精品解析：广东省梅州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

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梅州市高中期末考试试卷（2023.7）高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（，为虚数单位）对应的点在第二象限内，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数所在象限列出不等式.
【详解】因为复数对应的点在第二象限内，
所以,解得，
故选:B.
2. 已知，，且，则（ ）
A. 1 B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算律求解.
【详解】因为，
结合已知向量垂直知：，
故选:C.
3. 某水果店老板为了了解葡萄的日销售情况，记录了过去10天葡萄的日销售量（单位：），结果如下：43，35，52，65，40，54，49，38，62，57.一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的葡萄尽量新鲜，又能60％地满足顾客的需求（在100天中，大约有60天可以满足顾客的需求），每天大约应进（ ）千克葡萄.
A. 49 B. 51 C. 53 D. 55
【答案】C
【解析】
【分析】将过去10天葡萄的日销售量从小到大排列，求这10个数据的第60百分位数即可得答案.
【详解】将过去10天葡萄的日销售量从小到大排列：，
由题意可知即求这10个数据的第60百分位数，
因为，故这10个数据的第60百分位数为，
即每天大约应进53千克葡萄，
故选：C
4. 已知a，b，c是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则 B. ，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线线、线面及面面位置关系一一判断求解即得.
【详解】对A，若，，则可能平行、相交或异面，A错误；
对B，若，，则可能平行、相交或异面，B错误；
对C，若，，则可能、 或与相交，C错误；
对D，因为，，则，D正确；
故选：D.
5. 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是.然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.

若在一次测量中，，横档的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意推得垂直平分，可得，于是解直角三角形可得的值，由二倍角正弦公式即可求得答案.
【详解】由题意知垂直平分，故，
在中，，则,
则，
而，故，
即太阳高度角的正弦值为，
故选：B
6. 在直角坐标系中，已知，，若，恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，恒成立，将该不等式两边平方可得到恒成立，结合二次函数的最值，即可得，从而可得答案.
【详解】由题意可得，，，
若，恒成立，
则，恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
而，时等号成立，
故，即，
故选：D
7. 如图，三棱台中，底面是边长为6的正三角形，且，平面平面，则棱（ ）

A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】取中点分别为，连接,过点作的垂线，垂足为，从而在直角梯形求解即可.
【详解】
如图，取中点分别为，连接,
过点作的垂线，垂足为，
因为，所以，
且,所以,
因为平面平面，平面平面，
面,
所以平面，又因为平面，所以，
又因为在三棱台中，，
所以四边形为直角梯形，
因为,,
所以，
所以在直角三角形中，,
故选: A.
8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则c的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据锐角可确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，结合正弦函数性质即可求得答案.
【详解】在锐角中， ，,
故，则，则
由正弦定理可得，
故选：C
【点睛】关键点睛：本题难度并不大，解答的关键是根据三角形为锐角三角形要确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，即可求得答案.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 计算下列各式，结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用三角恒等变换公式一一计算求解.
【详解】对A，，A错误；
对B，
，B正确；
对C，，C错误；
对D，
，D正确；
故选:BD.
10. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分，某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和自助游比例，如图所示，则（ ）

A. 估计2022年到该地旅游的青年人占游客总人数的45％
B. 估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占比不到25％
C. 估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多
D. 估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客里面青年人超过一半
【答案】AD
【解析】
【分析】设2022年到该地旅游的游客总人数为a，由此可估计到该地旅游的老年人、中年人、青年人的人数以及游客中老年人、中年人、青年人中选择自助游的人数，由此意义计算个选项中的数据，即可得答案.
【详解】设2022年到该地旅游的游客总人数为a，
结合扇形图可知，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为，
对于A，估计2022年到该地旅游的青年人占游客总人数的45％，正确；
对于B，结合条形图可知，游客中老年人、中年人、青年人中选择自助游的人数分别为，
则，
即估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占比超过25％，B错误；
对于C，游客中选择自助游的青年人的人数为，到该地旅游的老年人人数为，
由于，故2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人要少，C错误；
对于D，2022年到该地旅游且选择自助游的游客人数为，
而其中青年人的人数为，而，
即估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客里面青年人超过一半，D正确，
故选：AD
11. 已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有两个相同的小球，标号为1，2，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和小于4”，事件“抽取的两个小球标号之积为偶数”，事件“抽取的两个小球标号之积大于3”，则（ ）
A. 事件A发生概率为 B. 事件发生的概率为
C. 事件A，C是互斥事件 D. 事件B，C相互独立
【答案】AC
【解析】
【分析】根据古典概型的概率计算可判断A，B；根据互斥事件的概念可判断C；根据独立事件的乘法公式可判断D.
【详解】对于A，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有种抽法，
其中事件包含的事件个数有共3个，
故事件A发生的概率为，A正确；
对于B，事件包含的事件个数有共4个，
故事件包含的事件个数有5个，则事件发生的概率为，B错误；
对于C，事件包含的事件为，每个事件中两个小球标号之积都不大于3，
故事件A，C不会同时发生，二者是互斥事件，C正确；
对于D，，事件包含的事件个数有共个，故,
事件包含的事件为，则,
则，即事件B，C不相互独立，D错误，
故选：AC
12. 如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，且，，若G是线段上的动点，则( )

