：利用与构造型
例14．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，
，
所以函数在单调递增，
因为函数为偶函数，所以函数也为偶函数，
且函数在单调递增，所以函数在单调递减，
因为，所以，
关于x的不等式可变为，也即，
所以，则解得或，
故选:C.
例15．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设，则，
当时，因为，则有，
所以在上单调递减，
又因为在上是偶函数，可得，
所以是偶函数，
由，可得，即，即
又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，
解得或，
即不等式的解集为，
故选：B.
例16．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知函数的定义域为，其导函数是. 有，则关于的不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递减，
因为，则，由可得，
即，所以，，解得，
因此，不等式的解集为.
故选：A.
【通性通解总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
命题方向七：复杂型：与等构造型
例17．（广西柳州市2023届高三11月第一次模拟考试数学试题）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，构造，则，
且，故在上单调递减；
又为上的奇函数，故可得，
即，则.
则不等式等价于，
又因为是上的单调减函数，故解得.
故选：A.
例18．（河南省多校联盟2023届高考终极押题（C卷）数学试题）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设函数，
所以，因为，
所以，即，所以在上单调递减，因为，
所以，因为，整理得，
所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
例19．（2023届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知函数与定义域都为，满足，且有，，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得.
而，∴，∴在上单调递减，
又，则，
所以，则，
故不等式的解集为．
故选：D．
变式3．（陕西省渭南市华州区咸林中学2022-2023学年高三上学期开学摸底考试数学试题）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，所以，因为，所以，化简得，
所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，
得，即，
由在上单调递增，得解得，
所以不等式的解集为，
故选：B.
【通性通解总结】
对于，构造
命题方向八：复杂型：与型
例20．（专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用—备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，设，则，则有，，即有，故函数的图象关于对称，则有，
当时，，，又由当时，，即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，即，，
函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，且在上恒成立，由可得，即，此时不存在.
综上：不等式解集为.
故选：A
例21．（辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则恒成立，故函数在上单调递增.
，则，即，故.
，即，即，故，解得.
故选：B.
【通性通解总结】
写出与的加、减、乘、除各种形式
命题方向九：复杂型：与结合型
例22．（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知函数的导函数为，且，不等式的解集为，则不等式的解集为（  ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以待求不等式可化为 ，构造函数 ，
因为不等式 的解集为 ，所以在上， ，所以函数 在上单调递减，
故在 单调递增， ，
所以 的解集为.
故选：D.
例23．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校考期中）已知函数的定义域为，其导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，
则，
因为，所以时，，
即在上单调递减，
又，则，
所以，
即，则，解得：，
所以关于的不等式的解集为，
故选：C.
例24．定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
则，由于,
故,故在单调递增，
而 ，
由，得 ，
∴ ，即 ,
∴不等式的解集为,
故选：D．
【通性通解总结】
1、对于，构造
2、写出与的加、减、乘、除各种结果
命题方向十：复杂型：基础型添加因式型
例25．（2023·湖北黄冈·高二浠水县第一中学校考阶段练习）设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则,
∵，∴,
而,故,
∴在R上单调递增，
又，故，
∴的解集为，
即不等式的解集为，
故选：B
例26．定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，则，所以等价于，
由，可得
则，
所以在上单调递增，所以由，得．
故选：D
例27．（2023·山东潍坊·高二统考期中）已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为定义在上，所以中的式子要有意义，
需满足，解得.
因为，所以，即，
设函数，则在定义域上单调递减.
要求，则
当，即时，，即，
所以，解得或，所以；
当，即时，，即，
所以，解得；
在中，令得，
而在中，当时，有，显然成立；
综上，的解集为.
故选：D.
【通性通解总结】
在本命题方向一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度
命题方向十一：复杂型：二次构造
例28．（福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题）函数满足：，，则当时，（    ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以，
令，则，且，
所以，
令，则，
令，解得：，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
则，故在上恒成立，
所以在上单调递减，
则当时，既无极大值，也无极小值.
故选：D
例29．（江西省百所名校2022-2023学年高三第四次联考数学试题）已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可.由，可得，
即，令，
则.
令，，
所以在上是单调递减函数.
不等式，
等价于，
即，，
所求不等式即，
由于在上是单调递减函数，
所以，解得，
且，即，
故不等式的解集为.
故选：D
例30．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题）定义在上的函数满足，且，则（    ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为，且，
所以，①
令，则，
又，记，
所以.
当时，，递减；当时，，递增.
结合①当时，，所以的最小值为0，即，
因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
变式4．（福建省泉州市2022-2023学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学（理）试题）设函数满足：，，则时，（    ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
【答案】B
【解析】，
令，则，
所以，
令，则，
即，
当时，，单调递增，而，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
故有极小值，无极大值，故选B.
