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2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 数列{an}中，an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 某质点沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=4t2+3，则质点在t=2时的瞬时速度为( )
A. 19m/s B. 16m/s C. 11m/s D. 8m/s
3. 若直线mx+y−5=0与2x+(3m−1)y−1=0垂直，则m的值为( )
A. −5 B. −15 C. 5 D. 15
4. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：16=5+11.在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为( )
A. 12 B. 35 C. 710 D. 45
5. 函数f(x)=x2(ex−e−x)的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6. 已知圆O：x2+y2=1，直线3x+4y−10=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
7. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为( )
A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
8. 设函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，且满足f(x)>f′(x)+1，f(0)=2023，则不等式e−xf(x)>e−x+2022(其中e为自然对数的底数)的解集是( )
A. (2022,+∞) B. (−∞,2023) C. (0,2022) D. (−∞,0)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法中正确的有( )
A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B. 设有一个线性回归方程y =3−5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位
C. 设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱
D. 在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，在K2≥2.706的前提下，K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
10. 已知数列ann+2n是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是( )
A. a1=3 B. 若d=1，则an=n2+2n
C. a2可能为6 D. a1，a2，a3可能成等差数列
11. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线BD1⊥平面A1C1D
B. 三棱锥P−A1C1D的体积为定值
C. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2]
D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63
12. 已知函数f(x)=2alnx+x2，则下列说法正确的是( )
A. 当a=−1时，函数y=f(x)的单调增区间为(1,+∞)
B. 当a=−1时，函数y=f(x)的极小值为1
C. 若f(x)在定义域内不单调，则a∈(−∞,0)
D. 若对∀x1>x2>0有f(x1)−f(x2)>2(x1−x2)成立，则a∈(14,+∞)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有 种.
14. (x+1)(2x−1)4展开式中含有x3项的系数为______．
15. 某工厂为研究某种产品的产量x(吨)与所需某种原材料y(吨)的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为y =0.6x+a .据此计算出在样本(4,3)处的残差为−0.15，则表中m的值为______ .(注：残差是实际观察值与估计值之间的差)
x
3
4
5
6
y
2
3
4
m
16. 设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过点F的直线交C于M，N两点，直线MD垂直x轴，|MF|=3，则|NF|= ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知等比数列{an}是递增数列，a2a5=32,a3+a4=12,数列{bn}满足bn=1an．
(I)求数列{bn}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{nbn}的前n项和Sn．
18. (本小题12.0分)
已知四棱锥P−ABCD中，侧面△PAD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠ABC=90°，BC=CD=12AB=2，PA⊥BD．
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
19. (本小题12.0分)
博鳌亚洲论坛2023年会员大会于3月28日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织了一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布)，组织者计划对成绩前30名的参赛者进行奖励．
(1)试确定受奖励的分数线；
(2)从受奖励的90以下和[90,100]的30人中采取分层抽样的方法从中选10人在主会场服务，组织者又从这10人中任选5人为贵宾服务，记其中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
20. (本小题12.0分)
某企业为了了解年广告费x(单位：万元)对年销售额y(单位：万元)的影响，统计了近7年的年广告费xi和年销售额yi(i=1,2,3,4,5,6,7)的数据，得到如表的表格：
年广告费x
2
3
4
5
6
7
8
年销售额y
25
41
50
58
64
78
89
由表中数据，可判定变量x，y的线性相关关系较强．
(1)建立y关于x的线性回归方程；
(2)已知该企业的年利润z与x，y的关系为z=2 y−x，根据(1)的结果，年广告费x约为何值时(小数点后保留一位)，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回归直线y =b x+a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−；参考数据：i=17yi=405，i=17xiyi=2305．
21. (本小题12.0分)
