2022-2023学年云南省红河州开远一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年云南省红河州开远一中高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|6−2x<1}，B={x|x<5}，则( )
A. A∩B={x|x<5}B. A∩B=⌀
C. A∪B={x|x<5}D. A∪B=R
2.复数z=i1+i(i是虚数单位)在复平面上所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.函数f(x)=xcsx+x在[−π,π]上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知sin(α−π)+cs(π−α)sin(π2−α)+cs(π2+α)=5，则tanα等于．( )
A. −2B. 2C. −32D. 32
5.已知圆台的上底面面积是下底面面积的19倍，母线长为4，若圆台的侧面积为16π，则圆台的高为( )
A. 2B. 2 3C. 5D. 2 2
6.已知点A(−1,1)，B(1,2)，C(−2,−1)，D(3,4)，若e是与CD方向相同的单位向量，则向量AB在CD方向上的投影向量为( )
A. 3 152eB. 3 22eC. −3 22eD. −3 152e
7.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别是A1B1、A1D1的中点，沿过A、M、N三点的截面截去四面体A1−AMN，再沿过D、N、C1三点的截面截去四面体D−C1D1N后，所得几何体的体积为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
8.在△ABC中，已知点P在线段BC上，点Q是AC的中点，AP=xAB+yAQ，x>0，y>0，则1x+1y的最小值为( )
A. 32B. 4C. 32+ 2D. 3+2 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数f(x)=2x−3x2的零点所在的区间是( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)
10.若点A(m,n)在幂函数y=xa(a∈R)的图象上，则下列结论可能成立的是( )
A. m>0n>0B. m<0n<0C. m>0n<0D. m<0n>0
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. ω=2
B. f(x)的图象关于直线x=−5π12对称
C. f(x)在[−2π3,−π6]上单调递减
D. 该图象向右平移π6个单位可得y=2sin2x的图象
12.已知函数f(x)=lga(1−x)+lga(3+x)(a>0且a≠1)在定义域内存在最大值，且最大值为2，g(x)=m⋅2x−12x，若对任意x1∈[−1,12]，存在x2∈[−1,1]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值可以是( )
A. −1B. 0C. lg27D. 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.csα=45，α∈(3π2,2π)，则sinα2= ______．
14.如图所示，△A’B’C’表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A’B’在x’轴上，B’C’与x’轴垂直，且B’C’=3，则△ABC的边AB上的高为__________．
15.若实数a，b，c满足3a=4，4b=5，5c=9，则abc=______．
16.已知函数f(x)=2|x|,x≤1f(2−x),x>1若方程f(x)=a有四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= ______，x12+x22+x32+x42的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，b⋅sinB+C2=asinB．
(1)求角A；
(2)若AB⋅AC=2，求a的最小值．
18.(本小题12分)
已知a=(2,1)，|b|=2 5．
(1)若a/​/b，求b的坐标；
(2)若(5a−2b)⊥(a+b)，求a与b的夹角．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+6x−2b+3(a,b为常数)，在x=1时取得最大值2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[−3,2]上的单调区间和最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln2−mx2+x，其中m>0且f(1)+f(−1)=0．
(1)求m的值并写出函数的解析式；
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性；
(3)已知f(x)在定义域上是单调递减函数，求使f(x)21.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sinxcsx+sin2x−12．
(1)求f(x)的对称中心的坐标；
(2)若A∈(π12,π3)，f(A)=13，求cs(2A−5π6)的值．
22.(本小题12分)
如图，在扇形AOB中，圆心角AOB等于60°，半径为4，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ．
(1)若点C为OA的中点，试求θ的正弦值；
(2)求△POC面积的最大值及此时θ的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
化简集合A，根据交集与并集的定义运算即可．
【解答】
解：集合A={x|6−2x<1}={x|x>52}，
B={x|x<5}，
则A∩B={x|52∴D正确．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：z=i1+i=i(1−i)2=12+12i，所对应的点为(12,12)，该点位于第一象限．