【通性通解总结】
二次构造：，其中等
命题方向十二：综合构造
例31．（2023·高二单元测试）已知定义在上的函数的导函数是，若对任意成立，．则不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，时，得；时，得，
令，则，故在上递增，
又，，
故时，，解得：；
时，，解得：，舍去，
综上，不等式的解集是.
故选：D．
例32．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，若为奇函数，为偶函数，记，且当时，，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，即，
两边同时求导得，即，
所以的图象关于直线对称，且①；
又为偶函数，所以，即，两边求导得，即，
所以的图象关于点中心对称，且②；
由①②得，即，
所以，所以的一个周期为，
因为当时，，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
作出函数与的图象如图所示，

  
由，解得，由，解得，
结合图象可知不等式的解集为.
故选：C
【通性通解总结】
结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者（为常见函数）
命题方向十三：找出原函数
例33．（甘肃省武威市第六中学2023届高三上学期第二次阶段性过关考试数学（文）试题）已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是
A．(0,e) B．(0, ) C．( ,e) D．(e,+∞)
【答案】A
【解析】令，则有， ,
,又 ,得
，,再令,则 ,故函数在上递减,
不等式 等价于,所以 ,故选A
例34．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值．由题意可知，，即，
所以，
令，则，
因为函数在处存在导数，所以为定值，，，
所以，
令，当时，，
构建函数，则有，
所以函数在上单调递增，
当，，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以当时函数必有一解，
令这一解为，，则当时，
当时，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
例35．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】因为，，
所以，所以，
因为函数是连续函数，所以由，可得，
代入，可得，
所以，
当时，，
令，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以函数在上单调递增，
所以既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【通性通解总结】
熟悉常见导数的原函数.
【过关测试】
1．（2023·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学校考阶段练习）设定义在上的可导函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以
令，则，
即在定义域上单调递减，
又，所以，
因为，所以不等式等价于，即，
所以，即不等式的解集为.
故选：D
2．（2023·天津南开·高二南开中学校考期中）已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，，
因为是定义在上的奇函数，即，
，是奇函数；
又当时，，
在上单调递增，在上单调递增；
又，，
对于不等式，又，所以，
所以不等式等价于，即，即，
所以，即不等式解集为．
故选：A．
3．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）函数定义域为，其导函数为，若，，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则
故在单调递减，
又因为，所以不等式等价于，故．
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，且，
由可得出，解得.
因此，的解集为.
故选：A.
5．（2023·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是

（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，
因为，所以，所以，
所以函数在上单调递增，
而可化为，又
即，解得，
所以不等式的解集是．
故选：B
6．（2023·湖北·高二武汉市第六中学校联考期中）定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数，则函数的导数为，
，，即在上单调递减，
，，
则不等式，等价为，
即，则，即不等式的解集为，
故选：A．
7．（2023·福建福州·高二福建省福州高级中学校考期中）已知是定义在上的偶函数，其导函数为，若，且，，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，
所以，所以，
即函数是周期为的周期函数，
因为，
令，则，
因为，
则，即在上单调递减，
由不等式可得，即，
解得，即不等式的解集．
故选：A．
8．（2023·北京海淀·高二校考阶段练习）定义在上的奇函数的图像连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵为奇函数，∴，
∴当时，，
又∵，∴，
当时，，∴在区间上单调递减，
又∵当时，，
∴为上的奇函数，
∵在上的图象连续不断，∴在上单调递减.
又∵，
∴，即，
∴，
∵在区间上单调递增，∴，
解得.
故选：D.
9．（2023·湖南·高三统考阶段练习）设定义在R上的函数满足，且当时，，其中为函数的导数，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】构造函数，因为，
所以，所以为奇函数．
当时，，在上单调递減，所以在R上单调递减．
因为，所以，
即，所以，即．
故选：D
10．（2023·全国·高二专题练习）设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，即，
设，
所以，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为，
故选：B
11．（2023·全国·高二专题练习）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意令，则，
所以在上单调递减，
对于不等式，显然，则，即，
又，所以，
所以，即，
所以，
解得，即关于的不等式的解集为.
故选：B．
12．（2023·新疆乌鲁木齐·高二兵团二中校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】记.
因为是定义在R上的偶函数，所以
因为，所以为奇函数，所以.
因为，所以.
当时，，所以在上单减.
因为为奇函数，图像关于原点对称，所以在上单减.
不等式即为.
当时， 在上单减，且，所以的解集为；
当时， 在上单减，且，所以的解集为.
综上所述：的解集为.
故选：D
13．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则.
因为，所以，即，
所以在上单调递减.
不等式等价于不等式，即.
因为，所以，所以.
因为在上单调递减，所以，解得
故选：A
14．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】是定义在R上的偶函数，，则，即是奇函数，
由，可得，
构造，则，所以函数单调递减，
，，即的周期为，
则，即；
不等式可化简为，即，
所以，解得.