如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2( 3,0)，上顶点为B(0,1)，右顶点为A．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA、PB分别与y轴和x轴交于点M，N，求证：|AN|⋅|BM|为定值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2lnx+ax2−ax．
(1)当a=1时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)设x1，x2(0
1.【答案】B
【解析】解：当an+1=2an时，如an=0时，{an}不是等比数列，充分性不成立，
当“{an}是公比为2的等比数列时，an+1=2an成立，必要性成立．
故选：B．
由已知结合等比数列的定义分别检验充分必要性即可判断．
本题以充分必要性的判断为载体，考查了等比数列的判断，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为y(t)=4t2+3，
所以y′(t)=8t，令t=2，则y′(t)=8×2=16，
故选：B．
求出函数的导数，然后令t=2代入导数即可求解．
本题考查了导数的运算公式以及导数的几何意义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：直线l1：mx+y−5=0的斜率k1=−m，
当m≠13时，直线l2：2x+(3m−1)y−1=0的斜率为k2=−23m−1，由于两直线垂直，
∴k1k2=−1，解得m=15；
若m=13，k1=−13，直线l2的斜率不存在，要保证l1⊥l2必有k1=0，显然不成立；
∴m=15．
故选：D．
根据两直线垂直，斜率之积等于−1求解．
本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：不超过12的质数为2，3，5，7，11；
随机选取两个不同的数，共有C52=10种方法，
其和为偶数的共有C42=6种方法，
其和为偶数的概率为P=610=35．
故选：B．
写出不超过12的质数有哪些，再利用古典概率模型求概率即可．
本颞考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，属于基础题．
判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．
【解答】
解：∵f(x)=x2(ex−e−x)，
∴f(−x)=(−x)2(e−x−ex)=−x2(ex−e−x)=−f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，
当x→+∞时，f(x)→+∞，故排除C
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：圆O：x2+y2=1中，圆心O(0,0)，半径r=1
设P(x0,y0)，则3x0+4y0−10=0，
则|PA|= |PO|2−12= x02+y02−1=14 25x02−60x0+84，
当x0=3025=65时，|PA|min=14 36−60×65+84=14 48= 3．
故选：C．
首先得出切线长|PA|的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：设A表示该汽车是货车，B表示该汽车是客车，
则P(A)=23，P(B)=13，
设E表示汽车中途停车修理，
则P(E|A)=0.02，P(E|B)=0.01，
今有一辆汽车中途停车修理，则由贝叶斯公式得该汽车是货车的概率为：
P(A|E)=P(A)P(E|A)P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)=23×0.0223×0.02+13×0.01=0.8．
故选：D．
设A表示该汽车是货车，B表示该汽车是客车，即可得到P(A)，P(B)，设E表示汽车中途停车修理，利用贝叶斯公式能求出结果．
本题考查概率的求法，考查全概率公式、贝叶斯公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：设g(x)=f(x)−1ex，
∵f(x)>f′(x)+1，即f′(x)−f(x)+1<0，
∴g′(x)=f′(x)−f(x)+1ex<0，
∴g(x)在R上单调递减，又f(0)=2023，
∴不等式e−xf(x)>e−x+2022⇔f(x)−1ex>2022=f(0)−1=f(0)−1e0，
即g(x)>g(0)，∴x<0，
∴原不等式的解集为(−∞,0)．
故选：D．
设g(x)=f(x)−1ex，由已知结合导数可得函数的单调性，由e−xf(x)>e−x+2022可得g(x)>g(0)，则答案可求．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，构造函数是关键，是中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：根据方差的定义可知每个数据都加上同一个常数，则平均数也增加了这个常数，方差不变，故A正确；
根据回归直线的定义可知变量增加1，y增加的量大约是−5故B错误；
相关系数是反映两个变量之间线性相关程度的，相关系数|r|越接近1，相关性越强，越接近0相关性就越弱，故C正确；
独立性检验中K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
故选：ACD．
根据方差，相关系数，回归直线方程，独立性检验的概念，经过计算可以直接解题．
本题考查了方差，相关系数，回归直线方程，独立性检验的概念．
10.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题主要考查等差数列的通项公式及性质，属于中档题．
利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可得解．
【解答】
解：由已知可得数列ann+2n的通项公式为ann+2n=1+(n−1)d，
当n=1时，a11+2=1，解得a1=3，故A正确；
若d=1，则ann+2n=1+(n−1)×1=n，所以an=n2+n⋅2n，故B错误；
若a2=6，则62+22=1=1+2−1d，故d=0，故C正确；
若a1，a2，a3成等差数列，则2a2=a1+a3，又ann+2n=1+(n−1)d，
则a1=3,a2=6+6d,a3=11+22d，
所以12+12d=14+22d，解得d=−15，故a1，a2，a3可能成等差数列，故D正确．
故选：ACD．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，正方体中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，且B1D1，BB1⊂平面BB1D1，
∴A1C1⊥平面BB1D1，BD1⊂平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，
同理，DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1=C1，且A1C1，DC1⊂平面A1C1D，
∴直线BD1⊥平面A1C1D，A选项正确；
对于选项B，正方体中∵A1D//B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，