故选：A．
根据复数的除法运算化简复数，即可得到对应的坐标．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵f(−x)=−xcs(−x)−x=−xcsx−x=−f(x)，
故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C，
令函数f(x)=xcsx+x=0，则x=0，或x=±π，
故函数有三个零点，排除D，
由f(π2)=π2>0，排除B，
故选：A．
分析函数的奇偶性，零点个数及f(π2)的符号，利用排除法，可得答案．
本题考查的知识点是函数的图象，利用排除法，是解答此类问题最常用的方法．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】
解：因为sin(α−π)+cs(π−α)sin(π2−α)+cs(π2+α)=5，
所以−sinα−csαcsα−sinα=−tanα−11−tanα=5，
则tanα=32．
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：设圆台的上底面半径为r，母线长为l，高为h，
因为圆台的上底面面积是下底面面积的19倍，
所以下底面的半径为3r，
又母线长为4，圆台的侧面积为16π，
则π(r+3r)l=4π(r+3r)=16π，
解得r=1，
则圆台的高h= 42−(3−1)2=2 3．
故选：B．
设圆台的上底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意确定下底面的半径为3r，由圆台的侧面积公式求出r，由此求解圆台的高即可．
本题考查了圆台的几何性质的应用，圆台的侧面积公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：AB=(2,1),CD=(5,5)，
∴AB在CD方向上的投影向量为：AB⋅CD|CD|⋅e=10+55 2⋅e=3 22e．
故选：B．
可以求出向量AB,CD的坐标，然后根据投影向量的计算公式即可得出AB在CD方向上的投影向量．
本题考查了投影和投影向量的概念及计算公式，向量坐标的数量积的运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：已知正方体的棱长为2，则其体积为2×2×2=8．
∵M、N分别是A1B1、A1D1的中点，
∴截去四面体A1−AMN的体积为13×12×1×1×2=13，
截去四面体D−C1D1N的体积为13×12×1×2×2=23，
∴所得几何体的体积为8−13−23=7．
故选：C．
直接由正方体的体积减去两个四面体的体积得答案．
本题考查多面体体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线定理与三点共线问题、由基本不等式求最值、向量的加减与数乘混合运算，属于中档题．
先根据B，P，C三点共线引入参数μ，使得BP=μBC，然后利用向量的加减与数乘混合运算求得AP=(1−μ)AB+μAC，对比AP=xAB+yAQ得到x、y、μ的关系式，进而求得x+y2=1，再结合基本不等式即可求得1x+1y的最小值．
【解答】
解：∵P，B，C三点共线，
∴存在非零实数μ，使得BP=μBC，
∴AP=AB+BP=AB+μBC=AB+μ(AC−AB)=(1−μ)AB+μAC，
又∵AP=xAB+yAQ，AQ=y2AC，
∴AP=xAB+y2AC=(1−μ)AB+μAC，
∴x=1−μ，且y2=μ，∴x+y2=1，
又∵x>0，y>0，∴xy>0，y2x>0，
∴1x+1y=(1x+1y)(x+y2)=32+xy+y2x≥32+2 xy·y2x=32+ 2，
当且仅当xy=y2x，即y= 2x时，等号成立，
∴1x+1y的最小值为32+ 2．
故选：C．
9.【答案】BC
【解析】解：函数f(x)=2x−3x2是连续函数，
∵f(−1)=12−3=−52<0，f(0)=1>0，f(1)=2−3=−1<0，
∴f(−1)f(0)<0，f(0)f(1)<0，
∴由零点判定定理可知函数的零点在(−1,0)，(0,1)，
故选：BC．
通过函数的连续性，由零点判定定理判断求解，即可得出答案．
本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：因为幂函数在第一象限一定有图象，在第二或第三象限可能有图象，也可能没有图象，第四象限一定没有图象，
所以A一定成立，B，D可能成立，C不可能成立．
故选：ABD．
根据幂函数的图象和性质求解．
本题主要考查了幂函数的图象和性质，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，
可得A=2，T4=14×2πω=π3−π12，
所以ω=2，故A正确；
利用五点法作图，可得2×π3+φ=π，可得φ=π3，
所以f(x)=2sin(2x+π3)，
令x=−5π12，求得f(x)=−2，为最小值，故函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称，故B正确；
当x∈[−2π3,−π6]，2x+π3∈[−π,0]，函数f(x)没有单调性，故C错误；
把f(x)的图象向右平移π6个单位可得y=2sin2x的图象，故D正确，
故选：ABD．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可得出结论．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查函数的最值及其几何意义，考查学生的运算能力，属于中档题．
先求出f(x)=lg2[−(x+1)2+4]，得到x∈[−1,12]时，f(x)∈[lg27−2,2]，再由题意得到lg27−2⩾m−2，即可求出m的范围，对照四个选项即可得到正确答案．
【解答】
解：f(x)定义域为(−3,1),f(x)=lga(1−x)+lga(3+x)=lga(−x2−2x+3)=lga[−(x+1)2+4]，
由题意知x=−1时，f(x)=2，即lga4=2，∴a=2．
此时f(x)=lg2[−(x+1)2+4]，
∴x∈[−1,12]时，f(x)∈[lg27−2,2]．
∵g(x)=m−12x，∴x∈[−1,1]时，g(x)min=m−2，由lg27−2⩾m−2得m⩽lg27.
