2022-2023学年云南省保山九中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年云南省保山九中高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年云南省保山九中高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|0≤x<52}，则A∩B=(    )
A. {0,1,2} B. {−2,−1,0} C. {0,1} D. {1,2}
2. 已知向量a=(2,1)，b=(−2,4)，则|a−b|=(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 设a=2−1，b=log52，c=log45，则(    )
A. a>c>b B. b>a>c C. c>a>b D. c>b>a
4. 已知某圆柱的高为10，底面周长为8π，则该圆柱的体积为(    )
A. 640π B. 250π C. 160π D. 120π
5. 设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的(    )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5)图象上所有的点(    )
A. 向左平移π5个单位长度 B. 向右平移π5个单位长度
C. 向左平移π15个单位长度 D. 向右平移π15个单位长度
7. 长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是240，若E为CC1的中点，则三棱锥E−BCD的体积为(    )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
8. 关于x的不等式2kx2+kx−38<0的解集为R，则k的取值范围是(    )
A. (−3,0) B. (−3,0]
C. [−3,0] D. (−∞,−3)∪[0，+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列有关复数的说法中(其中i为虚数单位)，正确的是(    )
A. i9=i
B. 复数z=3−2i的虚部为2i
C. 若z=(1−i)2，则复平面内z−对应的点位于第二象限
D. 复数z为实数的充要条件是z=z−
10. 已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是(    )
A. 若a//b，b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线
B. 若α//β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
C. 若α//β，a⊂α，则a//β
D. 若α∩β=b，a⊂α，则a，b一定相交
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(    )
A. 若a2+c2−b2>0，则△ABC为锐角三角形
B. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB
C. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
D. 若c=2acosB，则△ABC是等腰三角形
12. 已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π2，则以下说法正确的是(    )
A. ω=1
B. 若f(x)为偶函数，则φ=2π3
C. 若f(x)在区间(0,π6)上单调递增，则φ的最大值为π3
D. 若f(x)的一个对称中心为(−π12,0)，则φ=π6
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. (2+2i)(1−2i)= ______ ．
14. 不等式2x+1x−1>3的解是          ．
15. 在△ABC中，若AB= 13，BC=3，∠C=120°，则AC=______．
16. 如图，过球O的一条半径OP的中点O1，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为 3，则球O的体积是______ ．


四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知集合A={x|x2−12x+27≤0}，B={x|2 (1)求A∩B，A∪B；
(2)若B∩C=C，求m的取值范围．
18. (本小题12.0分)
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3．
(1)若a//b，求a⋅b；
(2)若a与b的夹角为60°，求(2a−b)⋅(a+b).
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x+ax，且f(1)=2．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求证：f(x)在区间(0,1)上单调递减．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2sinxcosx−2 3cos2x+ 3．
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)当x∈[π2,π]时，求函数f(x)的最大值以及取得最大值时x的值．
21. (本小题12.0分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(bcosC+ccosB)tanA=− 3a．
(1)求A的大小；
(2)若a= 7,b=1．
(ⅰ)求△ABC的面积；
(ⅱ)求cos(2C−A)．
22. (本小题12.0分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1．
(Ⅰ)求证：B1C⊥BD1
(Ⅱ)求直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|0≤x<52}，
则A∩B={0,1,2}．
故选：A．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】D 
【解析】解：a−b=(4,−3)，
故a−b= 42+(−3)2=5，
先计算处a−b的坐标，再利用坐标模长公式即可．
本题主要考查利用向量坐标求模，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：∵log52log44=1，
∴c>a>b．
故选：C．
根据对数函数的单调性可得出b<12,c>1，然后即可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：某圆柱的高为10，底面周长为8π，∵2πr=8π，∴r=4，故圆柱的体积为16π×10=160π．
故选：C．
根据2πr=8π，得r=4，再结合圆柱的体积公式计算即可．
本题考查圆柱的体积公式，属于基础题．

5.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．
利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
【解答】
解：∵sin2x+cos2x=1，
①当sinx=1时，则cosx=0，∴充分性成立，
②当cosx=0时，则sinx=±1，∴必要性不成立，
∴sinx=1是cosx=0的充分不必要条件，
故选A．
  
6.【答案】D 
【解析】解：把y=2sin(3x+π5)图象上所有的点向右平移π15各单位可得y=2sin[3(x−π15)+π5]=2sin3x的图象．
故选：D．
由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．
本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．

7.【答案】B 
【解析】解：长方体ABCD−A1B1C1D1的体积为BC⋅CD⋅CC1=240，
三棱锥E−BCD的体积为VE−BCD=13⋅S△BCD⋅EC=13⋅12⋅BC⋅CD⋅12CC1=112×240=20．
故选：B．
利用三棱锥的体积公式结合已知求解即可．
本题考查三棱锥的体积，考查运算求解能力，属于基础题．

