2023年四川省广元市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年四川省广元市中考数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了 −12的相反数是， 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省广元市中考数学试卷
1. −12的相反数是(    )
A. −12 B. 12 C. −2 D. 2
2. 下列计算正确的是(    )
A. 2ab−2a=b B. a2⋅a3=a6
C. 3a2b÷a=3a D. (a+2)(2−a)=4−a2
3. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是(    )


A. B. C. D.
4. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：
每周课外阅读时间(小时)
2
4
6
8
学生数(人)
2
3
4
1
下列说法错误的是(    )
A. 众数是1 B. 平均数是4.8 C. 样本容量是10 D. 中位数是5
5. 关于x的一元二次方程2x2−3x+32=0根的情况，下列说法中正确的是(    )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
6. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD=124∘，则∠ACD的度数是(    )
A. 56∘
B. 33∘
C. 28∘
D. 23∘
7. 如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90∘，C是AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为(    )
A. 25π16
B. 25π8
C. 25π6
D. 25π4
8. 向高为10的容器(形状如图)中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是(    )
A.
B.
C.
D.
9. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为(    )
A. 10x−7(1+40%)x=1060 B. 10x−7(1+40%)x=10
C. 7(1+40%)x−10x=1060 D. 7(1+40%)x−10x=10
10. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a<0)过(−1,0)和(m,0)两点，且3 ①abc>0；
②3a+c>0；
③若抛物线过点(1,4)，则−1 ④若关于x的方程a(x+1)(x−m)=3有实数根，则4ac−b2≥12a，其中正确的结论有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 若式子1 x−3有意义，则实数x的取值范围是______ .
12. 广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”，《2023年广元市重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资约45亿元，将45亿这个数据用科学记数法表示为______ .
13. 如图，a//b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA=34∘，则∠CAB的度数为______ .


14. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为______ .

15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B(0,−3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC=13，则点C的坐标为______ .


16. 如图，∠ACB=45∘，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t=PE+ 2PF，则t的取值范围是______ .


17. 计算： 183+| 2−2|+20230−(−1)1.
18. 先化简，再求值；(3x+yx2−y2+2xy2−x2)÷2x2y−xy2，其中x= 3+1，y= 3.
19. 如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形.
(1)画出这个平行四边形(画出一种情况即可)；
(2)根据(1)中所画平行四边形求出两条对角线长.

20. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图(从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值)和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：

(1)求第四小组的频数，并补全频数分布直方图；
(2)若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；
(3)若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是男生的概率.
21. “一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户.某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量.如图，三片风叶两两所成的角为120∘，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角∠OED=45∘，风叶OA的视角∠OEA=30∘.

(1)已知α，β两角和的余弦公式为：cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，请利用公式计算cos75∘；
(2)求风叶OA的长度.
22. 某移动公司推出A，B两种电话计费方式.
计费方式
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/(元/min)
被叫
A
78
200
0.25
免费
B
108
500
0.19
免费
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式.
23. 如图，已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y=mx(m>0)的图象交于A(3,4)，B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E.
(1)求k，m的值及C点坐标；
(2)连接AD，CD，求△ACD的面积.

24. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F.
(1)求证：∠BCD=∠BOE；
(2)若sin∠CAB=35，AB=10，求BD的长.

25. 如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且
∠DBC=30∘.
(1)若∠BCD=90∘，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90∘，∠EBA=30∘，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是______ ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；
(3)如图3，若∠BCD=90∘，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值.


26. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(−2,0)，B(4,0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90∘，求出点F的坐标；
(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：−12的相反数是12，
故选：B.
根据相反数的定义进行判断即可．
本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确解答的前提．

2.【答案】D 
【解析】解：2ab与2a不是同类项，不能进行加减计算，故A错误；
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可知：a2⋅a3=a5，故B错误；
3a2b÷a=3ab，故C错误；
根据平方差公式可得：(a+2)(2−a)=4−a2，故D正确．
故选：D.
根据合并同类项法则，平方差公式，同底数幂的乘法，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：从左面看去，一共两列，左边有1个小正方形，右边有2个小正方形，左视图是：
.
故选：D.
先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两列，左边有1个小正方形，右边有2个小正方形，结合四个选项选出答案．
本题考查几何体的三视图，掌握左视图是从左面看到的图形是关键．

