2023武汉新洲区部分学校高二下学期期末数学试题含解析

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2022-2023学年度下学期
新洲区部分学校高二年级期末质量检测
数学试题
考试用时：120分钟 满分：150分
2023.6
第I卷（选择题共60分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则在复平面上的对应点所在象限为（ ）
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】先化简复数，再由复数的几何意义和共轭复数的定义求解即可.
【详解】由可得：，
则，则在复平面上的对应点为，
故在复平面上的对应点所在象限为第四象限.
故选：D.
2. 已知向量，且，则（ ）
A. -4 B. -3 C. -1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量平行列方程，求得，进而求得
【详解】由于，所以，
则，
所以.
故选：B
3. 某人射击一次击中的概率是，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解.
【详解】由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为：
，
故选：A.
4. 设公比为的正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，列出方程，即可求解.
【详解】正项的等比数列中，
则，可得，
所以，整理得，
因为，可得.
故选：C.
5. 所有棱长都相等的三棱锥叫做正四面体，正四面体的棱长为，、分别为棱、的中点，则的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接、，可得，从而易知，进而直角三角形中，由，可得到答案.
【详解】如图所示，连接、，

∵正四面体的四个面都是正三角形，∴，即△是等腰三角形，
∴，
在直角三角形中，，
故选：B.
6. 已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆方程得到以为直径的圆的半径和圆心坐标，再由该圆与直线相切，得到，进而可求出椭圆的离心率.
【详解】因为椭圆C：的左､右顶点分别为，，
因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为，
又该圆与直线相切，如图，

所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，
因此，即，
所以离心率为.
故选：C.
7. 甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（ ）

A. 从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定
B. 从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力
C. 从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好
D. 从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好
【答案】D
【解析】
【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数，结合折线图逐项分析可得答案.
【详解】由图可知，
甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
甲的平均数为，
甲的方差为
乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，
乙的平均数为，
乙的方差为，
所以，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A正确；
从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B正确；
甲打靶的成绩为2，4，6， 7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，
乙打靶的成绩为5，6，6，7， 7，7，7，8，8， 9，中位数为7，
甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C正确；
甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，
从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D错误.
故选：D.
8. 气象学中，24小时内降落在某面积上的雨水深度（无渗漏､蒸发､流失等，单位：）叫做日降雨量，等级如下划分：
降水量




等级
小雨､阵雨
中雨
大雨
暴雨
某同学用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图所示，则那天降雨属于哪个等级（ ）

A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆锥内积水的高度，求出圆锥内积水部分的半径，求出积水的体积，再求出平面上积水的深度，由此确定降雨等级.
【详解】作圆锥截面图如下，

由已知，，，，
设圆锥内积水部分的底面半径为，则，故，
由锥体体积公式可得积水的体积，
因为收集雨水的平地面积为圆锥的底面，故其面积
所以对应的平地上的积水深度为，所以该天降雨的等级为中雨.
故选：B.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则（ ）
A. a1＋a3＝0 B. a3＋a5＝0
C. S3＝S4 D. S4＝S5
【答案】BC
【解析】
【分析】利用等差数列的和的性质得到S7＝7a4＝a4，得a4＝0，然后进行判定.
【详解】由S7＝＝7a4＝a4，得a4＝0，
所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，
故BC正确；
“-3，-2，-1，0，1，2，3”是满足条件的数列，不满足AD,
故AD错误；
故选:BC.
10. 立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）

A. 图中的x值为0.020 B. 这组数据的极差为50
C. 得分在80分及以上的人数为400 D. 这组数据的平均数的估计值为77
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由，可解得，故选项A正确；
频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确；
得分在80分及以上的人数的频率为，
故人数为，故选项C正确；
这组数据的平均数的估计值为：
故选项D正确.
故选：ACD.
11. 以下四个命题表述错误的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于
C. 曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D. 已知圆为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，变形后得到，求出定点；B选项，求出圆心到直线的距离，结合圆心和半径，数形结合得到有且仅有3个点符合题意；C选项，根据公切线条数得到两圆的位置关系，结合圆心距列出不等式，求出答案；D选项，数形结合得到当取得最小值时，取得最小值，利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】A选项，变形得到，
故，解得，所以恒过定点，A表述正确；
B选项，圆的圆心到直线的距离，
因为圆的半径为，
故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于，B表述错误；
C选项，曲线与恰有四条公切线，故圆与圆相离，
其中变形为，圆心为，半径为1，
变形为，圆心为，半径为，
故，解得，
故圆心距为，所以，
解得，
则实数的取值范围为，C表述正确；
D选项，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
故过点向圆引条切线，有，
所以当取得最小值时，取得最小值，
的最小值为，故最小值为，D表述错误.
故选：BD
12. 已知函数，则（ ）
A. 函数的递减区间是
B. 函数的最小值为1
C. 函数在恒成立
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】求得，求得函数的单调性与最小值，可判定A、B正确；令，求得，得到，可判定C不正确；不妨设，由，转化为，令，设，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.
【详解】因为函数，其定义域为，可得，
令，解得，所以的递减区间是，所以A正确；
令，解得，所以的递减区间是，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以B正确；
令，可得，
所以函数单调递减，所以，
所以当时，可得成立，所以C不正确；
对于D项，不妨设，由，可得，
要证，需证，即证，
令，则证成立即可，
设，可得，
所以函数在上单调递增，所以，
所以当时，不等式恒成立，所以D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为，用事件表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用条件概率计算公式进行求解即可.
【详解】由已知可知：，
所以，
故答案为：
14. 已知展开式中各项系数和为，则其展开式中的常数项为__________.（用数字做答）
【答案】
【解析】
【分析】由的展开式中各项系数和为，可求得的值，然后写出的展开式通项，令的指数为零，求出参数，代入通项即可得解.
【详解】因为的展开式中各项系数和为，则，解得.
所以，的展开式通项为，
令，可得，所以，展开式中的常数项为.
故答案为：.
15. 设经过点M(2,1)的等轴双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若此双曲线上的一点N满足，则△NF1F2的面积为_______.
【答案】3
【解析】
【分析】利用点在等轴双曲线上先求出双曲线的方程，从而可得，，设，由点在双曲线上及 列方程组求出,，从而可求出的面积.
【详解】设该等轴双曲线的方程为,
该双曲线经过点，即,
该双曲线的方程为,
易得，
该双曲线上的一点满足,
设,可得，，
则面积，故答案为3.
【点睛】本题主要考查等轴双曲线的方程与性质、利用点在双曲线上求双曲线方程，以及向量垂直的坐标表示、三角形面积公式的应用，意在可知综合应用所学知识解决问题的能力，属于简单题.
16. 已知为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为___．
【答案】
【解析】
【分析】要求点到曲线的距离最小值，先设点坐标，求导后由垂直得到关于参量的函数，再次运用导数求出函数单调性，解得结果
【详解】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0，）到图象上一点的距离最小值
设图象上的一点为
则
即有切线斜率为
可得
,
设
,
递增
又
可得处点（e,1）到的距离最小，为
则线段长度的最小值为
【点睛】本题考查了利用导数研究点到曲线上距离最小值，理清题意，求出满足条件的结果，本题有一定的难度，属于中档题．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知各项均为正数的等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的基本量转化已知条件，解方程求得首项和公比，则问题得解；
（2）根据（1）中所求得到，再用错位相减法即可求得结果.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
因为，，
所以.
因为各项均为正数，所以解得，或.
又因为，所以是递增的等比数列，所以，.
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）知.
则，①
在①式两边同时乘以3得，，②
①-②得，即，
所以.
18. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解作答.
（2）利用三角形面积公式及（1）中信息求出及作答.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理得，即，
又，则，即，
由余弦定理，得，且，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，又，则，于是，又，
因此，所以周长为.
19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在上，.