8.【答案】B 
【解析】解：若k=0，则不等式为−38<0，符合题意，
若k≠0，则有k<0Δ=k2+3k<0，得−3 综上，k的取值范围为(−3,0]．
故选：B．
根据题意分别讨论k是否为0，再利用一元二次不等式的解法，从而可解．
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．

9.【答案】AD 
【解析】解：对于A：i9=i2×4+1=i，故A正确；
对于B：复数z=3−2i的虚部为−2，故B错误；
对于C：z=(1−i)2=12−2i+i2=−2i，所以z−=2i，
则复平面内z−对应的点为(0,2)位于虚轴，故C错误；
对于D：若复数z为实数，
则z=z−，
设z=a+bi，(a,b∈R)，若z=z−，即a+bi=a−bi，所以b=0，则复数z为实数，
故复数z为实数的充要条件是z=z−，故D正确．
故选：AD．
根据复数的乘方判断A，根据复数的定义判断B，根据复数的几何意义判断C，根据充要条件的定义判断D．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

10.【答案】AC 
【解析】解：a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，
对于A，若a//b，b⊂α，则直线a与平面α内与b平行的无数条直线都平行，故A正确；
对于B，若α//β，a⊂α，b⊂β，则a与b是相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若α//β，a⊂α，则由面面平行的性质得a//β，故C正确；
对于D，若α∩β=b，a⊂α，则a，b相交或平行，故D错误．
故选：AC．
对于A，直线a与平面α内与b平行的无数条直线都平行；对于B，a与b是相交、平行或异面；对于C，由面面平行的性质得a//β；对于D，a，b相交或平行．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．

11.【答案】BD 
【解析】解：由于a2+c2−b2>0，则cosB=a2+c2−b22ac>0，由于B∈(0,π)，所以0 对于B：△ABC为锐角三角形，则A+B>π2，所以A>π2−B，故sinA>sin(π2−B)，整理得sinA>cosB，故B正确；
对于C：若sin2A=sin2B，且A、B∈(0,π)，则2A=2B或2A=π−2B，则整理得：A=B或A+B=π2，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D：若c=2acosB，利用正弦定理：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，化简得：sinAcosB−cosAsinB=0，所以sin(A−B)=0，故A=B，则△ABC是等腰三角形，故D正确．
故选：BD．
直接利用三角函数关系的变换，正弦定理和余弦定理判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理和余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．

12.【答案】BC 
【解析】解：f(x)=2sin(ωx+φ−π6)，f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π2，
则T=π=2πω，∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x+φ−π6)，A错误；
若f(x)为偶函数，则φ−π6=kπ+π2，φ=kπ+2π3，k∈Z，
∵0<φ<π，∴k=1，φ=2π3，B正确；
C项：x∈(0,π6)，∴2x+φ−π6∈(φ−π6,φ+π6)，
∵f(x)在区间(0,π6)上单调递增，
∴(φ−π6,φ+π6)⊆[−π2，π2]，
∴φ−π6≥−π2，且φ+π6≤π2，
又0<φ<π，∴0<φ≤π3，
则φ的最大值为π3，C正确；
D项：f(−π12)=2sin(−π6+φ−π6)=2sinφ=0，
∴φ=kπ，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ不存在．
故选：BC．
A项，根据相邻两对称轴间的距离为π2，可得周期，确定ω；B项，f(x)为偶函数，则φ−π6=kπ+π2，看确定φ，C项，根据函数y=sinx的单调性来求即可；D项，根据f(−π12)=0求确定φ．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．

13.【答案】6−2i 
【解析】解：(2+2i)(1−2i)=2−4i+2i+4=6−2i．
故答案为：6−2i．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．

14.【答案】(1,4) 
【解析】
【分析】
本题主要考查分式不等式的求解，是基础题．
根据分式不等式的解法进行求解即可．
【解答】
解：不等式2x+1x−1>3即为−x+4x−1>0，等价于(x−1)(x−4)<0，
解得1 则不等式的解集为(1,4)，
故答案为：(1,4)．
  
15.【答案】1 
【解析】
【分析】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知利用余弦定理即可计算得到AC的值．
【解答】
解：在△ABC中，∵AB= 13，BC=3，∠C=120°，
∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosC，即：( 13)2=AC2+32−2×3×AC×cos120°．
∴整理可得：AC2+3AC−4=0，解得：AC=1或−4(舍去)．
故答案为：1．  
16.【答案】323π 
【解析】解：设球O的半径为R，则R2−R24=( 3)2，
解得R=2或R=−2(舍去)，
∴球O的体积V=4π3R3=323π．
故答案为：323π．
设球O的半径为R，依题意R2−R24=( 3)2即可求出R，再根据球的体积公式计算可得．
本题考查球的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．