4.【答案】A 
【解析】解：A.这组数据的众数为6，所以A选项符合题意；
B.这组数据的平均数为110(2×2+4×3+6×4+8×1)=4.8，所以B选项不符合题意；
C.样本容量为10，所以C选项不符合题意；
D.这组数据的中位数为5，所以D选项不符合题意．
故选：A.
根据众数的定义对A选项进行判断；根据平均数的计算方法对B选项进行判断；根据样本容量的定义对C选项进行判断；根据中位数的定义对D选项进行判断．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了总体、样本容量、加权平均数、中位数．

5.【答案】C 
【解析】解：∵a=2，b=−3，c=32，
∴b2−4ac=9−12=−3<0，
∴方程没有实数根．
故选：C.
先确定a、b、c的值，在计算b2−4ac即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．

6.【答案】C 
【解析】解：∵∠BOD=124∘，
∴∠AOD=180∘−124∘=56∘，
∴∠ACD=12∠AOD=28∘，
故选：C.
先由平角定义求得∠AOD=56∘，再利用圆周角定理可求∠ACD.
本题主要考查的是圆周角定理的应用，利用平角定义求得∠AOD=56∘是解决本题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：连接OC，如图所示，
∵∠AOB=90∘，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB=∠ODC=∠OEC=90∘，
∴四边形OECD是矩形，
∵CD=CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴∠COE=90∘，△DCE和△OEC全等，
∴S阴影=S△DCE+S半弓形DCE
=S△OCE+S半弓形DCE
=S扇形COB
=45π×52360
=25π8，
故选：B.
先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8.【答案】D 
【解析】解：依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．
则注入的水量V随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢．
那么从函数的图象上看，
C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合．
A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．
故选：D.
依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的图象上看，即可得解．
本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：∵走路线b的平均车速比走路线a能提高40%，且走路线a的平均速度为x千米/时，
∴走路线b的平均速度为(1+40%)x千米/时．
根据题意得：10x−7(1+40%)x=1060.
故选：A.
根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均速度为(1+40%)x千米/时，利用时间=路程÷速度，结合走路线b比走路线a全程少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，过A(−1,0)，B(m,0)两点，且3 ∴对称轴x=−1+m2>1，
∴对称轴在y轴右侧，
∴−b2a>0，
∵a<0，
∴b>0，c>0，
∴abc<0，
故①错误；
∵−b2a>1，a<0，
∴−b<2a，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，过A(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴3a+c>0，
故②正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，过A(−1,0)，点(1,4)，
∴a−b+c=0a+b+c=4，
解得b=2c=2−a，
∵抛物线y=ax2+2x+2−a，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a<0)过(−1,0)和(m,0)两点，
∴y=a(x+1)(x−m)=ax2+a(1−m)x−am，
∴−am=2−a，
∴m=a−2a=1−2a，
∵3 ∴3<1−2a<4，
∵a<0，
∴−1 故③正确；
∵若关于x的方程a(x+1)(x−m)=3有实数根，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a<0)与直线y=3有交点，
∴4ac−b24a≥3，
∴4ac−b2≤12a，
故④错误．
故选：B.
①根据题意得出开口向下，对称轴在y轴的右侧，即可判b>0，c>0，则abc<0；
②根据对称轴是直线x=−b2a>1，计算−b<2a，由抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，过A(−1,0)，得到a−b+c=0，即可得到3a+c>0；
③由待定系数法确定抛物线y=ax2+2x+2−a，根据题意抛物线为y=a(x+1)(x−m)=ax2+a(1−m)x−am，即可得出−am=2−a，则m=a−2a=1−2a，根据3 ④抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a<0)与直线y=3有交点，即可得出4ac−b24a≥3，求得4ac−b2≤12a.
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，函数与方程的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

11.【答案】x>3 
【解析】解：由题意得：x−3>0，
解得：x>3，
故答案为：x>3.
根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．

12.【答案】4.5×109 
【解析】解：45亿=4500000000=4.5×109.
故答案为：4.5×109.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．