∴B1C//平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，
∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，
∴三棱锥P−A1C1D的体积为定值，B选项正确；
对于选项C，∵A1D//B1C，∴异面直线AP与A1D所成角为直线AP与直线B1C的夹角，
易知△AB1C为等边三角形，
当P为B1C的中点时，AP⊥B1C；
当P与点B1或C重合时，直线AP与直线B1C的夹角为60°，
故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[60°,90°]，C选项错误；
对于选项D，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，点P竖坐标为a，0≤a≤1，
则P(a,1,a)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，
所以C1P=(a,0,a−1),D1B=(1,1,−1)，
由选项A正确：可知D1B=(1,1,−1)是平面A1C1D的一个法向量，
∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为：
|C1P⋅D1B||C1P||D1B|=1 3⋅ 2(a−12)2+12，
∴当a=12时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63，D选项正确．
故选：ABD．
在选项A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；
在选项B中，由B1C//平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值；
在选项C中，异面直线AP与A1D所成角转化为直线AP与直线B1C的夹角，可求取值范围；
在选项D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：f′(x)=2ax+2x=2a+2x2x，
对于A、B，当a=−1时，f′(x)=2x2−2x=2(x−1)(x+1)x，
所以当0
所以函数y=f(x)的单调增区间为(1,+∞)，在x=1有极小值f(1)=1，故A、B都正确；
对于C，因为f′(x)=2ax+2x=2a+2x2x，x>0，
当 a≥0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在定义域内单调递增，
当a<0时，f′(x)符号不确定，函数f(x)在定义域内不单调，故C正确；
对于D，因为对∀x1>x2>0有f(x1)−f(x2)>2(x1−x2) 成立，
即f(x1)−2x1>f(x2)−2x2成立，
令h(x)=f(x)−2x=2alnx+x2−2x(x>0)，
由题意知h(x1)>h(x2)在(0,+∞)上恒成立，即函数h(x)在(0,+∞)上为增函数，
则h′(x)=2ax+2x−2≥0恒成立，故a≥(−x2+x)max，
因为−x2+x=−(x−12)2+14≤14，所以a≥14，故D错误．
故选：ABC．
对于A、B，求导后，判断导数的正负后即可判断；对于C，分a≥0和a<0两种情况讨论即可判断；对于D，把f(x1)−f(x2)>2(x1−x2)化为f(x1)−2x1>f(x2)−2x2，令h(x)=f(x)−2x=2alnx+x2−2x(x>0)，从而问题转化为函数h(x)在(0,+∞)上为增函数，求导后得到a≥(−x2+x)max，结合二次函数即可判断．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】240
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5人分为4组，有C52=10种分法，
②安排4组学生分别讲4个故事，有A44=24种情况，
则有10×24=240种分配方案；
故答案为：240．
根据题意，分2步进行分析：①将5人分为4组，②安排4组学生分别讲4个故事，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】−8
【解析】解：(x+1)(2x−1)4=x(2x−1)4+(2x−1)4，
∴x3项的系数为：C4222−C4123=−8，
故答案为：−8．
利用二项式定理展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
15.【答案】4.8
【解析】解：x−=3+4+5+64=4.5，
y−=2+3+4+m4=m+94，
则样本点的中心的坐标为(4.5,m+94)，
代入y =0.6x+a ，可得a =m+94−0.6×4.5=m+94−2.7．
∴y关于x的回归直线方程为y =0.6x+m+94−2.7．
∵在样本(4,3)处的残差为−0.15，∴x=4时的预测值为3.15．
即3.15=0.6×4+m+94−2.7，可得m=4.8．
故答案为：4.8．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解a ，由题意求得x=4时的预测值，结合回归直线方程求解m值．
本题考查线性回归方程与残差的求法，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】32
【解析】解：由题意得F(p2,0)，因为直线MD垂直于x轴，D(p,0)，准线方程为x=−p2，
所以M点的横坐标为p，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
根据抛物线的定义知|MF|=x1+p2=32p=3，解得p=2，
则C：y2=4x，则F(1,0)，可设直线MN的方程为x−1=my，
联立抛物线方程有x=my+1y2=4x可得y2−4my−4=0，
Δ=16m2+16>0，y1y2=−4，则(y1y2)2=16x1x2=16，
则32x2=16，解得x2=12，则|NF|=x2+p2=12+1=32．
故答案为：32．
根据抛物线定义求出p=2，再设直线MN的方程为x−1=my，得到韦达定理式，求出N点横坐标，再利用抛物线定义即可求出|NF|的长．
本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(I)由题意，设首项为a1，公比为q，则a12q5=32a1q2+a1q3=12，∴a1=1q=2或a1=32q=12
∵等比数列{an}是递增数列，∴a1=1q=2，∴an=2n−1
∴bn=12n−1；
(Ⅱ)∵bn=12n−1，∴nbn=n2n−1
∴Sn=1+22+322+…+n2n−1①
∴12Sn=12+222+…+n−12n−1+n2n②
①−②得12Sn=1+12+122+…+12n−1−n2n=2−n+22n
∴Sn=4−n+22n−1．
【解析】(I)由题意，设首项为a1，公比为q，利用条件，建立方程组求出基本量，从而可得数列的通项；
(Ⅱ)nbn=n2n−1，利用错位相减法，可求数列的和．
本题考查数列的通项与求和，正确运用数列的求和方法是关键．
18.【答案】解：(1)证明：四棱锥P−ABCD中，∠ABC=90°，BC=CD=12AB=2，
则BD= BC2+CD2=2 2，AD= (4−2)2+22=2 2，AB=4，
∴BD2+AD2=AB2，