17.【答案】解：(1)集合A={x|x2−12x+27≤0}={x|3≤x≤9}，B={x|2 ∴A∩B={x|3≤x<7}，A∪B={x|2 (2)若B∩C=C，则C⊆B，
∵C={x|2m−1 ∴当B=⌀时，2m−1≥m+1，解得m≥2，
当B≠⌀时，2m−1 综上，m的取值范围是[32,+∞)． 
【解析】(1)求出集合A，B，利用交集和并集定义能求出A∩B和A∪B；
(2)若B∩C=C，则C⊆B，当B=⌀时，2m−1≥m+1，当B≠⌀时，2m−1 本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18.【答案】解：(1)若a,b方向相同，则a⋅b=|a|⋅|b|=2×3=6；
若a,b方向相反，则a⋅b=−|a|⋅|b|=−2×3=−6；
(2)由已知可得，a⋅b=|a|⋅|b|cos60°=2×3×12=3，
所以(2a−b)⋅(a+b)=2a2+a⋅b−b2=2×22+3−32=2． 
【解析】(1)分为a,b方向相同，以及方向相反，分别计算，即可得出答案；
(2)根据数量积的定义求出a⋅b=3，然后根据数量积的运算律，展开即可得出答案．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．

19.【答案】解：(1)由已知有f(1)=1+a=2，解得a=1，∴a的值为1．
(2)函数f(x)=x+1x的定义域为{x|x≠0}，
又f(−x)=−x−1x=−(x+1x)=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数．
(3)证明：任取x1，x2∈(0,1)，设x1 则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−(x2+1x2)=(x1−x2)+(1x1−1x2)
=(x1−x2)+x2−x1x1x2=(x1−x2)(1−1x1x2)=(x1−x2)(x1x2−1x1x2)，
∵x1，x2∈(0,1)，且x1 ∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在区间(0,1)上单调递减． 
【解析】(1)代入法，将f(1)=2代入表达式即可求解a的值；
(2)根据函数奇偶性的定义，将−x代入f(x)的表达式，根据f(−x)与f(x)的关系即可得出f(x)的奇偶性；
(3)利用单调性的定义证明，任取两个自变量，将其函数值作差与0对比，进而得到单调性．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，求函数的值，属于中档题．

20.【答案】解：(1)f(x)=sin2x−2 3⋅12⋅(1+cos2x)+ 3=sin2x− 3cos2x=2sin(2x−π3)，
所以，函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，
令2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，k∈Z，
因此，函数f(x)的单调递减区间为[kπ+5π12,kπ+11π12]，k∈Z；
(2)当x∈[π2,π]时，2π3≤2x−π3≤5π3，当2x−π3=2π3时，
即x=π2时，函数f(x)取得最大值，最大值为 3． 
【解析】(1)先利用二倍角公式化简f(x)，再利用y=sinx的性质对应来求即可；(2)利用换元法的思想求函数的最值．
本题考查三角函数的性质，二倍角公式，属于基础题．

21.【答案】解：(1)∵(bcosC+ccosB)tanA=− 3a，
由正弦定理得(sinBcosC+sinCcosB)tanA=− 3sinA．
∴sin(B+C)tanA=− 3sinA，
∴sinA⋅tanA=− 3sinA，∵sinA>0，
∴tanA=− 3，∵A∈(0,π)，
∴A=2π3；
(2)(ⅰ)若a= 7,b=1，A=2π3，
由余弦定理得7=c2+1−2c×1×(−12)，
即c2+c−6=0，∵c>0，∴c=2，
∴△ABC的面积为12bcsinA=12×1×2× 32= 32；
(ⅱ)由正弦定理asinA=csinC，得sinC= 217，
∵a>c，∴cosC=2 77，
∴cos2C=2cos2C−1=17，
sin2C=2sinCcosC=4 37，
∴cos(2C−A)=cos2CcosA+sin2CsinA=17×(−12)+4 37× 32=1114． 
【解析】(1)由正弦定理进行化简可求tanA，进而可求A；
(2)(i)利用余弦定理先求c，然后利用三角形的面积公式求解；
(ii)利用正弦定理求出sinC，再利用二倍角公式求出sin2C，cos2C，求解即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角差的余弦公式在求解三角形中的应用，属于中档题．

22.【答案】解：(Ⅰ)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则B(1,2,0)，C(0,2,0)，B1(1,2,1)，D1(0,0,1)，
B1C=(−1,0,−1)，BD1=(−1,−2,1)，
∴B1C⋅BD1=1+0−1=0，∴B1C⊥BD1．
(Ⅱ)A(1，0，0)，AB=(0,2,0)，AD1=(−1,0,1)，AB1=(0,2,1)，
设平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AD1=−x+z=0n⋅AB=2y=0，取x=1，得n=(1,0,1)，
设直线AB1与平面ABC1D1所成角为θ，
则直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值为：
sinθ=|AB1⋅n||AB1|⋅|n|=1 5⋅ 2= 1010． 
【解析】(Ⅰ)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B1C⊥BD1．
(Ⅱ)求出平面ABC1D1的法向量，利用向量法能求出直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值．
本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、线面角的正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．