13.【答案】56∘ 
【解析】解：由作图可知CD垂直平分线段AB，
∴CA=CB，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵a//b，
∴∠ADC=∠BCD=34∘，
∴∠ACB=2∠BCD=68∘，
∴∠CAB=∠CBA=12(180∘−68∘)=56∘.
故答案为：56∘.
由作图可知CD垂直平分线段AB，推出CA=CB，再利用等腰三角形的三线合一的性质以及平行线的性质求解．
本题考查作图-基本作图，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

14.【答案】21 
【解析】解：找规律发现(a+b)3的第三项系数为3=1+2；
(a+b)4的第三项系数为6=1+2+3；
(a+b)5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现(a+b)n的第三项系数为1+2+3+…+(n−2)+(n−1)，
因为第八行为(a+b)7，
∴(a+b)7展开式的第三项的系数是1+2+3+…+6=21，
∴第八行从左到右第三个数为为21.
故答案为：21.
根据图形中的规律即可求出(a+b)8的展开式中第三项．
此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．

15.【答案】(94,0) 
【解析】解：设C(a,0)，
∴OC=a，
∵点A(1,0)，点B(0,−3)，
∴OA=1，AC=a−1，OB=3，BC= 32+a2= a2+9，
在Rt△OAB中，tan∠OBA=OAOB=13，tan∠ABC=13，
∴∠OBA=∠ABC，
过C点作CD//y轴交BA的延长线于点D，
∴∠OBA=∠D，∠AOB=∠ACD，
∴△OBA∽△CDA，∠ABC=∠D，
∴OBCD=OACA，CD=BC，
∴OBBC=OAAC，
∴3 a2+9=1a−1，
解得a=0(舍去)或a=94，
∴C(94,0)，
故答案为：(94,0).
设C(a,0)，结合A，B两点的坐标利用两点间的距离可得OA=1，AC=a−1，OB=3，BC= a2+9，通过解直角三角形可得∠OBA=∠ABC，过C点作CD//y轴交BA的延长线于点D，利用平行线的性质可得△OBA∽△CDA，∠ABC=∠D，列比例式再代入计算可求解a值，进而可求解．
本题主要考查坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，两点间的距离等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．

16.【答案】2 2≤t≤4+2 2 
【解析】解：设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，

∴∠CND=∠OMD=90∘，
∵∠ACB=45∘，
∴△CND是等腰直角三角形，
∴∠CDN=45∘，
∵ON=OM=2，
∴OD=2 2，
∴CN=DN=2+2 2，
如图1，延长EP交BC于Q，
∵EQ⊥AC，PF⊥BC，
∴∠CEQ=∠PFQ=90∘，
∵∠ACB=45∘，
∴∠EQC=45∘，
∴△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，
∴CE=EQ，FQ= 2PF，
∴t=PE+ 2PF=PE+FQ=EQ，
当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，
连接OP，
则四边形ENOP是正方形，
∴EN=OP=2，
∴t=PE+ 2PF=PE+FQ=EQ=CE=CN+EN=2+2 2+2=4+2 2；
如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，

同理可得t=PE+ 2PF=PE+FQ=EQ=CE=CN−EN=2 2，
故t的取值范围是2 2≤t≤4+2 2，
故答案为：2 2≤t≤4+2 2.
设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，求得∠CND=∠OMD=90∘，根据等腰直角三角形的性质得到∠CDN=45∘，求得OD=2 2，得到CN=DN=2+2 2，如图1，延长EP交BC于Q，推出△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到CE=EQ，FQ= 2PF，求得t=PE+ 2PF=PE+FQ=EQ，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，根据正方形的性质得到EN=OP=2，求得t=4+2 2；如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，同理可得t=2 2，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

17.【答案】解：原式=3 23+2− 2+1+1
= 2+2− 2+1+1
=4. 
【解析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

18.【答案】解：原式=(3x+yx2−y2−2xx2−y2)÷2x2y−xy2
=3x+y−2x(x−y)(x+y)⋅xy(x−y)2
=x+y(x−y)(x+y)⋅xy(x−y)2
=xy2，
当x= 3+1，y= 3时，
原式= 3( 3+1)2=3+ 32. 
【解析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．