∴AD⊥BD，
又PA⊥BD，且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，
∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，即平面PAD⊥平面ABCD；
(2)如图建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(0,2 2,0)，C(− 2, 2,0)，P( 2,0, 6)，
所以DB=(0,2 2,0)，PC=(−2 2, 2,− 6)，DP=( 2,0, 6)，
设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DB=2 2y=0n⋅DP= 2x+ 6z=0，
令x= 3，则z=−1，所以n=( 3,0,−1)，
设直线PC与平面PBD所成角为θ，则sinθ=|n⋅PC||n|⋅|PC|= 62×4= 68，
所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 68．
【解析】(1)由题意，利用勾股定理逆定理证明AD⊥BD，由已知PA⊥BD，证明BD⊥平面PAD，从而证明平面PAD⊥平面ABCD；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
本题考查面面垂直的证明，线面角的求解，属中档题．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，竞赛成绩在[90,100]分的人数为0.012×10×100=12；
竞赛成绩在[80,90)的人数为0.02×10×100=20，∴受奖励分数线在[80,90)之间；
设受奖励分数线为x，则(90−x)×0.02×100+0.012×10×100=30，解得：x=81，
∴受奖励分数线为81．
(2)由(1)知：受奖励的30人中，分数在[90,100]分的人数为12，则分数在90分以下的人数为30−12=18；
∴从受奖励的30人中分层抽样选10人在主会场服务，其中分数在90分以下的有1830×10=6人，分数在[90,100]的有1230×10=4人，
∴5人中成绩在90分以上(含90分)的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
∴P(ξ=0)=C65C40C105=6252=142；P(ξ=1)=C64C41C105=60252=521；
P(ξ=2)=C63C42C105=120252=1021；P(ξ=3)=C62C43C105=60252=521；
P(ξ=4)=C61C44C105=6252=142；
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
142
521
1021
521
142
∴数学期望为E(ξ)=0×142+1×521+2×1021+3×521+4×142=2．
【解析】(1)根据频率分布直方图首先确定奖励分数线所在区间，从而构造方程求得结果；
(2)根据分层抽样原则确定10人中，分数在90分以下和90分以上(含90分)的人数，从而得到ξ所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得ξ每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可计算得到期望值．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由表格数据，得x−=2+3+4+5+6+7+87=5，y−=17i=17yi=4057，i=17(xi−x−)2=(−3)2+(−2)2+(−1)2+02+12+22+32=28，
由公式，得b =i=17xiyi−7x−y−i=17xi2−7x−2=2305−7×5×405728=10，
所以a =y−−b x−=4057−10×5=557，
故y关于x的线性回归方程为y =10x+557；
(2)由(1)可得，z=2 10x+557−x，
设 10x+557=t，则x=110t2−1114，
所以z=2t−(110t2−1114)=−110t2+2t+1114，
故当t=10时，z取得最大值，此时x=10−1114≈9.2，
即年广告费x约为9.2万元时，年利润的预报值最大．
【解析】(1)根据最小二乘法公式计算即可；
(2)结合(1)的结果，利用换元法求二次函数最值及取得最值时的自变量值即可．
本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由右焦点F2( 3,0)，上顶点B(0,1)可得，c= 3,b=1，
∴a2=b2+c2=4，
即椭圆C的标准方程为x24+y2=1；
(2)证明：易知A(2,0)，由点P是异于A，B的一点，设P(m,n)，则m≠2，n≠1；
设M(0,y0)，N(x0,0)，
由A，P，M三点共线得kAM=kAP，即y02=n2−m，可得y0=2n2−m，
∴|BM|=|2n2−m−1|=|m+2n−2m−2|；
由B，P，N三点共线得BN//BP，即nx0+m−x0=0，得x0=m1−n，
∴|AN|=|2−x0|=|m+2n−2n−1|．
故|AN|⋅|BM|=|m+2n−2m−2⋅m+2n−2n−1|=|(m+2n)2−4(m+2n)+4mn−(m+2n)+2|，
∵点P在椭圆C上，∴m2+4n2=4，
代入即得|AN|⋅|BM|=|m2+4n2+4mn−4(m+2n)+4mn−(m+2n)+2|=|4mn−4(m+2n)+8mn−(m+2n)+2|=4为定值．
【解析】(1)根据焦点和顶点坐标即可得c= 3,b=1，代入可得椭圆C的标准方程；
(2)设P(m,n)，利用三点共线斜率相等即可求得点M，N得的坐标，进而可表示出|AN|⋅|BM|的表达式，结合m2+4n2=4化简可得|AN|⋅|BM|=4．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=2lnx+x2−x，f′(x)=2x+2x−1(x>0)，
所以f′(1)=2+2−1=3，f(1)=0．
所以函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3(x−1)，即3x−y−3=0．
(2)证明：令f′(x)=2x+2ax−a=2ax2−ax+2x=0，
即2ax2−ax+2=0有两个不等正实根x1，x2，
则a>0Δ=a2−16a>0,解得a>16.所以x1+x2=12，x1x2=1a．
故f(x1)−f(x2)=(2lnx1+ax12−ax1)−(2lnx2+ax22−ax2)
=2lnx1−2lnx2+a(x1−x2)(x1+x2)−a(x1−x2)=2lnx1−2lnx2−a2(x1−x2)
=2lnx1−2ln1ax1−a2[x1−(12−x1)]=4lnx1−ax1+a4+2lna，其中00，当4a
故h(x)≤h(4a)=4ln4a−4+a4+2lna=a4−2lna+4(ln4−1)
(2)先求导函数，根据韦达定理得两极值点的关系，代入到f(x1)−f(x2)中化简，构造h(x)=4lnx−ax+a4+2lna，求出最值，即可求证．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的极值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．