对照四个选项，可以选：ABC．
故选：ABC．
13.【答案】 1010
【解析】解：∵csα=45，α∈(3π2,2π)，
∴sinα2= 1−csα2= 1−452= 1010．
故答案为： 1010．
由已知直接利用倍角公式求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
14.【答案】6 2
【解析】【分析】
本题主要考查空间几何体的直观图与斜二测画法，属于基础题．
过C′作C′D/​/y′，结合斜二测的性质进行求解即可．
【解答】
解：如图，过C′作C′D/​/y′，
则∠C′DB′=45°，
∵B′C′与x′轴垂直，且B′C′=3，
∴C′D=3 2，
根据斜二测的性质，得△ABC的边AB上的高等于2C′D=6 2，
故答案为：6 2．
15.【答案】2
【解析】解：由题意得a=lg34，b=lg45，c=lg59，
所以abc=lg34⋅lg45⋅lg59=lg4lg3⋅lg5lg4⋅lg9lg5=lg9lg3=lg39=2．
故答案为：2．
由已知结合指数与对数的相互转化可表示a，b，c，然后结合对数的换底公式可求．
本题主要考查了指数与对数的相互转化，对数的运算性质，属于基础题．
16.【答案】4 (8,12)
【解析】解：由函数f(x)=2|x|,x≤1f(2−x),x>1，可作出函数的图象如图所示，
不妨令x1∵f(x)=f(2−x)，∴图象关于x=1对称，
故x1+x4=x3+x2=2，x1+x2=0，x3+x4=4，x2∈(0,1)，
∴x1+x2+x3+x4=4，
x12+x22+x32+x42=x12+x22+(2−x2)2+(2+x2)2=4x22+8∈(8,12)．
故答案为：4；(8,12)．
作出函数的图象如图所示，可得x1+x4=x3+x2=2，x1+x2=0，x3+x4=4，x2∈(0,1)，可求结论．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属中档题．．
17.【答案】解：(1)∵b⋅sinB+C2=asinB，
∴sinBsin(π2−A2)=sinAsinB，
又sinB≠0，则csA2=2sinA2csA2，
又csA2≠0，则sinA2=12，
又A为△ABC内角，故A=π3；
(2)由于AB⋅AC=bcsinA= 32bc=2，则bc=4 33，
由余弦定理可得，a2=b2+c2−2bccsA≥2bc(1−csA)=2×4 33×(1−12)=4 33，当且仅当b=c时等号成立，
∴a的最小值为243．
【解析】(1)将b⋅sinB+C2=asinB转化为sinBsin(π2−A2)=sinAsinB，进一步可得到sinA2=12，由此可得A的值；
(2)运用数量积公式可知bc=4 33，再利用余弦定理结合基本不等式可求得a的最小值．
本题考查正余弦定理在解三角形中的运用，同时还考查了数量积运算，三角恒等变换以及利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵a=(2,1)，由a/​/b，可设b=(2λ,λ)，
再根据|b|=2 5= 4λ2+λ2，求得λ=±2，
∴b=(4,2)或(−4,−2)．
(2)若(5a−2b)⊥(a+b)，
则(5a−2b)⋅(a+b)=5a2+3a⋅b−2b2=25+3a⋅b−40=0，
∴a⋅b=5．
设a与b的夹角为θ，θ∈[0,π]，则 5×2 5×csθ=5，求得csθ=12，∴θ=π3．
【解析】(1)由题意，利用两个向量平行的性质，求得它的坐标．
(2)由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得a与b的夹角的余弦值，可得a与b的夹角．
本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意知−62a=1a+6−2b+3=2.∴a=−3b=2.