故选：B
15．（2023·全国·高二专题练习）已知基本初等函数的导函数满足，则不等式在区间上的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
由，得，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，
所以当时，，
所以不等式在区间上的解集为，
故选：C
16．（2023·全国·高二专题练习）定义在上的可导函数的导函数记为，若为奇函数且，当时，，则不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
因为当时，成立，所以，为递减函数，
又因为函数为奇函数，可得，
则，所以函数为偶函数，
所以函数在为单调递增函数，
因为，所以，，，
当时，由为奇函数可得不满足题意；
当时，由可得，所以；
当时，由可得，所以，此时，
综上所述，不等式的解集是
故选：D
17．（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，当时，，
构造函数，其中，
则，所以，函数为偶函数，
且当时，，所以，函数在上单调递减，
因为，
由可得，即，
所以，，故，
即或，解得或.
故选：C.
18．（2023·全国·高二专题练习）设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
因为，
所以，
所以函数在上为增函数，
不等式即不等式，
又，，
所以不等式即为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
19．（2023·江苏·高二专题练习）已知定义在R上的偶函数满足，，若，则关于x的不等式的解集为（    ）
A．（4，+∞） B．（-∞，4） C．（-∞，3） D．（3，+∞）
【答案】A
【解析】因为定义在R上的偶函数满足，故，故，即，所以，即的周期为3.又，故，即.因为，即，故构造函数，则，且.综上有在R上单调递增，且.又即，，所以，解得
故选：A
20．（2023·全国·高二专题练习）已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，令，则，即函数在R上单调递增，
由知，，当时，不等式为成立，则，
当时，，即，
于是得，因此有，解得，即得，
当时，，同理有，即有，
解得或，因此得，
综上得，所以不等式的解集为.
故选：A
21．（多选题）（2023·山东枣庄·高二枣庄八中校考期中）已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（    ）
A． B．当时，
C． D．不等式解集为
【答案】CD
【解析】构造函数，其中，
因为函数为定义在上的奇函数，则，
所以，，故函数为偶函数，
当时，，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，则，则.
对于A选项，，即，所以，，A错；
对于B选项，不妨取，则，即，此时，B错；
对于C选项，因为偶函数在上单调递减，
则，即，整理可得，C对；
对于D选项，当时，由可得，解得，
当时，由可得，解得.
综上所述，不等式解集为，D对.
故选：CD.
22．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（    ）
A．函数在定义域上有极小值．
B．函数在定义域上单调递增．
C．函数的单调递减区间为．
D．不等式的解集为．
【答案】BC
【解析】令，则，又得：，
由得：，
令得：，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，
所以单调递增，所以B正确，A不正确；
由且定义域为得：，
令，解得，即的单调递减区间为，故C正确．
的解集等价于的解集，
设，则，
当时，，此时，即在上递减，
所以，即在上成立，故D错误．
故选：BC
23．（多选题）（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且其图象连续.当时，，则关于的不等式的解集可能为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为当时，，且，
而可以令，则
可以令，则
所以，
因为，所以令，则，令，则
所以在上递减，在上递增，且当时，
所以当时，
因为，，
故令，则
又因为，所以，故在上递增
设，所以在上递减，在上递增
且当时，（舍）或
所以当时，，
所以当时，的解集可能为，其中，
又因为是奇函数，所以的解集可能为.
而，所以，故A错误；，故B正确；
，故C正确；，故D错误.
故选：BC
24．（多选题）（2023·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学统考期中）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（    ）
A．函数在定义域上单调递增
B．函数在定义域上有极小值
C．函数的单调递增区间为
D．不等式的解集为
【答案】AC
【解析】令，则，
因为，可得，
又由，可得，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，所以单调递增，所以A正确，B不正确；
由函数，可得，
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间为，所以C正确；
设，则，则
因为，所以，
所以，
令，
则


注意到时，，进而单减，

知时“，即.”
时单减，而，所以D错误.
故选：AC.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，则的解集为__________．
【答案】
【解析】由，得，
记，则在R上单调递增．
由，得，
即，，
，所以解集为．
故答案为：
26．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的偶函数的导函数为，当x>0时，，且，则不等式的解集为_________________________.
【答案】
【解析】当时，，∴，
令，∴在上单调递减，
又是定义在上的偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，
∵，∴，
当，即时，，∴；
当，即时，，∴，则.
故不等式的解集为.
故答案为：.