2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 数列{an}中，an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 某质点沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=4t2+3，则质点在t=2时的瞬时速度为( )
A. 19m/s B. 16m/s C. 11m/s D. 8m/s
3. 若直线mx+y−5=0与2x+(3m−1)y−1=0垂直，则m的值为( )
A. −5 B. −15 C. 5 D. 15
4. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：16=5+11.在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为( )
A. 12 B. 35 C. 710 D. 45
5. 函数f(x)=x2(ex−e−x)的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6. 已知圆O：x2+y2=1，直线3x+4y−10=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
7. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为( )
A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
8. 设函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，且满足f(x)>f′(x)+1，f(0)=2023，则不等式e−xf(x)>e−x+2022(其中e为自然对数的底数)的解集是( )
A. (2022,+∞) B. (−∞,2023) C. (0,2022) D. (−∞,0)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法中正确的有( )
A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B. 设有一个线性回归方程y =3−5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位
C. 设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱
D. 在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，在K2≥2.706的前提下，K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
10. 已知数列ann+2n是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是( )
A. a1=3 B. 若d=1，则an=n2+2n
C. a2可能为6 D. a1，a2，a3可能成等差数列
11. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线BD1⊥平面A1C1D
B. 三棱锥P−A1C1D的体积为定值
C. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2]
D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63
12. 已知函数f(x)=2alnx+x2，则下列说法正确的是( )
A. 当a=−1时，函数y=f(x)的单调增区间为(1,+∞)
B. 当a=−1时，函数y=f(x)的极小值为1
C. 若f(x)在定义域内不单调，则a∈(−∞,0)
D. 若对∀x1>x2>0有f(x1)−f(x2)>2(x1−x2)成立，则a∈(14,+∞)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有 种.
14. (x+1)(2x−1)4展开式中含有x3项的系数为______．
15. 某工厂为研究某种产品的产量x(吨)与所需某种原材料y(吨)的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为y =0.6x+a .据此计算出在样本(4,3)处的残差为−0.15，则表中m的值为______ .(注：残差是实际观察值与估计值之间的差)
x
3
4
5
6
y
2
3
4
m
16. 设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过点F的直线交C于M，N两点，直线MD垂直x轴，|MF|=3，则|NF|= ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知等比数列{an}是递增数列，a2a5=32,a3+a4=12,数列{bn}满足bn=1an．
(I)求数列{bn}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{nbn}的前n项和Sn．
18. (本小题12.0分)
已知四棱锥P−ABCD中，侧面△PAD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠ABC=90°，BC=CD=12AB=2，PA⊥BD．
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
19. (本小题12.0分)
博鳌亚洲论坛2023年会员大会于3月28日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织了一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布)，组织者计划对成绩前30名的参赛者进行奖励．
(1)试确定受奖励的分数线；
(2)从受奖励的90以下和[90,100]的30人中采取分层抽样的方法从中选10人在主会场服务，组织者又从这10人中任选5人为贵宾服务，记其中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
20. (本小题12.0分)
某企业为了了解年广告费x(单位：万元)对年销售额y(单位：万元)的影响，统计了近7年的年广告费xi和年销售额yi(i=1,2,3,4,5,6,7)的数据，得到如表的表格：
年广告费x
2
3
4
5
6
7
8
年销售额y
25
41
50
58
64
78
89
由表中数据，可判定变量x，y的线性相关关系较强．
(1)建立y关于x的线性回归方程；
(2)已知该企业的年利润z与x，y的关系为z=2 y−x，根据(1)的结果，年广告费x约为何值时(小数点后保留一位)，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回归直线y =b x+a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−；参考数据：i=17yi=405，i=17xiyi=2305．
21. (本小题12.0分)