19.【答案】解：(1)如图①以AB为对角线，如图②以AD为对角线，如图③以BD为对角线；


(2)∵AB=AC=BC=4，AD⊥BC，
∴BD=DC=2，
∴AD=2 3，
如图①所示：四边形ACBD是矩形，则其对角线AB的长为4；
如图②所示：AD=2 3，连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，
则EC=2 3，BE=2BD=4，
∴BC=2 7；
如图③所示：过点A作AE⊥CB，交CB延长线于E，连接AC，
∴BD=2，
由题意可得：AE=2，EC=2BE=8，
∴AC= AE2+EC2= 4+64=2 17， 
【解析】(1)由平行四边形的判定可得；
(2)分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题考查了复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．

20.【答案】解：(1)调查的总人数为12÷20%=60(人)，
所以第四小组的频数为60−6−12−18−10−4=10，
补全频数分布直方图为：

(2)1260×10+460=294(人)，
所以估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数294人；
(3)画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中两名都是男生的结果数为6，
所以所选2人都是男生的概率=612=12. 
【解析】(1)先利用第二次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出第四小组的频数，然后补全频数分布直方图；
(2)用1260乘以样本中第5组和第6组的频率即可；
(3)画树状图为展示所有12种等可能的结果，再找出两名都是男生的结果数．然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．

21.【答案】解：(1)由题意得：cos75∘=cos(30∘+45∘)=cos30∘cos45∘−sin30∘sin45∘= 32× 22−12× 22= 6− 24；
(2)由题意得：∠OED=45∘，DE=60米，
∴OE=60 2米，∠ODE=45∘，
∴∠AOE=120∘−45∘=75∘，
又∵∠OEA=30∘.
∴∠OAE=75∘，
∴EA=OE=60 2米，
如图，过点A作AF⊥OE于F，

在Rt△AEF中，∠AEF=30∘，AE=60 2米，
∴EF=30 6米，
∴OF=(60 2−30 6)米，
在Rt△AOF中，cos∠AOF=OFAO，
∵∠AOF=75∘，OF=(60 2−30 6)米，
∴OA=60 2−30 6 6− 24=(60 3−60)米． 
【解析】(1)根据两角和的余弦公式把75∘角分成两个特殊角30∘和45∘，根据特殊角的锐角三角函数值代入求值即可；
(2)过点A作AF⊥OE于F，先判断△AOE是等腰三角形，然后解直角三角形的方法先求出OF的长，再求出OA的长即可．
本题是解直角三角形的应用综合题，主要考查仰角俯角问题，特殊角的锐角三角函数值，深入理解题意，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．

22.【答案】解：(1)设方式A的计费金额y1(元)，方式B的计费金额y2(元)，
根据表格数据可知，当0≤t≤200时，y1=78；当t>200时，y1=78+0.25(t−200)=0.25t+28；
当0≤t≤500时，y2=108；当t>500时，y2=108+0.19(t−500)=0.19t+13；
综上，y1=78(0≤t≤200)0.25t+28(t>200)，y2=108(0≤t≤500)0.19t+13(t>500)；
(2)选择方式B计费，理由如下：
当每月主叫时间为350min时，
y1=0.25×350+28=115.5，
y2=108，
∵115.5>108，
∴选择方式B计费；
(3)令y1=108，得0.25t+28=108，
解得：t=320，
∴当0≤t<320时，y1<108 ∴当0≤t<320时，方式A更省钱；
当t=320，方式A和B的付费金额相同；
当t>320，方式B更省钱． 
【解析】(1)设方式A的计费金额y1(元)，方式B的计费金额y2(元)，根据表格即可得出y1和y2的函数解析式；
(2)将t=350分别代入(1)中求得的函数解析式中，在比较大小即可得到结果；
(3)令y1=108，求出此时的t值，再以此分析即可求解．
本题主要考查一次函数的应用，读懂题意，利用表格数据正确得出函数解析式是解题关键．