∴f(x)=−3x2+6x−1．
(2)∵f(x)=−3(x2−2x)−1=−3(x−1)2+2，
∴当x∈[−3,2]时，f(x)的单调增区间为[−3,1]，单调减区间为[1,2]，
又f(−3)=−27−18−1=−46，f(2)=−12+12−1=−1，
∴f(x)最小值为−46．
【解析】本题考查一元二次函数的性质，以及求一元二次函数的解析式，是基础题．
(1)根据已知条件得到关于a，b的方程组，求解a，b得到函数的解析式；
(2)利用一元二次函数的对称性以及单调性求解函数的值域即可．
20.【答案】解：(1)f(1)+f(−1)=ln2−m3+ln(2+m)=ln4−m23=0，
所以4−m23=1，解得m=1或m=−1，
因为m>0，
所以m=1，
所以f(x)=ln2−x2+x．
(2)f(x)为奇函数，证明如下：
由题意得，2−x2+x>0，解得−2所以函数f(x)的定义域为(−2,2)，该定义域关于原点对称．
又f(x)+f(−x)=ln2−x2+x+ln2+x2−x=ln(2−x)(2+x)(2+x)(2−x)=ln1=0，
即f(x)=−f(−x)，所以函数f(x)在(−2,2)上为奇函数．
(3)由f(x)在定义域上单调递减，f(x)=ln2−x2+x−1，
又−2所以x的范围为(−1,2)．
【解析】(1)由已知f(1)+f(−1)=0，代入可求m，进而可求函数解析式；
(2)先判断函数的定义域，然后检验f(−x)与f(x)的关系即可判断；
(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了待定系数求函数解析式，函数奇偶性的判断，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)= 3sinxcsx+sin2x−12= 32sin2x+1−cs2x2−12=sin(2x−π6)，
由2x−π6=kπ，k∈Z，得x=12kπ+π12，k∈Z，
即f(x)的对称中心的坐标为(12kπ+π12,0)，k∈Z．
(2)由(1)知f(A)=sin(2A−π6)=13，令θ=2A−π6，
则0<θ<π2，
所以sinθ=13，csθ=2 23，
则cs(2A−56π)=cs(θ−23π)=csθcs23π+sinθsin23π
=2 23×(−12)+13× 32= 3−2 26．
【解析】(1)化简f(x)的解析式，结合正弦函数的性质求出函数的对称中心即可；
(2)令θ=2A−π6，根据f(A)的值，求出sinθ和csθ的值，结合两角差的余弦公式计算即可．
本题考查了正弦函数的对称性，考查两角差的余弦公式，考查转化思想，是中档题．
22.【答案】解：(1)在△POC中，∠OCP=120°，OP=4，OC=2，
由OP2=OC2+PC2−2OC⋅PCcs120°，得PC2+2PC−12=0，解得PC=−1+ 13，
由正弦定理可得：sinθ=PC⋅sin∠OCPOP=(−1+ 13)⋅ 324= 39− 38；
(2)cs120°=OC2+PC2−162OC⋅PC=−12，即OC2+PC2+OC⋅PC=16，
又OC2+PC2+OC⋅PC≥3OC⋅PC，即3OC⋅PC≤16，当且仅当OC=PC时等号成立，此时θ=30°，
所以S=12CP⋅OCsin120°= 34CP⋅OC≤4 33，
∴θ=30°时，△POC面积的最大值为4 33．
【解析】(1)根据余弦定理可求出PC=−1+ 13，然后根据正弦定理即可求出sinθ的值；
(2)根据余弦定理可得出OC2+PC2+OC⋅PC=16，从而可得出OC⋅PC≤163，然后根据三角形的面积公式即可得出△POC的面积的最大值及对应的θ的值．
本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，不等式a2+b2≥2ab的运用，考查了计算能力，属于中档题．