如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2( 3,0)，上顶点为B(0,1)，右顶点为A．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA、PB分别与y轴和x轴交于点M，N，求证：|AN|⋅|BM|为定值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2lnx+ax2−ax．
(1)当a=1时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)设x1，x2(0
1.【答案】B
【解析】解：当an+1=2an时，如an=0时，{an}不是等比数列，充分性不成立，
当“{an}是公比为2的等比数列时，an+1=2an成立，必要性成立．
故选：B．
由已知结合等比数列的定义分别检验充分必要性即可判断．
本题以充分必要性的判断为载体，考查了等比数列的判断，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为y(t)=4t2+3，
所以y′(t)=8t，令t=2，则y′(t)=8×2=16，
故选：B．
求出函数的导数，然后令t=2代入导数即可求解．
本题考查了导数的运算公式以及导数的几何意义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：直线l1：mx+y−5=0的斜率k1=−m，
当m≠13时，直线l2：2x+(3m−1)y−1=0的斜率为k2=−23m−1，由于两直线垂直，
∴k1k2=−1，解得m=15；
若m=13，k1=−13，直线l2的斜率不存在，要保证l1⊥l2必有k1=0，显然不成立；
∴m=15．
故选：D．
根据两直线垂直，斜率之积等于−1求解．
本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：不超过12的质数为2，3，5，7，11；
随机选取两个不同的数，共有C52=10种方法，
其和为偶数的共有C42=6种方法，
其和为偶数的概率为P=610=35．
故选：B．
写出不超过12的质数有哪些，再利用古典概率模型求概率即可．
本颞考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，属于基础题．
判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．
【解答】
解：∵f(x)=x2(ex−e−x)，
∴f(−x)=(−x)2(e−x−ex)=−x2(ex−e−x)=−f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，
当x→+∞时，f(x)→+∞，故排除C
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：圆O：x2+y2=1中，圆心O(0,0)，半径r=1
设P(x0,y0)，则3x0+4y0−10=0，
则|PA|= |PO|2−12= x02+y02−1=14 25x02−60x0+84，
当x0=3025=65时，|PA|min=14 36−60×65+84=14 48= 3．
故选：C．
首先得出切线长|PA|的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：设A表示该汽车是货车，B表示该汽车是客车，
则P(A)=23，P(B)=13，
设E表示汽车中途停车修理，
则P(E|A)=0.02，P(E|B)=0.01，
今有一辆汽车中途停车修理，则由贝叶斯公式得该汽车是货车的概率为：
P(A|E)=P(A)P(E|A)P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)=23×0.0223×0.02+13×0.01=0.8．
故选：D．
设A表示该汽车是货车，B表示该汽车是客车，即可得到P(A)，P(B)，设E表示汽车中途停车修理，利用贝叶斯公式能求出结果．
本题考查概率的求法，考查全概率公式、贝叶斯公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：设g(x)=f(x)−1ex，
∵f(x)>f′(x)+1，即f′(x)−f(x)+1<0，
∴g′(x)=f′(x)−f(x)+1ex<0，
∴g(x)在R上单调递减，又f(0)=2023，
∴不等式e−xf(x)>e−x+2022⇔f(x)−1ex>2022=f(0)−1=f(0)−1e0，
即g(x)>g(0)，∴x<0，
∴原不等式的解集为(−∞,0)．
故选：D．
设g(x)=f(x)−1ex，由已知结合导数可得函数的单调性，由e−xf(x)>e−x+2022可得g(x)>g(0)，则答案可求．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，构造函数是关键，是中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：根据方差的定义可知每个数据都加上同一个常数，则平均数也增加了这个常数，方差不变，故A正确；
根据回归直线的定义可知变量增加1，y增加的量大约是−5故B错误；
相关系数是反映两个变量之间线性相关程度的，相关系数|r|越接近1，相关性越强，越接近0相关性就越弱，故C正确；
独立性检验中K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
故选：ACD．
根据方差，相关系数，回归直线方程，独立性检验的概念，经过计算可以直接解题．
本题考查了方差，相关系数，回归直线方程，独立性检验的概念．
10.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题主要考查等差数列的通项公式及性质，属于中档题．
利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可得解．
【解答】
解：由已知可得数列ann+2n的通项公式为ann+2n=1+(n−1)d，
当n=1时，a11+2=1，解得a1=3，故A正确；
若d=1，则ann+2n=1+(n−1)×1=n，所以an=n2+n⋅2n，故B错误；
若a2=6，则62+22=1=1+2−1d，故d=0，故C正确；
若a1，a2，a3成等差数列，则2a2=a1+a3，又ann+2n=1+(n−1)d，
则a1=3,a2=6+6d,a3=11+22d，
所以12+12d=14+22d，解得d=−15，故a1，a2，a3可能成等差数列，故D正确．
故选：ACD．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，正方体中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，且B1D1，BB1⊂平面BB1D1，
∴A1C1⊥平面BB1D1，BD1⊂平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，
同理，DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1=C1，且A1C1，DC1⊂平面A1C1D，
∴直线BD1⊥平面A1C1D，A选项正确；
对于选项B，正方体中∵A1D//B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，