A. 与所成角的正切值最大为
B. 在上存在点G，使得
C. 当G为上的中点时，三棱锥的外接球半径最小
D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由面面垂直性质定理得BC⊥面ABEF，得△BCG是直角三角形，再根据AD∥BC可知∠BCG即为所求角，结合几何关系即可判断；对于B，假设结论成立，证明AG⊥面BCG，从而可得△ABG为直角三角形，判断三角形是否有解即可；对于C，△ABG的外接圆半径为r，由BC⊥面ABEF可得三棱锥的外接球半径R满足：，要求R的最小，即求r最小，由正弦定理得，要求r最小，即求sin∠AGB最大，要求sin∠AGB最大，可求tan∠AGB，结合几何关系即可判断；对于D，设FG＝x，用x表示出AG＋CG，利用两点间距离公式数形结合即可求解．
【详解】∵平面平面，且交线为AB，BC面ABCD，BC⊥AB，
∴BC⊥面ABEF，因为BG面ABEF，所以BC⊥BG，
∥，故与所成角为∠BCG，
，当G和F重合时，BG最长，且为5，故最大为，故选项A正确；
假设在上存在点G，使得，
因为BC⊥面ABEF，因为AG面ABEF，所以BC⊥AG，
又∵，CG，BC面BCG，所以AG⊥面BCG，
又因为BG面BCG，所以AG⊥BG，
设，，，
则，，
在直角△AGB中，，可得方程，该方程无解，故假设不成立，即在上不存在点G，使得，故选项B错误；
设△ABG的外接圆半径为r，因为BC⊥面ABG，故三棱锥的外接球半径R满足：
．
设，
由正弦定理得，
∵，
所以，
因为，故，故θ为锐角，
当时，G为EF的中点，取得最小值，tanθ取得最大值，sinθ取得最大值，r取得最小值，三棱锥的外接球半径R取得最小值，故选项C正确；
，
，
设M(x,0)，N(0,3)，P(4,5)，如图，

设N(0,3)关于x轴对称的点为，则，
直线方程为，令得，即当时，的最小值为，故D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知某圆锥的轴截面是腰长为2的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】确定圆锥的底面半径和母线长，即可求得答案.
【详解】由题意某圆锥的轴截面是腰长为2的等腰直角三角形，
故底面半径为，圆锥母线长为2，

故此圆锥的侧面积为，
故答案为：
14. 如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，过点、M、N作正方体的截面交于点Q，则__________.

【答案】
【解析】
【分析】根据面面平行的性质定理说明，再利用三角形相似可得到对应线段的比例关系，即可求得答案.
【详解】如图，连接，则平面即为过点、M、N作的正方体的截面，