23.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y=mx(m>0)的图象交于A(3,4)，B两点，
∴4=3k+6，4=m3，
∴k=−23，m=12，
∴一次函数的解析式为y=−23x+6，反比例函数的解析式为y=12x，
吧y=0代入y=−23x+6得：0=−23x+6，
解得x=9，
∴点C的坐标为(9,0)；
(2)延长DA交x轴于点F，
将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为y=−23x+6+3=−23x+9，
由y=−23x+9y=12x，解得{x=32y=8或{x=12y=1，
∴D(32,8)，
设直线AD的解析式为y=ax+b，
把A、D的坐标代入得3a+b=432a+b=8，
解得a=−83b=12，
∴直线AD的解析式为y=−83x+12，
令y=0，则0=−83x+12，
解得x=92，
∴F(92,0)，
∴CF=9−92=92，
∴S△ACD=S△CDF−S△CAF=12×92×8−12×92×4=9. 
【解析】(1)把点A的坐标代入y=kx+6y=mx(m>0)求出k、m的值即可；把y=0代入直线AB的解析式，求出点C的坐标即可；
(2)延长DA交x轴于点F，先求出AB平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出AD的解析式，得出点F的坐标，根据S△ACD=S△CDF−S△CAF求出结果即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求函数的解析式，整理掌握待定系数法以及数形结合是解题的关键．

24.【答案】(1)证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90∘，
∴∠OCB+∠BCD=90∘，
∵OF⊥BC，
∴∠BEO=90∘，
∴∠BOE+∠OBE=90∘，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠BCD=∠BOE；
(2)解：过B作BH⊥CD于H，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵sin∠CAB=BCAB=35，AB=10，
∴BC=6，
∵OF⊥BC，
∴AC//OF，
∴∠BOE=∠CAB，
∵∠BCD=∠BOE，
∴∠BAC=∠BCD，
∴sin∠CAB=sin∠DCB=BHBC=35，
∴BH=185，
∵OC⊥CD，BH⊥CD，
∴BH//OC，
∴△BDH∽△ODC，
∴BHOC=BDOD，
∴1855=BDBD+5，
解得BD=907，
故BD的长为907. 
【解析】(1)连接OC，根据切线的性质得到∠OCD=90∘，求得∠OCB+∠BCD=90∘，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠BCD=∠BOE；
(2)过B作BH⊥CD于H，根据圆周角定理得到∠ACB=90∘，根据三角函数的定义得到BC=6，根据平行线的性质得到∠BOE=∠CAB，根据三角函数的定义得到BH=185，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．

25.【答案】AC=23 3DE 
【解析】解：(1)在Rt△BDC中，∠DBC=30∘，在Rt△BAE中，∠AEB=90∘，∠EBA=30∘，
∴△ABE∽△CBD，∠DBE+∠EBC=∠ABC+∠EBC，BE=AB×cos∠ABE= 32AB，
∴ABBC=BEBD，∠DBE=∠CBA，
∴△ABC∽△EBD，
∴ACDE=ABBE=AB 32AB=2 33，
∴AC=23 3DE，
故答案为：AC=23 3DE；
(2)在Rt△BAE，∠AEB=90∘，∠EBA=30∘，AB=4，
∴AE=AB⋅sin∠EBA=12AB=2，∠BAE=60∘，
延长DE交AB于点F，如图所示，

∴EF=AE×sin∠BAE= 32×2= 3，AF=12AE=1，
∴BF=AB−AF=4−1=3，
由(1)可得AC=23 3DE，
∴DE= 32AC= 3，
∴DF=DE+EF=2 3，
在Rt△BFD中，BD= BF2+DF2= 32+(2 3)2= 21，
∵△ABC∽△EBD，
∴BCBD=ACDE=2 33，
∴BC=2 33× 21=2 7，
即BC=2 7；
(3)如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB=90∘，∠EBA=30∘，连接BE，EA，ED，EC，

同(1)可得△BDE∽△BCA，
∴DEAC=BDBC=2 33，
∵AC=2，
∴DE=4 33，
在Rt△AEB中，AB=4，AE=AB×tan∠EBA=4× 33=4 33，
∴D在以E为圆心，4 33为半径的圆上运动，
∴当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，此时如图所示，则AD=AE+DE=8 33，
在Rt△ABD中，BD= AB2+AD2= 42+(8 33)2=4 213，
∴cos∠BDA=ADBD=83 34 213=2 77，sin∠BDA=ABBD=ABBD=44 213= 217，
∵∠BEA=90∘，
∴∠BED=90∘，
∵△ABC∽△EBD，
∴∠BDE=∠BCA，
过点A作AF⊥BC于点F，