∴B1C//平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，
∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，
∴三棱锥P−A1C1D的体积为定值，B选项正确；
对于选项C，∵A1D//B1C，∴异面直线AP与A1D所成角为直线AP与直线B1C的夹角，
易知△AB1C为等边三角形，
当P为B1C的中点时，AP⊥B1C；
当P与点B1或C重合时，直线AP与直线B1C的夹角为60°，
故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[60°,90°]，C选项错误；
对于选项D，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，点P竖坐标为a，0≤a≤1，
则P(a,1,a)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，
所以C1P=(a,0,a−1),D1B=(1,1,−1)，
由选项A正确：可知D1B=(1,1,−1)是平面A1C1D的一个法向量，
∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为：
|C1P⋅D1B||C1P||D1B|=1 3⋅ 2(a−12)2+12，
∴当a=12时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63，D选项正确．
故选：ABD．
在选项A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；
在选项B中，由B1C//平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值；
在选项C中，异面直线AP与A1D所成角转化为直线AP与直线B1C的夹角，可求取值范围；
在选项D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：f′(x)=2ax+2x=2a+2x2x，
对于A、B，当a=−1时，f′(x)=2x2−2x=2(x−1)(x+1)x，
所以当0
所以函数y=f(x)的单调增区间为(1,+∞)，在x=1有极小值f(1)=1，故A、B都正确；
对于C，因为f′(x)=2ax+2x=2a+2x2x，x>0，
当 a≥0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在定义域内单调递增，
当a<0时，f′(x)符号不确定，函数f(x)在定义域内不单调，故C正确；
对于D，因为对∀x1>x2>0有f(x1)−f(x2)>2(x1−x2) 成立，
即f(x1)−2x1>f(x2)−2x2成立，
令h(x)=f(x)−2x=2alnx+x2−2x(x>0)，
由题意知h(x1)>h(x2)在(0,+∞)上恒成立，即函数h(x)在(0,+∞)上为增函数，
则h′(x)=2ax+2x−2≥0恒成立，故a≥(−x2+x)max，
因为−x2+x=−(x−12)2+14≤14，所以a≥14，故D错误．
故选：ABC．
对于A、B，求导后，判断导数的正负后即可判断；对于C，分a≥0和a<0两种情况讨论即可判断；对于D，把f(x1)−f(x2)>2(x1−x2)化为f(x1)−2x1>f(x2)−2x2，令h(x)=f(x)−2x=2alnx+x2−2x(x>0)，从而问题转化为函数h(x)在(0,+∞)上为增函数，求导后得到a≥(−x2+x)max，结合二次函数即可判断．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】240
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5人分为4组，有C52=10种分法，
②安排4组学生分别讲4个故事，有A44=24种情况，
则有10×24=240种分配方案；
故答案为：240．
根据题意，分2步进行分析：①将5人分为4组，②安排4组学生分别讲4个故事，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】−8
【解析】解：(x+1)(2x−1)4=x(2x−1)4+(2x−1)4，
∴x3项的系数为：C4222−C4123=−8，
故答案为：−8．
利用二项式定理展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
15.【答案】4.8
【解析】解：x−=3+4+5+64=4.5，
y−=2+3+4+m4=m+94，
则样本点的中心的坐标为(4.5,m+94)，
代入y =0.6x+a ，可得a =m+94−0.6×4.5=m+94−2.7．
∴y关于x的回归直线方程为y =0.6x+m+94−2.7．
∵在样本(4,3)处的残差为−0.15，∴x=4时的预测值为3.15．
即3.15=0.6×4+m+94−2.7，可得m=4.8．
故答案为：4.8．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解a ，由题意求得x=4时的预测值，结合回归直线方程求解m值．
本题考查线性回归方程与残差的求法，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】32
【解析】解：由题意得F(p2,0)，因为直线MD垂直于x轴，D(p,0)，准线方程为x=−p2，
所以M点的横坐标为p，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
根据抛物线的定义知|MF|=x1+p2=32p=3，解得p=2，
则C：y2=4x，则F(1,0)，可设直线MN的方程为x−1=my，
联立抛物线方程有x=my+1y2=4x可得y2−4my−4=0，
Δ=16m2+16>0，y1y2=−4，则(y1y2)2=16x1x2=16，
则32x2=16，解得x2=12，则|NF|=x2+p2=12+1=32．
故答案为：32．
根据抛物线定义求出p=2，再设直线MN的方程为x−1=my，得到韦达定理式，求出N点横坐标，再利用抛物线定义即可求出|NF|的长．
本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(I)由题意，设首项为a1，公比为q，则a12q5=32a1q2+a1q3=12，∴a1=1q=2或a1=32q=12
∵等比数列{an}是递增数列，∴a1=1q=2，∴an=2n−1
∴bn=12n−1；
(Ⅱ)∵bn=12n−1，∴nbn=n2n−1
∴Sn=1+22+322+…+n2n−1①
∴12Sn=12+222+…+n−12n−1+n2n②
①−②得12Sn=1+12+122+…+12n−1−n2n=2−n+22n
∴Sn=4−n+22n−1．
【解析】(I)由题意，设首项为a1，公比为q，利用条件，建立方程组求出基本量，从而可得数列的通项；
(Ⅱ)nbn=n2n−1，利用错位相减法，可求数列的和．
本题考查数列的通项与求和，正确运用数列的求和方法是关键．
18.【答案】解：(1)证明：四棱锥P−ABCD中，∠ABC=90°，BC=CD=12AB=2，
则BD= BC2+CD2=2 2，AD= (4−2)2+22=2 2，AB=4，
∴BD2+AD2=AB2，
∴AD⊥BD，
又PA⊥BD，且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，
∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，即平面PAD⊥平面ABCD；
(2)如图建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(0,2 2,0)，C(− 2, 2,0)，P( 2,0, 6)，
所以DB=(0,2 2,0)，PC=(−2 2, 2,− 6)，DP=( 2,0, 6)，
设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DB=2 2y=0n⋅DP= 2x+ 6z=0，
令x= 3，则z=−1，所以n=( 3,0,−1)，
设直线PC与平面PBD所成角为θ，则sinθ=|n⋅PC||n|⋅|PC|= 62×4= 68，
所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 68．
【解析】(1)由题意，利用勾股定理逆定理证明AD⊥BD，由已知PA⊥BD，证明BD⊥平面PAD，从而证明平面PAD⊥平面ABCD；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
本题考查面面垂直的证明，线面角的求解，属中档题．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，竞赛成绩在[90,100]分的人数为0.012×10×100=12；
竞赛成绩在[80,90)的人数为0.02×10×100=20，∴受奖励分数线在[80,90)之间；
设受奖励分数线为x，则(90−x)×0.02×100+0.012×10×100=30，解得：x=81，
∴受奖励分数线为81．
(2)由(1)知：受奖励的30人中，分数在[90,100]分的人数为12，则分数在90分以下的人数为30−12=18；
∴从受奖励的30人中分层抽样选10人在主会场服务，其中分数在90分以下的有1830×10=6人，分数在[90,100]的有1230×10=4人，
∴5人中成绩在90分以上(含90分)的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
∴P(ξ=0)=C65C40C105=6252=142；P(ξ=1)=C64C41C105=60252=521；
P(ξ=2)=C63C42C105=120252=1021；P(ξ=3)=C62C43C105=60252=521；
P(ξ=4)=C61C44C105=6252=142；
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
142
521
1021
521
142
∴数学期望为E(ξ)=0×142+1×521+2×1021+3×521+4×142=2．
【解析】(1)根据频率分布直方图首先确定奖励分数线所在区间，从而构造方程求得结果；
(2)根据分层抽样原则确定10人中，分数在90分以下和90分以上(含90分)的人数，从而得到ξ所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得ξ每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可计算得到期望值．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由表格数据，得x−=2+3+4+5+6+7+87=5，y−=17i=17yi=4057，i=17(xi−x−)2=(−3)2+(−2)2+(−1)2+02+12+22+32=28，
由公式，得b =i=17xiyi−7x−y−i=17xi2−7x−2=2305−7×5×405728=10，
所以a =y−−b x−=4057−10×5=557，
故y关于x的线性回归方程为y =10x+557；
(2)由(1)可得，z=2 10x+557−x，
设 10x+557=t，则x=110t2−1114，
所以z=2t−(110t2−1114)=−110t2+2t+1114，
故当t=10时，z取得最大值，此时x=10−1114≈9.2，
即年广告费x约为9.2万元时，年利润的预报值最大．
【解析】(1)根据最小二乘法公式计算即可；
(2)结合(1)的结果，利用换元法求二次函数最值及取得最值时的自变量值即可．
本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由右焦点F2( 3,0)，上顶点B(0,1)可得，c= 3,b=1，
∴a2=b2+c2=4，
即椭圆C的标准方程为x24+y2=1；
(2)证明：易知A(2,0)，由点P是异于A，B的一点，设P(m,n)，则m≠2，n≠1；
设M(0,y0)，N(x0,0)，
由A，P，M三点共线得kAM=kAP，即y02=n2−m，可得y0=2n2−m，
∴|BM|=|2n2−m−1|=|m+2n−2m−2|；
由B，P，N三点共线得BN//BP，即nx0+m−x0=0，得x0=m1−n，
∴|AN|=|2−x0|=|m+2n−2n−1|．
故|AN|⋅|BM|=|m+2n−2m−2⋅m+2n−2n−1|=|(m+2n)2−4(m+2n)+4mn−(m+2n)+2|，
∵点P在椭圆C上，∴m2+4n2=4，
代入即得|AN|⋅|BM|=|m2+4n2+4mn−4(m+2n)+4mn−(m+2n)+2|=|4mn−4(m+2n)+8mn−(m+2n)+2|=4为定值．
【解析】(1)根据焦点和顶点坐标即可得c= 3,b=1，代入可得椭圆C的标准方程；
(2)设P(m,n)，利用三点共线斜率相等即可求得点M，N得的坐标，进而可表示出|AN|⋅|BM|的表达式，结合m2+4n2=4化简可得|AN|⋅|BM|=4．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=2lnx+x2−x，f′(x)=2x+2x−1(x>0)，
所以f′(1)=2+2−1=3，f(1)=0．
所以函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3(x−1)，即3x−y−3=0．
(2)证明：令f′(x)=2x+2ax−a=2ax2−ax+2x=0，
即2ax2−ax+2=0有两个不等正实根x1，x2，
则a>0Δ=a2−16a>0,解得a>16.所以x1+x2=12，x1x2=1a．
故f(x1)−f(x2)=(2lnx1+ax12−ax1)−(2lnx2+ax22−ax2)
=2lnx1−2lnx2+a(x1−x2)(x1+x2)−a(x1−x2)=2lnx1−2lnx2−a2(x1−x2)
=2lnx1−2ln1ax1−a2[x1−(12−x1)]=4lnx1−ax1+a4+2lna，其中0
故h(x)≤h(4a)=4ln4a−4+a4+2lna=a4−2lna+4(ln4−1)
(2)先求导函数，根据韦达定理得两极值点的关系，代入到f(x1)−f(x2)中化简，构造h(x)=4lnx−ax+a4+2lna，求出最值，即可求证．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的极值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．
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