因为平面平面，且平面，平面，
故，又，且的对应两边的射线方向一致，
故，而，
故∽，故，而
故，则，
故答案为：
15. 甲、乙两人独立地投篮，命中的概率分别为、，则甲、乙各投一次，至少命中一球的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据独立事件的乘法公式以及对立事件的概率求法即可求得答案.
【详解】由题意可知甲、乙两人独立地投篮，命中的概率分别为、，
则两人没有命中的概率分别为、，
则甲、乙各投一次，至少命中一球的概率为，
故答案为：
16. 在边长为6的等边三角形中，若点D为的中点，点E满足，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解.
【详解】由题可得，,
,
所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数，其中i为虚数单位，.
（1）若满足为纯虚数，求实数m的值；
（2）若，求实数m的值.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据复数的乘法可得，根据纯虚数的概念可列式计算，求得答案；
（2）化简可得，根据复数的模列式求解，即得答案.
【小问1详解】
由于，
故由为纯虚数，可得，解得；
【小问2详解】
因为，
故由可得，，即，
解得或.
18. 在直角坐标系中，已知两点、，点C为x轴上一动点.
（1）若是以为斜边的直角三角形，求点C的坐标；
（2）已知点，问是否存在实数t，使得四边形为平行四边形？如果存在求出实数t值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）或；
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）设点，根据是以为斜边的直角三角形，可得，结合向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案.
（2）假设存在实数t，使得四边形为平行四边形，根据平行四边形性质可得向量的相等即， 根据向量的坐标运算，即可求得答案.
【小问1详解】
设点，则，
因为是以为斜边的直角三角形，故，
故，解得或，
故点C的坐标为或；
【小问2详解】
假设存在实数t，使得四边形为平行四边形，设，
则，
因为四边形为平行四边形，故，即，
故，解得，
即存在实数，使得四边形为平行四边形.
19. 已知函数的图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）若函数的图象在区间上恰好含10个零点，求实数b的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由图象确定函数周期求得，再利用特殊点坐标代入函数表达式，可求得，即得答案；
（2）函数的图象在区间上恰好含10个零点转化为与的图象在区间上恰好含有10个交点，结合正弦函数的性质列出不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意可得，的最小正周期为，
故，
又图象过点，故，
则，即，
而，故，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
令，
由，得，
因为函数的图象在区间上恰好含10个零点，
等价于与的图象在区间上恰好含有10个交点，
设，即与的图象恰有10个交点，
故，即.
20. 在直角梯形中，，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知平面平面，点P为的中点，点Q在线段上，且.

（1）证明：平面；
（2）求点B到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作，过点P作，进而证明平面平面，根据面面平行的性质定理接看着呢革命结论；
（2）利用等体积法，即，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：过点作，垂足为G，过点P作，垂足为H，

由于，则四边形为矩形，
则，而平面，平面，
故平面，
因为，，故，
连接，P为的中点，则H为的中点，故，
又，故，
平面，平面，
故平面，
而平面，故平面平面，
而平面，故平面.
【小问2详解】
由题意知平面平面，平面平面，
而,平面，故平面，
而平面，故，，
在中，，
故，
因为，设点B到平面的距离为d，
即，即有,
即点B到平面的距离.
21. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，由正弦定理得到，不妨设，，得到.延长至点, 使得, 连接，构造相似三角形，在中，由余弦定理得到，由基本不等式求出，得到角平分线长的最大值.
【小问1详解】
由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
因为为角A角平分线，所以，
又，所以，所以，
不妨设，，则，故，
延长至点E，使得，连接，
则，又，
所以，故，，
则，，
则，，
在中，由余弦定理，得，
即，
因为，所以，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，故.

所以长的最大值为.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
22. 某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表.
类别
选餐
套餐
面食
选择人数
50
30
20
平均每份取餐时长（单位：分钟）
2
0.5
1


已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐.
（1）根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？
（2）根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程.
【答案】（1）18分钟；不能
（2）建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个；求解过程见解析
【解析】
【分析】（1）求出就餐高峰期时选择选餐的总人数，确定平均每个窗口等待就餐的人数即可求得选择选餐同学的最长等待时间；根据频率分布直方图可计算可接受等待时长在15分钟以上的同学占比，即可得结论；
（2）假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，表示出各队伍的同学最长等待时间，根据从等待时长和公平的角度上考虑即为要求每个队伍的最长等待时间大致相同，从而列式求解.
【小问1详解】
由题意得，就餐高峰期时选择选餐的总人数为人；
这100人平均分布在12个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数为人，
所以选择选餐同学的最长等待时间为分钟，
由可接受等待时长的频率分布直方图可知，分组为的频率分别为，
所以可接受等待时长在15分钟以上的同学占，
故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，不能让80％同学感到满意；
【小问2详解】
假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，则各队伍的同学最长等待时间如下：
类别
选餐
套餐
面食
高峰期就餐总人数
100
60
40
各队伍长度（人）



最长等待时间（分钟）



依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，则要求每个队伍的最长等待时间大致相同，
即得，即有，
而，故，
因此建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个.
【点睛】关键点睛：本题是一道有关频率分布直方图的应用题，题意的叙述较为复杂，解答的关键是明确题意，理解从等待时长和公平的角度上考虑即为要求每个队伍的最长等待时间大致相同，从而列式求解.