∴CF=AC×cos∠ACB=2×2 77=4 77，AF=AC×sin∠ACB=2 217，
∵∠DBC=30∘，
∴BC= 32BD= 32×4 113=2 7，
∴BF=BC−CF=2 7−4 77=10 77，
Rt△AFB中，tan∠CBA=AFBF=2 21710 77= 35.
(1)证明△ABEC∽△CBD，根据相似三角形的性质得出ABBC=BEBD，∠DBE=∠CBA，进而证明△ABC∽△EBD，根据相似三角形的性质即可求解；
(2)求出AE=2，延长DE交AB于点F，在Rt△AEF中，由直角三角形的性质求得EF，AF，进而求得BF的长，根据(1的结论，得出DE= 3，在Rt△BFD中，勾股定理求得BD，进而根据△ABC∽△EBD，即可求出案．
(3)如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB=90∘，∠EBA=30∘，连接BE，EA，ED，EC，同(1)可得△BDE∽△BCA，求出AE的长，进而得出D在以E为圆心，4 33为半径的圆上运动，当点A，E，D 三点共线时，AD的值最大，进而求得cos∠BDA=2 77，sin∠BDA= 217，根据△ABC∽△EBD得出∠BDE=∠BCA，过点A作AF⊥BC于点F，由直角三角形的性质分别求得AF，CF，然后求出BF，最后根据正切的定义即可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键．

26.【答案】解：(1)将点A(−2,0)，B(4,0)，代入y=ax2+bx+4得：
4a−2b+4=016a+4b+4=0，
解得：a=−12b=1，
∴抛物线解析式为y=−12x2+x+4；
(2)∵点A(−2,0)，B(4,0)，
∴抛物线的对称轴为直线l：x=−2+42=1，
设直线l与x轴交于点G，过点E作ED⊥l于点D，如图：

∵以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90∘，
∴EF=BF，
∵∠DFE=90∘−∠BFG=∠GBF，∠EDF=∠BGF=90∘，
∴△DFE≌△GBF(AAS)，
∴GF=DE，GB=FD，
设F(1,m)，则DE=m，DG=DF+FG=GB+FG=3+m，
∴E(1+m,3+m)，
∵E点在抛物线y=−12x2+x+4上，
∴3+m=−12(1+m)2+(1+m)+4，
解得：m=−3(舍去)或m=1，
∴F(1,1)，
当E点与A点重合时，如图所示，

∵AB=6，△ABF是等腰直角三角形，且∠BFE=90∘，
∴GF=12AB=3，
此时F(1,−3)，
综上所述，F(1,1)或F(1,−3)；
(3)OD+12ON为定值6，理由如下：
设P(s,t)，直线AP的解析式为y=dx+f，BP的解析式为y=gx+h，
∵点A(−2,0)，B(4,0)，P(s,t)，
∴−2d+f=0sd+f=t，4g+h=0sg+h=t，
解得：d=ts+2f=2ts+2，g=ts−4h=4t4−s，
∴直线AP的解析式为y=ts+2x+2ts+2，BP的解析式为y=ts−4x+4t4−s，
在y=ts+2x+2ts+2中，令x=0得y=2ts+2，
∴M(0,2ts+2)，
在y=ts−4x+4t4−s中，令x=0得y=4t4−s，
∴N(0,4t4−s)，
∵P(s,t)在抛物线上，
∴t=−12s2+s+4=−12(s−4)(s+2)，
∴OM+12ON=2ts+2+12×4t4−s=12t−s2+2s+8=−6(s−4)(s+2)−(s−4)(s+2)=6，
∴OM+12ON为定值6. 
【解析】(1)待定系数法求解析式即可；
(2)求出抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴l与x轴交于点G，过点E作ED⊥l于点D，证明△DFG≌△GBF，设F(1,m)，有DE=m，DG=DF+FG=GB+FG=3+m，进而得出E点的坐标，代入抛物线解析式，求得m的值，当E点与A点重合时，求得另一个解；
(3)设P(s,t)，直线AP的解析式为y=dx+f，BP的解析式为y=gx+h，求得解析式，可得 OM，ON，即可求解．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．