2022-2023学年四川省自贡市贡井区田家炳中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省自贡市贡井区田家炳中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省自贡市贡井区田家炳中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是(    )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 已知M(−2,0)，N(2,0)，|PM|−|PN|=3，则动点P的轨迹是(    )
A. 双曲线 B. 双曲线左边一支 C. 双曲线右边一支 D. 一条射线
3. 在△ABC中，“A>30°”是“sin A>12”的(    )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(    )
A. 原命题真，逆命题假 B. 原命题假，逆命题真
C. 原命题与逆命题均为真命题 D. 原命题与逆命题均为假命题
5. 有下述说法：
①a>b>0是a2>b2的充要条件．
②a>b>0是1ab>0是a3>b3的充要条件．则其中正确的说法有(    )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6. 下列说法中正确的是(    )
A. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B. “a>b”与“a+c>b+c”不等价
C. “a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”
D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
7. 已知F1、F2为双曲线C：x2−y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|⋅|PF2|=(    )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 已知F1，F2是椭圆x216+y29=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=1，则|AF1|−|BF2|=(    )
A. 7 B. 8 C. 13 D. 16
9. 设F1和F2为双曲线x24−y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是(    )
A. 1 B. 52 C. 2 D. 5
10. 已知圆x2+y2−6x−7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切，则p=(    )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
11. 已知直线l：y=kx与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为(    )
A. [ 22,1) B. (0, 22] C. ( 22,1) D. (0, 22)
12. 已知双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)与直线y=kx交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为kPA、kPB，曲线C的左、右焦点分别为F1、F2.若kPA⋅kPB=19，则下列说法正确的是(    )
A. a= 3
B. 双曲线C的渐近线方程为y=± 3x
C. 若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2
D. 曲线C的离心率为 103
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如果椭圆x2 100+y236=1上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是______．
14. 抛物线y2=12x截直线y=x−3所得弦长等于______ ．
15. 如图，桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面的高度约为______ 米(精确到0.1米)．


16. 设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是______．
①p1∧p4
②p1∧p2
③￢p2∨p3
④￢p3∨￢p4
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m−2)x+1=0无实根，若“p或q”真“p且q”为假，求m的取值范围．
18. (本小题12.0分)
设命题p：实数x满足x2−4ax+3a20，命题q：实数x满足x2−x−6≤0x2+2x−8>0.．
(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19. (本小题12.0分)
(1)求与双曲线y24−x23=1有共同的渐近线，且经过点M(3,−2)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2 33，过点A(0,−b)和B(a,0)的直线与原点的距离为 32，求此双曲线的标准方程．
20. (本小题12.0分)
平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y− 3=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12．
(Ⅰ)求M的方程；
(Ⅱ)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为 22，直线y=k(x−1)与椭圆C交与不同的两点M，N．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为 103时，求k的值．
22. (本小题12.0分)
已知抛物线D的顶点是椭圆x24+y23=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线D的方程；
(2)已知直线l过点P(4,0)交抛物线于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线x=m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出直线x=m的方程；如果不存在，说明理由．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．
先根据抛物线的方程求出p的值，即可得到答案．
【解答】
解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．
故选：C．  
2.【答案】C 
【解析】解：∵M(−2,0)，N(2,0)，|PM|−|PN|=3
∴|PM|−|PN|b>0⇒1ab>0⇒a3>b3，反之由不成立，故③错误．
故选A．
依次分析命题，a>b>0⇒a2>b2，反之则不成立，故①错误；a>b>0⇒1ab>0⇒a3>b3，反之由不成立，故③错误；综合可得答案．
本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意避免不必要错误的发生．

6.【答案】D 
【解析】
【分析】
由四种命题的等价关系可判断A，D；利用等价命题的定义，可判断B；写出原命题的逆否命题，可判断C；
本题考查的知识点是四种命题，等价命题，熟练掌握四种命题的等价关系和定义是解答的关键．
【解答】
解：一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，但一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故A错误，D正确；
“a>b”⇔“a+c>b+c”，故B错误；
“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，故C错误；
故选：D．  
7.【答案】B 
【解析】解：由双曲线方程得a=1，b=1，c= 2，
由余弦定理得
cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|⇒cos60°=(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1||PF2|−|F1F2|22|PF1||PF2|⇒12=22+2|PF1||PF2|−(2 2)22|PF1||PF2|

∴|PF1|⋅|PF2|=4．
故选：B．
利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|⋅|PF2|的值．
本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．

8.【答案】A 
【解析】解：∵过F2的直线交椭圆x216+y29=1于点A，B，
∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=8，
∵|AB|=1，
∴|AF2|+|BF2|=1
∴|AF1|−|BF2|=|AF1|+|AF2|−(|AF2|+|BF2|)=8−1=7，
故选A．
由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=8，由|AB|=5，可知|AF2|+|BF2|=5，从而可求|AF1|−|BF2|.
本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键．

9.【答案】A 
【解析】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，(x>y)
根据双曲线性质可知x−y=4，
∵∠F1PF2=90°，
∴x2+y2=20，
∴2xy=x2+y2−(x−y)2=4，
∴xy=2，
∴△F1PF2的面积为12xy=1．
故选：A．
设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x−y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2−(x−y)2求得xy，进而可求得∴△F1PF2的面积
本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系

10.【答案】C 
【解析】
【分析】
先把圆的方程整理标准方程，求得圆心和半径，进而根据圆与抛物线的准线相切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径，进而求得P.本题主要考查了抛物线的标准方程，点到直线的距离及圆与直线的位置关系．解题的关键是利用圆和抛物线的标准方程求得圆心，半径及抛物线的准线方程．
【解答】
解：整理圆方程得(x−3)2+y2=16，
∴圆心坐标为(3,0)，半径r=4，
∵圆与抛物线的准线相切，
∴圆心到抛物线准线的距离为半径，
即 (3−p2)  2+0=4，
求得p=2．
故选C．  
11.【答案】C 
【解析】解：由AF与BF垂直，
运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，
可得|OA|=|OF|=c，
由|OA|>b，即c>b，可得c2>b2=a2−c2，
即有c2>12a2，
可得 220 
 解得m>2，
若方程4x2+4(m−2)x+1=0无实根，则△=16(m−2)2−16