（1）求证：；
（2）当二面角的正弦值为时，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）由底面是正方形，得，再由底面，可得，从而由线面垂直的判定可得面，再由线面垂直的性质可证得结论；
（2）取的三等分点，使得，连接，可得两两互相垂直，所以分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
因为底面是正方形，所以，
又因为底面，面，
所以，
又因为，面，
故面，
又因为面，
所以，即.
【小问2详解】
由，取的三等分点，使得，连接，
因为底面，平面，
所以，
因为底面是边长为3的正方形，，，
所以四边形为矩形，所以,
所以两两互相垂直，
所以以为坐标原点，分别所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，

设，则，
由，设平面的一个法向量为，则
取，则，
由，
设平面的一个法向量为，则
，取，则，
由二面的正弦值为可得：
，
整理得，即，
所以（舍去），，
因为，所以，
故当二面角的正弦值为时，.
20. 某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：

支持
不支持
合计
中型企业
60
20
80
小型企业
180
140
320
合计
240
160
400

（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关；
（2）从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设为所发奖励的总金额（单位：万元），求的分布列和均值．
附：，．









【答案】（1）推断犯错误的概率不大于．
（2）分布列见解析，270
【解析】
【分析】(1)提出零假设，计算，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设；
(2)求随机变量的所有可能取值，确定其取各值的概率，再由期望公式求期望即可.
【小问1详解】
零假设为：“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”无关
根据列联表中的数据，计算得到，
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关联，此推断犯错误的概率不大于．
【小问2详解】
由（1）可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的数量比为．
所以按分层随机抽样的方法抽出的12家企业中有3家中型企业，9家小型企业．
选出9家企业的样本点是，，，（前者为中型企业家数，后者为小型企业家数）．
故的所有可能取值为180，220，260，300．
，
，
，
，
故的分布列为

180
220
260
300





的均值为
．
21. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若存在，使成立，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)先求导，把切点的横坐标代入导数方程得切线的斜率，再求切点坐标，从而求出切线方程，由方程求出切线与轴的交点即可求出三角形的面积.
(2) 令，则只要函数在区间的最小值小于即可.通过求导讨论函数的单调性，从而可求函数的最小值，最后求出a的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
，所以曲线在处的切线的斜率，又，
切线方程为.
与轴的交点分别是，
切线与坐标轴围成的三角形的面积·
【小问2详解】
存在，使即，即.
即存在，使成立.
令，因此，只要函数在区间的最小值小于即可·
下面求函数在区间的最小值.
，
令，因为，
所以为上的增函数，且.
在恒成立·
在递调递增，
函数在区间的最小值为，
，得.
【点睛】易错点点睛：第二问的关键点在于把不等式能成立问题转化为求函数的最小值问题，在这类问题中，最容易错的地方是分不清恒成立和能成立的区别，若在给定区间内恒成立，则要大于的最大值；若在给定区间内能成立，则只需要大于的最小值.
22. 如图，椭圆中，长半轴的长度与短轴的长度相等，焦距为6，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点与椭圆相交于点.

（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值及此时直线的方程.
【答案】（1）
（2）最小值为，此时直线的方程为或.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得的表达式并利用基本不等式求得的最小值，同时求得直线的方程.
【小问1详解】
长半轴的长度与短轴相等，有，又焦距为6，故，
联立，解得，
椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为
由得，
所以，
设，则

，
又
，
同理，
，
当且仅当时取等号，故的最小值为，
此时直线的方程为或.