27．（重庆市部分区2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题）偶函数定义域为，其导函数为，若对，有成立，则关于的不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】令，，因为定义域为上的偶函数，
所以，则，即为偶函数，
又，
因为对，有成立，所以当时，
即在上单调递减，则在上单调递增，
又，所以，则不等式等价于，
即，即，所以，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
28．（2023·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且是的导函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为_________
【答案】
【解析】令，可得
因为对于任意的，都有成立，
可得，所以函数在为单调递增函数，
又因为是定义在上的奇函数，
可得，所以是定义在上的奇函数，
可得是定义在上的单调递增函数，
因为在上连续不断，则在上连续不断，所以函数在上为单调递增函数，
由不等式，可化为，即，
因为，可得，所以，可得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
29．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为________．
【答案】
【解析】当时，因为，所以，
所以，所以在上为增函数，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，且的定义域为，关于原点对称，
所以也是定义在上的奇函数，且，
又因为在上为增函数，所以在上为增函数，
由，得，
所以，因为在上为增函数，
所以，即.
所以的解集为.
故答案为：
30．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为______.
【答案】
【解析】令，则 ，
由于，所以，故在上单调递减，又是定义在上的偶函数且，故，所以，
等价于，因此，
故的解集为，
故答案为：
31．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知函数的导函数满足：，且，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】设，则，所以（为常数），则，且，则，所以，所以
，即不等式为，即
所以或（舍），当时，即，即，所以不等式的解集为.
故答案为：
32．（2023·天津南开·高二天津市第二南开中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】令，则，
所以当时，，即当时，，
所以在上单调递减，
又，所以，
因为，即，所以，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
33．（2023·山东临沂·高二统考期中）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】令，，则，
化简得到，故在上为增函数，
而由可得，
即，故即，
故答案为：.
34．（2023·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考期中）已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】不等式转化为，
令，则，在上单调递减，
，，的解集为，
即不等式的解集为.
故答案为：
35．（2023·四川成都·高二成都七中校考期中）已知定义在R上的函数的导函数为，，且，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】设函数，
，所以单调递增，
不等式，即，即，
所以不等式的解集为.
故答案为：
36．（2023·贵州铜仁·高二校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，若对任意 ，恒成立，则不等式  的解集为_________.
【答案】
【解析】令，因为
所以则  
所以在上单调递增，
又不等式可化为 ，又，
所以，
所以，
所以，
所以的解集为.
故答案为：.
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为，满足，，，当时，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】令，因为，
所以，所以（为常数），
又因为，所以，所以＝0，
即，则函数关于对称，
令，则原不等式等价于，
当时，因为，
则，
此时单调递增．
因为，所以函数关于对称，
则函数在时单调递增，
又因为，则，，
所以的解集为，
即原不等式的解集为．
故答案为：．
38．（2023·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，有，则的解集为___________.
【答案】
【解析】令，可得
因为时，，
所以，
即函数在为单调递增函数，
又因为函数为偶函数，可得，
所以函数为偶函数，所以在为单调递减函数，
因为，
即，可得，即，
解得，即不等式的解集为.
故答案为：.
39．（2023·安徽·高二安徽省庐江汤池中学校联考期中）函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】令，则，
又，所以得，
即，所以为上的偶函数，
又时，，所以在上单调递增，
又为上的偶函数，所以在上单调递减，
由，得，
所以，
即，所以得，解得：，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
40．（2023·高二单元测试）定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，都有，且，则不等式的解集是_________
【答案】
【解析】因为，构造，
则，所以在R上单调递减，
由,令得：，故，
由得：，
因为，所以，
故，
因为在R上单调递减，
所以，解得：.
故不等式的解集是.
故答案为：.
41．（2023·全国·高二专题练习）已知为定义域上函数的导函数，满足，当，且，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】令，即求的解集，因为，所以在上单增，因为，所以当时，1.
又因为，所以关于对称，所以关于对称，所以关对称，所以的解集为或
故答案为：
42．（2023·辽宁·高三校联考期中）已知定义在上的函数满足，，为的导函数，当时，，则不等式的解集为___________
【答案】
【解析】令，所以，
因为，所以，
化简得，所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，
所以在上单调递增，
又是上的奇函数，
所以在上单调递增；
考虑到，
由，得，
即.
由在上单调递增，得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
43．（2023·吉林·高三东北师大附中校考开学考试）定义在上的函数满足；则不等式的解集为__________．
【答案】.
【解析】令，
则，
因为，
所以，
所以在上单调递增；
又因为.
不等式,即为，即，
所以，
所以，
所以不等式的解集为：.
故答案为：.
44．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】设，则
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以是上的偶函数，
当时，，所以在上单调递增，
所以在上单调递减．因为，所以，
所以．
对于不等式，
当时，，即，解得；
当时，，即，解得，
所以不等式的解集是．
故答案为：
45．（2023·全国·高三专题练习）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．
【答案】/
【解析】设函数，则
又  
所以在上单调递增，又
故不等式 可化为
由的单调性可得该不等式的解集为．
故答案为：